概率論概率論初步重要知識點

第十四章概率論初步第一節(jié)事件與概率一、隨機事件和樣本空間在研究自然界和人類社會時， 人們可觀察到各種現(xiàn)象， 按它是否帶有隨機性將它們劃分為兩類。一類是在一定條件下必然會發(fā)生的現(xiàn)象，稱這類現(xiàn)象為確定性現(xiàn)象。例如蘋果從樹上掉下來總會落到地上，三角形的內角和一定為 1800。另一類現(xiàn)象是在一定條件可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象，稱這類現(xiàn)象為隨機現(xiàn)象。例如擲一枚質地均勻的硬幣時，它可能出現(xiàn)正面向上，也可能出現(xiàn)反面向上等。對于隨機現(xiàn)象的一次觀察，可以看作是一次試驗，如果某種試驗滿足以下條件：(1)試驗可在相同條件下重復地進行；(2)每次試驗的結果可能不止一個，并且能事先確定試驗的所有可能的結果 ；(3)每次試驗的結果事先不可預測，稱這種試驗為隨機試驗。隨機試驗的每一個可能的結果，稱為基本事件，它們的全體，稱作樣本空間，通常用字母 表示。樣本空間的元素即基本事件，有時也稱作樣本點，常用 表示。例1、一次擲兩顆骰子，觀察每顆的點數解：={(i,j)|i,j 1、2、3456)其中i,j表示第一顆擲出i點，第二顆擲出j點,顯然， 共有36個樣本點。例2、一個盒子中有十個完全相同的球，分別標以號碼1、2、、10從中任取一球，解：令i 取出球的號碼為i則 {1、2、＞10)稱樣本空間 的某一子集為一個隨機事件，簡稱事件，通常用大寫英文字母 A、B、C表不。如在例2中，A=取出球的標號為奇數因為是所有基本事件所組成， 因而在任一次試驗中，必然要出現(xiàn) 中的某一些基本事件，即，也即在試驗中， 必然會發(fā)生，又用 來代表一個必然事件。相應地，空集可以看作是 的子集，在任意一次試驗中，不可能有 ，即永遠不可能發(fā)生，所以 是不可能事件。我們可用集合論的觀點研究事件，事件之間的關系與運算如下：(1)包含 如果在一次試驗中，事件A發(fā)生必然導致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A，記為AB由例2,B球的標號為5,則BA(2)等價如果AB同時BA,則稱事件A與事件B等價，記為A=B。由例2,若C{球的標號為1、357、9},則A=C(3)交事件"事件A與事件B同時發(fā)生"，這樣的事件稱為事件A與事件B的交(或積)，記作AB(或AB)BC{球的標號為5}n將交事件推廣到有限個或可列個事件的情形 ，稱A為n個事件AA2、、An的交事件，表示n個事件同時發(fā)生；稱A為可列個事件A1、A2、、卜、的交事i1件，表示可列個事件同時發(fā)生。(4)并事件 "事件A與事件B至少有一個發(fā)生"，這樣的一個事彳^稱作事件 A與B的并，記作AB記D{球的標號3},則AD{球的標號為1、2、357、9}n同樣將并事件推廣到有限個或可列個事件的情形，稱A為n個事件i1A1、A2、、An的并事件；稱A為可列個事件A、A?、卜、 的并事件。i1(5)差事件"事件A發(fā)生而B不發(fā)生"，這樣的事件稱為事件A與B的差，記作AB。AB{球的標號為1、3、7、9}(6)互不相容事件 如果事件A與B不能同日^發(fā)生，也即AB是一個不可能事件，稱A與B為互不相容事件，記為 AB記E{球的標號為4},則A與E為互不相容事件(7)逆事件又稱對立事件 設事件A與B,如果AB，卜B,則稱B為A的逆事件或對立事件，或稱A與B互逆，B也記為A。例3、設A、B、C是中的隨機事件，則事件"A發(fā)生，B、C都不發(fā)生"可表為ABC"A、B都發(fā)生，C不發(fā)生"可表為ABC"A、"A、B都發(fā)生，C不發(fā)生"可表為ABC"A、B、C中至少有一個發(fā)生"可表為ABC"A、B、C中不多于一個事件發(fā)生"可表為ABCABCABCABC"A、B、C中至少有兩個事件發(fā)生"可表為ABCABCABCABC事件運算滿足如下規(guī)則：(1)交換律ABBA,(2)結合律 (AB)CAABBA(BC),(AB)A(BC)(3)分配律A(BC)(AB)(AC),A(BC)(AB)(AC)DeMorgan定理(對偶原則)A―BAB,A―BAB推廣到有限個和可列個的情形Aii1推廣到有限個和可列個的情形Aii1Ai,Ai Aii1 i1 i1Ai A,AAii1 i1 i1i1事件是的某些子集，如果把"是事件"的這些子集歸在一起，則得到一個類,記彳F,稱作事件域，即F{A:A,A是事件}二、隨機事件的概率定義1隨機事件A發(fā)生可能性大小的度量(數值)，稱為A發(fā)生的概率記作p(A)o概率具有下述性質：非負性：任給AF,0p1;規(guī)范性：p()1;(3) 可列可加性：任給AiF,i1、2(3) 可列可加性：任給p(.Ai) p(A)TOC\o"1-5"\h\z1 ii由此可得到以下結論：p()0,即不可能事件的概率為0;(2)有限可加性，若事件AA2、、An兩兩互不相容，n n則p(Aj p(Aj；\o"CurrentDocument"1 ii(3)事件A、B,如果AB,則有p(BA)p(B)p(A),p(A)p(B);(4)對任意事件A,有0p1;(5)對任意事件A,有p(A)1p(A)(6)對于任意事件A、B,有p(AB)p(A)p(B)p(AB),p(AB)p(A)p(B)該公式也可推廣到有限個事件，較復雜在此省略。三、古典概率對于一個隨機試驗，如何尋求隨機事件 A的概率p(A)呢？先討論一類較為簡單的隨機試驗，它具有兩類共性：試驗的所有可能結果只有有限個，即樣本空間的元素(基本事件)為有限個，{1、 2、、n},在一次試驗中有且僅有其中的一個基本事件發(fā)生；試驗中每個事件 i(i1、2、、n)發(fā)生的可能性相等，即p(1)p(2) p(n)。具有上述兩個特點的試驗模型稱為古典概型。如果古典概型中的所有基本事件的個數是 n,事件A包含的基本事件的個k數是k,則事件A的概率為 p(A)=-n

