自控PPT綜合課件

序自動控制——在沒有人直接參與的情況下，利用附加的設備或裝置，使機器、設備或生產(chǎn)過程的某個工作狀態(tài)或參數(shù)自動的按照預定的規(guī)律運行。自動控制技術廣泛應用于國民經(jīng)濟的各個部門。例如：數(shù)控車床按照規(guī)定程序自動地切削工件；化學反應爐自動地維持溫度或壓力的恒定；導彈發(fā)射和制導系統(tǒng)自動地把導彈引向敵方目標；人造地球衛(wèi)星準確地進入預定軌道并回收……

不僅如此，自動控制技術的應用范圍已擴展到生物、醫(yī)學、經(jīng)濟管理和其它許多社會領域。已成為現(xiàn)代生活領域中不可缺少的重要組成部分。自動控制原理——研究自動控制共同規(guī)律的一門技術科學。自動控制原理是對自動控制系統(tǒng)進行分析和設計的基礎，也是自動化及相關專業(yè)共同的技術基礎課，其重要性是顯而易見的。自動控制原理的發(fā)展階段：階段形成時期理論基礎分析方法研究對象研究重點數(shù)學工具Ⅰ30-50年代經(jīng)典控制論時域、復域(1948)、頻域(1932)SISO(Single-input,Single-output)反饋控制系統(tǒng)微分方程、拉氏變換、復變函數(shù)等Ⅱ60-70年代現(xiàn)代控制論狀態(tài)空間時域MIMO(Multiple-inputMultiple-output)最優(yōu)控制自適應控制等矩陣理論(線性代數(shù))Ⅲ70年代至今大系統(tǒng)理論智能控制時域\復域\頻域法，模糊集法多因素多層次復雜對象大系統(tǒng)復雜系統(tǒng)智能控制(1)自動控制原理，李友善，國防工業(yè)出版社(2)自動控制原理學習指導與題解指南，張?zhí)K英等，國防工業(yè)出版社(3)自動控制原理習題集，胡壽松等，國防工業(yè)出版社(4)自動控制原理考研試題分析與解答技巧，張?zhí)K英等，北京航空航天大學出版社(5)Matlab應用基礎主要參考書建議與要求：數(shù)學基礎：高等數(shù)學、線性代數(shù)-拉氏變換、復變函數(shù)等。學習方法：聽課為主，討論與自學為輔。要求：①掌握控制系統(tǒng)分析的基本方法和設計思想（穩(wěn)定性分析、系統(tǒng)分析及系統(tǒng)校正的方法）②按學校要求聽課；遵守課堂紀律；③按時交作業(yè)?！?.1自動控制的基本原理與方式1.常用術語電動機——電機，是自動控制系統(tǒng)中的常用部件。電動機D電壓U轉速n,ω負載ML定性的講，當負載ML一定時，電壓U增大轉速n提高；當電壓U一定時，負載ML增大轉速n減小。想一想：當負載變化時，要想保持轉速恒定，應該怎么辦？下面看一龍門刨自動調速系統(tǒng)。該系統(tǒng)的控制目的是：當負載變化時，維持轉速n不變。第一章自動控制的一般概念2.反饋控制系統(tǒng)的一般構成（P5）被控對象輸出量擾動量執(zhí)行元件放大元件輸入量_反饋量偏差測量元件串聯(lián)校正_反饋校正3.基本控制方式有三種閉環(huán)控制系統(tǒng)（反饋控制系統(tǒng)）

開環(huán)控制系統(tǒng)

復合控制系統(tǒng)（1）閉環(huán)控制系統(tǒng)（反饋控制系統(tǒng)）1）結構特征：信息循環(huán)往復傳遞，按偏差進行控制；2）系統(tǒng)特點：①按偏差控制，（因此必須有輸出量的測量裝置）；②抗干擾性好，控制精度高；③系統(tǒng)較復雜，有穩(wěn)定性問題。（2）開環(huán)控制系統(tǒng)1）結構特征：信息單向傳遞，沒有形成閉合回路2）系統(tǒng)特點：①控制系統(tǒng)結構簡單，成本低廉；②控制精度差，抗干擾能力差；3）使用場合：多用于系統(tǒng)結構參數(shù)穩(wěn)定和擾動信號較弱的場合。如：自動售貨機、自動報警器、自動化流水線、全自動洗衣機等。（3）復合控制系統(tǒng)——是前饋（順饋）和反饋相結合的控制方式前饋——從本質上講，屬于開環(huán)控制。因此，復合控制系統(tǒng)中既有閉環(huán)控制，又有開環(huán)控制。在自動控制系統(tǒng)中，前饋通常有兩種方式：按擾動補償與按給定補償。例如，P7上的電動機轉速復合控制系統(tǒng)（按擾動補償）。電動機輸出量擾動量輸入量_反饋量偏差測速發(fā)電機電壓放大功率放大電阻R電壓放大按擾動補償?shù)那梆伩刂品绞絻H適用于干擾可測量的場合。顯然，復合控制系統(tǒng)具有前饋和反饋控制的優(yōu)點。§1.2控制系統(tǒng)的分類按控制方式：開環(huán)控制、閉環(huán)控制、復合控制按元件類型：機械、電氣、機電、液壓、氣動、生物……按系統(tǒng)功用：速度控制系統(tǒng)、壓力控制系統(tǒng)、溫度控制系統(tǒng)、位置控制系統(tǒng)…按參據(jù)量的變化規(guī)律：恒值控制系統(tǒng)、隨動控制系統(tǒng)、程序控制系統(tǒng)。按系統(tǒng)性能：線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)——系統(tǒng)中所有元件的特性都是線性的。定常（時不變）系統(tǒng)時變系統(tǒng)——系統(tǒng)的結構和參數(shù)不隨時間變化。連續(xù)系統(tǒng)離散系統(tǒng)——系統(tǒng)中各部分信號隨著時間連續(xù)變化。確定性系統(tǒng)不確定性系統(tǒng)——本課程只涉及確定性系統(tǒng)。為了全面反映系統(tǒng)特點，通常將上述分類組合應用。例如：（1）線性定常連續(xù)系統(tǒng)：其中：c(t)——系統(tǒng)輸出；r(t)——系統(tǒng)輸入特點：各變量及其導數(shù)以一次冪形式出現(xiàn)，且無交叉相乘；各系數(shù)ai(i=0→n),bi(i=0→m)都是常數(shù)。系統(tǒng)中各信號隨著時間連續(xù)變化——線性——定?！B續(xù)本教材ch1—ch6討論這類系統(tǒng)。（2）線性時變連續(xù)系統(tǒng)：——上式中某些系數(shù)隨著時間的變化而變化本教材沒涉及。（3）非線性系統(tǒng)：本教材ch8討論這類系統(tǒng)。（4）離散系統(tǒng)：用差分方程表示。本教材ch7討論這類系統(tǒng)?！?.3對自動控制系統(tǒng)的基本要求基本要求：在某種典型輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出參數(shù)能穩(wěn)定、快速、準確的跟蹤輸入。簡稱：穩(wěn)、準、快穩(wěn)——穩(wěn)定性絕對穩(wěn)定性相對穩(wěn)定性（簡稱穩(wěn)定性）（反映平穩(wěn)性

