第10章(離散選擇模型)

離散選擇模型第十章目錄虛擬解釋變量

線性概率模型

線性概率模型

Logit模型Probit模型

三者的比較例子：房地產(chǎn)類上市公司財務困境的預測

§10.1虛擬解釋變量一．測量截距的變動假設農(nóng)民接受的教育水平以及性別是影響收入的主要因素，虛擬變量Di表示性別，對于女性Di=1，對于男性Di=0。同時，以Yi表示農(nóng)民的收入，Xi表示農(nóng)民受教育的水平。農(nóng)民收入回歸模型：

(10.1.1)

如果我們假定模型(10.1.1)中隨機誤差項εi的條件期望為0，則男、女收入的總體回歸函數(shù)可表示為：

可以看出，女性收入方程的截距為β0+β2，男性收入方程的截距為β0，由于性別差異所導致男女收入的差異體現(xiàn)在截距上，因此，模型(10.1.1)的虛擬變量描述了男女收入方程中的截距的變化。

(10.1.2)對于類似模型(10.1.1)定義的虛擬變量，把虛擬變量取值為0的一組稱為基準組，而把取值為1的組稱為對照組。對模型(10.1.1)也可以定義男性Di=1，女性Di=0。這樣變化后，請重寫模型（10.1.2），并解釋截距項的變化。模型中應該引入幾個虛擬變量呢？能否在模型(10.1.1)中再引進一個虛擬變量di，并將其定義為：女性di=0，男性di=1？這樣，回歸模型轉(zhuǎn)化為(10.1.3)

由于女性Di=1，男性Di=0，所以Di

+di=1。這樣將導致完全多重共線性？(提示：可認為β0系數(shù)后面也有一個解釋變量，這個解釋變量的取值都為1)。(10.1.3)

當模型存在截距項時，如果定性虛擬變量含有m個分類，則在模型中應引入m

-1個虛擬變量。如果引入m個虛擬變量，從而產(chǎn)生完全多重共線性，這就是所謂的虛擬變量陷阱問題。若將模型中的截距項去掉，如果定性虛擬變量含有m個分類，則在模型中應引入m個虛擬變量。模型中應該引入幾個虛擬變量呢？例10-1下面以我國2000-2007年季度GDP數(shù)據(jù)為例來說明虛擬變量如何度量截距的變化，圖10.1是關于GDP的序列圖。圖10.1.1GDP序列圖結合數(shù)據(jù)特征，我們首先定義季度虛擬變量。

設定回歸模型為：(10.1.3)估計結果如下：由于代表第二季度和第三季度的虛擬變量的回歸系數(shù)在5%的顯著性水平都不能拒絕零假設，說明第二季度、第三季度的GDP與第一季度的GDP沒有顯著差異。因此，應把第一季度、第二季度、第三季度的GDP歸并在一個組別中，僅需把季度因素分為第四季度和其他季度，這樣我們進而在模型中引入一個虛擬變量D3t。(1.02)

t=(6.83)

(1.29)

(6.05)

(16.88)得到的回歸模型如下：t=(9.43)(6.50)(17.08)從回歸結果看，虛擬變量D3t對應的回歸系數(shù)為11122.9與理論預期一致且統(tǒng)計顯著，其含義為，在其他條件不變前提下，平均來說，第4季度比其余季度的GDP高11122.9億。二．測量斜率的變動使用虛擬變量也可以測量回歸模型中斜率系數(shù)的變化。例如，以國內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)代表收入，以居民消費支出代表消費(C)。考慮我國的居民收入對居民消費支出的影響。我國居民的邊際消費傾向可能大約在2000年開始發(fā)生顯著的變化。

定義虛擬變量：

設定回歸模型：2000年前后，我國消費函數(shù)的回歸函數(shù)為：從(10.1.5)式可以看出，2000年以前的邊際消費傾向為β1+β2

，2000年以后的邊際消費傾向為β1，2000年前后消費函數(shù)的差異體現(xiàn)在斜率系數(shù)上。因此，在回歸模型中以虛擬變量和數(shù)值型解釋變量相乘的方式引入虛擬變量，可以用來度量回歸模型斜率系數(shù)的變化。