例4、盒內有5個雙喜牌，3個雙環(huán)牌乒乓球，從中任取2個，問兩個都是雙喜牌的概率？解：試驗可能出現(xiàn)的結果共有Cs28種，其中取得兩個為雙喜牌所包含的基本事件數為 C；10種10p0.35728例5、從5雙不同的鞋子中任取4只，問這4只鞋子中至少有2只成雙的概率是多少？解：設A解：設A為"4只鞋子中至少有兩只成雙”的事件，A為"4只鞋子中沒有成雙”的事件，基本事件總數為Cio。A所包含基本事件數（先從5雙中任取4雙，再從抽出的4雙中每雙抽出1只）共有24C；種,—24事件，基本事件總數為Cio。A所包含基本事件數（先從5雙中任取4雙，再從抽出的4雙中每雙抽出1只）共有24C；種,—24 C54p(A)C10821所以p（A）81p(A)1-211321例6、（分房問題）設有n個人，每人都等可能地被分配到 N個房間中的任意間去?。╪N）,求下列事件的概率（1）指定的n個房間各有一個人住;（2）恰好有n個房間，其中各住一個人。解：因為每人有N個房間可供選擇，所以n個人住的方式共有Nn種,它們是等可能的。指定的n個房間各有一個人住，其可能總數為 n個人的全排列n!,p1n!不；n個房間可以在N個房間中任意選取，有CN種選法，cCNn! N!p2 NnNn(nn)!°例7、 某班級有n個人(n365),問至少有兩個人的生日在同一天的概率為多大？解：A為事件"n個人至少有兩個人的生日相同二人為事件"n個人的生日全不相同"p(A)N!Nn(Nn)!p(A)N!Nn(Nn)!p(A)1p(A)1- ,(N365)N(Nn)!四、條件概率1、條件概率前面討論了一些簡單的概率，實際上存在很多復雜的概率問題， 比如求在已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，也記為求p(A|B)例8、某班共有60名學生，其中有10名視力減退，而這10名學生中有6名輕度近視，4名高度近視，現(xiàn)在班上任點一名學生，問： (1)點到的學生恰為高度近視的概率；(2)已知點到的一名學生視力減退，該生是高度近視的概率。解：設為A"點到的學生高度近視"事件，為B"點到的學生勢力減退"事件… 4 1p(A)6015p(A|B)二-105又AB為事件”點到的學生既是視力減退又是高度近視p(B)p(A|B)10 1 4 1p(B)p(A|B)———,p(AB)——一60 6 60 1542 60 P(AB)5 10 p(B)60定義設A、定義設A、B為事件，且p(B)0,稱p(A|B)P(AB)

