空間向量的正交分解及其坐標表示

空間向量的正交分解及其坐標表示學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________評卷人得分一、選擇題1．在以下三個命題中，真命題的個數(shù)是（）①三個非零向量a、b、c不能構(gòu)成空間的一個基底，則a、b、c共面；②若兩個非零向量a、b與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則a、b共線；③若a、b是兩個不共線的向量，且cab,R,0，則a,b,c構(gòu)成空間的一個基底．A．0B．1C．2D．32．若a,b,c是空間的一個基底，則下列各組中不能構(gòu)成空間一個基底的是（）A．a(chǎn),2b,3cB．a(chǎn)b,bc,caC．a(chǎn)2b,2b3c,3a9cD．a(chǎn)bc,b,c3．已知向量a,b,c是空間的一個基底，向量ab,ab,c是空間的另一個基底，一向量p在基底a,b,c下的坐標為1,2,3，則向量p在基底ab,ab,c下的坐標為（）A.1,3,3B.3,1,32222C.3,13D.13,32,2,224．若向量MA、MB、MC的起點與終點M、A、B、C互不重合且無三點共線，且滿足下列關(guān)系（ O是空間任一點），則能使向量 MA、MB、MC成為空間一組基底的關(guān)系是（ ）A.OM111B.MAMBMCOA3OBOC33C.OMOAOBOCD.MA2MBMC5．已知空間四邊形OABC，M，N分別是OA，BC的中點，且OAa，OBb，OCc，用a，b，c表示向量MN為（）試卷第1頁，總4頁A.1a1b1cB.222C.1a1b1cD.2226．以下四個命題中，正確的是（ ）

1a1b1c2221a1b1c2221OA1A．若OPOB，則P、A、B三點共線23B．向量a,b,c是空間的一個基底，則ab,bc,ca構(gòu)成空間的另一個基底C．a(chǎn)bcabcD．△ABC是直角三角形的充要條件是ABAC07．若e1ee是空間的一個基底，ae1e2e3be1e2e3ce1e2e3，,2,3，，de12e23e3，dxaybzc，則x，y，z的值分別為（）A．5，，1B5，，12222C．511D．5，1，122228．如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，M為AC11的中點，若ABa，AA1c，BCb，則下列向量與BM相等的是（）1111A.abcB.abc2222試卷第2頁，總4頁1111C.abcD.abc2222評卷人 得分二、填空題9．已知四面體ABCD中，ABa2c，CD5a6b8c，AC，BD的中點分別為E，F(xiàn)，則EF______.10．如圖，在正方體ABCDABCD中，用AC，AB1，AD1作為基向量，則1111AC1__________.11．在平行六面體ABCD1A1B1C1D中，若ACxAB2yBC3zCC，則11xyz__________評卷人 得分三、解答題12．如圖所示，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，O，O1分別為底面 ABCD、底面A1B1C1D1的中心，AB 6，AA1 4，M為B1B的中點，N在C1C上，且C1N:NC＝1:3.（1）以O(shè)為原點，分別以 OA，OB，OO1所在直線為 x軸、y軸、z軸建立空間直試卷第3頁，總4頁角坐標系，求圖中各點的坐標．（2）以D為原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，求圖中各點的坐標．13．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點，并且PAAD1，求MN、DC的坐標．14．如圖所示，M，N分別是四面體OABC的棱OA，BC的中點，P，Q是MN的三等分點，用向量 OA，OB，OC表示OP和OQ.試卷第4頁，總4頁本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。參考答案1．C【解析】①正確，表示基底的向量必須不共面；②正確；③不對，a，b不共線．當cab時，a、b、c共面，故只有①②正確．故選C.考點：空間向量的基底.2．C【解析】3a2b32b3c3a9c0，∴3a9c3a2b32b3c，即三向量a2b,2b3c,3a9c共面，故選C.考點：空間向量的基底表示.3．B【解析】設(shè)p在基底ab,ab,c下的坐標為x,y,z，則pa2b3cxabyabzcxyaxybzc，x3,xy1,21所以xy2,解得y,z3，2z3,故p在基底 a b,a b,c下的坐標為 3,1,3.2 2考點：空間向量的基底表示 .4．C【解析】A中，因為1111，所以M、A、B、C共面，所以向量MA、MB、MC333不能成為空間的一組基底；B中，MAMBMC，但可能MAMBMC，即M、A、B、C可能共面，所以向量MA、MB、MC不一定能成為空間的一組基底；D中，∵MA2MBMC，∴M、A、B、C共面，所以向量MA、MB、MC不能成為空間的一組基底，故選C.考點：空間向量基本定理.5．C【解析】如圖所示，連接ON，AN，則ON11bc，OBOC22答案第1頁，總5頁本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。AN1AB12OAOB12abca11ACOC2bc，2222所以MN1ONAN1a1b1c.2222考點：空間向量的基底表示.6．B【解析】A中，若OP1OA1OB，則P、A、B三點不共線，故A錯；23B中，假設(shè)存在實數(shù)k1，k2，使cak1abk2bck1ak1k2bk2c，則k11,有k1k20,方程組無解，即向量ab，bc，ca不共面，故B正確；k21,C中，ababcosa,bab，故C錯；D中，ABAC0△ABC是直角三角形，但△ABC是直角三角形，可能是角B等于90°，則有BABC0，故D錯．考點：空間向量的基底表示 .7．A【解析】dxaybzcxe1e2e3ye1e2e3ze1e2e3xyze1xyze2xyze3e12e23e3，xyz1,51由空間向量基本定理，得xyz2,∴x1，z，y.xyz3,22考點：空間向量基本定理.8．A【解析】B11M1Bab11B221 1abc.22考點：空間向量的基底表示 .9．3a 3b 5c答案第2頁，總5頁本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考?！窘馕觥咳鐖D所示，取BC的中點G，連接EG，F(xiàn)G，則EFGF1CDGE211111BA2CDAB5a6b8ca2c3a3.b5c2222考點：空間向量的基底表示 .10．1AD1AB1AC2【解析】2AC12AA12AD2ABAA1ADAA1ABADABAD1AB1AC，所以AC11AB1AC.AD12考點：用向量的線性表達式表示向量 .11．

76【解析】如圖所示，有 AC1 AB BC CC1 AB BC 1C1C.xx1,1,1又因為AC1xAB2yBC3zC1C,所以2y1,解得y,3z1,21,z3答案第3頁，總5頁本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。所以xyz1117236考點：空間向量的基底表示.12．詳見解析【解析】（1）正方形ABCD中，AB6，∴ACBD62，從而OAOCOBOD32，∴各點坐標分別為A32,0,0，B0,32,0，C32,0,0，D0,32,0，O0,0,0，O10,0,4，A132,0,4，B10,32,4，C132,0,4，D10,32,4，M0,32,2，N32,0,3．（2）同理，A6,0,0，B6,6,0，C0,6,0，D0,0,0，A16,0,4，B16,6,4，C10,6,4，D10,0,4，O3,3,0，O13,3,4，M6,6,2，N0,6,3．考點：空間中點的坐標表示 .13．詳見解析【解析】∵PAADAB，且PA平面ABCD，ADAB，∴以DA,DB,DP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz，如圖所示.設(shè)DAe1，ABe2，APe3．∵MNMAAPPNMAAP1PCMAAP1PAADDC221e2e31e3e1e21e11e3，2222∴MN1,0,1，DCABe20,1,0．22考點：空間向量的坐標表示 .答案第4頁，總