高二(上學期)期末數(shù)學試卷及答案

第第頁第=page22頁，共=sectionpages22頁高二(上學期)期末數(shù)學試卷及答案題號一二三四總分得分一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）直線y=kx+b經(jīng)過第二、三、四象限，則斜率k和在y軸上的截距b滿足的條件為（）A.k＞0，b＞0 B.k＜0，b＜0 C.k＞0，b＜0 D.k＜0，b＞0已知F為雙曲線C：的左焦點，P，Q為C上的點．若PQ的長等于虛軸長的2倍，點A(5,0)在線段PQ上，則△PQF的周長為（

）A.11 B.22 C.33 D.44“a=2”是“l(fā)1：ax+4y-1=0與l2：x+ay+3=0平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件已知拋物線x2=2py和-y2=1的公切線PQ（P是PQ與拋物線的切點，未必是PQ與雙曲線的切點）與拋物線的準線交于Q，F(xiàn)（0，），若|PQ|=|PF|，則拋物線的方程是（）

A.x2=4y B.x2=2y C.x2=6y D.x2=2y已知m，n是兩條不重合的直線，α，β是不重合的平面，則下列說法正確的是（）A.若m⊥α，n∥β，α⊥β，則m⊥n

B.若m⊥n，m⊥α，n∥β，則α⊥β

C.若m∥n，m∥α，n∥β，則α∥β

D.若m⊥α，n⊥α，則m∥n直線l：y=x與圓x2+y2-2x-6y=0相交于A，B兩點，則|AB|=（）A.2 B.4 C.4 D.8橢圓5x2+ky2=5的一個焦點為（0，2），那么k的值為（）A. B.2 C. D.1直線y=-2x-3與曲線的公共點的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）矩形ABCD中，AB=4，BC=3，將△ABD沿BD折起，使A到A′的位置，A′在平面BCD的射影E恰落在CD上，則（）A.三棱錐A′-BCD的外接球直徑為5 B.平面A′BD⊥平面A′BC

C.平面A′BD⊥平面A′CD D.A′D與BC所成角為60°設O為坐標原點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點.在雙曲線的右支上存在點P滿足∠F1PF2=60°，且線段PF1的中點B在y軸上，則（）A.雙曲線的離心率為 B.雙曲線的方程可以是-y2=1

C.|OP|=a D.△PF1F2的面積為在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，點M，P，Q分別為棱AB，CD，BC的中點，若平行六面體的各棱長均相等，∠A1AB=∠A1AD，則有（）

A.A1M∥B1Q B.AA1⊥PQ C.A1M∥面D1PQB1 D.PQ⊥面A1ACC1已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，準線為l，過點F的直線與拋物線交于兩點P（x1，y1），Q（x2，y2），點P在l上的射影為P1，則（）A.|PQ|的最小值為4

B.已知曲線C上的兩點S，T到點F的距離之和為10，則線段ST的中點橫坐標是4

C.設M（0，1），則|PM|+|PP1|≥

D.過M（0，1）與拋物線C有且僅有一個公共點的直線至多有2條三、單空題（本大題共4小題，共20.0分）已知A（0，1），B（1，0），C（t，0），點D在直線AC上，若|AD|≤|BD|恒成立，則t的取值范圍是______．直線2x+y-1=0的傾斜角是______．湖面上漂著一個小球，湖水結(jié)冰后將球取出，冰面上留下一個直徑為12cm，深為2cm的空穴，則該球的半徑為______cm，表面積是______．已知雙曲線C：的右焦點為F，O為坐標原點.過F的直線交雙曲線右支于A，B兩點，連結(jié)AO并延長交雙曲線C于點P.若|AF|=2|BF|，且∠PFB=60°，則該雙曲線的離心率為______.四、解答題（本大題共6小題，共70.0分）已知圓的圓心在直線上，且與軸交于兩點,.（I）求圓的方程；

（II）過點的直線與圓交于兩點，且，求直線的方程．

已知圓C：（x-1）2+（y-2）2=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）．

（1）證明：不論m為何值時，直線l恒過定點；

（2）求直線l被圓C截得的弦長最小時的方程．

如圖，為圓的直徑，點．在圓上，且，矩形所在的平面和圓所在的平面互相垂直，且，.