(10.1.4)

(10.1.5)

估計模型(10.1.4)，結果如下：t=(1.65)(70.10)

(2.99)回歸結果表明，估計的β2為0.05，其對應的t統(tǒng)計量值為2.99，可以在5%的顯著性水平上拒絕零假設，因此，我國2000以前的邊際消費傾向顯著高于2000以后的邊際消費傾向，平均來說高0.05。三．使用虛擬變量檢驗模型的穩(wěn)定性以城鄉(xiāng)居民儲蓄存款余額代表居民儲蓄(S)，以GDP代表居民收入。

我們以1990年為分割點設定虛擬變量：Dt=1(1990年以前)，Dt=0(1990年以后)設定儲蓄函數(shù)回歸模型：1978-1989年和1990-2006年的儲蓄函數(shù)分別是：如果估計的β1顯著不為0，則表明儲蓄函數(shù)的截距發(fā)生結構變化；如果估計的β3顯著不為0，表明儲蓄函數(shù)的斜率系數(shù)發(fā)生結構變化；如果估計的β1，β3聯(lián)合不為零，則表明儲蓄函數(shù)的截距和斜率都發(fā)生結構變化。

(10.1.5)

可以使用通常的t統(tǒng)計量檢驗單個回歸系數(shù)β1或β3的顯著性，而對于β1，β3的聯(lián)合顯著性，則使用通常受約束的F統(tǒng)計量。模型(10.1.5)的估計結果如下：

t=(-9.65)(5.31)(57.83)(-2.18)

這一結果表明，分別來看，我國儲蓄函數(shù)的截距和斜率在1990年前后發(fā)生了結構變化。對β1和β3的聯(lián)合為0的原假設，我們使用約束的F檢驗。其約束條件為β1=β3

=0。記RSSr為有約束的殘差平方和，RSSu為無約束的殘差平方和，構造并計算F統(tǒng)計量：由于計算得到的F統(tǒng)計量值17.65>F0.05(2.25)=3.39，故拒絕原假設，接受備擇假設，我國儲蓄函數(shù)在1990年前后發(fā)生顯著結構變化。1990年以前的邊際儲蓄傾向為

β2+β3=0.832-0.481=0.3511990年后的邊際儲蓄傾向為0.832

四．虛擬變量之間的交互作用如同定量變量一樣，虛擬變量也能產(chǎn)生交互作用，例如，如果認為性別和學歷是影響保健支出的主要因素，則可以構建以下模型：這里，Yi

表示居民的保健消費支出，D1i

為性別虛擬變量，D2i為學歷虛擬變量。若為女性D1i

=1，否則，D1i=0；若為大學本科及以上，D2i=1，否則，D2i=0。Xi為其它影響保健支出的定量變量，如收入等。(10.1.6)該模型隱含的含義是：由于學歷差異，男性在保健支出的差別與女性在保健支出的差別是一樣的。在許多應用中，這種假定很可能不成立。也許對于女性而言，學歷差異導致的保健支出的差異大于男性。也就是說，兩個虛擬變量D1

和D2

之間會相互影響?？梢圆捎锰摂M變量的交互作用項來反映這種影響：參照虛擬變量的定義，你能分析虛擬變量的交互作用項如何保健支出的差異嗎？(10.1.7)Wooldridge(2000)的一個例子：若一個人在工作過程中使用了計算機，則虛擬變量work=1，否則work=0；若一個人在家使用計算機，則虛擬變量home=1，否則home=0。利用1989年人口普查中13379個樣本，得到回歸結果：t=(19.67)(3.68)(0.74)

結果表明：在工作中使用計算機但在家里不用計算機的人比一個什么時候都不使用計算機的人，平均工資高17.7%，一個在家里使用計算機但在工作中不使用計算機的人，平均工資比根本就不使用計算機的人高7%；在家里和在工作中都使用計算機的人，比兩種情況下都不使用計算機的人，平均工資高26.4%。

