初中數(shù)學(xué)瓜豆原理

最低系列之瓜豆原理在輔助圓問(wèn)題中，我們了解了求關(guān)于動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題的方式之一——求出動(dòng)點(diǎn)軌跡，即可求出關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的最值.本文繼續(xù)討論另一類(lèi)動(dòng)點(diǎn)引發(fā)的最值問(wèn)題，在此類(lèi)題目中，題目或許先描述的是動(dòng)點(diǎn)P,但最終問(wèn)題問(wèn)的可以是另一點(diǎn)Q,當(dāng)然P、。之間存在某種聯(lián)系，從P點(diǎn)出發(fā)探討。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡并求出最值，為常規(guī)思路.一、軌跡之圓篇引例I：如圖，尸是圓。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，人為定點(diǎn)，連接AP,。為金一中點(diǎn).考慮：當(dāng)點(diǎn)。在圓。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，。點(diǎn)軌跡是？【分析】觀察動(dòng)圖可知點(diǎn)Q軌跡是個(gè)圓，而我們還需確定的是此圓與圓。有什么關(guān)系?考慮到。點(diǎn)始終為AP中點(diǎn)，連接AQ取人。中點(diǎn)M,則用點(diǎn)即為。點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑A1Q是。P一半，任意時(shí)刻，均有△AMQs/vAORQM.PO=A().AP=[.2.p【小結(jié)】確定。點(diǎn)軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、Q、P始終共線可得：人M、。三點(diǎn)共線，由。為A尸中點(diǎn)可得：AM=[/yX(),。點(diǎn)軌跡相當(dāng)于是P點(diǎn)軌跡成比例縮放.根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的相對(duì)位置關(guān)系分析同心的相對(duì)位置關(guān)系;根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系.

引例2：如圖，P是圓。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP,作AQL4P且AQ"P.考慮：當(dāng)點(diǎn)/,在圓。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，。點(diǎn)軌跡是？GT【分析】Q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓，可理解為將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)9()。得AQ,故Q點(diǎn)軌跡與P點(diǎn)軌跡都是圓.接下來(lái)確定圓心與半徑.考慮APLAQ,可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足力必，工。；考慮八〃二A。，可得。點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足八仰且可得半徑即可確定圓"位置，任意時(shí)刻均有△APOg/^AQM.引例3：如圖，AAPQ是直角三角形，N/24Q=9O。且八〃=2月。，當(dāng)，在圓。運(yùn)動(dòng)時(shí)，。點(diǎn)軌跡是？【分析】考慮AP^AQ,可得。點(diǎn)軌跡圓圓心”滿足八MJ_A。；考慮AP：A0=2:1,可得。點(diǎn)軌跡圓圓心”滿足AO.AM=2：［.即可確定圓〃位置，任意時(shí)刻均有△APOsaAQW,且相似比為2.