P(B)為事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率。條件概率具有概率的三個基本性質：(1)非負性對任意的AF,p(A|B)0;

(2)規(guī)范性p(|B)1;（3）可列可加性 對任意的一列兩兩互不相容的事件 A（i122 ），有p(A|B) p(Ai|B)i1 一例9、一個家庭中有兩個小孩，已知其中有一個是女孩，問這時另一個也是女孩的概率為多大？（假定一個小孩是男還是女是等可能的）解：=｛（男，男）、（男，女）、（女，男）、（女，女）｝A=｛已知有一個是女孩｝=｛（男，女）、（女，男）、（女，女）｝B=｛另一個也是女孩｝=｛（女,女）B=｛另一個也是女孩｝=｛（女,女）｝P(B|A)P(AB)

P(A)2、乘法定理定理（乘法定理）設任意事件A定理（乘法定理）設任意事件A、B,且p(B)0,則有P(AB)p(A|B)p(B)例10、有編號為1、2、3、4、5的五張卡片，第一次任取一張，且不放回，第二次在剩下的四張中人取一張，試求： （1）第一次取到奇數號卡片的概率； （2）第二次取到奇數號卡片的概率； （3）兩次都取到奇數號卡片的概率。解：設A為事件”第一次取到奇數號卡片",B為事件"第二次取到奇數號卡片"p(A)(2)BABAB且ABABp(B)p(AB)p(AB)p(B|A)p(A)p(B|A)p(A)p(B)（3）p（AB）3、全概率公式32p(B)p(B|A)343（3）p（AB）3、全概率公式32p(B)p(B|A)34310定理（全概率公式）設B1、B2、Bn是列互不相容的事件，且有TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"Bi,p(Bi)0(i 1、2、 、n)n則對任一事件A有p(A)p(B)p(A|Bi)i證明：p(A)p(A\o"CurrentDocument"n n證明：p(A)p(A\o"CurrentDocument")p[A(Bi)]p[(AB)]1 i1np(Bi)p(A|Bi)=p(ABp(Bi)p(A|Bi)i1例11、某保險公司從保險的角度認為，人可分為兩類，第一類是容易發(fā)生意外的人，另一類是比較謹慎的人，據該公司統(tǒng)計，易發(fā)生意外的人在固定的一年內的某個時刻出一次事故的概率為 0、4,而較謹慎的人的概率為0、2,若假定第一類人占30%,則一個新保險客戶在他購買保險單后一年內可能發(fā)生一次意外事故的概率是多少？解：設A為事件"新保險客戶在一年期間出現(xiàn)一次意外 ",B1為事件"新客戶屬第一類"，B2為事件"新客戶屬于第二類"，所以p(A)p(A|B1)p(B1)p(A|B2)p(B2)0.40.30.20.70.264、貝葉斯(Bayes)公式定理若設B1、B2、、Bn是一列互不相容的事件，且nBi ,p(Bi)0(i1、2、、n)i1則對任一事件A,有p(Bi|A) np(Bi'p(A|Bi)(i1、2、、n)p(Bj)p(A|Bj)j1例12、在上例中，如果一位新保險客戶在他購買保險后一年內出了一次事故，問此客戶是第一類人的概率是多少？解：p(B1|A) p(A|B1)p(B1)——但3至P(A|Bi)p(Bi)p(A|B2)P(B2) 0.26 13五、事件的獨立性定義對任意的兩個事件A、B,若p(AB)p(A)p(B)成立，則稱事件A、B是相互獨立的，簡稱為獨立的。定義對于事件A、B、C,如果p(AB)p(A)p(B)p(AC)p(A)p(C)p(BC)p(B)p(C)p(ABC)p(A)p(B)p(C)則稱事件A、B、C相互獨立。例13、 設甲、乙、丙三射手獨立地射擊同一目標，他們擊中目標的概率分別是0、9,0、88,0、8,求在一次射擊中，目標被擊中的概率。解：設A1、A2、A3分別為事件"甲、乙、丙獨立擊中目標”，B為事件"目標被擊中"，A1、A2、A3相互獨立，則A1、A2、A3相互獨立。BA1A2A3p(B)p(AiA2%)1p(AA2A3)1pRKA)=1p(A1)p(A2)p(A3)10.10.120.20.9976六、貝努里概型一般地說，如果試驗只有兩個可能的結果： A及A,并且p(A)p,p(A)1pq(其中0p1),將該試驗獨立地重復n次的試驗構成了一個試驗，這個試驗稱作n重貝努里試驗，簡稱為貝努里試驗或貝努里概型。在n重貝努里試驗中，若事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為 p,在n重貝努里試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率記為pn(k),則k—knkpn(k)Cnpq,q1p例14、甲、乙兩個籃球運動員，投籃命中率分別為 0、8和0、7,每人投籃3次,試求：(1)兩人進球數相等的概率； (2)甲比乙進球數多的概率。解：令A為事件“甲投籃命中”，B為事件“乙投籃命中” 則p(B)0.3p(A)0.8,p(A)0.2；p(B)0.7,

