實(shí)驗(yàn)八弧長(zhǎng)曲線積分

實(shí)驗(yàn)八對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分及其MATLAB計(jì)算一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶W(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中有關(guān)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義和計(jì)算方法，掌握利用MATLAB軟件進(jìn)行曲線積分的計(jì)算。二、相關(guān)知識(shí)曲線積分是工程計(jì)算中需要用到的一個(gè)重要內(nèi)容，典型的用途可以是曲線形構(gòu)件質(zhì)量的計(jì)算，重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算，曲線長(zhǎng)度的計(jì)算等等。例1計(jì)算曲線形構(gòu)件質(zhì)量。在設(shè)計(jì)曲線形構(gòu)件時(shí)，為了合理使用材料，應(yīng)該根據(jù)構(gòu)件各部分的受力情況，把構(gòu)件上各點(diǎn)處的粗細(xì)設(shè)計(jì)得不完全一樣。因此，可以認(rèn)為這個(gè)構(gòu)件的線密度（單位長(zhǎng)度的質(zhì)量）是變量。假設(shè)這構(gòu)件所處的位置在xOy面內(nèi)的一段曲線弧L上，它的端點(diǎn)是A，B，在L上任一點(diǎn)(x,y)處，它的線密度為現(xiàn)在要計(jì)算這構(gòu)件的質(zhì)量m。二、相關(guān)知識(shí)如果構(gòu)件的線密度為常量，那么這構(gòu)件的質(zhì)量就等于它的線密度與長(zhǎng)度的乘積。但現(xiàn)在構(gòu)件上各點(diǎn)處的線密度是變量，就不能直接用上述方法來(lái)計(jì)算。為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們將曲線L分成若干個(gè)小段，即用L上的點(diǎn)把分成若干個(gè)小段，取其中一小段構(gòu)件來(lái)分析，在線密度連續(xù)的前提下，只要這小段很短，就可以用這小段上任意一點(diǎn)處的線密度來(lái)代替這小段上其他各點(diǎn)處的線密度，從而得到這小段構(gòu)件的質(zhì)量的近似值為：二、相關(guān)知識(shí)其中表示的長(zhǎng)度，于是整個(gè)曲線構(gòu)件的質(zhì)量為

用λ表示n個(gè)小弧段的最大長(zhǎng)度。為了計(jì)算m的精確值，取上式右端的和式當(dāng)時(shí)的極限，從而得到這種形式的極限，我們?cè)谘芯科渌麊?wèn)題時(shí)也會(huì)遇到，為了一般地研究這類問(wèn)題，我們給出這樣一類和式極限的定義。圖8.1二、相關(guān)知識(shí)定義：設(shè)L為xOy平面內(nèi)的一條光滑曲線弧，函數(shù)在L上有界，在L上任意插入一系列的點(diǎn)，則這些點(diǎn)把L分成n個(gè)小段。設(shè)第i個(gè)小段的長(zhǎng)度為，又為第i個(gè)小段上任意取定的一點(diǎn)，作乘積，并作和，如果當(dāng)各小弧段的長(zhǎng)度的最大值時(shí)，這和的極限總存在，則稱此極限為函數(shù)在曲線弧L上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分或第一類曲線積分，記作，即其中叫做被積函數(shù)，L叫做積分弧段。二、相關(guān)知識(shí)根據(jù)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義可知，這種積分有以下性質(zhì)：性質(zhì)1

設(shè)α，β為常數(shù)，則性質(zhì)2

若積分弧段L可分成兩段光滑曲線弧段L1和L2，則有性質(zhì)3

設(shè)L在上，則特別地有：二、相關(guān)知識(shí)在這個(gè)定義的基礎(chǔ)上，我們給出如下的計(jì)算方法：設(shè)在曲線弧上有定義且連續(xù)，L的參數(shù)方程為

()其中、在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則曲線積分存在，且

根據(jù)這個(gè)公式，我們把一個(gè)計(jì)算曲線積分的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了一個(gè)計(jì)算定積分的問(wèn)題，從而就可以利用MATLAB的函數(shù)int來(lái)計(jì)算積分。二、相關(guān)知識(shí)如果曲線弧L的方程由方程給出，則可以看成是特殊的參數(shù)方程

()的情形，這時(shí)公式成為：

()類似地，如果曲線弧L的方程由方程給出，則可以看成是特殊的參數(shù)方程

()的情形，這時(shí)公式成為：

()二、相關(guān)知識(shí)同時(shí)，這個(gè)計(jì)算公式可以推廣到空間曲線弧Γ由參數(shù)方程

()

給出的情形，這時(shí)有：

()我們通過(guò)具體的例子來(lái)說(shuō)明曲線積分的計(jì)算。

二、相關(guān)知識(shí)例1計(jì)算，其中L是拋物線上點(diǎn)O(0,0)與點(diǎn)B(1,1)之間的一段弧，圖8.2。解：由于L的方程給出，因此可以將x看成參數(shù)，因此得到：

=這時(shí)就可以用MATLAB程序：clearsymsxI=int(x*sqrt(1+4*x*x),x,0,1)結(jié)果為：5/12*5^(1/2)-1/12

圖8.2二、相關(guān)知識(shí)例2計(jì)算半徑為R、中心角為2α的圓弧L對(duì)于它的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J(設(shè)線密度μ=1)解：取坐標(biāo)系如圖8.3，則為了便于計(jì)算，利用L的參數(shù)方程

()于是

圖8.3二、相關(guān)知識(shí)利用MATLAB軟件，編寫(xiě)程序clearsymssitaR=1alfa=1.2J=R^3*int(sin(sita)*sin(sita),sita,-alfa,alfa)其結(jié)果為：-cos(6/5)*sin(6/5)+6/5二、相關(guān)知識(shí)例3計(jì)算曲線積分，其中Γ為螺旋線，，相應(yīng)于t從0到2π的一段弧。解：二、相關(guān)知識(shí)利用MATLAB軟件，編寫(xiě)程序clearsymsta=1K=1J=int((a^2+k^2*t^2)*sqrt(a^2+k^2),0,2*pi)其結(jié)果為：8/3*2^(1/2)*pi^3+2*2^(1/2)*pi二、相關(guān)知識(shí)例4求，其中L是由直線x=0，y=0，x=4和y=2所構(gòu)成的矩形回路。解：根據(jù)性質(zhì)2，積分可以分為4個(gè)部分I1，I2，I3，I4，分別為被積函數(shù)在曲線弧段L1，L2，L3，L4上的積分。即：則顯然有：二、相關(guān)知識(shí)到這里，我們就可以應(yīng)用MATLAB了，編制程序如下：clearsymsxyI3=int(4*y*exp(4*y),y,0,2)I4=int(2*x*exp(2*x),x,0,4)I=I3+I4其結(jié)果為：21/4*exp(8)+3/4三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1．計(jì)算曲線積分，其中C是的一段。2．計(jì)算曲線積分，其中L為擺線的一拱，；3．計(jì)算曲線積分，其中L為螺線，；4．計(jì)算曲線積分，其中L是圓周；提示：先將圓周的方程化為參數(shù)方程。Clear？？？symsxyI3=int(4*y*exp(4*y),y,0,2)I4=int(2*x*exp(2*x),x,0,4)