§10.2線性概率模型一．線性概率模型的定義為了說明問題，先建立一個簡單的回歸模型：其中，如果高中畢業(yè)后選擇上大學，Yi=1；如果高中畢業(yè)后選擇不上大學，Yi

=0，為簡化，這里僅寫出一個解釋變量Xi，它表示家庭收入。

(10.2.1)如果我們?nèi)匀患俣S機誤差項ε的條件期望為0，就可以得到：現(xiàn)在記pi為選擇上大學的概率，即“Yi=1”的概率，則1-pi為選擇不上大學的概率，即“Yi=0”的概率，這樣，Yi服從貝努里二項概率分布，即p(Yi=1)=pi

，

p(Yi=0)=1-pi。由數(shù)學期望的定義：如果我們稱Yi=1的條件概率為成功的概率，則成功的概率p(Yi=1|Xi)=E(Yi|Xi)是解釋變量的線性函數(shù)，因此，模型(10.2.1)被稱為線性概率模型(linearprobabilitymodel,LPM)

(10.2.2)

=二．有關線性概率模型的問題

1、誤差項ε不服從正態(tài)分布在線性概率模型中，誤差項εi和Yi一樣，只取值0或1,εi服從正態(tài)分布的假定就不成立。εi服從貝努里分布。在小樣本下，不能使用通常的t統(tǒng)計量和F統(tǒng)計量對(10.2.1)的OLS估計量進行統(tǒng)計推斷，但在大樣本下，仍可沿用正態(tài)性假定下的方法。

2、線性概率模型的誤差項εi也不滿足同方差的假定

由于εi的均值為，因此，誤差項εi的方差隨著解釋變量Xi的變化而變化，從而誤差項有異方差。使用加權最小二乘法校正異方差，選擇校正的權數(shù)為，得到：(10.2.4)

(10.2.5)(10.2.5)的誤差項是同方差的，但權重wi是未知的。因而，估計模型(10.2.5)之前必須先估計權重wi。可以使用如下兩步法：(1)直接使用普通最小二乘法估計(10.2.1)，基于此得到，再求出的估計值。(2)按照(10.2.5)的方法，用估計的對原始模型(10.2.1)進行數(shù)據(jù)變換，對變換后的模型做普通最小二乘估計。

3、0≤E(Yi|Xi)≤1

可能不滿足。

簡單的克服方法是令所有大于1的等于1，令所有負的值都等于0。另一種更為合理的處理無界限性的方法，是以非線性平滑和有意義的方式的迫使所有的落在0～1之間，這就是我們將在本章后面將要講述的二分應變量Logit模型和Probit模型。

4、R2不是總體擬合優(yōu)度的一個精確度量R2的替代指標

1、使用樣本中能夠被估計的方程正確解釋的Yt的觀測值所占樣本總量的百分比去代替R2。2、計算正確解釋1的百分數(shù)和正確解釋0的百分數(shù)，然后報告這兩個百分數(shù)的平均數(shù)，我們定義為。

例10-4

Wooldridge(2000)研究了已婚婦女參與勞動力市場工作影響因素的模型。如果已婚婦女為了工資而在家庭以外工作過，二值變量inlf=1，否則inlf

=0；已婚婦女進入勞動力市場受到如下因素的影響：丈夫的收入(has)，過去在勞動力市場工作的年數(shù)(exp)，受教育的年數(shù)(edu)和年齡(age)，年齡低于6歲的孩子數(shù)(kid6)，年齡介于6歲-18歲的孩子數(shù)(kid)。使用1975年753個樣本的估計結果如下：

t=(3.81)(-2.43)(5.43)(6.50)

(-3.33)(-8.00)(-7.71)(1.00)

(10.2.6)從這個例子中可以很容易地看到線性概率模型的某些不足：1、如果在(10.2.6)中代入解釋變量的某些特定組合值，很可能得到預測的inlf大于1或小于0。實際上，在Wooldridge(2000)使用的753個樣本中，預測到inlf為負有16個樣本，預測到inlf大于1的樣本有17個。2、線性概率模型(10.2.6)意味著已婚婦女參與勞動的概率是諸解釋變量的線性函數(shù)，而現(xiàn)實中，已婚婦女參與勞動的概率不應該與解釋變量的所有可能值都是線性相關。

