第6章分支限界法

算法設(shè)計(jì)與分析第6章分支限界法(8節(jié)理論課)06.1分支限界法的基本思想6.2單源最短路徑問(wèn)題6.3裝載問(wèn)題6.4布線(xiàn)問(wèn)題6.50-1背包問(wèn)題6.6最大團(tuán)問(wèn)題6.7旅行售貨員問(wèn)題6.8電路板排列問(wèn)題6.9批處理作業(yè)調(diào)度1學(xué)習(xí)要點(diǎn)理解分支限界法的剪枝搜索策略。掌握分支限界法的算法框架（1）隊(duì)列式(FIFO)分支限界法（2）優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法通過(guò)應(yīng)用范例學(xué)習(xí)分支限界法的設(shè)計(jì)策略。2分支限界法與回溯法類(lèi)似，也是在問(wèn)題的解空間上搜索問(wèn)題的解的算法。不同之處：求解目標(biāo)：回溯法的求解目標(biāo)是找出解空間樹(shù)中滿(mǎn)足約束條件的所有解，而分支限界法的求解目標(biāo)則是找出滿(mǎn)足約束條件的一個(gè)解，或是在滿(mǎn)足約束條件的解中找出在某種意義下的最優(yōu)解。搜索方式：回溯法以深度優(yōu)先的方式搜索解空間樹(shù)，而分支限界法則以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)優(yōu)先的方式搜索解空間樹(shù)。36.1 分支限界法的基本思想分支限界法常以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)（最大效益）優(yōu)先的方式搜索問(wèn)題的解空間樹(shù)。在分支限界法中，每一個(gè)活結(jié)點(diǎn)只有一次機(jī)會(huì)成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。活結(jié)點(diǎn)一旦成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，就一次性產(chǎn)生其所有兒子結(jié)點(diǎn)。在這些兒子結(jié)點(diǎn)中，導(dǎo)致不可行解或?qū)е路亲顑?yōu)解的兒子結(jié)點(diǎn)被舍棄，其余兒子結(jié)點(diǎn)被加入活結(jié)點(diǎn)表中。此后，從活結(jié)點(diǎn)表中取下一結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并重復(fù)上述結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展過(guò)程。這個(gè)過(guò)程一直持續(xù)到找到所需的解或活結(jié)點(diǎn)表為空時(shí)為止。4常見(jiàn)的兩種分支限界法⑴隊(duì)列式(FIFO)分支限界法按照隊(duì)列先進(jìn)先出（FIFO）原則選取下一個(gè)節(jié)點(diǎn)為擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)。⑵優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法按照優(yōu)先隊(duì)列中規(guī)定的優(yōu)先級(jí)選取優(yōu)先級(jí)最高的節(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)。算法實(shí)現(xiàn)時(shí)，通常用最大堆（最小堆）實(shí)現(xiàn)優(yōu)先隊(duì)列。5例：0-1背包問(wèn)題（子集樹(shù)）n=3,w=[16,15,15],p=[45,25,25],c=306隊(duì)列式分支限界法7優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法8在尋求問(wèn)題的最優(yōu)解時(shí)，可用剪枝函數(shù)加速搜索。該函數(shù)給出每個(gè)可行結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的子樹(shù)可能獲得的最大價(jià)值的上界。如果此上界不會(huì)比當(dāng)前最優(yōu)值更大，則說(shuō)明相應(yīng)的子樹(shù)中不含有問(wèn)題的最優(yōu)解，因而可以剪去。也可以將上界函數(shù)確定的每個(gè)結(jié)點(diǎn)的上界值作為優(yōu)先級(jí)，以該優(yōu)先級(jí)的非增序抽取當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。96.2 單源最短路徑問(wèn)題

