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【課標(biāo)要求】
1.理解等比數(shù)列的性質(zhì)并能應(yīng)用.2.了解等比數(shù)列同指數(shù)函數(shù)間的關(guān)系.3.會(huì)用等比數(shù)列的性質(zhì)解題.【核心掃描】
1.等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用.(重點(diǎn))2.等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用.(重點(diǎn))3.與函數(shù)、方程、不等式等結(jié)合命題.(難點(diǎn))第2課時(shí)
等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用等比數(shù)列的項(xiàng)與序號(hào)的關(guān)系以及性質(zhì)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.(1)兩項(xiàng)關(guān)系:an=_______(m,n∈N*).(2)多項(xiàng)關(guān)系:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則aman=____.(3)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差數(shù)列時(shí),am,an,ap成等比數(shù)列.等比數(shù)列的項(xiàng)的對(duì)稱性有窮等比數(shù)列中,與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于首末兩自學(xué)導(dǎo)引1.2.a(chǎn)mqn-mapaqan-1an-k+1等比數(shù)列的“子數(shù)列”的性質(zhì)若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,則(1){an}去掉前幾項(xiàng)后余下的項(xiàng)仍組成公比為__的等比數(shù)列;(2)奇數(shù)項(xiàng)數(shù)列{a2n-1}是公比為__的等比數(shù)列;偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列{a2n}是公比為__的等比數(shù)列;(3)在數(shù)列{an}中每隔k(k∈N*)取出一項(xiàng),按原來順序組成新數(shù)列,則新數(shù)列仍為等比數(shù)列且公比為qk+1.3.qq2q2:如果等比數(shù)列{an}中,m+n=2k(m,n,k∈N*),那么am·an=ak2是否成立?反之呢?提示:如果等比數(shù)列的三項(xiàng)的序號(hào)成等差數(shù)列,那么對(duì)應(yīng)的項(xiàng)成等比數(shù)列.事實(shí)上,若m+n=2k(m,n,k∈N*),則am·an=(a1·qm-1)·(a1·qn-1)=a12·qm+n-2=a12(qk-1)2=ak2.在等比數(shù)列{an}中,若am·an=ap·aq=ak2,不一定有m+n=p+q=2k,如非零常數(shù)列.等比數(shù)列的單調(diào)性(1)當(dāng)q>1,a1>0或0<q<1,a1<0時(shí),等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.(2)當(dāng)q>1,a1<0或0<q<1,a1>0時(shí),等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列.(3)當(dāng)q=1時(shí),等比數(shù)列{an}是常數(shù)列.(4)當(dāng)q<0時(shí),等比數(shù)列{an}是擺動(dòng)數(shù)列.等比數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)(1)若{an}是公比為q的等比數(shù)列,則①{c·an}(c是非零常數(shù))是公比為q的等比數(shù)列;②{|an|}是公比為|q|的等比數(shù)列;名師點(diǎn)睛1.2.④{anm}(m是整數(shù)常數(shù))是公比為qm的等比數(shù)列.特別地,若數(shù)列{an}是正項(xiàng)等比數(shù)列時(shí),數(shù)列{anm}(m是實(shí)數(shù)常數(shù))是公比為qm的等比數(shù)列.(2)若{an},{bn}分別是公比為q1,q2的等比數(shù)列,則數(shù)列{an·bn}是公比為q1q2的等比數(shù)列.(3)數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列時(shí),數(shù)列{lgan}是公差為lgq的等差數(shù)列.