§10.3Logit模型一．Logit

模型的含義在線性概率模型中，選擇上大學的概率與家庭收入的線性關系為：使用累積邏輯斯蒂(cumulativeLogistic)分布函數(shù)描述選擇上大學的概率與家庭收入的關系：（Yi=1的概率落在0~1之間）(10.3.1)(10.3.2)為表述方便，模型(10.3.2)等價的改寫為：這里，使用Logit函數(shù)所描述的pi與Zi之間的關系是非線性的。(10.3.3)圖10.2.2：pi與zi的關系圖如果選擇上大學的概率由(10.3.3)表述，則選擇不上大學的概率為：現(xiàn)在，等式左邊的變量為pi/(1-pi)，它表示一個高中畢業(yè)生選擇上大學與選擇不上大學的比率，我們把這個相對比率稱為機會比率。對(10.3.5)兩邊取自然對數(shù)，得到：這里，Li被稱為Logit。這樣，就將初始模型(10.3.2)轉(zhuǎn)化為標準線性模型

(10.3.4)(10.3.5)(10.3.6)(10.3.6)具有如下特點：(1)雖然L對X為線性，但概率p本身與X卻是非線性關系，與概率p隨X而線性變化的線性概率模型有很大不同。(2)若L為正數(shù)，這意味著當解釋變量的值增加時，被解釋變量等于1的概率也增加；若L為負數(shù)，表明隨著解釋變量的值增加，被解釋變量等于1的概率的機會下降。(3)式中斜率系數(shù)β1的含義是，X每單位變化所導致的L的變化。對于截距項β0，如同普通的線性模型，它沒有明顯的經(jīng)濟含義。(4)對于給定的解釋變量X，我們真正想估計的并不是機會比率的對數(shù)，而是成功的概率(即Y=1的概率)。因為，成功的概率有直觀的經(jīng)濟含義，而機會比率不容易直觀地說出其經(jīng)濟含義。但是，一旦有了β0+β1Xi的估計值，我們很容易根據(jù)(10.3.6)計算出成功的概率。二．Logit

模型的估計為估計目的，將(10.3.6)改寫為計量模型：為估計該模型，我們必須首先知道被解釋變量Li的值，那么，如何得到Li的值呢？：(1)個體水平數(shù)據(jù)；(2)群組數(shù)據(jù)或重復觀察數(shù)據(jù)。

(10.3.7)

1、群組數(shù)據(jù)的估計方法表10.4高中畢業(yè)生的家庭收入與選擇上大學的假想群組數(shù)據(jù)對應于每個收入水平Xi，有Ni個高中畢業(yè)生，其中有ni個選擇上大學(ni≤Ni)。根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可以使用每組家庭收入所對應的選擇上大學的相對頻率作為在這一收入水平下高中生選擇上大學概率的估計：(10.3.8)隨機誤差項服從均值為0，方差為的正態(tài)分布。顯然，如同線性概率模型，Logit模型的誤差項方差取決于pi，因此也是異方差。這樣，為了獲得有效估計，就應該使用加權的最小二乘法估計模型。我們用作為pi的估計，用作為的估計量。這樣，使用加權最小二乘法估計Logit模型的步驟如下：（1）對于每一個收入水平，計算選擇上大學的概率；（2）對每一個收入水平Xi，求Logit：（3）為解決異方差，對數(shù)據(jù)變換：

其中，權重，經(jīng)過這樣變換后，誤差項為同方差。（4）用普通最小二乘法估計模型(10.3.10)，并用線性模型時通常使用方式構造置信區(qū)間和進行假設檢驗。(10.3.10)t=(0.016)(7.55)

記得，因此，取估計的Logit的反對數(shù)，可得到pi/(1-pi)，即選擇上大學的機會比率。這樣，對(10.3.11)取反對數(shù)，得到：計算得到家庭收入對選擇上大學的加權機會比率的偏效應為：。這意味著，家庭收入每增加一個單位，選擇上大學的加權機會比率平均大約增加1.8%。(10.3.11)當有k個解釋變量時，對斜率系數(shù)一般的解釋為：如果選取第j(j≤k)個斜率系數(shù)的反對數(shù)，再從中減去1并乘以100，你將得到對應于第j個解釋變量每增加1個單位導致的機會比率的百分比變化。