1.問(wèn)題描述在下圖所給的有向圖G中，每一邊都有一個(gè)非負(fù)邊權(quán)。要求圖G的從源頂點(diǎn)s到目標(biāo)頂點(diǎn)t之間的最短路徑。10下圖是用優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法解有向圖G的單源最短路徑問(wèn)題產(chǎn)生的解空間樹(shù)。其中，每一個(gè)結(jié)點(diǎn)旁邊的數(shù)字表示該結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的當(dāng)前路長(zhǎng)。112.算法思想解單源最短路徑問(wèn)題的優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法用一極小堆來(lái)存儲(chǔ)活結(jié)點(diǎn)表。其優(yōu)先級(jí)是結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的當(dāng)前路長(zhǎng)。12算法從圖G的源頂點(diǎn)s和空優(yōu)先隊(duì)列開(kāi)始。結(jié)點(diǎn)s被擴(kuò)展后，它的兒子結(jié)點(diǎn)被依次插入堆中。此后，算法從堆中取出具有最小當(dāng)前路長(zhǎng)的結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并依次檢查與當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰的所有頂點(diǎn)。如果從當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)i到頂點(diǎn)j有邊可達(dá)，且從源出發(fā)，途經(jīng)頂點(diǎn)i再到頂點(diǎn)j的所相應(yīng)的路徑的長(zhǎng)度小于當(dāng)前最優(yōu)路徑長(zhǎng)度，則將該頂點(diǎn)作為活結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。這個(gè)結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展過(guò)程一直繼續(xù)到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列為空時(shí)為止。133.剪枝策略在算法擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的過(guò)程中，一旦發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)點(diǎn)的下界不小于當(dāng)前找到的最短路長(zhǎng)，則算法剪去以該結(jié)點(diǎn)為根的子樹(shù)。在算法中，利用結(jié)點(diǎn)間的控制關(guān)系進(jìn)行剪枝。從源頂點(diǎn)s出發(fā)，2條不同路徑到達(dá)圖G的同一頂點(diǎn)。由于兩條路徑的路長(zhǎng)不同，因此可以將路長(zhǎng)長(zhǎng)的路徑所對(duì)應(yīng)的樹(shù)中的結(jié)點(diǎn)為根的子樹(shù)剪去。14template<typenameType>classGraph{public:voidShortestPaths(int);//求最短路徑Graph(int,int**);//構(gòu)造方法voidPrintResult();//輸出結(jié)果private:intn;//圖G的頂點(diǎn)數(shù)int*prev;//前趨頂點(diǎn)數(shù)組Type**c;//圖G的鄰接矩陣Type*dist;//dist[i]記錄從源到i的最短距離};15template<typenameType>classMinHeapNod//最小堆結(jié)點(diǎn)類(lèi){friendclassGraph<Type>;public:operatorint()const{returnlength;}private:inti;//頂點(diǎn)編號(hào)Typelength;//當(dāng)前路長(zhǎng)};16template<typenameType>Graph<Type>::Graph(intn,int**c):n(n),c(c){prev=newint[n+1];dist=newType[n+1];}17template<typenameType>voidGraph<Type>::PrintResult(){cout<<"dist:"<<endl;for(inti=1;i<=n;i++)//輸出從源到i的最短距離cout<<dist[i]<<'';cout<<endl;cout<<"prev:"<<endl;for(inti=1;i<=n;i++)//輸出i的前趨頂點(diǎn)cout<<prev[i]<<'';cout<<endl;}18單源最短路徑問(wèn)題算法template<typenameType>voidGraph<Type>::ShortestPaths(intv){MinHeap<MinHeapNod<Type>>H(1000);//定義容量為1000的最小堆

//定義源為初始擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)MinHeapNod<Type>E;E.i=v;E.length=0;dist[v]=0;源頂點(diǎn)名稱(chēng)19while(true)//搜索問(wèn)題的解空間{for(intj=1;j<=n;j++)//結(jié)點(diǎn)的出度最多為nif((c[E.i][j]<INF)&&(E.length+c[E.i][j]<dist[j])){//頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j可達(dá)，且滿(mǎn)足控制約束dist[j]=E.length+c[E.i][j];prev[j]=E.i;//記下到j(luò)的當(dāng)前最短路徑j(luò)的前趨結(jié)點(diǎn)為i

//將結(jié)點(diǎn)加入優(yōu)先隊(duì)列MinHeapNod<Type>N;N.i=j;N.length=dist[j];H.Insert(N);}20try{H.DeleteMin(E);//從堆中取下一結(jié)點(diǎn)}catch(OutOfBounds){break;}}}異常類(lèi)型classOutOfBounds//異常類(lèi){public:OutOfBounds(){}virtual~OutOfBounds(){}};216.3裝載問(wèn)題