題型一等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列.(1)若an>0,且a2a4+2a3a5+a4a6=36,求a3+a5的值;(2)若a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.[思路探索]應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì):a2a4=a32,a4a6=a52,a1a3=a22,化簡(jiǎn)已知,可求解.解
(1)法一∵an>0,∴a1>0,q>0.又∵a2a4+2a3a5+a4a6=36,∴a1q·a1q3+2a1q2·a1q4+a1q3·a1q5=36,即a12q4+2a12q6+a12q8=36,【例1】∴a12q4(1+2q2+q4)=36,即a12q4(1+q2)2=36,∴a1q2(1+q2)=6,∴a3+a5=a1q2+a1q4=a1q2(1+q2)=6.法二∵a2a4+2a3a5+a4a6=36,∴a32+2a3a5+a52=36,∴(a3+a5)2=36,∴a3+a5=6.(2)∵a22=a1a3代入已知,得a23=8,∴a2=2.在等比數(shù)列的有關(guān)運(yùn)算中,常常涉及到次數(shù)較高的指數(shù)運(yùn)算.若按常規(guī)解法,往往是建立a1,q的方程組,這樣解起來很麻煩,通過本例可以看出:結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行整體變換,會(huì)起到化繁為簡(jiǎn)的效果.在遞增等比數(shù)列{an}中,a1a9=64,a3+a7=20,求a11的值.解在等比數(shù)列{an}中,∵a1·a9=a3·a7,∴由已知可得:a3·a7=64與a3+a7=20聯(lián)立得:∵{an}是遞增等比數(shù)列,∴a7>a3.∴取a3=4,a7=16,∴16=4q4,∴q4=4.∴a11=a7·q4=16×4=64.【變式1】有四個(gè)數(shù),其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16,第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12,求這四個(gè)數(shù).[思路探索]根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì),設(shè)出未知數(shù),結(jié)合題中條件求解即可.題型二
等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用【例2】所以,當(dāng)a=4,d=4時(shí),所求四個(gè)數(shù)為0,4,8,16;當(dāng)a=9,d=-6時(shí),所求四個(gè)數(shù)為15,9,3,1.故所求四個(gè)數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.當(dāng)a=8,q=2時(shí),所求四個(gè)數(shù)為0,4,8,16;故所求四個(gè)數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,其積為512,如果第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)各減去2,則這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,求這三個(gè)數(shù).【變式2】某市2010年新建住房400萬(wàn)平方米,其中250萬(wàn)平方米是中低價(jià)房,預(yù)計(jì)今年后的若干年內(nèi),該市每年新建住房面積平均比上一年增長(zhǎng)8%.另外,每年新建住房中,中低價(jià)房的面積比上一年增加50萬(wàn)平方米,那么到哪一年底(1)該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積(以2010年為累計(jì)的第一年)將首次不少于4750萬(wàn)平方米?(2)當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.審題指導(dǎo)
本題主要考查構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題,通過閱讀之后,找出題目中的相關(guān)信息,構(gòu)造等差數(shù)列和等比數(shù)列.題型三
等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用【例3】[規(guī)范解答](1)設(shè)中低價(jià)房面積構(gòu)成數(shù)列{an},由題意可知,{an}是等差數(shù)列,其中a1=250,d=50, (2分)令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,解得n≤-19或n≥10,而n是正整數(shù).∴n≥10. (4分)故到2019年年底,該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于4750萬(wàn)平方米. (6分)(2)設(shè)新建住房面積構(gòu)成數(shù)列{bn},由題意可知,{bn}是等比數(shù)列,其中b1=400,q=1.08,則bn=400×(1.08)n-1, (8分)由題意可知an>0.85bn,即250+(n-1)×50>400×(1.08)n-1×0.85滿足上述不等式的最小正整數(shù)n=6. (10分)故到2015年年底,當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%. (12分)【題后反思】本題將實(shí)際問題抽象出一個(gè)數(shù)列問題,解決數(shù)列應(yīng)用題的關(guān)鍵是讀懂題意,建立數(shù)學(xué)模型,弄清問題的哪一部分是數(shù)列問題,是哪種數(shù)列.在求解過程中應(yīng)注意首項(xiàng)的確立,時(shí)間的推算.不要在運(yùn)算中出現(xiàn)問題.A.(n-1)2
B.n2C.(n+1)2 D.n(2n-1)[錯(cuò)解]易得an=2n,且log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=log2(a1a3…a2n-1)=log221+3+…+(2n-1)誤區(qū)警示
因沒數(shù)清數(shù)列的項(xiàng)數(shù)致誤【示例】
對(duì)等差數(shù)列1,3,…,2n-1的項(xiàng)數(shù)沒數(shù)清.[正解]∵a5·a2n-5=22n=an2,an>0,∴an=
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