第六章空間力系重心

第六章空間力系重心

§6-1工程中的空間力系問題§6-2力在空間坐標(biāo)軸上的投影§6-4空間力系的平衡方程§6-5重心的概念§6-3力對點之矩和力對軸之矩§6-6重心坐標(biāo)公式§6-7物體重心的求法§6-1工程中的空間力系問題

一、空間力系的概念

不能簡化到某個平面的力系。二、空間力系分類

xyz§6-2力在空間坐標(biāo)軸上的投影一、直接投影法

設(shè)α、β、γ分別為力F與x軸、y軸、z軸正向夾角，則F在坐標(biāo)軸上的投影：OFxFyFzFαβγ若已知力F的投影，則力F的大小和方向：xyz二、間接投影法

OFxFyFzFFxyθφ若已知力F的投影，則力F的大小和方向：§6-3力對點之矩和力對軸之矩OxyzrF一、力對點之矩mO(F)=

r×FmO(F)力矩是(定位于矩心的)定位矢量，其方向由右手螺旋定則確定。設(shè)r=xi+yj+zk，F(xiàn)=Fxi+Fyj+Fzk，則mO(F)在坐標(biāo)軸上的投影為：Oxyz二、力對軸之矩概念

力F對z軸之矩等于其在垂直于z軸的平面上的分力Fxy對z軸與此平面的交點O之矩。Oxy平面中Fxy對點O之矩就是空間中Fxy對通過O點且與Oxy平面垂直的z軸之矩。在空間坐標(biāo)系Oxyz中，設(shè)作用于點A(x,y,z)的力F在平行于z軸的方向和平面Oxy上的分力為Fz、Fxy，即：FxyFzAFOxyzrFmO(F)FxyMZ(F)r因力對與其共面(平行、共線或相交)的軸之矩為零，故F對z軸之矩等于Fxy對z軸之矩，即：將Fxy分解，即：由平面一般力系合力矩定理知：故OxyzFxyFzAFFxFy同理：xyzO符號規(guī)定面對選定的坐標(biāo)軸正向，繞該軸逆時針轉(zhuǎn)的力矩為正值，順時針轉(zhuǎn)的力矩為負(fù)值。mxmymzmxmymz+-+-+-視線視線視線§6-4空間力系平衡方程yxOzyxOzyxOz一、空間一般力系的簡化

F1r1F2r2F3r3F1r2F1'm1m2m3利用力的平移原理，空間力系Fi向簡化中心O平移，得到一匯交于O點的空間匯交力系Fi‘和矩為mi的空間力偶系。可將Fi’合成為一個合力R‘

，將力偶系合成為一對矩為MO的合力偶。F3F3'r1F2F2'r3F1'm2m3F2'm2m3MOF2'F3'm1RF3'——原力系Fi的主矢(矢量)，與簡化中心無關(guān)?！ο礔i對簡化中心O點的主矩(矢量)，一般與簡化中心位置有關(guān)。結(jié)論：空間一般力系向任意一點O簡化，可得到一個力和一對力偶。該力為原力系的主矢，作用線通過簡化中心；該力偶的矩矢等于該力系對簡化中心的主矩。在以簡化中心O為原點的空間直角坐標(biāo)系中，主矢和主矩的解析表達(dá)式(投影)為：主矢：——主矢在坐標(biāo)軸上的投影等于各分力對同一軸之投影的代數(shù)和。主矩：——主矩在坐標(biāo)軸上的投影等于各分力對該軸之力偶矩的代數(shù)和。二、合力矩定理

空間力系Fi的合力R對某一軸之矩等于力系中各分力Fi對同一軸之矩的代數(shù)和。即：顯然，上式亦為空間力系的主矩在坐標(biāo)軸上的投影?！纠?-1】設(shè)空間力系Fi的作用點在各自箭頭的起點，分布在邊長為a的正方體上且邊長代表的力大小為Fa。【解】1)求合力R在坐標(biāo)軸上的投影zxym2m3Om1求：1）Fi的合力R在坐標(biāo)軸上的投影；2）R的大小及方向；3）R對各坐標(biāo)軸之矩；F3F1F2F4F5F63）求R對各坐標(biāo)軸之矩由合力矩定理知：2）求R的大小及方向設(shè)R與x軸正向、y軸正向、z軸正向的夾角分別為α、β、γ。則：zxym2m3Om1F3F1F2F4F5F6zxym2m3Om1F3F1F2F4F5F6三、空間力系平衡的充要條件