（1）設的中點為，求證：平面；

（2）求四棱錐的體積．

在平面直角坐標系中，直線l與拋物線y2=2x相交于A，B兩點．求證：“如果直線l過（3，0），那么=3”是真命題．

如圖，四棱錐中，底面是菱形，其對角線的交點為，

且．

（1）求證：平面；

（2）設，，是側(cè)棱上的一點，

且∥平面，求三棱錐的體積．

（本題滿分16分）已知橢圓的兩焦點分別為

,

是橢圓在第一象限內(nèi)的一點，并滿足，過作傾斜角互補的兩條直線分別交橢圓于兩點.（1）求點坐標；（2）當直線經(jīng)過點時，求直線的方程；（3）求證直線的斜率為定值.

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：要使直線y=kx+b經(jīng)過第二、三、四象限，則斜率k和在y軸上的截距b滿足的條件，

故選：B．

由題意利用確定直線的位置的幾何要素，得出結(jié)論．

本題主要考查確定直線的位置的幾何要素，屬于基礎題．

2.【答案】D

【解析】由雙曲線C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5，

∴點A(5,0)是雙曲線C的右焦點，

且|PQ|＝|QA|＋|PA|＝4b＝16，

由雙曲線定義，|PF|－|PA|＝6，|QF|－|QA|＝6.

∴|PF|＋|QF|＝12＋|PA|＋|QA|＝28，

因此△PQF的周長為

|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44，選D.

3.【答案】A

【解析】解：若a=2．則兩條直線的方程為2x+4y-1=0與x+2y+3=0滿足兩直線平行，即充分性成立．

當a=0時，兩直線等價為4y-1=0與x+3=0不滿足兩直線平行，故a≠0，

若“l(fā)1：ax+4y-1=0與l2：x+ay+3=0平行”，則，

解得a=2或a=-2，即必要性不成立．

故“a=2”是“l(fā)1：ax+4y-1=0與l2：x+ay+3=0平行”的充分不必要條件，

故選：A

根據(jù)直線平行的等價條件，利用充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論．

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)直線平行的等價條件是解決本題的關鍵．

4.【答案】B

【解析】解：如圖過P作PE⊥拋物線的準線于E，根據(jù)拋物線的定義可知，PE=PF

∵|PQ|=|PF|，在Rt△PQE中，sin，∴，

即直線PQ的斜率為，故設PQ的方程為：y=x+m

（m＜0）

由消去y得．

則△1=8m2-24=0，解得m=-，即PQ：y=

由得，△2=8p2-8p=0，得p=．

則拋物線的方程是x2=2y．

故選：B．

如圖過P作PE⊥拋物線的準線于E，根據(jù)拋物線的定義可知，PE=PF

可得直線PQ的斜率為，故設PQ的方程為：y=x+m

（m＜0）

再依據(jù)直線PQ與拋物線、雙曲線相切求得p．

本題考查了拋物線、雙曲線的切線，充分利用圓錐曲線的定義及平面幾何的知識是關鍵，屬于中檔題．

5.【答案】D

【解析】解：當m⊥α，n∥β，α⊥β時，直線m與n可能異面不垂直，故選項A錯誤；

當m⊥n，m⊥α，n∥β時，比如n平行于α與β的交線，且滿足m⊥n，m⊥α，但α與β可能不垂直，故選項B錯誤；

當m∥n，m∥α，n∥β時，比如m與n都平行于α與β的交線，且滿足m∥n，m∥α，但α與β不平行，故選項C錯誤；

垂直于同一個平面的兩條直線平行，故選項D正確．

故選：D．

直接利用空間中線、面之間的關系進行分析判斷即可．

本題考查了空間中線面位置關系的判斷，此類問題一般都是從反例的角度進行考慮，屬于基礎題．

6.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查直線和圓的位置關系的應用，掌握直線和圓相交的弦長公式是解決本題的關鍵，屬于基礎題．

根據(jù)直線和圓相交的弦長公式進行求解即可．

【解答】解：圓的標準方程為（x-1）2+（y-3）2=10，

圓心坐標為（1，3），半徑R=，

則圓心到直線x-y=0的距離d=，

則|AB|===4.