p(B)0.3p1C300.8p1C300.800.23C00.700.33c30.810.22c30.710.32+C；0.820.21八3cc3CC0p2C30.8 0.2C；0.830.20C320.820.21C；0.720.31C30.83C320.720.31 C330.83C300.700.33C320.82C300.700.33 C31 0.810.20C330.730.300.20C30.710.32+0.21 C30.710.32+0.22C300.700.33例15、某大學的校乒乓球隊與系乒乓球隊舉行對抗賽，校隊的實力較系隊強，當一個校隊運動員與一個系隊運動員比賽時，校隊運動員獲勝的概率為 0、6,現(xiàn)校系雙方商量對抗賽的方式，提出三種方案：（1）雙方各出3人；（2）雙方各出5人；（3）雙方各出7人。三種方案中均以比賽得勝人數多的一方為勝利，問：對系隊來說，哪種方案有利？解：設系隊得勝人數為 ，則上述三種方案中，系隊的勝的概率為3p(2) C；(0.4)k(0.6)3k0.352k25p(3)C：(0.4)k(0.6)5k0.317k37p(4)C；(0.4)k(0.6)7k0.290k4對系隊來說，第一種方案有利。第二節(jié)隨機變量及其數字特征一、隨機變量在隨機現(xiàn)象中，有一部分問題與數值直接發(fā)生關系， 例如投擲被子出現(xiàn)的點數為X,為一個可能取值為1、2、3、4、5、6的變量。即使與數值無關的隨機現(xiàn)象，也常常能聯(lián)系數值來描述，例如拋一枚硬幣，正面向上記為1,反面向上記為0,這樣就可以將隨機事件的結果直接和數值相聯(lián)系。隨機事件的結果可以用一個數 X來表示，這個X隨著結果不同而變化，稱X為隨機變量。根據隨機變量可能取得的值，將隨機變量分為離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量。如果隨機變量可能取得的數值為有限個或無窮個孤立的數值，則稱為離散型隨機變量；如果隨機變量可取某一(有限或無限)區(qū)間的任何數值，則稱為連續(xù)型隨機變量。對一個隨機變量X,不僅要了解它取哪些值，而且要了解取各個值的概率，即它的取值規(guī)律，通常把X取值的規(guī)律稱為X的分布。(一)離散型隨機變量的概率分布定義設離散型隨機變量X的所有可能取值為x1、x2 (有限個或可列個)，則稱p(xjp(Xx)i1、2、為隨機變量X的概率分布。顯然 p(xi)滿足以下關系：p(xi)0i1、2、P(Xi)1i1離散型隨機變量X的概率分布常用以下形式表示TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"X x1x2 xn\o"CurrentDocument"p(x)p(x1)p(x2) p(4)例1、投擲被子，出現(xiàn)的點數X,全部取值可列成下表：\o"CurrentDocument"X 1 2 3 4 5 6\o"CurrentDocument"p(x) 16 16 16 ^6 16 16例2、設射手每次射擊擊中目標的概率為 p(0p1),該射手不斷向一目標射擊，直到擊中目標為止，則射擊次數的概率分布為P(k)(1P)k1P,1、2直到擊中目標為止，則射擊次數的概率分布為P(k)(1P)k1P,1、2、3用分布列表不為P(k)P(1P)P(1P)k(1P)k以下介紹四種常用的離散型隨機變量及其概率分布(1)兩點分布設隨機變量只取兩個可能值1,它的概率分布為P(k)p(1)兩點分布設隨機變量只取兩個可能值1,它的概率分布為P(k)pk(1\1kP)(0p1)則稱服從兩點分布。