——表征系統(tǒng)動態(tài)過程的平穩(wěn)程度）

穩(wěn)定是保證系統(tǒng)正常工作的先決條件，顯然，不穩(wěn)定的系統(tǒng)是無法實現(xiàn)預定的控制任務的準——準確性（表征系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度）快——快速性（表征系統(tǒng)的動態(tài)過程響應速度）閱讀：P7-10自動控制系統(tǒng)示例作業(yè)：思考與練習：p17：1-10觀察你周圍，哪些是開環(huán)控制系統(tǒng)？閉環(huán)控制系統(tǒng)？復合控制系統(tǒng)？14第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（ControlSystemModeling）數(shù)學模型——（models）描述系統(tǒng)內(nèi)部各變量之間關系的數(shù)學表達式靜態(tài)模型——在靜態(tài)（即變量的各階導數(shù)為零）條件下，描寫變量之間關系的代數(shù)方程。數(shù)學模型是分析、設計控制系統(tǒng)的基礎。（辨識法）建立數(shù)學模型的方法主要有分析法實驗法（解析法）動態(tài)模型——描寫變量各階導數(shù)之間關系的微分方程（或其它模型形式）。本章主要內(nèi)容有：傳遞函數(shù)與微分方程用分析法建立系統(tǒng)數(shù)學模型的一般方法閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的求取15§2.1傳遞函數(shù)與微分方程一、預備知識1.Laplace變換2.線性系統(tǒng)重要特性——例如：若：當x=x1時，其解為y1；當x=x2時，其解為y2則①當x=x1+x2時，其解為y=y1+y2。②當x=Ax1時，其解為y=Ay1，其中A為常數(shù)。

疊加原理

疊加原理說明了，兩個外作用同時加于系統(tǒng)所產(chǎn)生的總輸出，等于各個外作用單獨作用時分別產(chǎn)生的輸出之和，且當外作用的數(shù)值增大若干倍時，其輸出亦增大相應的倍數(shù)。傳遞函數(shù)——復域模型微分方程——時域模型163.線性定常微分方程求解經(jīng)典法拉氏變換法計算機求解例：已知某系統(tǒng)的微分方程：解：設：Ui(s)=L[ui(t)]，Uo(s)=L[uo(t)]

由拉氏變換的微分定理，得：uo(0)=0.1初始條件：輸入信號：ui(t)=1(t)連同初始條件一起代入原微分方程，得：17由輸入引起的輸出由初始條件引起的輸出L-1整理得：用拉氏變換法求解微分方程的步驟可歸納為:微分方程拉氏變換輸出的象函數(shù)拉氏反變換輸出的時域函數(shù)(微分方程的解)18二、傳遞函數(shù)的定義對于線性定常系統(tǒng)，在零初始條件下，輸出的L變換與輸入的L變換之比.n

階線性定常系統(tǒng)：幾個概念：傳遞函數(shù)的零點：滿足N(s)=0的點傳遞函數(shù)的極點：滿足D(s)=0的點特征方程：D(s)=0（當傳函為閉環(huán)傳函時）——傳函分子=0的根——傳函分母=0的根①②當t=0-時，輸出量、輸入量及其各階導數(shù)項均為零。19G(s)R(s)C(s)③傳遞函數(shù)與微分方程有相通性，是一一對應的，非常容易轉換。②傳遞函數(shù)是系統(tǒng)輸入輸出關系的表達式，它只取決于系統(tǒng)的結構參數(shù)，而與系統(tǒng)的輸入信號的形式無關，當然也與初始條件無關。④傳遞函數(shù)的反拉氏變換是系統(tǒng)的單位脈沖響應。三、傳遞函數(shù)的性質①傳遞函數(shù)是復變量s的有理真分式函數(shù)，即m≤n，且所有系數(shù)為實數(shù)；⑤傳遞函數(shù)只是對系統(tǒng)的數(shù)學描述，并不反映系統(tǒng)的物理構成?？捎孟铝蟹娇虮硎酒漭斎胼敵鲩g的關系：熟記對應關系20§2.2分析法建立系統(tǒng)數(shù)學模型的一般方法(2)列寫方程：RCUiUo例2.1建立一階RC網(wǎng)絡數(shù)學模型(3)消除中間變量，整理為標準形式：RCUiUo解：(1)確定輸入輸出變量:輸入量：電壓uI；輸出量：電壓uo。相應的傳遞函數(shù)為：一、環(huán)節(jié)數(shù)學模型的建立對于此類電網(wǎng)絡，可直接用電路上所學的運算法得到其傳遞函數(shù)。21歸納分析法建立環(huán)節(jié)數(shù)學模型的一般步驟：（1）確定輸入輸出變量；（2）根據(jù)相應的物理定律列寫方程；（3）消除中間變量；（4）增量化、線性化處理。（5）寫成標準形式：對于微分方程：輸出寫在等號的左邊，輸入（及擾動）寫在等號的右邊，并且按降階排列。對于傳遞函數(shù)：分子分母都按s降冪次排列。當分子分母都是s的多項式時，或：分子分母都寫為因式連乘的形式。說明：對于電路網(wǎng)絡，如例2.1，可以用《電路》課上所學的運算法可直接得到傳遞函數(shù)。再看一例：22例RuouiLC

解：——二階線性常系數(shù)微分方程

RLC網(wǎng)絡。(P34)設系統(tǒng)輸入為ui(t)，輸出為uo(t)。試建立該網(wǎng)絡的數(shù)學模型?；颍憾咄耆恢赂鶕?jù)電路原理，可列得如下方程i23例

彈簧-質量-阻尼機器機械位移系統(tǒng)。(P35)

由牛頓運動定律有：彈簧的彈力=Kx(t)阻尼器的阻尼力=fdx(t)/dt其中：K為彈簧的彈性系數(shù)；f為阻尼器的阻尼系數(shù)。試列寫質量m在外力F(t)作用下，位移x(t)的運動方程。解：設質量m相對于初始狀態(tài)的位移為：x(t)則速度、加速度分別，dx(t)/dt，d2x/dt2mF(t)x(t)fK與RLC網(wǎng)絡比較思考與理解:傳遞函數(shù)只是對系統(tǒng)的數(shù)學描述，并不反映系統(tǒng)的物理構成。24例:有源網(wǎng)絡uo－＋R1R1R2ui。。。傳函為：傳函為：uo

-K1uiR2R1⑴。。⑵

-K1uiR2uoR1·c。。⑶

-K1R2uoR1R1u1u2。。。

當求取對其中某一個外作用信號的傳函時，認為其余外作用信號為零。當有多個外作用信號時，傳函要分別求取。思考：這種情況下，系統(tǒng)的總輸出如何？25二、控制系統(tǒng)的數(shù)學模型+u2

-K2R1CR功率放大K3ua負載ωmωSM例

某速度控制系統(tǒng)如下圖所示，建立其數(shù)學模型。解：被控對象：電動機（帶負載）

輸入量：ui

輸出量：轉速ω

擾動量：負載轉矩Mc′（折算到電動機軸上的等效值）

-K1uiR1R1R2u1-utTG-ut26運算放大器Ⅰ：運算放大器Ⅱ:

功率放大器：直流電動機：齒輪系：

測速發(fā)電機：+u2

-K2R1CR功率放大K3ua負載ωmωSM

-K1uiR1R1R2u1-ut-ut測速反饋消去中間變量可得系統(tǒng)微分方程：思考：傳遞函數(shù)？27列寫系統(tǒng)各環(huán)節(jié)數(shù)學模型時應要注意的問題：(1)信號傳遞的單向性，前一個元件的輸出是后一個元件的輸入。(2)前后連接的兩個元件中，后級對前級的負載效應問題。例如：R1C1R2C2R1C1R2C2串聯(lián)二者傳函不同歸納系統(tǒng)數(shù)學模型的建立的一般步驟(1)確定系統(tǒng)輸入、輸出變量；(2)根據(jù)各環(huán)節(jié)相應的物理定律建立各環(huán)節(jié)的數(shù)學模型；(3)消除中間變量，寫出系統(tǒng)外作用量與輸出量之間的微分方程?；蛳犬嫵鱿到y(tǒng)結構圖再求出傳遞函數(shù)（當然也就得到了微分方程）。28三、非線性微分方程的線性化非線性環(huán)節(jié)是廣泛存在的。處理方法:忽略——視為線性元件微偏法——小偏差線性化法非線性系統(tǒng)理論——描述函數(shù)法、相平面法、逆系統(tǒng)方法等——本章討論微偏法的實質是：在小范圍內(nèi)，用切線代替曲線，從而達到線性化的目的。具體做法是：在工作點附近進行泰勒級數(shù)展開，忽略高次項。y0x0y(t)x(t)(x0,y0)x(t)——非線性環(huán)節(jié)的輸入信號y(t)——非線性環(huán)節(jié)的輸出信號29在工作點（x0，y0）展開為泰勒級數(shù)：設：非線性方程為：y=f（x）