故選C．

7.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，是基礎題．

把橢圓化為標準方程后，找出a與b的值，然后根據(jù)a2=b2+c2，表示出c，并根據(jù)焦點坐標求出c的值，兩者相等即可列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

【解答】

解：把橢圓方程化為標準方程得：x2+=1，

因為焦點坐標為（0，2），所以長半軸在y軸上，

則c==2，解得k=1．

故選D．

8.【答案】B

【解析】解：當x≥0時，曲線的方程為，一條漸近線方程為：y=-x，

當x＜0時，曲線的方程為，

∴曲線的圖象為右圖，

在同一坐標系中作出直線y=-2x-3的圖象，

可得直線與曲線交點個數(shù)為2個．

故選：B．

分x大于等于0，和x小于0兩種情況去絕對值符號，可得當x≥0時，曲線為焦點在y軸上的雙曲線，當x＜0時，曲線為焦點在y軸上的橢圓，在同一坐標系中作出直線y=-2x-3與曲線的圖象，就可找到交點個數(shù)．

本題主要考查圖象法求直線與曲線交點個數(shù)，關鍵是去絕對值符號，化簡曲線方程．

9.【答案】AB

【解析】解：對于A，取BD中點E，連接A′E，CE，

則A′E=BE=DE=CE==．

∴三棱錐A′-BCD的外接球直徑為5，故A正確；

對于B，∵DA′⊥BA′，BC⊥CD，A′F⊥平面BCD，∴BC⊥A′F，

又A′F∩CD=F，A′F、CD?平面A′CD，∴BC⊥平面A′CD，

∵A′D?平面A′CD，∴DA′⊥BC，

∵BC∩BA′=B，∴DA′⊥平面A′BC，

∵DA′?平面A′BD，∴平面A′BD⊥平面A′BC，故B正確；

對于C，BC⊥A′C，∴A′B與A′C不垂直，

∴平面A′BD與平面A′CD不垂直，故C錯誤；

對于D，∵DA∥BC，∴∠ADA′是A′D與BC所成角（或所成角的補角），

∵A′C==，∴A′F=，DF==，

AF==，AA′==3，

∴cos∠ADA′==0，∴∠ADA′=90°，

∴A′D與BC所成角為90°，故D錯誤．

故選：AB．

對于A，取BD中點E，連接A′E，CE，推導出A′E=BE=DE=CE=，從而三棱錐A′-BCD的外接球直徑為5；對于B，推導出DA′⊥BA′，BC⊥CD，A′F⊥平面BCD，BC⊥A′F，BC⊥平面A′CD，DA′⊥BC，DA′⊥平面A′BC，從而平面A′BD⊥平面A′BC；對于C，A′B與A′C不垂直，從而平面A′BD與平面A′CD不垂直；對于D，由DA∥BC，得∠ADA′是A′D與BC所成角（或所成角的補角），推導出A′D與BC所成角為90°．

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力等數(shù)學核心素養(yǎng)，是中檔題．

10.【答案】AC

【解析】解：如圖，F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），

∵B為線段PF1的中點，O為F1F2的中點，∴OB∥PF2，

∴∠PF2F1=90°，

由雙曲線定義可得，|PF1|-|PF2|=2a，

設|PF1|=2m（m＞0），則|PF2|=m，，

∴2m-m=2a，即a=，

又，∴c=，則e=，故A正確；

，則b=，雙曲線的漸近線方程為y=，

選項B的漸近線方程為y=，故B錯誤；

對于C，∵O為F1F2的中點，∴，

則，即=，

即，①

而|PF1|-|PF2|=2a，兩邊平方并整理得，，②

聯(lián)立①②可得，，，即|PO|=，故C正確；

=，故D錯誤．

故選：AC．

由已知可得∠PF2F1=90°，設|PF1|=2m（m＞0），再由已知結(jié)合雙曲線定義可得a，b，c與m的關系，即可求得雙曲線的離心率及漸近線方程，從而判斷A與B；由O為F1F2的中點，得，兩邊平方后結(jié)合雙曲線定義聯(lián)立求得|PO|判斷C；進一步求出△PF1F2的面積判斷D．