1.問(wèn)題描述有一批共n個(gè)集裝箱要裝上2艘載重量分別為C1和C2的輪船，其中集裝箱i的重量為Wi，且。裝載問(wèn)題要求確定是否有一個(gè)合理的裝載方案可將這n個(gè)集裝箱裝上這2艘輪船。如果有，找出一種裝載方案。22容易證明：如果一個(gè)給定裝載問(wèn)題有解，則采用下面的策略可得到最優(yōu)裝載方案。⑴首先將第一艘輪船盡可能裝滿(mǎn)；⑵將剩余的集裝箱裝上第二艘輪船。232.隊(duì)列式分支限界法用隊(duì)列Q存放活結(jié)點(diǎn)表，Q中元素的值為活結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的當(dāng)前載重量。當(dāng)元素的值為-1時(shí)，表示隊(duì)列已到達(dá)解空間樹(shù)的同一層結(jié)點(diǎn)的尾部。同一層意味著什么？24算法思路在算法的while循環(huán)中，首先檢測(cè)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)是否為可行結(jié)點(diǎn)。如果是則將其加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中。然后將其右兒子結(jié)點(diǎn)加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中(右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn))。2個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)都產(chǎn)生后，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)被舍棄?；罱Y(jié)點(diǎn)隊(duì)列中的隊(duì)首元素被取出作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，由于隊(duì)列中每一層結(jié)點(diǎn)之后都有一個(gè)尾部標(biāo)記-1，故在取隊(duì)首元素時(shí)，活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列一定不空。當(dāng)取出的元素是-1時(shí)，再判斷當(dāng)前隊(duì)列是否為空。如果隊(duì)列非空，則將尾部標(biāo)記-1加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列，算法開(kāi)始處理下一層的活結(jié)點(diǎn)。25//將活結(jié)點(diǎn)加入到結(jié)點(diǎn)隊(duì)列Q中template<typenameType>voidEnQueue(Queue<Type>&Q,Typewt,Type&bestw,inti,intn){

if(i==n)//可行葉結(jié)點(diǎn){if(wt>bestw)bestw=wt;}elseQ.Add(wt);//非葉結(jié)點(diǎn)，加入隊(duì)列}26template<typenameType>TypeMaxLoading(Typew[],Typec,intn)//返回最優(yōu)載重量{Queue<Type>Q;//活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列Q.Add(-1);//同層結(jié)點(diǎn)尾部標(biāo)志inti=1;//當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所處的層TypeEw=0;//擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量Typebestw=0;//當(dāng)前最優(yōu)載重量27while(true)//搜索子集樹(shù){if(Ew+w[i]<=c)//檢查左兒子結(jié)點(diǎn)，x[i]=1EnQueue(Q,Ew+w[i],bestw,i,n);EnQueue(Q,Ew,bestw,i,n);

//右兒子結(jié)點(diǎn)總是可行的，x[i]=0Q.Delete(Ew);//取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)if(Ew==-1)//同層結(jié)點(diǎn)尾部{if(Q.IsEmpty())//隊(duì)列為空，算法結(jié)束returnbestw;Q.Add(-1);//加入同層結(jié)點(diǎn)尾部標(biāo)志Q.Delete(Ew);//取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)

i++;

//進(jìn)入下一層}}}加尾部標(biāo)志的作用283.算法的改進(jìn)節(jié)點(diǎn)的左子樹(shù)表示將此集裝箱裝上船，右子樹(shù)表示不將此集裝箱裝上船。設(shè)bestw是當(dāng)前最優(yōu)解；ew是當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的重量；r是剩余集裝箱的重量。則當(dāng)ew+r≤bestw時(shí)，可將其右子樹(shù)剪去。另外，為了確保右子樹(shù)成功剪枝，應(yīng)該在算法每一次進(jìn)入左子樹(shù)的時(shí)候更新bestw的值。29template<typenameType>TypeMaxLoading(Typew[],Typec,intn)

//返回最優(yōu)載重量{Queue<Type>Q;

//活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列Q.Add(-1);