設：有：即：——增量線性化方程注意：⑴線性化方程的參數(shù)與工作點（平衡狀態(tài)）有關。⑵應用微偏法，工作范圍不能過大，否則誤差大。到底多大合適，與非線性曲線形狀有關。⑶二元函數(shù)的線性化方法與此相似，請課后閱讀教材上的相關內(nèi)容。30§2.3控制系統(tǒng)的結構圖及其化簡

（Blockdiagrams）

一、結構圖的組成U(s),u(t)引出點（分支點）：引出點表示信號引出或分支。在同一位置引出的信號在數(shù)值和性質方面完全相同。這一點與電路圖是不同的。比較點（綜合點）：兩個以上的信號進行加減運算。輸出信號等于所有輸入信號的代數(shù)和。U(s),u(t)U(s),u(t)U(s),u(t)方框（環(huán)節(jié)）：把傳遞函數(shù)寫到方框的里面。方框的輸出等于方框的輸入與傳遞函數(shù)的乘積，可視為單向運算的算子。信號線：帶箭頭的直線，箭頭表示信號的流向。U(s),u(t)±R(s),r(t)R(s)±U(s)r(t)±u(t)G(s)R(s),r(t)C(s),c(t)結構圖的組成結構圖的繪制結構圖的等效變換和化簡結構圖又稱方框圖或方塊圖31二、結構圖的繪制

繪制結構圖的一般方法：（1）考慮負載效應，分別列寫系統(tǒng)中各元部件的時域方程或復域方程；代數(shù)方程的時域形式和復域形式相同，微分方程則必須寫成復域形式。（2）根據(jù)信號流向，從前向后(或從后向前)用信號線依次將各方框連接。兩個例題32U2K3′－KmKcMc′ΩmΩ(s)Kt與時域形式相同Ui(s)Ut(s)U1－K1例前已求出33雙T濾波電路，試繪制該系統(tǒng)結構圖。RRC1C2UoUiii2i1解：根據(jù)電路原理課列出系統(tǒng)復域方程為：1/sC2UoI21/RI1/RI1-I21/sC1Uc1-UR2Uo-UR1UiUc1例2.634注意：①雖然系統(tǒng)結構是從系統(tǒng)元部件的數(shù)學模型得到的，但結構圖中的方塊與實際的元部件并非一一對應（上例中的電動機）。②方框圖的表示不是唯一的。三、結構圖的等效變換和化簡1、結構圖的三種基本運算：——串聯(lián)、并聯(lián)、反饋（1）方框的串聯(lián)（combiningserialblocks）及運算G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)U(s)=G1(s)R(s)C(s)=G2(s)U(s)C(s)=G2(s)G1(s)R(s)G(s)=G(s)R(s)G1(s)G2(s)結論：方框串聯(lián)連接總傳遞函數(shù)等于各個方框傳遞函數(shù)的乘積。

R(s)C(s)?思考：多個環(huán)節(jié)串聯(lián)？35（2）方框的并聯(lián)（combiningparallelblocks）及運算G1(s)+G2(s)U1(s)=G1(s)R(s)U2(s)=G2(s)R(s)C(s)=U1(s)+U2(s)=(G1(s)+G2(s))R(s)=G(s)R(s)結論：并聯(lián)的總傳遞函數(shù)等于各個方框傳遞函數(shù)的代數(shù)和。R(s)C(s)?G1(s)G2(s)R(s)C(s)U1U2++思考：多個環(huán)節(jié)并聯(lián)？36（3）反饋（feedback）連接方框的運算“+”表示正反饋；“-”表示負反饋。反饋通路傳函H(s)=1稱為單位反饋前向通道傳函R(s)C(s)？C(s)=G(s)E(s)B(s)=H(s)C(s)記為閉環(huán)傳函=前向通路傳函1±開環(huán)傳函G(s)H(s)C(s)R(s)E(s)B(s)-+C(s)=G(s)[R(s)H(s)C(s)]-+E(s)=R(s)B(s)-+式中：“+”表示負反饋；“-”表示正反饋。我們稱：為閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)相應的概念：閉環(huán)零、極點；開環(huán)零、極點；……37說明：（1）在很多情況下，傳函為分式，設前向通道傳函G(s)=反饋通道傳函H(s)=式中：“+”表示負反饋；“-”表示正反饋。即：一個很實用的結論。（2）定義：Φ(s)的分母=0為系統(tǒng)特征方程。特征方程的根稱為系統(tǒng)的特征根。38總結對照這三種基本運算：串聯(lián)：G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)并聯(lián)：G1(s)G2(s)R(s)C(s)U1U2++G1(s)+G2(s)R(s)C(s)反饋：G(s)H(s)C(s)R(s)E(s)B(s)±R(s)C(s)G

(s)1G(s)H(s)－＋可以發(fā)現(xiàn)：他們的共同特點是消除了中間變量，使結構圖簡化。

方框圖變換就是要通過移動引出點、求和點等，使結構圖中出現(xiàn)串聯(lián)、并聯(lián)或反饋，以便化簡結構圖。2、結構圖變換39常用的幾種結構圖變換（1）引出點前移：G

(s)R(s)C(s)C(s)G

(s)R(s)C(s)C(s)G

(s)●（2）引出點后移：G

(s)R(s)C(s)R(s)●G

(s)R(s)C(s)R(s)1/G

(s)（3）比較點前移：G

(s)R(s)C(s)Q(s)±±G

(s)1/G

(s)R(s)C(s)Q(s)40(5)比較點易位及合并R1(s)C(s)R2(s)±R3(s)±E(s)R1(s)C(s)R2(s)±R3(s)±R1(s)C(s)R2(s)±R3(s)±(6)交換比較點或引出點（極少采用）R1(s)C(s)R2(s)C(s)---R1(s)R2(s)R2(s)C(s)C(s)（4）比較點后移：±G

(s)G

(s)R(s)C(s)Q(s)G

(s)R(s)C(s)Q(s)±41應該說，結構圖的變換是手段；結構圖的化簡才是目的。變換與化簡的基本原則是：等效原則。

在結構圖變換與化簡過程中，我們只能減少（或增加）一些中間變量，但各變量之間的數(shù)學關系不能改變。3、結構圖變換與化簡看兩個例題42P63例2-21

已知系統(tǒng)結構圖如下圖所示，求C(s)/R(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H3(s)H1(s)H2(s)－－－R(s)C(s)解：分析如何解除回路之間的交叉？●G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H3(s)H1(s)H2(s)－－－R(s)C(s)G4(s)43G1(s)G2(s)G4(s)H1(s)H2(s)－－R(s)C(s)G1(s)G4(s)H1(s)－R(s)C(s)44G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H3(s)H1(s)H2(s)－－－R(s)C(s)仔細觀察發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？想一想：有沒有其它的變換方法？對照比較：45§2.4信號流圖與Mason公式一、信號流圖——表示信號之間相互關系的又一種圖示方法。信號流圖有兩種符號——節(jié)點和支路。支路——兩節(jié)點之間的定向線段，相當于乘法器節(jié)點——以小圓圈表示，用來表示信號，同時兼做求和號例如：○○○○x1x2x3x42－51○x5混合節(jié)點所代表的信號是所有指向它的信號的代數(shù)和。x5=x4又有輸入支路，又有輸出支路的節(jié)點為混合節(jié)點；稱：只有輸出支路的節(jié)點為源節(jié)點(sourcenodes)，又稱輸入節(jié)點；只有輸入支路的節(jié)點為阱點(sinknodes)