X=40時，選擇上大學的概率是多少？將代入(10.3.11)，計算得到：

求解得到：

計算解釋變量X對機會比率的偏效應利用微積分的知識，容易得到在家庭收入為40單位水平上，收入每增加增加一單位，選擇上大學的概率的變化是：2、個體數(shù)據(jù)的Logit模型如果僅有個體數(shù)據(jù)，就不能直接使用普通最小二乘法對模型進行估計，我們采用極大似然估計（maximumlikelihood,ML）。(1)極大似然估計量具有一致性和漸近有效性，在大樣本情況下還具有無偏性和最小方差性。(2)在樣本很大時，極大似然估計還具有系數(shù)估計量為正態(tài)分布的性質(zhì)。

(3)對于二值虛擬被解釋變量模型，通常所計算的擬合優(yōu)度R2沒有太多的現(xiàn)實意義。McFadden

R2的度量方法，簡記為，其中，LIFur是模型包含所有解釋變量時無約束對數(shù)似然函數(shù)值，LLFr是回歸模型中僅含有截距項時的有約束的對數(shù)似然函數(shù)值。另一種相對簡單的擬合優(yōu)度的度量方法就是計數(shù)R2，它的定義如下：

計數(shù)

(4)為了檢驗所有斜率系數(shù)同時為零的虛擬假設，這里使用似然比(LR)統(tǒng)計量。在虛擬假設下，LR統(tǒng)計量服從自由度為解釋變量個數(shù)(不含截距項)的分布。例10-6:如果第i個婦女有工作或正在尋找工作，取Yi=1，否則Yi=0。Ai為婦女的年齡，Si為婦女受教育年限。這里Logit模型可以寫為：估計已婚婦女參與勞動市場的模型，數(shù)據(jù)及結果如下：(10.3.12)表10.5婦女參與勞動力市場數(shù)據(jù)回歸模型的總體顯著性檢驗，LR統(tǒng)計量的值為7.30>5.99，因此，所有解釋變量對婦女參與勞動力市場有顯著影響。從單個變量看，年齡對婦女參與勞動力市場沒有顯著影響，受教育的年限對婦女是否參與勞動力市場有顯著影響。每個斜率系數(shù)都是一個偏斜率系數(shù)，它度量了在其余回歸元不變的條件下，某個解釋變量的值變動一個單位所引起的Logit估計值的變化。變量S的系數(shù)為0.53，意味著在其他變量不變的前提下，如果變量S增加一個單位，估計的Logit值平均增加0.53個單位，也表明兩者正相關。

通過對斜率系數(shù)取反對數(shù)從而可得到機會比率，這是一個比Logit更有直觀經(jīng)濟意義的解釋。以變量S為例，對其回歸系數(shù)取反對數(shù)得1.69(≈e0.53)，這表明在控制其他變量不變的前提下，婦女多接受一年教育，其參與勞動市場的機會比率就增加約69%。我們也可以計算出某地婦女參與勞動市場的實際概率?？疾毂碇械?0個婦女的觀察值，將她的數(shù)據(jù)代入所估計的Logit模型，得到她的Logit的估計值為-1.64，計算得到其參與勞動力市場的概率為0.162?？匆幌卤?0.5，這位婦女的Y=1，說明她參與了勞動市場，而我們估計的其參與勞動市場的概率為0.162，遠小于1，說明我們的模型錯誤地預測了這位婦女。30個樣本中正確預測了21個樣本，不正確預測的樣本有9個。根據(jù)預測的結果，可以計算計數(shù)R2

=21/30=0.7，本例中McFaddenR2=0.18，當然這兩者沒有可比性。§10.4Probit

模型在線性概率模型中，虛擬被解釋變量的取值可能超過0～1區(qū)間，Logit模型是使用累積邏輯分布函數(shù)將被解釋變量取值限制在0～1區(qū)間?，F(xiàn)在我們考慮使用另一種方法克服線性概率模型的這一內(nèi)在缺陷。一個簡單而有效的途徑就是把模型的左邊(β0+β1Xt)轉(zhuǎn)化為概率的形式。也就是說，使用一個函數(shù)F，使得：(10.4.1)