【模型總結(jié)】為了便于區(qū)分動(dòng)點(diǎn)P、Q,【模型總結(jié)】為了便于區(qū)分動(dòng)點(diǎn)P、Q,可稱(chēng)點(diǎn)P為??主動(dòng)點(diǎn)”，點(diǎn)。為??從動(dòng)點(diǎn)，此類(lèi)問(wèn)題的必要條件：兩個(gè)定量主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（/附。是定值）;主動(dòng)點(diǎn)、、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（4八八。是定值）.【結(jié)論】（I）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角:（2）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比：AP.AQ=AO.AM,也等于兩圓半徑之比.按以上兩點(diǎn)即可確定從動(dòng)點(diǎn)軌跡圓，。與P的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+伸縮.古人云：種瓜得瓜，種豆得豆.“種”圓得圓，"種.'線得線，謂之“瓜豆原理工【思考I】：如圖，尸是圓。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AF,以AF為一邊作等邊考慮：當(dāng)點(diǎn)夕在圓。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，。點(diǎn)軌跡是？【分析】。點(diǎn)滿足（1）N以。=60。：（2）故。點(diǎn)軌跡是個(gè)圓：考慮/由。=60。，可得。點(diǎn)軌跡圓圓心A1滿足/MAO二6（）。；考慮AP=AQ,可得。點(diǎn)軌跡圓圓心歷滿足AM”。，且可得半徑例。=尸。.即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有△“POwZvi0M.【小結(jié)】可以理解A。由八〃旋轉(zhuǎn)得來(lái)，故圓M亦由圓。旋轉(zhuǎn)得來(lái)，旋轉(zhuǎn)角度與縮放比例均等于AP與AQ的位置和數(shù)量關(guān)系.【思考2】如圖，2是圓。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，八為定點(diǎn)，連接八R以八戶為斜邊作等展直角&IP。.考慮：當(dāng)點(diǎn)?在圓。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如何作出。點(diǎn)軌跡？Q【分析】。點(diǎn)滿足（1）/以0=45。；（2）APAQ=42：1，故。點(diǎn)軌跡是個(gè)圓.連接AO,構(gòu)造NOAM=45。且AO：4W=JL|.例點(diǎn)即為0點(diǎn)軌跡圓圓心，此時(shí)任意時(shí)刻均有△工。Ps》MQ.即可確定點(diǎn)。的軌跡圓.

Qp【練習(xí)】如圖，點(diǎn)〃（3.4）,圓〃半徑為2,4（2.8,0），"（560）,點(diǎn)時(shí)是圓〃上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)C是A"的中點(diǎn)，則A。的最小值是 .【分析】M點(diǎn)為主動(dòng)點(diǎn)，。點(diǎn)為從動(dòng)點(diǎn)，/，點(diǎn)為定點(diǎn).考慮C是AM中點(diǎn)，可知C點(diǎn)軌跡:取5P中點(diǎn)。，以。為圓心，0c為半徑作圓，即為點(diǎn)C軌跡.當(dāng)4U。三點(diǎn)共線且點(diǎn)。在線段上時(shí)，AC取到最小值，根據(jù)從P坐標(biāo)求。，利用兩點(diǎn)間距離公式求得。工再減去即可.X

X【2016武漢中考】如圖，在等膜R3A3C中，AC=BC=?6,點(diǎn)尸在以斜邊A4為直徑的半圓上，，必為PC的中點(diǎn)，當(dāng)半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)。時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為.【分析】考慮C、M、P共線及M是C『中點(diǎn)，可確定M點(diǎn)軌跡：取AB中點(diǎn)O,連接CO取CO中點(diǎn)D,以D為圓心，DM為半徑作圓D分別交AC、8C于E、尸兩點(diǎn)，則弧E尸即為時(shí)點(diǎn)軌跡.CBCB當(dāng)然，若能理解.仞點(diǎn)與“點(diǎn)軌跡關(guān)系，可直接得到M點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為P點(diǎn)軌跡長(zhǎng)半，即可解決問(wèn)題.【2()18南通中考】如圖，正方形A4CQ中，A4=2",。是4c邊的中點(diǎn)，點(diǎn)￡是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，()E=2,連接。&將線段DE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)9()。得。尸，連接AE、CF,求線段OF長(zhǎng)的最小值.【分析】七是主動(dòng)點(diǎn)，廠是從動(dòng)點(diǎn)，。是定點(diǎn)，E點(diǎn)滿足七0二2,故七點(diǎn)軌跡是以。為圓心，2為半徑的圓.考慮DE_LDF且DE=DF,故作DM_LDO且0M=DO,尸點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)“為圓心,2為半徑的圓.直接連接OM,與圓M交點(diǎn)即為尸點(diǎn)、，此時(shí)。尸最小,可構(gòu)造三垂直全等求線段長(zhǎng)，再利用勾股定理求得0M,減去M廠即可得到0尸的最小值.