，又稱輸出節(jié)點；顯然，46二、信號流圖的繪制信號流圖可由系統(tǒng)復域方程繪制，也可由系統(tǒng)結構圖繪制而成。例

網(wǎng)絡如圖。試繪制系統(tǒng)的信號流圖。C2R1R2uiuoC1ii1i2解：列出系統(tǒng)方程為共8個變量UR1UiUC1II21/R111/C1s-1UR2I1Uo1/R21/C2s-1-111U0說明：本例直接寫出的是復域模型，如果不便，也可以先寫微分方程，再取拉氏變換，得到復域模型。47例2-24已知系統(tǒng)框圖，試繪制其信號流圖。(P69)解：先選取節(jié)點輸入量R輸出量C引出點通常還包括求和號的輸出（例13)ee1e2共5個變量Ree1e2C1-HG11G2G3G4G1G4G2G3RH_C﹢﹢——非唯一的48三、梅森增益公式（Masongainrule）

梅森增益公式：P——系統(tǒng)總傳遞函數(shù)；n——前向通路總條數(shù)；pk——第k條前向通路總增益；Δ——特征式單獨回路增益每兩個互不接觸回路增益乘積每三個互不接觸回路增益乘積Δk—特征式的余子式。即特征式中去掉與第k條前向通路相接觸的回路增益項（包括回路增益的乘積項）后的余式。這里：49例：利用梅森增益公式求總增益。X4X1X2X3abc-def-g解：系統(tǒng)有3條回路：L1與L2為互不接觸回路：系統(tǒng)有2條前向通路:于是總增益X4/X1為：50P71例2-25：已知系統(tǒng)結構圖如下圖，用Mason公式求C(s)/R(s)——P63例2-21G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H3(s)H1(s)H2(s)－－－R(s)C(s)解：回路有：L1=-G1G2G3G4H1L2=

-

G2G3H2L3=-

G3G4H3無不接觸回路前向通路有：P1=G1G2G3G4△1=1于是總傳函：51G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H3(s)H1(s)H2(s)－－－R(s)C(s)○R○○○○○C﹣H1G1-H2G2﹣H3G3G4○1C52§2.5典型反饋控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)的幾個基本概念(P73)REG1G2N-HECC系統(tǒng)外作用：典型的反饋控制系統(tǒng)如下圖R(s)——系統(tǒng)輸入N(s)——擾動信號系統(tǒng)輸出：C(s)系統(tǒng)誤差：E(s)G1G2HREB_CN＋531.輸入R(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)2.擾動N(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)

令R(s)=03.兩輸入同時作用下，系統(tǒng)總輸出當時，有：

令N(s)=0G1G2HREB_CN＋544.誤差傳遞函數(shù)是指以誤差E(s)作為輸出量的傳遞函數(shù)G1G2HREB_CN＋G1G2HREB_G1＋NG2HB－1E可由Mason公式得到55歸納：輸入R(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù):擾動N(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)

:兩輸入同時作用下，系統(tǒng)總輸出:誤差傳遞函數(shù)：56代入消元，得到微分方程或傳遞函數(shù)本章小結：實際系統(tǒng)分析法方程組繪出結構圖結構圖變換與化簡Mason公式繪出信號流圖Mason公式控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)獲得途徑：由系統(tǒng)各元部件運動方程由結構圖由信號流圖第三章線性系統(tǒng)的時域分析法

數(shù)學模型建立以后，可用多種方法分析系統(tǒng)的性能指標。時域分析法是在典型輸入作用下，直接在時間域分析系統(tǒng)性能的方法。其特點是：直觀、準確；并且可以提供系統(tǒng)時間響應的全部信息。本章主要內(nèi)容包括：1.典型輸入信號及控制系統(tǒng)性能指標2.一階系統(tǒng)的時域分析3.二階系統(tǒng)時域分析4.高階系統(tǒng)時域分析5.線性系統(tǒng)穩(wěn)定性6.穩(wěn)態(tài)誤差計算§3-1系統(tǒng)的時域性能指標數(shù)學模型典型輸入作用下求解微分方程時域響應性能指標3-1-1典型輸入信號

信號名稱時域表達式復域表達式函數(shù)曲線單位階躍函數(shù)r(t)=l(t),t≥0R(s)=1/s單位斜坡函數(shù)r(t)=t,t≥0R(s)=1/s2tr(t)單位加速度函數(shù)r(t)=1/2t2t≥0R(s)=1/s3tr(t)單位脈沖函數(shù)r(t)=δ(t),t=0R(s)=1tr(t)tr(t)正弦函數(shù)r(t)=AsinωtR(s)=Aω/(s2+ω2)tr(t)3-1-2動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程

1.動態(tài)過程

(過渡過程或瞬態(tài)過程)——在典型輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應過程。當r(t)=1(t)時，系統(tǒng)響應可能為：穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)2.穩(wěn)態(tài)過程(穩(wěn)態(tài)響應)——在典型輸入作用下，當t→∞時的系統(tǒng)輸出。它表征系統(tǒng)輸出最終復現(xiàn)輸入量的程度，用穩(wěn)態(tài)性能指標描述。3-1-3性能指標的定義1動態(tài)指標：在階躍輸入作用下，測定或計算系統(tǒng)的動態(tài)性能。th(t)h(∞)th(t)h(∞)⑴上升時間tr：振蕩——第一次上升到終值所需時間；非振蕩——從終值的10%上升到終值的90%所需的時間；tr0.1h(∞)0.9h(∞)tr⑵延遲時間td：第一次達到其終值一半所需的時間；0.5h(∞)td⑶峰值時間tp：超過其終值后，到達第一個峰值所需的時間；tphmax⑷調節(jié)時間ts：到達并保持在[終值±5%終值](或±2%)內(nèi)所需的最短時間。ts誤差帶±2%或±5%ts誤差帶±2%或±5%若h(tp)<h(∞),則響應無超調。實際中，常用tr,ts和σ%。tr(tp)——評價系統(tǒng)起始段的響應速度；σ%——評價系統(tǒng)的阻尼程度；ts——評價系統(tǒng)整個過渡過程的響應速度，是速度和阻尼程度的綜合指標。⑸超調量σ%：2.穩(wěn)態(tài)指標：描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的一種性能指標通常在典型輸入作用下進行測定或計算。單位階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差也稱為余差。th(t)h(∞)tr0.5h(∞)tdtphmaxts誤差帶±2%或±5%顯然，h(tp)=hmax注意：性能指標是就穩(wěn)定系統(tǒng)而言的?！?-2一階系統(tǒng)的時域分析可以用一階微分方程描述的控制系統(tǒng)3-2-1一階系統(tǒng)數(shù)學描述例如，RC電路RCr(t)c(t)其微分方程為：其中：T=RC為時間常數(shù)其傳遞函數(shù)為:——慣性環(huán)節(jié)典型一階系統(tǒng)：傳遞函數(shù)相應于單位反饋系統(tǒng)的結構圖為：R(s)C(s)-等效開環(huán)傳遞函數(shù)為：3-2-2一階系統(tǒng)單位階躍響應

R(s)C(s)-系統(tǒng)輸出：系統(tǒng)輸入：拉氏反變換，得：tc(t)10.632T63.2%2T86.5%3T95.0%4T98.2%5T99.3%階躍響應的特點：3）c(t)的終值為1，即系統(tǒng)在階躍輸入作用下，穩(wěn)態(tài)誤差為零。2）動態(tài)性能與時間常數(shù)T有關，其指標為：1）在t=0時的斜率最大，為：ts=4T(2﹪誤差帶)3-2-3一階系統(tǒng)的單位脈沖響應

系統(tǒng)輸入：L反變換，得：系統(tǒng)輸出：R(s)＝1脈沖響應記作g(t)，即：tc(t)1/T0.368/TT脈沖響應的特點：1）響應曲線的斜率為：

在

t=0時最大：2）c(t)的終值為0，即系統(tǒng)在脈沖輸入作用下，穩(wěn)態(tài)誤差為零。動態(tài)響應過程由T決定0.368=e-1拉氏反變換，得：誤差：一階系統(tǒng)跟蹤單位斜坡信號的穩(wěn)態(tài)誤差為：②可減少系統(tǒng)跟蹤斜坡信號的穩(wěn)態(tài)誤差。3-2-4一階系統(tǒng)的單位斜坡響應

系統(tǒng)輸入：系統(tǒng)輸出：結論：tc(t)r(t)ess減少時間常數(shù)T①可以加快瞬態(tài)響應的速度3-2-5一階系統(tǒng)的單位加速度響應

跟蹤誤差隨時間推移而增大，直至無限大。因此，一階系統(tǒng)不能跟蹤加速度輸入。系統(tǒng)輸入：系統(tǒng)輸出：拉氏反變換，得：誤差：1.