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查運算求解能力，是中檔題．

11.【答案】BCD

【解析】解：連接MP，可得MPADA1D1，可得四邊形MPA1D1是平行四邊形

∴A1M∥D1P，又A1M?平面DCC1D1，D1P?平面DCC1D1，A1M∥平面DCC1D1，

連接DB，由三角形中位線定理可得：PQDB，DBD1B1，可得四邊形PQB1D1為梯形，

QB1與PD1不平行，因此A1M與B1Q不平行，

又A1M∥D1P，A1M?平面D1PQB1，D1P?平面D1PQB1，

∴A1M∥平面D1PQB1.故A不正確，C正確；

連接AC，由題意四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，

∵P，Q分別為棱CD，BC的中點，∴PQ∥BD，∴PQ⊥AC，

∵平行六面體的所有棱長都相等，且∠A1AB=∠A1AD，

∴直線AA1在平面ABCD內(nèi)的射影是AC，且BD⊥AC，

∴AA1⊥BD，∴AA1⊥PQ，故B正確；

∵AA1∩AC=A，∴PQ⊥面A1ACC1，故D正確．

故選：BCD．

連接MP，推導出四邊形MPA1D1是平行四邊形，從而A1M∥D1P，連接DB，推導出四邊形PQB1D1為梯形，A1M與B1Q不平行，推民出A1M∥平面D1PQB1；連接AC，推導出四邊形ABCD是菱形，AC⊥BD，從而PQ⊥AC，由平行六面體的所有棱長都相等，且∠A1AB=∠A1AD，推志出AA1⊥PQ，從而PQ⊥面A1ACC1．

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．

12.【答案】ABC

【解析】解：對于A，設直線PQ的方程為x=ty+1,

聯(lián)立解方程組,可得y2-4ty-4=0，x1x2==1，

|PQ|=x1+x2+p=x1+x2+2+2=4，故A正確；

對于B,根據(jù)拋物線的定義可得，|SF|+|TF'|=xS+xT+p=10,則xS+xT=8,

則線段ST的中點橫坐標是=4,故B成立；

對于C，M（0，1），|PM|+|PP1|=|MP|+|PF|≥|MF|=，所以C正確；

對于D,過M（0，1）相切的直線有2條，與x軸平行且與拋物線相交且有一個交點的直線有一條，所以最多有三條．所以D不正確；

故選：ABC．

設出直線方程與拋物線聯(lián)立，利用弦長公式判斷A，結(jié)合拋物線的定義，判斷B；利用拋物線的性質(zhì)判斷C；直線與拋物線的切線情況判斷D．

考查拋物線的性質(zhì)，拋物線與直線的位置關系的應用，是中檔題．

13.【答案】（-∞，0]

【解析】解：設D（x，y），由D在AC上，

得+y=1，即x+ty-t=0，

由|AD|≤|BD|得

≤?，

化為（x-2）2+（y+1）2≥4，

依題意，線段AD與圓（x-2）2+（y+1）2=4至多有一個公共點，

∴≥2，

解得：t≤0，

則t的取值范圍為（-∞，0]，

故答案為：（-∞，0]．

先設出D（x，y），得到AD的方程為：x+ty-t=0，由|AD|≤|BD|得到圓的方程，結(jié)合點到直線的距離公式，解不等式即可得到所求范圍．

本題考查直線與圓的方程，考查點到直線距離公式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．

14.【答案】π-arctan

【解析】解：直線2x+y-1=0的斜率為，

設直線2x+y-1=0的傾斜角為θ（0≤θ＜π），

則tan，∴θ=．

故答案為：π-arctan．

由直線方程求直線的斜率，再由斜率等于傾斜角的正切值求解．

本題考查由直線方程求直線的斜率，考查直線的斜率與傾斜角的關系，是基礎題．

15.【答案】10；400π

【解析】解：設球的半徑為r，依題意可知36+（r-2）2=r2，解得r=10，

∴球的表面積為4πr2=400π

故答案為10，400π

先設出球的半徑，進而根據(jù)球的半徑，球面上的弦構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理建立等式，求得r，最后根據(jù)球的表面積公式求得球的表面積．

