【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學 第七章第五節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質 A_第1頁
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文檔簡介

解析:由直線與平面垂直的判定定理和性質定理可知②和③正確,①中m還可能在α內,或者是平面α的一條斜線.答案:

B2.下面命題中:①兩平面相交,如果所成的二面角是直角,則這兩個平面垂直;②一直線與兩平面中的一個平行與另一個垂直,則這兩個平面垂直;③一平面與兩平行平面中的一個垂直,則與另一個平面也垂直;④兩平面垂直,經(jīng)過第一個平面上一點垂直于它們交線的直線必垂直于第二個平面.其中正確的命題有(

)A.2個

B.3個C.4個

D.0個解析:①兩平面垂直的定義,正確.②可轉化為判定定理證明,正確.③借助于實物或畫圖都可得出結論,正確.④應為在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于第二個平面,錯誤.答案:B3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,B1C與對角面DD1B1B所成角的大小是(

)A.15°B.30°C.45°D.60°答案:B4.如圖,平面ABC⊥平面BDC,∠BAC=∠BDC=90°,且AB

=AC=a,則AD=________.答案:a5.設直線m與平面α相交但不垂直,給出以下說法:①在平面α內有且只有一條直線與直線m垂直;②過直線m有且只有一個平面與平面α垂直;③與直線m垂直的直線不可能與平面α平行;④與直線m平行的平面不可能與平面α垂直.其中錯誤的是________.解析:因為直線m是平面α的斜線,在平面α內,只要和直線m的射影垂直的直線都和m垂直,所以①錯誤;②正確;③錯誤,設b?α,b⊥m,c∥b,c?α,則c∥α,c⊥m;④錯誤,如正方體AC1,m是直線BC1,平面ABCD是α,則平面ADD1A1既與α垂直,又與m平行.答案:①③④1.直線與平面垂直(1)定義:如果直線l與平面α內的每一條直線都垂直,就說直線l與平面α互相垂直,記作

.(2)判定定理:一條直線與一個平面內的

直線都垂直,則該直線與此平面垂直.用符號表示為:l⊥a,l⊥b,a?α,b?α,

?l⊥α.l⊥α兩條相交a∩b=P(3)性質:①若l⊥α,a?α?

,這是我們在空間證明線線垂直的一種重要方法.②性質定理:垂直于同一平面的兩條直線

.用符號表示:a⊥α,b⊥α?

.l⊥a平行a∥b2.直線和平面所成的角(1)定義:平面的一條斜線和

所成的銳角叫做這條直線和這個平面所成的角.規(guī)定:當直線與平面垂直和平行(含直線在平面內)時,則直線和平面所成的角分別為.(2)線面角的范圍為.它在平面上的射影3.二面角(1)二面角:從一條直線

所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做

.兩個半平面叫做二面角的面.如圖,記作:α-l-β或α-AB-β或P-AB-Q.出發(fā)的兩個半平面二面角的棱(2)二面角的平面角如圖,二面角α-l-β,若有①O∈l,②OA?α,OB?β,③OA⊥l,OB⊥l,則∠AOB就叫做二面角α-l-β的平面角.4.平面與平面垂直如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點.(1)求證:CD⊥AE;(2)求證:PD⊥面ABE.

考點一直線和平面垂直的判定和性質

[自主解答]

(1)∵PA⊥底面ABCD,∴CD⊥PA.又CD⊥AC,PA∩AC=A,∴CD⊥面PAC.AE?面PAC,故CD⊥AE.(2)∵PA=AB=BC,∠ABC=60°,∴PA=AC,又E是PC的中點,∴AE⊥PC.由(1)知CD⊥AE,從而AE⊥面PCD,故AE⊥PD.易知BA⊥PD,AE∩BA=A,故PD⊥面ABE.若PA垂直于矩形ABCD所在的平面,當矩形ABCD滿足什么條件時,有PC⊥BD?解:若PC⊥BD,又PA⊥BD,PA∩PC=P,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥AC,即矩形ABCD的對角線互相垂直.∴矩形ABCD為正方形,即當矩形ABCD為正方形時,PC⊥BD.如圖,已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面,M、N分別是AB、PC的中點,若∠PDA=45°,求證:MN⊥平面PCD.∴△PAD為等腰直角三角形,∴AE⊥PD.又∵CD⊥AD,CD⊥PA,AD∩PA=A,∴CD⊥平面PAD,而AE?平面PAD,∴CD⊥AE,又CD∩PD=D,∴AE⊥平面PCD,∴MN⊥平面PCD.如圖,已知三棱錐A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M為AB的中點,D為PB的中點,且△PMB為正三角形.(1)求證:DM∥平面APC;(2)求證:平面ABC⊥平面PAC;(3)若BC=4,AB=20,求三棱錐D-BCM的體積.考點二平面和平面垂直的判定[自主解答]