典型輸入信號的響應2.等價關系:3-2-6一階系統(tǒng)時域分析小結

系統(tǒng)對輸入信號導數(shù)的響應，就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應的導數(shù)；系統(tǒng)對輸入信號積分的響應，就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應的積分；注意：積分常數(shù)由零初始條件確定。該結論可推廣至高階系統(tǒng)。3.動態(tài)特性:T↑→響應速度↓，即響應時間↑，反之亦然4.跟蹤能力:階躍輸入：無穩(wěn)態(tài)誤差，即能夠跟蹤階躍信號，跟蹤速度取決于T；斜坡輸入：有位置誤差，且穩(wěn)態(tài)誤差等于時間常數(shù)T；加速度輸入：穩(wěn)態(tài)誤差無窮大，即一階系統(tǒng)不能跟蹤加速度信號。由時間常數(shù)T決定。t1(t)1輸出響應輸入信號圖中4條一階系統(tǒng)階躍響應曲線，時間常數(shù)分別為0.5，1，2，5，圖示兩系統(tǒng)有何異同？R(s)C(s)-R(s)C(s)-思考題1思考題2請標在對應的曲線上?！?-3二階系統(tǒng)的時域分析1.標準二階系統(tǒng)微分方程2.標準二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)——自然頻率（無阻尼自然振蕩頻率）

——阻尼比（相對阻尼系數(shù)）

3.標準二階系統(tǒng)結構圖（單位反饋）R(s)C(s)_開環(huán)傳遞函數(shù)：3-3-1二階系統(tǒng)的數(shù)學描述可用二階系統(tǒng)微分方程描述的控制系統(tǒng)4.非標準二階系統(tǒng)的標準化例如，某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳函為：對照標準二階的開環(huán)傳函：有：5.

標準二階系統(tǒng)的特征方程和特征根特征方程：特征根：顯然，的取值決定特征根在s平面的位置：特征根：實部為負S平面ReIm一對共扼復根兩個相等的實根×﹢兩個不相等的實根××實部為零，即純虛根，即：s1,2=±jωn××實部為正一對共扼復根××××兩個相等的實根×﹢兩個不相等的實根××稱：——欠阻尼——臨界阻尼——過阻尼——無阻尼瞬態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量二階系統(tǒng)單位階躍響應1.欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應

拉氏反變換，得：欠阻尼：單位階躍作用下，其輸出：其中：1tC(t)1包絡線ReIm××s1-σωdωnβcosβ=ζ其中：——衰減系數(shù)——阻尼振蕩頻率

穩(wěn)態(tài)值為1的衰減振蕩過程3-3-2其中：ωn——無阻尼振蕩頻率自然振蕩頻率過渡過程為等幅振蕩過程。此時：s1,2=±jωn無阻尼單位階躍作用下，其輸出：拉氏反變換，得：tC(t)1進一步考慮：

2.臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應

——穩(wěn)態(tài)值為1的無超調的單調上升過程3.過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應

臨界阻尼即：s1=s2=-ωn過阻尼即：其中：——兩個不相等的實根顯然，T1>T2,s1比s2更靠近虛軸。——穩(wěn)態(tài)值為1的無超調的單調上升過程標準二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線（P109）ζ=0ζ=0.1ζ=0.2ζ=1ζ=2標準二階系統(tǒng)的動態(tài)過程分析及計算1.欠阻尼：

(1)（上升時間）

求得

響應速度越快

一定，即一定，ReIm×s1-σωdωnβcosβ=ζtrtC(t)13-3-3注意：式中β以“弧度”記。(2))(峰值時間pttC(t)1cosβsinβtp根據(jù)峰值時間定義，應?。阂欢〞r，

（閉環(huán)極點離負實軸的距離越遠）

思考：二階系統(tǒng)的初始斜率——二階系統(tǒng)的初始斜率為零。(3)（超調量）tC(t)1-sinβ=-進一步整理得：時，時，時，%3.16%=s時，時，%=s4.3%%=s時，1.5%工程常用說明：(4)(調節(jié)時間)令為實際響應與穩(wěn)態(tài)輸出之間的誤差，則有：

tC(t)1包絡線±5%可近似得到：在分析時，常?。涸诜治鰰r，常?。海?）ts與閉環(huán)極點（特征根）到虛軸的距離成反比。離虛軸越遠，ts越小。說明：（2）ts的計算公式是近似公式，從定義上看，ts與ζ的關系曲線是不連續(xù)的。標準二階系統(tǒng)欠阻尼過程性能指標公式匯總：

上升時間:峰值時間:延遲時間:超調量：調節(jié)時間:（5%的誤差帶）（2%的誤差帶）σ%只與ζ有關，ζ越大，超調量越小系統(tǒng)快速性越好一定時，

nw越大，——式中超調量σ用小數(shù)表示。例3.1

系統(tǒng)如圖所示，要求超調量σ%=20%，峰值時間tp=1s，試確定參數(shù)K及τ，并計算單位階躍響應的ts及tr。(P113)R(s)C(s)_解：由由由結構圖，得：有：另外，調節(jié)時間

當

3）調節(jié)時間

2過阻尼

1）上升時間2）延遲時間

3臨界阻尼

這里T1>T2二階系統(tǒng)的單位斜坡響應

系統(tǒng)對斜坡輸入的響應等于該系統(tǒng)對階躍輸入響應的積分：欠阻尼過程：瞬態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量臨界阻尼過程：過阻尼過程：3-3-4對于單位反饋系統(tǒng)，誤差響應為：

e(t)=r(t)-c(t)當時間t趨于無窮時，誤差響應e(t)

的穩(wěn)態(tài)值稱為穩(wěn)態(tài)誤差。實際中，ζ不宜太小，所以要減小ess，就要有足夠大的ωn思考：對于單位階躍響應，穩(wěn)態(tài)誤差？對于單位斜坡響應，其穩(wěn)態(tài)誤差為：分子分母同除Td二階系統(tǒng)性能改善1比例-微分控制（PD控制）R(s)_C(s)其中：Kd=1帶有實零點的標準二階傳函微分作用的引入ωn不變（在Kd不變的情況下）ζ→——提高了阻尼比，對σ%↓有利若Kd↑→ωn

↑微分對系統(tǒng)性能的影響較為復雜，要具體分析，指標計算公式見P107,108注意：輸入端噪聲較強時，不宜使用增加了一個閉環(huán)實零點——通常會使σ%上升R(s)C(s)_KdTds3-3-52測速反饋控制R(s)C(s)_Kts_G(s)對照標準二階的開環(huán)傳函：測速反饋控制不變→ζ——提高了阻尼比σ%↓形式完全相同課后閱讀：P110例3-5——性能比較3PD控制與測速反饋控制比較RC_Kts_PD控制測速反饋控制1）附加阻尼的來源：PD：誤差微分測速：輸出微分2）使用環(huán)境：輸入端噪聲較大時，應采用測速反饋控制。3）對開環(huán)增益K的影響：PD：開環(huán)增益K與比例微分中的Kd成正比測速：等效開環(huán)增益減小，會使斜坡作用下的ess提高。4）對自然振蕩頻率的影響：PD：Kd↑→ωn