//同層結(jié)點(diǎn)尾部標(biāo)志inti=1;//當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所處的層TypeEw=0;//擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量Typebestw=0;//當(dāng)前最優(yōu)載重量Typer=0;//剩余集裝箱重量for(intj=2;j<=n;j++)r+=w[j];30while(true)//搜索子集樹(shù){Typewt=Ew+w[i];//左兒子結(jié)點(diǎn)的重量if(wt<=c)//可行結(jié)點(diǎn)，進(jìn)入左子樹(shù){if(wt>bestw)//更新當(dāng)前最優(yōu)載重量bestw=wt;if(i<n)Q.Add(wt);//加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列}if(Ew+r>bestw&&i<n)//右兒子結(jié)點(diǎn)可能含最優(yōu)解Q.Add(Ew);//加入隊(duì)列31Q.Delete(Ew);//取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)if(Ew==-1)//同層結(jié)點(diǎn)尾部{if(Q.IsEmpty())//隊(duì)列為空，算法結(jié)束returnbestw;Q.Add(-1);//加入同層結(jié)點(diǎn)尾部標(biāo)志Q.Delete(Ew);//取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)i++;//進(jìn)入下一層r-=w[i];//計(jì)算剩余集裝箱重量}}}324.構(gòu)造最優(yōu)解為了在算法結(jié)束后能方便地構(gòu)造出與最優(yōu)值相應(yīng)的最優(yōu)解，算法必須存儲(chǔ)相應(yīng)子集樹(shù)中從活結(jié)點(diǎn)到根結(jié)點(diǎn)的路徑。為此目的，可在每個(gè)結(jié)點(diǎn)處設(shè)置指向其父結(jié)點(diǎn)的指針，并設(shè)置左、右兒子標(biāo)志。33#include<iostream>#include"Queue.h"usingnamespacestd;template<typenameType>classQNode;template<typenameType>voidEnQueue(Queue<QNode<Type>*>&,Type,int,int,Type,QNode<Type>*,QNode<Type>*&,int*,bool);template<typenameType>TypeMaxLoading(Type*,Type,int,int*);類(lèi)的前置聲明34template<typenameType>classQNode//結(jié)點(diǎn)類(lèi){friendvoidEnQueue<>(Queue<QNode<Type>*>&,Type,int,int,Type,QNode<Type>*,QNode<Type>*&,int*,bool);friendTypeMaxLoading<>(Type*,Type,int,int*);private:QNode*parent;

//指向父結(jié)點(diǎn)的指針boolLChild;//左兒子標(biāo)志Typeweight;//結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的載重量};35template<typenameType>voidEnQueue(Queue<QNode<Type>*>&Q,Typewt,inti,intn,Typebestw,QNode<Type>*E,QNode<Type>*&bestE,intbestx[],boolch){if(i==n)//可行葉結(jié)點(diǎn){if(wt==bestw)//當(dāng)前最優(yōu)載重量{bestE=E;bestx[n]=ch;}return;}36

//非葉結(jié)點(diǎn)QNode<Type>*b;b=newQNode<Type>;b->weight=wt;b->parent=E;b->LChild=ch;Q.Add(b);}37template<typenameType>TypeMaxLoading(Typew[],Typec,intn,intbestx[]){Queue<QNode<Type>*>Q;//活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列Q.Add(0);//同層結(jié)點(diǎn)尾部標(biāo)志，0即NULLinti=1;//當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所處的層TypeEw=0;//擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量Typebestw=0;//當(dāng)前最優(yōu)載重量Typer=0;//剩余集裝箱重量for(intj=2;j<=n;j++)r+=w[j];QNode<Type>*E=0;//當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)QNode<Type>*bestE;//當(dāng)前最優(yōu)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)38while(true)//搜索子集樹(shù){Typewt=Ew+w[i];//左兒子結(jié)點(diǎn)的重量if(wt<=c)//可行結(jié)點(diǎn)，進(jìn)入左子樹(shù){if(wt>bestw)bestw=wt;EnQueue(Q,wt,i,n,bestw,E,bestE,bestx,true);}if((Ew+r>bestw)||(i==n&&wt>c))//右兒子結(jié)點(diǎn)可能含最優(yōu)解EnQueue(Q,Ew,i,n,bestw,E,bestE,bestx,false);Q.Delete(E);//取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)39if(!E)//E的值為NULL，即同層結(jié)點(diǎn)尾部{if(Q.IsEmpty())break;Q.Add(0);Q.Delete(E);i++;//進(jìn)入下一層r-=w[i];//計(jì)算剩余集裝箱重量}Ew=E->weight;//新擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量}40for(intj=n-1;j>0;j--)//設(shè)置bestx[]的值構(gòu)造當(dāng)前最優(yōu)解{bestx[j]=bestE->LChild;bestE=bestE->parent;}returnbestw;}415.優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法解裝載問(wèn)題的優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法用最大優(yōu)先隊(duì)列存儲(chǔ)活結(jié)點(diǎn)表?；罱Y(jié)點(diǎn)x在優(yōu)先隊(duì)列中的優(yōu)先級(jí)定義為從根結(jié)點(diǎn)到結(jié)點(diǎn)x的路徑所相應(yīng)的載重量再加上剩余集裝箱的重量之和。42優(yōu)先隊(duì)列中優(yōu)先級(jí)最大的活結(jié)點(diǎn)成為下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。以結(jié)點(diǎn)x為根的子樹(shù)中所有結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的路徑的載重量不超過(guò)它的優(yōu)先級(jí)。子集樹(shù)中葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量與其優(yōu)先級(jí)相同。在優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法中，一旦有一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，則可以斷言該葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的解即為最優(yōu)解。此時(shí)可終止算法。43#include<iostream>#include"MaxHeap.h"usingnamespacestd;template<typenameType>classHeapNode;classbbnode;template<typenameType>voidAddLiveNode(MaxHeap<HeapNode<Type>>&,bbnode*,Type,bool,int);template<typenameType>TypeMaxLoading(Type*,Type,int,int*);44classbbnode//子集樹(shù)結(jié)點(diǎn)類(lèi){friendvoidAddLiveNode<>(MaxHeap<HeapNode<int>>&,bbnode*,int,bool,int);friendintMaxLoading<>(int*,int,int,int*);private:bbnode*parent;//指向父結(jié)點(diǎn)的指針boolLChild;//左兒子結(jié)點(diǎn)標(biāo)志};45template<typenameType>classHeapNode//活結(jié)點(diǎn)類(lèi){friendvoidAddLiveNode<>(MaxHeap<HeapNode<Type>>&,bbnode*,Type,bool,int);friendTypeMaxLoading<>(Type*,Type,int,int*);public:operatorType()const{returnuweight;}private:bbnode*ptr;//指向活結(jié)點(diǎn)在子集樹(shù)中相應(yīng)結(jié)點(diǎn)的指針Typeuweight;//活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先級(jí)（上界）intlevel;//活結(jié)點(diǎn)在子集樹(shù)中所處的層序號(hào)};46template<typenameType>voidAddLiveNode(MaxHeap<HeapNode<Type>>&H,bbnode*E,Typewt,boolch,intlev){