【練習(xí)】AMC中，八3=4,AC=2.以4。為邊在乙44？外作正方形式;DE,3D、C￡交于點(diǎn)O,則線段AO的最大值為.【分析】考慮到A/?、AC均為定值，可以固定其中一個(gè)，比如固定4",將AC看成動(dòng)線段，由此引發(fā)正方形8CEO的變化，求得線段,4。的最大值.根據(jù)47=2,可得C點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓.接下來(lái)題目求八。的最大值，所以確定。點(diǎn)軌跡即可，觀察△BOC是等腰直角三角形，銳角頂點(diǎn)c的軌跡是以點(diǎn)4為圓心，2為半徑的圓，所以。點(diǎn)軌跡也是圓，以A8為斜邊構(gòu)造等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)M即為點(diǎn)。軌,跡圓圓心.

連接八M并延長(zhǎng)與圓M交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)°,此時(shí)a。最大，根據(jù)A"先求4必，再根據(jù)4。與40的比值可得圓〃的半徑與圓從半徑的比值，得到mo,相加即得AO.此題方法也不止這一種，比如可以如下構(gòu)造旋轉(zhuǎn)，當(dāng)a、C、*共線時(shí)，可得ao最大值.或者直接利用托勒密定理可得最大值.二、軌跡之線段篇引例：如圖，P是直線6c上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP,取a尸中點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)尸在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，。點(diǎn)軌跡是？可以這樣理解：分別過(guò)A、。向6。作垂線，垂足分別為M、N,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，因?yàn)锳P=2AQ，所以QN始終為A"的一半，即。點(diǎn)到6c的距離是定值，故。點(diǎn)軌跡是一條直線.【引例】如圖，ZkAP。是等腰直角三角形，/山。=?)0。且AP=AQ,當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求。點(diǎn)軌跡？【分析】當(dāng)AP與八。夾角固定且人外從。為定值的話，P、。軌跡是同一種圖形.當(dāng)確定軌跡是線段的時(shí)候，可以任取兩個(gè)時(shí)刻的Q點(diǎn)的位置，連線即可，比如Q點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，連接即得。點(diǎn)軌跡線段.【模型總結(jié)】必要條件：主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（/附。是定值）;主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（八尸:八。是定值）.結(jié)論：入。兩點(diǎn)軌跡所在直線的夾角等于/心。（當(dāng)/用Q09O。時(shí)，/心。等于MN與"C夾角）P、。兩點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度之比等于”3。（由△WCszMMV,可得"：aq=/?qmao[2017姑蘇區(qū)二模】如圖，在等邊中，"=10,"。=4,催=2,點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿￡人方向運(yùn)動(dòng)，連結(jié)以），以尸。為邊，在的右側(cè)按如圖所示的方式作等邊△/?￡當(dāng)點(diǎn)。從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)八時(shí)，點(diǎn)廠運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是.【分析】根據(jù)△。尸尸是等邊三角形，所以可知"點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)與P點(diǎn)相同，P從E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到工點(diǎn)路徑長(zhǎng)為8,故此題答案為8.【2013湖州中考】如圖，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為2逐的一個(gè)定點(diǎn)，ACL工軸于點(diǎn)壞交直線于點(diǎn)N,若點(diǎn)P是線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，/AP8=3()。，BA1PA,則點(diǎn)P在線段on上運(yùn)動(dòng)時(shí)，工點(diǎn)不變，8點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng).求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)"運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是 .【分析】根據(jù)/以厲=9()。，/，4=3()。可得：AP："=":1,故"點(diǎn)軌跡也是線段,且P點(diǎn)軌跡路徑長(zhǎng)與/，點(diǎn)軌跡路徑長(zhǎng)之比也為6:1,P點(diǎn)軌跡長(zhǎng)。N為26，故4點(diǎn)軌跡長(zhǎng)為2n5.【練習(xí)】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(?3.0)，點(diǎn)3是，軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。、。在元正半軸上，以4,為邊在川的下方作等邊"臺(tái)匕點(diǎn)4在￥軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),求。夕的最小值.【分析】求OP最小值需先作出P點(diǎn)軌跡，根據(jù)△A8P是等邊三角形且B點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，故可知尸點(diǎn)軌跡也是直線.取兩特殊時(shí)刻：(1)當(dāng)點(diǎn)8與點(diǎn)。重合時(shí)，作出尸點(diǎn)位置尸1：(2)當(dāng)點(diǎn)6在k軸上方且A4與x軸夾角為60。時(shí)，作出〃點(diǎn)位置夕2.連接，1夕2,即為夕點(diǎn)軌跡.,V八\/>t-