↑測速：ωn

不變非零初始條件對系統(tǒng)響應有什么影響？思考：——影響初始相角和幅值，但不影響解的振型（運動形態(tài)）。RC_TdsKd本節(jié)小結：二階系統(tǒng)分析數(shù)學描述標準二階系統(tǒng)微分方程標準二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)標準二階系統(tǒng)結構圖非標準二階系統(tǒng)的標準化標準二階系統(tǒng)的特征方程和特征根單位階躍響應：欠阻尼、臨界阻尼、過阻尼性能分析及計算：欠阻尼（tr,tp,ts,σ%）臨界阻尼（ts）過阻尼（ts）單位斜坡響應：——是單位階躍響應的積分二階系統(tǒng)性能改善PD控制測速反饋控制3-4高階系統(tǒng)的時域分析

高階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式為：其中：-zi

—i=1,2,…,m

閉環(huán)實數(shù)零點-pj

—j=1,2,…,q

閉環(huán)實數(shù)極點Ζk和ωnk

—k=1,2,…,r

決定閉環(huán)r對共軛復數(shù)極點q+2r=n3-4-1高階系統(tǒng)數(shù)學描述描述振蕩過渡過程描述非振蕩過渡過程1）高階系統(tǒng)時域響應可以看成一階、二階系統(tǒng)的響應的疊加2）特征根實部為正，相應分量的過渡過程為發(fā)散的（不穩(wěn)定的）3）特征根實部為負，相應分量的過渡過程為收斂的（穩(wěn)定的）4）衰減或發(fā)散的速度取決于根的實部的值。

3-4-2動態(tài)過程分析當已知高階系統(tǒng)的各個閉環(huán)極點后，可以將其化為部分分式和的形式：設某三階系統(tǒng)單位階躍作用下的輸出為：結論：實部為負的極點，越靠近虛軸，衰減速度越慢，對過渡過程的影響越大；越遠離虛軸，衰減速度越快，對過渡過程的影響越小。s2s3s1s2s3s1閉環(huán)極點位置對系統(tǒng)的影響靠近虛軸，且附近沒有閉環(huán)零點，而其它閉環(huán)極點與虛軸的距離都比該極點與虛軸距離大5倍以上的閉環(huán)極點稱為高階系統(tǒng)的閉環(huán)主導極點。其中：對上式進行反L變換：上式考慮了閉環(huán)零點及非主導極點對過程的影響，與欠阻尼二階系統(tǒng)不完全一樣。3-4-3閉環(huán)主導極點定義：工程上往往要求高階系統(tǒng)有一對共軛復數(shù)的主導極點。應用主導極點的概念，可得高階系統(tǒng)單位階躍響應的近似表達式：設這對共軛復數(shù)主導極點為：±jωdS=0(通常K0=1);K1和K2可用待定系數(shù)法求得注意：§3-5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

如果在擾動消失后，系統(tǒng)仍能自動恢復到原平衡狀態(tài)，稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠正常運行的首要條件。對系統(tǒng)進行各類品質指標的分析也必須在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下進行。系統(tǒng)穩(wěn)定limt→∞暫態(tài)分量=03-5-1線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件回憶：標準一階：Tteth--=1)(標準二階：欠阻尼:臨界阻尼:過阻尼:高階呢？系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)的全部特征根都具有負實部系統(tǒng)的全部特征根都位于[s]的左半平面當特征根位于虛軸——

臨界穩(wěn)定狀態(tài)在經(jīng)典控制理論中，臨界穩(wěn)定也歸為不穩(wěn)定。ReIm[s]穩(wěn)定區(qū)臨界穩(wěn)定不穩(wěn)定區(qū)只要求出系統(tǒng)的全部特征根，便可確定其穩(wěn)定性。設n階系統(tǒng)特征方程為：穩(wěn)定的必要條件：不失一般性3-5-2控制系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件3-5-3勞斯穩(wěn)定判據(jù)設n階線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：1勞斯表（勞斯陣列）逐行計算下去算法：注意：n階系統(tǒng)的勞斯表共有n+1行2勞斯穩(wěn)定判據(jù)對于特征方程：我們可以算出其勞斯表勞斯穩(wěn)定判據(jù)的結論是：系統(tǒng)穩(wěn)定勞斯表的第一列系數(shù)全部大于零而且：勞斯表中第一列元素符號改變的次數(shù)就等于正實部根的個數(shù)。這里：正實部根的個數(shù)就是S右半平面根的個數(shù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)說明了兩方面的問題：（1）給出了系統(tǒng)穩(wěn)定的判斷方法（2）給出了不穩(wěn)定情況下判斷右根個數(shù)的方法例3-5-1已知系統(tǒng)特征方程：試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷其穩(wěn)定性。解：首先我們看到：特征方程中各項系數(shù)>0滿足穩(wěn)定的必要條件列勞斯表:17182110?15?10?49/3?10規(guī)律?說明：在計算勞斯表的過程中，某行同乘或同除一個正數(shù)，結果不變。穩(wěn)定性?——穩(wěn)定已知系統(tǒng)特征方程：試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷其穩(wěn)定性。解：特征方程中各項系數(shù)>0——滿足穩(wěn)定的必要條件列勞斯表：第一列元素符號變化兩次，1215-35由“+”到“－”符號變化1次由“－”到“+”符號變化1次例3-5-2有2個特征根在右半平面。系統(tǒng)不穩(wěn)定24135P119例3-7已知系統(tǒng)特征方程：試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷其穩(wěn)定性。解：特征方程中各項系數(shù)>0——滿足穩(wěn)定的必要條件列勞斯表：例3-5-31310150？26首先應該肯定的是：此種情形下系統(tǒng)不穩(wěn)定。若想進而判斷導致系統(tǒng)不穩(wěn)定的根的位置，則應采取特殊方法。情形1：勞斯表中某行第一個元素等于零，而該行不全為零處理方法：以很小的正數(shù)ε代替零項，繼續(xù)計算勞斯表。再令：ε→0，檢驗勞斯表第一列元素符號的變化，符號變化次數(shù)為正實部根的個數(shù)——系統(tǒng)不穩(wěn)定情形2：勞斯表中出現(xiàn)了全為零的行處理方法：1）用全零行的上一行各元素構造輔助多項式；2）對輔助多項式求導，用其系數(shù)代替全零行，繼續(xù)算完勞斯表；3）檢驗勞斯表第一列元素符號的變化，符號變化次數(shù)為正實部根的個數(shù)——系統(tǒng)不穩(wěn)定勞斯表的第一列中出現(xiàn)了零元素，則勞斯表沒法算完，怎么辦？若想進一步了解導致系統(tǒng)不穩(wěn)定的根的情況，可以求解輔助方程，輔助方程的根也是系統(tǒng)的特征根。再看例3-5-3已知系統(tǒng)特征方程：試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷其穩(wěn)定性。解：特征方程中各項系數(shù)>0——滿足穩(wěn)定的必要條件列勞斯表：131015026ε2.5——屬情形11515令ε→0：－∞2.5由“+”到“－”符號變化1次由“－”到“+”符號變化1次第一列元素符號變化兩次，有2個特征根在右半平面。系統(tǒng)不穩(wěn)定，例3-5-4已知系統(tǒng)特征方程，試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷其穩(wěn)定性。解：特征方程中各項系數(shù)>0——滿足穩(wěn)定的必要條件列勞斯表：11241724163683272001494829-109第一列元素符號變化兩次，有2個特征根在右半平面。由輔助方程F(s)=0容易得到：即：在右半平面有一對共扼復根已知系統(tǒng)特征方程，試確定不穩(wěn)定特征根。解：1-2-7-41-3-41-3-4004-6-1.5-4-25/1.5-4例3-5-5即：在右半平面有一正實根，虛軸上，有一對共扼虛根。判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性確定給定系統(tǒng)參數(shù)范圍——給定穩(wěn)定度問題相對穩(wěn)定性問題例3-5-6系統(tǒng)如圖，其中：ζ=0.2，ωn=86.61）確定滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的K1。2)如果要求閉環(huán)極點位于s=-1垂線之左，K1=?R(s)C(s)_K1/s1解：1）確定K1閉環(huán)傳遞函數(shù)：3-5-4勞斯穩(wěn)定判據(jù)的應用(P122例3-9)閉環(huán)特征方程：勞斯表：1750034.67500K1