(1)∵M為AB的中點,D為PB的中點,∴DM∥AP,又∵DM?平面APC,AP?平面APC,∴DM∥平面APC.(2)∵△PMB為正三角形,且D為PB的中點,∴DM⊥PB.又由(1)知MD∥AP,∴AP⊥PB.又已知AP⊥PC,∴AP⊥平面PBC.∴AP⊥BC,又∵AC⊥BC,∴BC⊥平面APC,∴平面ABC⊥平面PAC.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E、F分別是A1B、A1C的中點,點D在B1C1上,A1D⊥B1C.求證:(1)EF∥平面ABC;(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.證明:(1)因為E、F分別是A1B、A1C的中點,所以EF∥BC,又EF?平面ABC,BC?平面ABC.所以EF∥平面ABC.(2)因為三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱,所以BB1⊥平面A1B1C1,所以BB1⊥A1D,又A1D⊥B1C,B1C∩BB1=B1.所以A1D⊥平面BB1C1C,又A1D?平面A1FD,所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.考點三直線、平面垂直的綜合應用如圖①,四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,將△ABD沿對角線BD折起,記折起后點的位置為P,且使平面PBD⊥平面BCD,如圖②.(1)求證:平面PBC⊥平面PDC;(2)在折疊前的四邊形ABCD中,作AE⊥BD于E,過E作EF⊥BC于F,求折起后的圖形中∠PFE的正切值.解:(1)證明:折疊前,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BAD=90°,所以△ABD為等腰直角三角形.又因為∠BCD=45°,所以∠BDC=90°.折疊后,因為面PBD⊥面BCD,CD⊥BD,所以CD⊥面PBD.又因為PB

?面PBD,所以CD⊥PB.又因為PB⊥PD,PD∩CD=D,所以PB⊥面PDC.又PB?面PBC,故平面PBC⊥平面PDC.考點四直線和平面所成的角、二面角(2011·北京模擬)如圖,已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,E、F分別是AB、PD的中點.(1)求證:AF∥平面PEC;(2)求PC與平面ABCD所成的角的正切值;(3)求二面角P-EC-D的正切值.∴四邊形AEOF是平行四邊形,∴AF∥OE.又OE?平面PEC,AF?平面PEC,∴AF∥平面PEC.解:(1)證明:由四邊形ABCD為菱形,∠ABC=60°,可得△ABC為正三角形.因為E為BC的中點,所以AE⊥BC.又BC∥AD,因此AE⊥AD.因為PA⊥平面ABCD,AE?平面ABCD,所以PA⊥AE.而PA?平面PAD,AD?平面PAD且PA∩AD=A,所以AE⊥平面PAD.又PD?平面PAD,所以AE⊥PD.線面垂直的判定與性質、面面垂直的判定與性質、以及線面角、二面角的求法是高考考查的熱點,客觀題突出“小而巧”,主要考查垂直的判定及性質,主觀題考查較全面,在考查垂直關系的判定及性質的同時,還考查空間三種角計算,重點考查學生的空間想象能力,邏輯推理能力以及計算能力.1.線面垂直的判斷方法(1)利用線面垂直的判定定理.此種方法要注意平面內的兩條直線必須相交.(2)利用線面平行的性質.兩平行線中一條垂直于一個平面,另一條也垂直于這個平面.(3)利用面面垂直的性質①兩平面垂直,在一個平面內垂直于交線的直線必垂直于另一個平面,此種方法要注意“平面內的直線”.

②兩個相交平面同時垂直于第三個平面,那么它們的交線也垂直于第三個平面.此性質是在課本習題中出現(xiàn)的,在問題不很復雜的題目中,要對此進行證明,以免無謂扣分.(4)利用面面平行的性質.一條直線垂直于兩平行平面中的一個,必垂直于另一個平面.(5)兩個平面垂直的性質定理,可以作為直線和平面垂直的判定定理.當條件中有兩個平面垂直時,常添加的輔助線是在一個平面內作兩平面交線的垂線.2.線線垂直的判斷方法當直線和平面垂直時,該直線垂直于平面內的任一直線,常用來證明線線垂直.3.面面垂直的判定方法(1)判定定理若a?α,a⊥β,則α⊥β.(2)其他方法①若a∥α,a⊥β,則α⊥β;②若α∥β,β⊥γ,則α⊥γ.4.線面角和二面角(理)線面角、二面角通常是由面的垂線去找.求直線與平面所成角的步驟:(1)作出斜線與其投影所成的角;(2)證明所作的角就是所求的角;(3)常在直角三角形(垂線、斜線投影所組成的直角三角形)中解出所求角的大小.1.已知α、β表示兩個不同的平面,m為平面α內的一條直線,則“α⊥β”是“m⊥β”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析:由面面垂直的判定定理可知必要性成立,而當兩平面α、β垂直時,α內的直線m只有在垂直于兩平面的交線時才垂直于另一個平面β,∴為必要不充分條件.故選B.答案:

B2.如圖,正方體AC1的棱長為1,過點A

作平面A1BD的垂線,垂足為點H,則

下列命題中錯誤的是(

)A.點H是△A1BD的垂心B.AH垂直于平面CB1D1C.AH的延長線經(jīng)過點C1D.直線AH和BB1所成角為45°解析:因為三棱錐A-A1BD是正三棱錐,故頂點A在底面的射影是底面的中心,A正確;平面A1BD∥平面CB1D1,而AH垂直于平面A1BD,所以AH垂直于平面CB1D1,B正確;根據(jù)對稱性知C正確.答案:

D3.PA垂直于正方形ABCD所在平面,連接PB,PC,PD,AC,BD,則一定互相垂直的平面是(

)①面PAB⊥面PBC;②面PAB⊥面PAD;③面PAB⊥面PCD;④面PAB⊥面PAC.A.①②

B.①③C.②③

D.②④解析:∵BC⊥面PAB,∴面PBC⊥面PAB,∴①正確.同理AD⊥面PAB,∴面PAD⊥面PAB,∴②正確.答案:A4.(2011·汕頭模擬)已知α、β、γ是三個互不重合的平面,l是一條直線,給出下列四個命題:

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