力系中諸力在坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和為零，對各軸之矩代數(shù)和為零。四、空間一般力系的平衡方程

——力平衡——力矩平衡五、注意事項

空間一般力系平衡方程數(shù)為6個，只能運用該方程求解6個未知量，若未知量超過6個，則為超靜定問題。平面一般力系是空間一般力系的特例。即：zxyO其平衡方程為：——僅可能求3個未知數(shù)空間平行力系是空間一般力系的特例。即：xyzO平衡方程為：——僅可能求3個未知數(shù)空間匯交（共點）力系只能列出三個力投影方程，只能求解三個未知數(shù)。2.注意事項三個投影軸可以不相互垂直，但三軸不能共面，任意二軸不能平行；三個力矩軸可不相交，可不互相垂直。若用力矩方程也能保證合力為零，則可用力矩方程代替力投影方程。若所選的力矩軸與未知力平行或通過幾個未知力(或力的作用線)交點，則可使平衡方程中的未知數(shù)的數(shù)量減少。六、空間一般力系平衡方程的應(yīng)用1.解題步驟選既含已知又含未知力的研究對象作受力分析；根據(jù)力系特征，列相應(yīng)的平衡方程；3)求解?！窘狻?)對整體作受力分析。2)列平衡方程：3)求解：3.例題

【例6-2】圖示結(jié)構(gòu)中A、B、C、D均為球鉸鏈連接，W=10kN。不計桿自重，求A、B、C處約束反力。xyzABCDWO15o30o45o45oFBFAFC【例6-3】勻質(zhì)等厚度圓盤重為W，在其周邊3點用鉛垂細(xì)線懸掛在水平位置，已知φ1=90o，φ2=150o。求3根線的拉力。ACWBxyzφ1φ2OFA【解】1)設(shè)3根繩子的拉力分別為FA、FB、FC，對圓盤作受力分析。FBFC2)列平衡方程：3)求解：【例6-4】不計桿件和圓盤自重，求圖示結(jié)構(gòu)中夾緊端A處的約束反力。ylllPzxmAxFAmAyD【解】1)對結(jié)構(gòu)作受力分析。2)列平衡方程：3)求解：FA=P，mAx=-Pl，mAy=P(l-D/2)A【例6-5】轉(zhuǎn)軸輪上皮帶拉力T2=2T1，P=2kN，轉(zhuǎn)輪直徑D=40cm，l=20cm，R=30cm，α=30°。求皮帶拉力和軸承A、B的約束反力?！窘狻?)對轉(zhuǎn)軸作受力分析2)轉(zhuǎn)軸上所有力的投影和對各軸之矩列表ABDxyzPRlllT1ααT2FAxFAzFBxFBz002FBzlFBz0-2FBxl000FBx000FAz00000FAx-3T2lsinα-T2D/2-3T2lcosα-T2cosαT2sinα-3T1lsinαT1D/2-3T1lcosα-T1cosαT1sinα0PR-Pl-P0FBzFBxFAzFAxT2T1Pmz(Fi)my(Fi)mx(Fi)FizFixFi3)列平衡方程4)求解【例6-6】齒輪傳動軸大、小齒輪節(jié)圓直徑滿足D=2d，兩齒輪都是直齒，壓力角α＝20o。大齒輪上的主動力R1＝2000N，求該傳動軸勻速轉(zhuǎn)動時小齒輪上的約束反力R2及A、B軸承的約束反力?！窘狻?)對傳動軸作受力分析。2)列平衡方程：R1LLLzxyABR2ααDddFBzFBxFAzFAx3)求解：xyzOABCW1W245o【例6-7】圖示結(jié)構(gòu)中，均質(zhì)桿AB、BC重分別為W1、W2，在B點用球鉸連接并靠在光滑鉛垂墻面，A、C點用球鉸與水平面連接，墻面與AC平行。求A、B、C處約束反力。FB【解】1)對結(jié)構(gòu)作受力分析。FCxFCyFCzFAxFAyFAz2)選整體為研究對象，其平衡方程為：3)選AB桿為研究對象，其平衡方程為：4)求解得：xyzOABCW1W245oFBFCxFCyFCzFAxFAyFAzD§6-5重心的概念