//將活結(jié)點(diǎn)加入到表示活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列的最大堆H中bbnode*b=newbbnode;b->parent=E;b->LChild=ch;HeapNode<Type>N;N.uweight=wt;N.level=lev;N.ptr=b;H.Insert(N);}47template<typenameType>TypeMaxLoading(Typew[],Typec,intn,intbestx[]){MaxHeap<HeapNode<Type>>H(1000);Type*r=newType[n+1];//定義剩余重量數(shù)組r[n]=0;for(intj=n-1;j>0;j--)r[j]=r[j+1]+w[j+1];

//初始化inti=1;//當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所處的層bbnode*E=NULL;//當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)TypeEw=0;//擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量48

//搜索子集樹(shù)while(i!=n+1)//非葉結(jié)點(diǎn){cout<<"i:"<<i<<"Ew:"<<Ew<<endl;if(Ew+w[i]<=c)//左兒子結(jié)點(diǎn)為可行結(jié)點(diǎn)AddLiveNode(H,E,Ew+w[i]+r[i],true,i+1);AddLiveNode(H,E,Ew+r[i],false,i+1);//右兒子結(jié)點(diǎn)HeapNode<Type>N;H.DeleteMax(N);//取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)i=N.level;E=N.ptr;Ew=N.uweight-r[i-1];}49for(intj=n;j>0;j--)//構(gòu)造當(dāng)前最優(yōu)解{bestx[j]=E->LChild;E=E->parent;}returnEw;}506.4布線(xiàn)問(wèn)題

1.問(wèn)題描述印刷電路板將布線(xiàn)區(qū)域劃分成m×n個(gè)方格陣列，精確的電路布線(xiàn)問(wèn)題要求確定連接方格a的中點(diǎn)到方格b中點(diǎn)的最短布線(xiàn)方案。在布線(xiàn)時(shí)，電路只能沿直線(xiàn)或直角布線(xiàn)。111a111b11111111512.算法思想-加入剪枝的廣度優(yōu)先搜索解此問(wèn)題的隊(duì)列式分支限界法從起始位置a（起始為2）開(kāi)始將它作為第一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。與該擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰并且可達(dá)的方格成為可行結(jié)點(diǎn)被加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中，并且將這些方格標(biāo)記為3，即從起始方格a到這些方格的距離為3-2=1。52接著，算法從活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中取出隊(duì)首結(jié)點(diǎn)作為下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并將與當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰且未標(biāo)記過(guò)的方格標(biāo)記為4，并存入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列。這個(gè)過(guò)程一直繼續(xù)到算法搜索到目標(biāo)方格b或活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列為空時(shí)為止。53//定義移動(dòng)方向的相對(duì)位移Positionoffset[4];offset[0].row=0;offset[0].col=1;//右offset[1].row=1;offset[1].col=0;//下offset[2].row=0;offset[2].col=-1;//左offset[3].row=-1;offset[3].col=0;//上54設(shè)置邊界的圍墻for(inti=0;i<=m+1;i++)grid[0][i]=grid[n+1][i]=1;