7500K1

根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：34.6-K1>0K1>0∴0<K1<34.60勞斯表：17433.831.67500K1-7466.47500K1–7466.4根據(jù)穩(wěn)定充要條件：∴1<K1<32.3[s]-1[s1]即令：s=s1-1，代入閉環(huán)特征方程，得：2）如果要求閉環(huán)極點位于s=-1垂線之左，K1=?把縱軸平移1.穩(wěn)定的概念從數(shù)學上講:從實際意義上講：2.穩(wěn)定的充要條件:系統(tǒng)的全部特征根都具有負實部系統(tǒng)的全部特征根都位于[s]的左半平面3.穩(wěn)定的必要條件:4.勞斯判據(jù):(1)計算勞斯表(2)計算過程中，一旦發(fā)現(xiàn)第一列元素為零或小于零，即可判斷系統(tǒng)不穩(wěn)定(3)對于第一列元素出現(xiàn)零的情況，如需進一步判斷根的位置，可先行處理，在把勞斯表算完后判斷。6.兩個實用的結論：本節(jié)小結:limt→∞暫態(tài)分量=0受擾后仍能恢復到原平衡狀態(tài)。G(s)H(s)_R(s)C(s)1/H(s)E’(s)R’(s)G(s)_R(s)C(s)H(s)E(s)1兩種誤差的定義定義1：從輸入端定義誤差：E(s)=R(s)-H(s)C(s)（給定-反饋）定義2：從輸出端定義誤差：E’(s)=R’(s)-C(s)（希望的輸出-實際輸出）應指出：E(s)是有實際意義的，而E’(s)只有數(shù)學意義。2兩種誤差的關系對單位反饋系統(tǒng)，有：3-6-1誤差定義§3-6線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計算3誤差傳遞函數(shù)及穩(wěn)態(tài)誤差計算G(s)_R(s)C(s)H(s)E(s)注意：L變換終值定理應用條件：sE(s)在虛軸和[s]的右半平面解析。即：sE(s)的全部極點都位于[s]的左半平面。瞬態(tài)分量穩(wěn)態(tài)誤差對于穩(wěn)定系統(tǒng)，有：顯然，利用L變換終值定理只能求出誤差終值，無法獲得ess(t)(p124例3-10)某單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=1/Ts，輸入信號r(t)=1(t)，t，t2/2以及r(t)=sinωt（t>0），求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差ess解：1)滿足終值定理的應用條件，2)1/Ts_R(s)C(s)E(s)標準一階系統(tǒng)例3-6-1滿足終值定理的應用條件，3)4)不滿足終值定理的應用條件，不能求終值。不滿足終值定理的應用條件，但用終值定理所得結論也是正確的。設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：其中：K為開環(huán)增益；Τi和τj為時間常數(shù)；為開環(huán)傳函中包含的積分環(huán)節(jié)個數(shù)（即原點處開環(huán)極點的個數(shù)）3-6-2系統(tǒng)類型此時，定義：開環(huán)傳遞函數(shù)包含積分環(huán)節(jié)的個數(shù)稱為系統(tǒng)的型別（類型）

——零型系統(tǒng)；

——Ⅰ型系統(tǒng)；

——Ⅱ型系統(tǒng)

s→0G(s)_R(s)C(s)H(s)E(s)3-6-3典型輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)誤差系數(shù)1階躍輸入Kp定義為靜態(tài)位置誤差系數(shù)。結論：0型系統(tǒng)能跟蹤階躍輸入但有位置誤差;Ⅰ型及以上系統(tǒng)能完全跟蹤階躍輸入.考慮到：2.斜坡輸入Kv定義為靜態(tài)速度誤差系數(shù)。

考慮到：0型系統(tǒng)不能跟蹤斜坡輸入；Ⅰ型系統(tǒng)能跟蹤斜坡輸入，但有穩(wěn)態(tài)誤差；Ⅱ型及以上系統(tǒng)，能準確跟蹤斜坡輸入信號，無穩(wěn)態(tài)誤差結論：3.加速度輸入Ka定義為靜態(tài)加速度誤差系數(shù)。

0,Ⅰ型系統(tǒng)不能跟蹤加速度輸入；Ⅱ型系統(tǒng)能跟蹤加速度輸入，但有穩(wěn)態(tài)誤差；Ⅲ型及以上系統(tǒng)，能準確跟蹤加速度輸入，無穩(wěn)態(tài)誤差；結論：考慮到：表3-1典型輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)型別(ν)0ⅠⅡ靜態(tài)誤差系數(shù)典型輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差K∞∞0K∞00K00∞0∞∞①系統(tǒng)型別越高，跟蹤信號能力↑但穩(wěn)定性↓，動態(tài)性能↓；②靜態(tài)誤差系數(shù)定量描述系統(tǒng)對各種典型輸入的跟蹤能力，在設計時，在輸入形式及容許誤差確定后，可根據(jù)靜態(tài)誤差系數(shù)確定系統(tǒng)型別和開環(huán)增益K。注：(p129例3-12)系統(tǒng)如圖。計算r(t)=1(t)，t，t2/2時系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。R(s)C(s)_50.8s_1s(5s+1)E(s)解：開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)即本系統(tǒng)為K=1的Ⅰ型系統(tǒng)，其靜態(tài)誤差系數(shù)及穩(wěn)態(tài)誤差為：例3-6-23-6-5控制系統(tǒng)在擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差R(s)C(s)_++G1(s)G2(s)H(s)N(s)考慮系統(tǒng)結構圖為：R(s)=0,系統(tǒng)的理想輸出為零,于是，L-1變換其中：為穩(wěn)態(tài)分量，——定義為擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為暫態(tài)分量，對于穩(wěn)定系統(tǒng)當t→∞時，同樣，===可見，控制系統(tǒng)在擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與在輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差相比，除誤差傳函不同外，計算方法完全相同?？捎枚x求，可用終值定理求，只要把誤差傳函換一換即可。需要注意的是，擾動作用下“型”的概念與輸入作用下“型”的概念是不同的。不能再在開環(huán)傳函上看積分環(huán)節(jié)的個數(shù)，而應從擾動作用下的誤差傳函上來確定擾動作用下“型”，以便判斷擾動作用下的誤差是0？是常數(shù)？還是∞？若為常數(shù)，其具體數(shù)值要用終值定理確定。例3-6-4R(s)C(s)_++K110

(0.1s+1)(0.2s+1)(0.5s+1)N(s)n(t)=1(t)，試問是否可以選擇合適的K1值，使系統(tǒng)在擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差值為enss=-0.1。解：

欲使：例3-6-4（補）?此時特征方程：10000不穩(wěn)定欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，此時，即：不能選擇合適的K1值，使enss=-0.1。例3-6-5(P147例3-13）K1R(s)N(s)C(s)－＋r(t)=R0·1(t)n(t)=n0·1(t)求兩個信號同時作用下，系統(tǒng)的總誤差。解：1）r(t)作用：2)n(t)作用：s→03)總誤差為：（1）增大增益（2）提高“型”3-3-6減少或消除穩(wěn)態(tài)誤差的措施需注意：這兩種措施都容易導致系統(tǒng)不穩(wěn)定，要小心。（3）采用串級控制抑制內(nèi)回路擾動