重心可看成是平行力系中心的一個特例，是平行力系合力的作用點。重心：作用于物體上各質(zhì)點的重力可近似地看成是一個平行力系，此平行力系的中心即為重心?！?-6重心坐標(biāo)公式

一、重心坐標(biāo)一般公式

將物體分成n個微單元體，設(shè)各微單元體重為ΔWi，其重心坐標(biāo)為(xiC，yiC，ziC)，物體總重為W，重心坐標(biāo)為(xC，yC，zC)。ΔWi(xiC,yiC,ziC)W

(xC,yC,zC)xCyCyiCziCzCxiCzxyO由于重心位置不隨各力繞其各自作用點轉(zhuǎn)動相同角度而改變，可將物體和坐標(biāo)系繞x軸逆時針轉(zhuǎn)90o。ΔWi(xiC,yiC,ziC)W

(xC,yC,zC)xCyCyiCziCzCxiCzxyO由合力矩定理得：若物體處于均勻重力場中，即則得物體的質(zhì)心坐標(biāo)：

二、重心坐標(biāo)精確公式

當(dāng)n→∞即無限細(xì)分時，則每塊的重力大小ΔWi→0，得重心坐標(biāo)的精確公式：

若物體處于均勻重力場中，質(zhì)心坐標(biāo)的精確公式：三、均質(zhì)物體的重心均勻重力場中均勻物體重度γ為常數(shù)，即，則重心就是物體的形心。1.體積形心一般公式精確公式2.薄殼的形心對于均質(zhì)薄板，其厚度h為常數(shù)，，則形心坐標(biāo)：一般公式精確公式對均質(zhì)平板，。得：一般公式精確公式3.等截面細(xì)長桿的形心對于等截面細(xì)長桿，，則形心坐標(biāo)：一般公式精確公式§6-7重心的求法一、對稱法若形體具有對稱中心，對稱中心即為形心；若形體具有對稱軸線，形心必在該軸上；若形體具有對稱面，形心必在對稱面上；若形體具有兩根對稱軸，形心必在兩軸交點上；若形體具有兩個對稱面，形心在兩對稱面的交線上。ABCOyhbx二、積分法

當(dāng)物體被分割的微小體積(或面積，或弧長)與坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系易寫出時，可用該法求解。【例6-8】

求圖示三角形形心?！窘狻坑上嗨迫切沃篸yyu矩形微單元面積同理，將AB邊作為底邊可得xC的位置?！纠?-9】求圓弧的形心?！窘狻慨?dāng)時，半圓弧形心：。RαθdθOyxdl=Rdθy=Rcosθ

【例6-10】求扇形的形心。xOyRα2R/3【解】陰影三角形形心的在處，故可視扇形形心集中在半徑為、頂角為的圓弧上。根據(jù)圓弧形心公式，得形心：當(dāng)時，得半圓形心公式：三、組合法若復(fù)合形體能分解成幾個簡單形體，而簡單形體的形心又已知，則可由簡單形體的形心組合得到復(fù)合形體的形心?！纠?-11】求由半圓環(huán)和正三角形組成圖形的形心坐標(biāo)。r【解】圖形由大半圓和正三角形組合后再挖去小半圓組成。OxyrROR四、實驗法(對均質(zhì)和非均質(zhì)物體均適合)

懸掛法

運用二力平衡原理，即懸掛點的約束反力與重力(通過重心)必