相應的分布列為P(k)1P如果一個隨機試驗只有兩種結果,P(k)1P如果一個隨機試驗只有兩種結果,即它的樣本空間只有兩個元素,{1，2),0當0當(){1當1來描述這個隨機試驗的結果。2二項分布假定在n重貝努里試驗中，每次試驗事件 A發(fā)生的概率為P,不發(fā)生的概率為q1p,用表示n重貝努里試驗中事件 A發(fā)生的次數，顯然是一個隨機變量，P(k)C：Pkqnk, k1、2、、n將n重貝努里試驗中事件A發(fā)生k次的概率稱為二項分布，記為b(k;n,p)。當n1時的二項分布就是兩點分布。例3、設某棒球手擊球得分的概率是 0、1,那么他擊球5次，得分少于3的概率是多少？解：P5(X3)P5(X0)P5(X。P5(X2)=C；0.100.95C；0.110.94cl0.120.930.9914普阿松(poisson)分布 在二項分布中，當n很大，p很小時，二項分布可用普阿松(poisson)分布去逼近。kPn( k)--e, (np)k!其中k是試驗n、次,事件A發(fā)生的次數。例4、某電話交換臺有300個用戶，在一小時內每一電話用戶使用電話的概率等于0、01,求在一小時內有4個用戶使用電話的概率。解：設在一小時內使用電話的用戶數為 ，則服從二項分布，p(4)C34000.0140.99296由于n300,p0.01,有np3000.013- 34 3故有p(4)一e0.1684!幾何分布 設在可列重貝努里試驗中，事件 A發(fā)生的概率為p,記A首次出現(xiàn)時的試驗次數為，它的可能取值為12、3 ，則其概率分布k1p(k)qp,k1、2、3 稱為幾何分布，記為g(k;p)。(二)、連續(xù)型隨機變量及其概率密度定義設隨機變量X,如果存在非負可積函數 f(x),(x),使得對任意b實數ab,有p(aXb)f(x)dx,則稱X為為連續(xù)型隨機變量， 稱af(x)為X的概率密度函數，簡稱概率密度或分布密度。概率密度有下列性質：性質1 f(x)0性質2 f(x)dx1x為任意實數x為任意實數，則稱函數F(x)p(的分布函數。0.6,求一次投籃時命中次數的分布律和分布函數。,顯然為隨機變量，它的可能取值為 0和1,，一… 0 1的分布律為p0.40.6連續(xù)型隨機變量在任一點處的概率都是p(Xa)limp(aXax)x0p(aXb)p(aXb)p(a例5、設隨機變量X的概率密度為求：(1)系數A; (2)p(0解：(1)由于 f(x)dx1,則1Ae卜dx2Aexdx2A,0,、 11x(2) p(0 1)—exdx2。(三)、分布函數及隨機變量函數的分布定義設是一個隨機變量，(x)為例6、某人投籃命中的概率為解：設一次投籃命中次數為0表示命中0次，即未投中1表不命中1次。易知，