根據(jù)NA3P=6()?？芍浩概cy軸夾角為6()。，作OP，11,所得OP長(zhǎng)度即為最小值，?！?二。八二3,所以O(shè)P=N.【2019宿遷中考】如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,E為BC上一點(diǎn),且&F為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF,以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG,連接CG,則CG的最小值為.A D【分析】同樣是作等邊三角形，區(qū)別于上一題求動(dòng)點(diǎn)路徑長(zhǎng)，本題是求最小值，可以將尸點(diǎn)看成是由點(diǎn)4向點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)，由此作出G點(diǎn)軌跡：考慮到尸點(diǎn)軌跡是線段，故3點(diǎn)軌跡也是線段，取起點(diǎn)和終點(diǎn)即可確定線段位置，初始時(shí)刻G點(diǎn)在q位置，最終G點(diǎn)在G,位置(G、不一定在CD邊)，GQ.即為G點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡.CG最小值即當(dāng)CGIGG,的時(shí)候取到，作CH±GG,于點(diǎn)H,CH即為所求的最小值.

根據(jù)模型可知：qq與43夾角為60。，故q.LEq.過(guò)點(diǎn)石作政，?！庇邳c(diǎn)尸，則〃F=G￡=i,CF=1CE=12 2所以C"=2,因此CG的最小值為*.2 2三、軌跡之其他圖形篇所謂?,瓜豆原理”，就是主動(dòng)點(diǎn)的軌跡與從動(dòng)點(diǎn)的軌跡是相似性.，根據(jù)主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線形成的夾角以及主、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比，可確定從動(dòng)點(diǎn)的軌跡，而當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)軌跡是其他圖形時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)軌跡必然也是.【2016樂(lè)山中考】如圖，在反比例函數(shù)＞=-2的圖像上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)A,連接40A并延長(zhǎng)交圖像的另一支于點(diǎn)、出在第一象限內(nèi)有一點(diǎn)C,滿足當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C始終在函數(shù)y=9的圖像上運(yùn)動(dòng)，若5/CW=2,貝產(chǎn)的值為（ ）rA.2C.6B.4A.2C.6B.4D.8【分析】NAOC=90。且工顯然點(diǎn)。的軌跡也是一條雙曲線，分別作AM、CN垂直二軸，垂足分別為M、N,連接0C,易證△AMOsAQVC,??.CW=20M,ON=2AW,：.CN.CN=W4.()M,故心4x2=8.【思考】若將條件“〃/NCM=2"改為"A4C是等邊三角形”，k會(huì)是多少？【練習(xí)】如圖，A B(-1.4),。(-5.4〉，點(diǎn)P是△工5。邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接OP,以。P為斜邊在。P的右上方作等腰直角△OPQ,當(dāng)點(diǎn)P在aA4c邊上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)。的軌跡形成的封閉圖形面積為 .【分析】根據(jù)△OPQ是等腰直角三角形可得：。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡與尸點(diǎn)軌跡形狀相同,根據(jù)。尸：。。二夜：1,可得產(chǎn)點(diǎn)軌跡圖形與Q點(diǎn)軌跡圖形相似比為0：1，故面積比為2:1,A/WC面積為［/2x3x4=6,故。點(diǎn)軌跡形