第六章剛體動(dòng)力學(xué)1

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apfang@3/27/2008

第六章剛體動(dòng)力學(xué)6-1轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能zO設(shè)剛體包括有N

個(gè)質(zhì)量元,其動(dòng)能為各質(zhì)量元速度不同，但角速度相同剛體的總動(dòng)能P?取J

為剛體對(duì)一定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量UniversityphysicsAPFang繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與其角速度平方乘積的一半結(jié)論二、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算定義式質(zhì)量不連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布dmmzUniversityphysicsAPFang(2)當(dāng)剛體質(zhì)量一定，J與質(zhì)量分布有關(guān)例：圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dmOmR轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的三個(gè)要素(1)J與剛體的總質(zhì)量有關(guān)例：兩根等長(zhǎng)、質(zhì)量均勻分布的細(xì)木棒和細(xì)鐵棒繞端點(diǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量LzOxdmM?x質(zhì)量分布的均勻性對(duì)圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有影響嗎?問題：UniversityphysicsAPFangOLxdmMzLOxdmMz(3)J與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)例：質(zhì)量均勻分布的圓盤繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量ROmrdrUniversityphysicsAPFang例：求均勻細(xì)棒對(duì)其一端點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量ML平行軸定理zLCMz'剛體繞任意軸剛體繞通過質(zhì)心的軸兩軸間垂直距離結(jié)論：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的質(zhì)量、形狀、大小、密度和轉(zhuǎn)軸的位置均有關(guān)。?國際單位制：UniversityphysicsAPFang

對(duì)薄平板剛體的垂直軸定理

y

rix

z

yi

xi

miΔ

o（僅對(duì)薄剛體板成立）

例：求對(duì)圓盤的一條直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量已知垂直軸定理

yx

z

圓盤

R

C

mUniversityphysicsAPFang求空心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例：解：為兩個(gè)實(shí)心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的差值圓盤繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為實(shí)心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為空心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為zR1R2lmUniversityphysicsAPFang求均勻的薄球殼繞直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例：解：R切為許多垂直于軸的圓環(huán)zmrUniversityphysicsAPFang從半徑為R的均質(zhì)圓盤上挖掉一塊半徑為r的小圓盤，該系統(tǒng)的質(zhì)量為m,兩圓盤中心O和O′相距為d，且(d+r)<R

dOO′Rr挖掉小圓盤后，該系統(tǒng)對(duì)垂直于盤面,且過中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

例：解：求：使用補(bǔ)償法則填滿后的總質(zhì)量為m+m/設(shè)小圓盤的質(zhì)量為m/mUniversityphysicsAPFang求均勻立方體(邊長(zhǎng)l、質(zhì)量m)繞通過面心的中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例：解：設(shè)k是一個(gè)無量綱的量Cz立方體繞棱邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為分成八個(gè)相同的小立方體他們繞各自棱邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為····八個(gè)相同的小立方體繞棱邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量=JC

即求J的標(biāo)度變換方法：UniversityphysicsAPFang6-2力矩剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律一、力矩力改變剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)

剛體獲得角加速度定義：zOPh力F

的大小與O

點(diǎn)到F

的作用線間垂直距離h的乘積矢量式力矩是矢量

——反映力的大小、方向和作用點(diǎn)在剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，力矩矢量只有兩個(gè)指向????質(zhì)點(diǎn)獲得加速度改變質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)？UniversityphysicsAPFang(1)力對(duì)點(diǎn)的力矩—更為一般的物體轉(zhuǎn)動(dòng)O.(2)力對(duì)定軸的力矩力對(duì)軸的力矩為A(1)力對(duì)任意點(diǎn)的力矩，在通過該點(diǎn)的任一軸上的投影，等于該力對(duì)該軸的力矩。討論說明A(2)力矩隨參考點(diǎn)而變UniversityphysicsAPFang例：已知棒長(zhǎng)L,質(zhì)量m，在摩擦系數(shù)為

的桌面轉(zhuǎn)動(dòng)(如圖)解：根據(jù)力矩xLOmxdxTT'TT'例如TT'在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，力矩可用代數(shù)值進(jìn)行計(jì)算?求：摩擦力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩UniversityphysicsAPFang剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律作用在剛體上所有的外力對(duì)定軸z軸的力矩的代數(shù)和剛體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度(1)M

正比于

，力矩越大，剛體的

越大(2)力矩相同，若轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同，產(chǎn)生的角加速度不同二、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律實(shí)驗(yàn)證明當(dāng)M為零時(shí)，當(dāng)存在M時(shí)，(3)與牛頓定律比較：說明則剛體保持靜止或勻速轉(zhuǎn)動(dòng)與M

成正比,而與J

成反比——表述剛體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程UniversityphysicsAPFangO理論推證取一質(zhì)量元切線方向法線方向?qū)潭ㄝS的力矩對(duì)所有質(zhì)元合內(nèi)力矩=0合外力矩M剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J?UniversityphysicsAPFang結(jié)論：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律——描述剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，地位與描述質(zhì)點(diǎn)的牛頓定律相當(dāng)。三、轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用舉例UniversityphysicsAPFang例1：一剛體系統(tǒng)，如圖所示。已知，兩輪半徑為

R、r，對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，繩子與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)，求：兩物的加速度、繩子的張力?12R

r

O

解：如何確定討論：?充分利用角量與線量的關(guān)系?轉(zhuǎn)動(dòng)定律與牛頓第二定律聯(lián)用例2：