R(s)C(s)_++Gc2(s)G2(s)H2(s)N(s)G1(s)Gc1(s)H1(s)_（4）采用復合控制（P259,261）

R(s)C(s)_+Gr(s)G

(s)E(s)R(s)C(s)_+G1(s)Gn(s)H(s)N(s)G2(s)+按擾動補償（只要Gn=－1/G1）按輸入補償（只要Gr=1/G）本節(jié)小結（1）1基本概念：E(s)=R(s)-H(s)C(s)1）誤差：2）穩(wěn)態(tài)誤差（終值）3)“型”的確定：輸入作用下的型與擾動作用下的型是不同的。各自如何確定？4）開環(huán)增益：s→05）靜態(tài)誤差系數(shù)：叫做？——靜態(tài)速度誤差系數(shù)——靜態(tài)位置誤差系數(shù)——靜態(tài)加速度誤差系數(shù)本節(jié)小結（2）2穩(wěn)態(tài)誤差的計算：1）用終值定理計算2）用型和開環(huán)增益的概念快速計算ess——表3-1======僅限于r(t)或n(t)為1(t)、t、t2……或其線性組合的形式。

特別注意當外作用信號為sinωt時不能應用終值定理?！罨镜挠嬎惴椒ㄌ攸c：方便、實用1948年，伊文思(w．R．Evans)，提出了根軌跡法——第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法本章主要內(nèi)容包括：基本概念根軌跡圖的繪制根軌跡圖分析180°根軌跡的繪制0°根軌跡的繪制參量根軌跡的繪制這是一種由開環(huán)傳遞函數(shù)間接判斷閉環(huán)特征根的概略圖解法，從而避免了直接求解系統(tǒng)閉環(huán)特征根的困難。從第三章的學習我們知道：系統(tǒng)的動態(tài)特性和穩(wěn)定性主要取決于系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根的分布。但是，求解高階系統(tǒng)的特征根非常困難。問題的引入：§4-1根軌跡法的基本概念例4.1已知某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試分析K*從0→∞時特征根的變化情況。解：此系統(tǒng)的特征方程式可寫為：解得：時，分析：時，=ReIm-1-2××××s1與s2為兩個不相等的實根；圖中箭頭所指為K*增大的方向。根軌跡圖一、根軌跡的定義1.穩(wěn)定性：當參數(shù)變化時，若根軌跡是否進入S平面的右半平面？參數(shù)為何值時進入？當所有根軌跡分支都在左半平面時，系統(tǒng)穩(wěn)定。2.穩(wěn)態(tài)性能：回憶：穩(wěn)態(tài)性能主要取決于系統(tǒng)的開環(huán)增益和積分環(huán)節(jié)個數(shù)。由根軌跡圖不僅可以方便的確定開環(huán)增益和積分環(huán)節(jié)個數(shù)，而且可以根據(jù)給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求,確定閉環(huán)極點位置的容許范圍。3.動態(tài)性能：回憶：動態(tài)性能形態(tài)主要取決于系統(tǒng)的——閉環(huán)極點

從根軌跡圖上，可以直觀地看到特征根隨著參數(shù)的變化情況，從而，可以方便地確定動態(tài)性能隨著參數(shù)的變化情況。定義：當開環(huán)系統(tǒng)的某一參數(shù)從零到無窮變化時，閉環(huán)特征根在s平面上形成的軌跡，叫做根軌跡。二、根軌跡與系統(tǒng)性能常規(guī)根軌跡——增益(K*)變化所對應的軌跡廣義根軌跡——其它參數(shù)變化所對應的軌跡對于右圖，特征方程為：設開環(huán)傳函為標準形式，即：則特征方程為：——根軌跡方程之一注意應用條件負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳函為標準形式思考：若正反饋?——根軌跡方程之二注意應用條件正反饋系統(tǒng)開環(huán)傳函為標準形式則特征方程為：三、根軌跡方程由根軌跡方程一可推知：模值條件相角條件同理，由根軌跡方程二可推知：模值條件相角條件180°根軌跡0°根軌跡四、繪制根軌跡的兩個基本條件對照比較這兩組方程，可以發(fā)現(xiàn)：模值條件相同，但相角條件不同。1.

判斷根軌跡是0°根軌跡還是180°根軌跡，不能僅看反饋極性，還要看G(s)H(s)是否為標準形式。當G(s)H(s)不是標準形式時，應先整理特征方程。相角條件是繪制根軌跡的充要條件，模值條件通常用于求給定點對應的增益。說明：作業(yè)（補充題）：已知某負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試用相角條件繪出K*從0→∞變化時的根軌跡。2.根軌跡的連續(xù)性和對稱性§4.2180°根軌跡圖的繪制適用條件：且從變化。特征方程可整理為根軌跡的分支數(shù)整理特征方程可得：+=0分支數(shù)——即根軌跡的條數(shù)，取決于特征方程的階次，即特征根的個數(shù)。規(guī)則1:根軌跡的分支數(shù)=Max(n,m),通常情況下為開環(huán)極點個數(shù)n規(guī)則2:根軌跡的每一條分支都是連續(xù)的；根軌跡對稱于實軸。另一方面，特征根的值或為實數(shù)，或為共軛復數(shù)——根軌跡對稱于實軸首先，當參量K*有一微小的增量時，其特征根也會有一個微小的增量；——根軌跡是連續(xù)的起點：時,特征根終點：特征根時,整理特征方程可得：根軌跡起始于開環(huán)極點

根軌跡終止于開環(huán)零點

分兩種情況分析：當n>m時,終點數(shù)目不夠，其余終點位于s∞處。當m>n時,起點數(shù)目不夠，其余起點位于s∞處。規(guī)則3:根軌跡起始于n個開環(huán)極點，終止于m個開環(huán)零點，當時,用補充，即:當n>m時,另n-m條根軌跡終止于∞處當m>n時,另m-n條根軌跡起始于∞處3.根軌跡的起點和終點漸近線給定了趨于（或始于）無窮遠處的根軌跡的方向。規(guī)則4：

當n>m時，有n-m條根軌跡趨于無窮遠處,即有n-m條漸近線,它們交實軸于,與實軸正方向之夾角為。且:其中：觀察：當n-m=1時，當n-m

=2時，當n-m

=3時，當n-m

=4時，思考：n-m為不同數(shù)值時，漸近線與復平面有什么關系？規(guī)律是：漸近線把復平面等分為n-m份。思考：當n<m

時，又如何呢？只要把n-m換成m-n就可以了。4.根軌跡的漸近線

已知某負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:概略繪制K*從0→∞變化時的根軌跡。解：首先判斷其屬于1800根軌跡。①與標準形式比較，得:m=0n=3:p1=0,p2=-1,p3=-2把開環(huán)零點和開環(huán)極點標在s平面上，零點用“o”;極點用“×”。ReIm×××0-1-2②求漸近線：顯然，n-m=3下面的問題是：從三個開環(huán)極點出發(fā)的根軌跡如何趨向于三條漸近線？我們來看下面的規(guī)則。︱︱︱––––-312-1-2例4.2回憶相角條件：設：s1是實軸上的一點，顯然，若s1滿足相角條件，則該點是根軌跡上的點。分兩種情況進行分析：⑴我們以為例，⑵s1+=00結論：當s1是實軸上的點時，只有其右邊的開環(huán)實極點和開環(huán)實零點對應的角度為1800，其余全為零。5.實軸上的根軌跡設系統(tǒng)有m1個開環(huán)零點、n1個開環(huán)極點在s1的右邊，=m11800=n11800代入相角條件，得：—=m11800_n11800即：如果s1是根軌跡上的點，則：m1_n1應為奇數(shù)m1+

n1應為奇數(shù)歸納總結，得：規(guī)則5：實軸上的開環(huán)零、極點把實軸分為若干個區(qū)段，若某段右邊的開環(huán)零、極點數(shù)目之和為奇數(shù)，則該段就是根軌跡；否則不是?！痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢餜eIm×××-1-20︱︱︱––––-312-1-2③實軸上的根軌跡：

已知某負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:概略繪制K*從0→∞變化時的根