本題主要考查了球面上的勾股定理和球的面積公式．屬基礎題．

16.【答案】

【解析】【分析】

本題考查雙曲線的定義以及幾何性質(zhì)的應用，余弦定理的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．屬于中檔題.

設雙曲線C的左焦點為F'，連結(jié)AF'，BF'，設|BF|=t，則|AF|=2t，推出∠F'AB=60°．在△F'AB中，由余弦定理求解．結(jié)合雙曲線的定義，求出，．在△F'AF中，由余弦定理推出a，c關系，得到離心率即可．

【解答】

解：設雙曲線C的左焦點為F'，連結(jié)AF'，BF'，設|BF|=t，則|AF|=2t，

所以|AF'|=2a+2t，|BF'|=2a+t．

由對稱性可知，四邊形AF'PF為平行四邊形，故∠F'AB=60°．

在△F'AB中，由余弦定理得

（2a+t）2=（2a+2t）2+（3t）2-2×（2a+2t）×3t×cos60°，

解得．

故，．

在△F'AF中，由余弦定理得，，

解得：．

故答案為：．

17.【答案】解：（I）因為圓與軸交于兩點,，

所以圓心在直線上，由，得，

???????即圓心的坐標為．

半徑，

所以圓的方程為；

（II）若直線的斜率不存在，則直線的方程為，

此時可得，不符合題意；

當直線的斜率存在時，設直線的方程為：，即，

過點作于點，則D為線段MN中點，

∴

，

∴，即點C到直線l的距離，

解得或k=-3；

綜上，直線的方程為x-3y+3=0或3x+y-11=0．

【解析】本題考查圓的標準方程，直線與圓的位置關系，屬于中檔題．（I）根據(jù)題意，即可得解；（II）分類討論，進行求解即可.

18.【答案】（1）證明：將直線化為直線束方程：x+y-4+（2x+y-7）=0．聯(lián)立方程x+y-4=0與2x+y-7=0，得點（3，1）；

將點（3，1）代入直線方程，不論m為何值時都滿足方程，所以直線l恒過定點（3，1）；

（2）解：當直線l過圓心與定點（3，1）時，弦長最大，代入圓心坐標得m=．

當直線l垂直于圓心與定點（3，1）所在直線時弦長最短，斜率為2，代入方程得m=

此時直線l方程為2x-y-5=0，圓心到直線的距離為，所以最短弦長為．

【解析】（1）通過直線l轉(zhuǎn)化為直線系，求出直線恒過的定點；

（2）說明直線l被圓C截得的弦長最小時，圓心與定點連線與直線l垂直，求出斜率即可求出m的值，再由勾股定理即可得到最短弦長．

本題考查直線系方程的應用，考查直線與圓的位置關系，考查平面幾何知識的運用，考查計算能力，屬于中檔題．

19.【答案】（1）證明詳見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）要證平面，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證與平面內(nèi)一直線平行即可，設的中點為，則為平行四邊形，則，又平面，不在平面內(nèi)，滿足定理所需條件；（2）過點作于，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知平面，即正的高，然后根據(jù)三棱錐的體積公式進行求解即可.

試題解析：（1）設的中點為，則

又，∴

∴為平行四邊形∴

又平面，平面

∴平面

(2)過點作于

平面平面，∴平面，即正的高

∴∴

∴.

考點：1.空間中的平行關系；2.空間中的垂直關系；3.棱錐的體積計算.

20.【答案】證明：設過點T（3，0）的直線l交拋物線y2=2x于點A（x1，y1）、B（x2，y2）．

當直線l的鈄率不存在時，直線l的