0。axlimf(x)dx0x0abXb)p(aXb)f(x)dxaf(x) Ae|x|,(x)1)~, 1所以A12e1當x0時，( x)為不可能事件， 所以F(x)p(x)0⑵當0x1時，(x)( 0)F(x)p(x)p(0)0.4F(x)p(x)p(0)0.4(3)當x1時，(x)((3)當x1時，(x)(所以F(x)p(x)p(0)( 1),且( 0)與(1)互不相容,0)p(1)0.40.61因此， 的分布函數為0 x0F(x)0.40x11 x1隨機變量的分布具有下列性質:(1)、單調性若x1x2，則F(x1)F(x2)；(2)、有界性0F(x)1,且有l(wèi)imF(x)(1)、單調性若x1x2，則F(x1)F(x2)；(2)、有界性0F(x)1,且有l(wèi)imF(x)0,lim

xF(x)1;(3)、F(x)是右連續(xù)的。例7、已知隨機變量 的分布函數為F(x)014341解:p(p(p(p(2p(44)、 J一)，p(—\o"CurrentDocument"21 1 1『丐)43)=F(-)\o"CurrentDocument"2 22)/1 1\\o"CurrentDocument"p( )4 2七)10%)例8、若隨機變量X的概率密度為f(x)求X的線性函數例8、若隨機變量X的概率密度為f(x)求X的線性函數YX 的概率密度(其中均為常數，且 0)解：隨機變量Y的分布函數為FY(y)P(Yy)p(Xy)p(X y-)…、一。 1 與J留度函數為f(Y) e22下面介紹幾種常見的連續(xù)型隨機變量及其分布1、均勻分布x22dx如果隨機變量 的概率密度是 f(x)axbab，則稱服從［a,b］上其它的均勻分布0xa—xa相應的分布函數為F(x) Jaaxbba1xb例9、一位乘客到某公共汽車站等候汽車，如果他完全不知道汽車通過該站的時間，則他的侯車時間X是一個隨機變量，假設說汽車站每隔10分鐘有一輛汽車通過,則乘客在0到10分鐘乘上汽車的可能性相同。因此，隨機變量X服從均勻分布，密度函數為f(x)110

00x10其它他等候時間不超過5分鐘的概率是 p(0x5)因此，隨機變量X服從均勻分布，密度函數為f(x)110

00x10其它他等候時間不超過5分鐘的概率是 p(0x5)—dx0.5他等候時間超過7分鐘的概率是p(710)010Zdx7103102、正態(tài)分布如果連續(xù)型隨機變量 X的密度函數是