我們采用分布函數(shù)或累計密度函數(shù)將轉(zhuǎn)化至0～1區(qū)間。Logit模型就是把函數(shù)選擇為邏輯斯蒂(Logistic)分布函數(shù)，現(xiàn)在我們將函數(shù)F選擇為標準正態(tài)分布函數(shù)，則形成一種新的具有吸引力的模型：這里，。標準正態(tài)函數(shù)就以概率的形式把zi限制在0～1之間，從而Yi=1的概率也在0～1之間。我們將(10.4.2)稱為Probit模型，有時也稱normit模型。(10.4.2)Probit模型看起來和我們在前面考察過的Logit模型不太一樣，但對(10.4.2)進行簡單變換，看起來就會很熟悉：其中是正態(tài)累積分布函數(shù)的反函數(shù)。Probit模型是典型地對具有方程(10.4.2)形式的模型應用極大似然估計，但以形如(10.4.3)方程表示結果。

(10.4.3)

例10-7應用前面Logit模型所使用過的婦女勞動力數(shù)據(jù)來估計Probit模型。

總體顯著性檢驗似然比統(tǒng)計量LR=7.48>5.99，故所有解釋變量對婦女參與勞動力市場有顯著的影響。從斜率系數(shù)估計結果看，斜率系數(shù)估計的符號與理論預期一致，如年齡變量的系數(shù)為負，表示年齡越大，婦女參與勞動市場的可能性越低。從回歸系數(shù)的顯著性檢驗看，年齡變量A的回歸系數(shù)z的統(tǒng)計量值為-0.25>-1.96，其p也約為0.80，意味著年齡對婦女參與勞動力市場沒有顯著影響。變量S所對應回歸系數(shù)z的統(tǒng)計量為2.27>1.96，其p也約為0.023，說明受教育的年限對婦女是否參與勞動力市場有顯著影響。如何解釋Probit模型中斜率系數(shù)的含義呢？

回顧模型(10.4.2)，我們需要求概率對解釋變量的偏導數(shù)，結果為：其中,

是標準正態(tài)概率密度函數(shù)在處的取值，顯然，這個值的計算將取決于Xi的特定值。比如，第20個婦女的年齡A為27，接受教育的年數(shù)S為13，根據(jù)這些數(shù)據(jù)求得==0.302。將這個值乘以斜率系數(shù)的估計值0.324，得到0.302×0.324=0.098。(10.4.4)對于接受教育年數(shù)為13年的婦女，在其余變量不變的前提下，每增加一年接受教育的年數(shù)，參與勞動市場的概率約增加9.8%。根據(jù)上述說明，我們可以簡單總結k個解釋變量的Probit模型中，第j(j≤k)個解釋變量對被解釋變量的偏效應由βjf(zi)給出。這里，f(zi)是標準正態(tài)分布變量的密度，zi代表分析中所用的回歸模型，即：§10.5線性概率模型、Logit模型與Probit模型的比較共同點：線性概率模型、Logit模型和Probit模型都僅是未知的總體回歸模型E(Y|X)=p(Y=1|X)的近似不同點：線性概率模型的應用及解釋相對較簡單和方便，但它不能描述真實總體回歸函數(shù)的非線性，也不能將Y=1的概率限制在0～1之間；Logit模型和Probit模型雖然可以從概率上描述總體回歸函數(shù)的非線性，從而將Y=1的概率限制在0～1之間，但模型的估計和回歸系數(shù)的解釋相對更為困難。Logit模型和Probit模型的比較：邏輯分布有相對較平坦的尾部，也就是說，Logit的條件概率比Probit以更慢的速度趨近于0和1。但由于Logit使用相對簡單的數(shù)學形式，因此，實踐中常常選用它。盡管線性概率模型有明顯的不足，但當解釋變量的觀察值中