(x)21 ——Lf(x) —e2 (x)(*)2則稱X服從正態(tài)分布，記作 X~N(,2),其中、均為常數，且0。正態(tài)分布是數理統(tǒng)計中最重要的一種分布，它具有以下性態(tài)：(1)、分布曲線在x軸的上方，以(x)21 ——Lf(x) —e2 (x)(*)2則稱X服從正態(tài)分布，記作 X~N(,2),其中、均為常數，且0。正態(tài)分布是數理統(tǒng)計中最重要的一種分布，它具有以下性態(tài)：(1)、分布曲線在x軸的上方，以x 為對稱軸，且當x是，f(x)有最大值；(2)、、 為正態(tài)分布兩參數， 確定分布的位置，確定分布的形狀，愈大，圖像愈扁平；(3)、在x與x 之間，圖形上凸，而其它部分下凹，曲線向兩側延伸，永不和x軸相交；(4)、x的取值范圍是整個x軸。在(*)式中，若0, 1,則稱X服從標準正態(tài)分布，記為X~(0,1)其密度函數為對于(*)式,1不 (x) ,—e ,分布函數為人x令u ,x(x)(t)dtu2則有f(u)e2,稱U服從標準正態(tài)分布,記為U~N(0,1)對于一般的正態(tài)分布N(,2)都可以通過變量代換轉化為標準正態(tài)分布 N(0,1)o利用標準正態(tài)分布表可以作相應的運算。b事件(aXb)的概率為p(aXb)(t)dta(b) (a)由于標準正態(tài)分布的密度函數是偶函數，故有(x)1 (x)(1)p(2解：(1)p(25);(2)p(0);(3)p{(1)p(2解：(1)p(2TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"23 353 2\o"CurrentDocument"5)=p(————) (-)1(-)0.37793\o"CurrentDocument"3 3 3 3

1(-)0.37793,303 p(0)=p(---)1 (1)0.84133 3⑶{ 36}( 36)( 3 6)( 9)( 3)p{36}p(9)p(3)1 (2) (2)0.0456p{36}p(9)p(3)1 (2) (2)0.0456例11、測得某市120名13歲男孩身高服從正態(tài)N(143.1,5.62),(x143.1厘米,s5.6厘米)，試求：身高在137?148厘米的學生數；身高在150厘米以上學生數；以均數為中心，概率為 95%的分布區(qū)間。137143.1x143.1 148143.1、八―斛：(1)p(137x148)p( )0.6727TOC\o"1-5"\h\z5.6 5.6 5.6n(137x148)Np(137x148)1200.672781x143.1150143.1、⑵p(x150)p( )0.10935.6 5.6n(x150)Np(x150)1200.109313— 1095xxu s所以 x1(4)由題息p(xx1)p(x x2xxu s所以 x1xxus查表得u1 1.96,u2 1.96xu1s143.11.965.6132.1x2 xu2s143.11.965.6154.1以均數為中心，概率為95%的分布區(qū)間為(132、1,154、1)。二、數學期望(平均數)離散型隨機變量的數學期望定義 設離散型隨機變量X的概率分布Xx1 x2 xn稱"xkpk為隨機變量X的數學期望,p(Xxk)Pip2 pn k1簡稱期望或均值，記為E(X)

當X的可能取值xk為可列個時，p(X xk)pk,k1、2、E(X)= XkPk°k1如果級數XkPE(X)= XkPk°k1對于離散型隨機變量X對于離散型隨機變量X的函數Yf(X)的數學期望若存在,則E(f(X))例則E(f(X))例1、貝努里分布例2、二項分布nE kpkk0例3、普阿松分布f(Xk)Pk,kkPo1pq,P1八kknkPk Cnpq,knkknkkCnpqk0kPke，kk!1、2、，1PEkpkk0、nnk1k1nknpCn1pqk11、2、，np(Pq)n1npkEkkEkPkk-k0 k1k!k1e eek1(k1)!(2) 連續(xù)型隨機變量的數學期望定義設X是具有密度函數f(x)的連續(xù)型隨機變量，如果積分 xf(x)dx絕對收斂，則把它稱為(2) 連續(xù)型隨機變量的