//頂部和底部for(inti=0;i<=n+1;i++)grid[i][0]=grid[i][m+1]=1;//左翼和右翼11111111111111111a11111b11111111111111111111111155for(inti=0;i<NumOfNbrs;i++){nbr.row=here.row+offset[i].row;nbr.col=here.col+offset[i].col;if(grid[nbr.row][nbr.col]==0){//該方格未標(biāo)記

grid[nbr.row][nbr.col]=grid[here.row][here.col]+1;if((nbr.row==finish.row)&&(nbr.col==finish.col))break;//完成布線(xiàn)Q.Add(nbr);}}相鄰方格數(shù)相鄰方格56找到目標(biāo)位置后，可以通過(guò)回溯方法找到這條最短路徑。1111111111541114311113a311143411b1114561101111178910111118910111111111157由于每個(gè)方格成為活結(jié)點(diǎn)進(jìn)入隊(duì)列最多1次，因此活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列最多只處理O(mn)個(gè)活結(jié)點(diǎn)，而擴(kuò)展每個(gè)活結(jié)點(diǎn)需O(1)時(shí)間，因此算法需時(shí)O(mn)。586.50-1背包問(wèn)題用最大堆實(shí)現(xiàn)活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列，堆中元素類(lèi)型為HeapNode。結(jié)點(diǎn)元素的優(yōu)先級(jí)由上界函數(shù)Bound計(jì)算出的值uprofit給出。59分支限界搜索過(guò)程while(i!=n+1){//非葉結(jié)點(diǎn)//檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)Typewwt=cw+w[i];if(wt<=c){//左兒子結(jié)點(diǎn)為可行結(jié)點(diǎn)if(cp+p[i]>bestp)bestp=cp+p[i];AddLiveNode(up,cp+p[i],cw+w[i],true,i+1);}up=Bound(i+1);//檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)if(up>=bestp)//右子樹(shù)可能含最優(yōu)解AddLiveNode(up,cp,cw,false,i+1);//取下一個(gè)擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)（略）}606.6最大團(tuán)問(wèn)題

1.問(wèn)題描述給定無(wú)向圖G=(V,E)。如果U?V，且對(duì)任意u,v∈U有(u,v)∈E，則稱(chēng)U是G的完全子圖。G的完全子圖U是G的團(tuán)當(dāng)且僅當(dāng)U不包含在G的更大的完全子圖中。G的最大團(tuán)是指G中所含頂點(diǎn)數(shù)最多的團(tuán)。1245361解空間：子集樹(shù)圖G的最大團(tuán)問(wèn)題都可以看作是圖G的頂點(diǎn)集V的子集選取問(wèn)題，因此可用子集樹(shù)表示問(wèn)題的解空間。622.上界函數(shù)用變量cliqueSize表示與該結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的團(tuán)的頂點(diǎn)數(shù)；level表示結(jié)點(diǎn)在子集空間樹(shù)中所處的層次；用cliqueSize+n-level+1作為頂點(diǎn)數(shù)上界upperSize的值。在此優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法中，upperSize實(shí)際上也是優(yōu)先隊(duì)列中元素的優(yōu)先級(jí)。算法總是從活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中抽取具有最大upperSize值的元素作為下一個(gè)擴(kuò)展元素。633.算法思想子集樹(shù)的根結(jié)點(diǎn)是初始擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，對(duì)于這個(gè)特殊的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，其cliqueSize的值為0。算法在擴(kuò)展內(nèi)部結(jié)點(diǎn)時(shí)，首先考察其左兒子結(jié)點(diǎn)。在左兒子結(jié)點(diǎn)處，將頂點(diǎn)i加入到當(dāng)前團(tuán)中，并檢查該頂點(diǎn)與當(dāng)前團(tuán)中其它頂點(diǎn)之間是否有邊相連。當(dāng)頂點(diǎn)i與當(dāng)前團(tuán)中所有頂點(diǎn)之間都有邊相連，則相應(yīng)的左兒子結(jié)點(diǎn)是可行結(jié)點(diǎn)，將它加入到子集樹(shù)中并插入活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列，否則就不是可行結(jié)點(diǎn)。接著繼續(xù)考察當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)。當(dāng)upperSize>bestn時(shí)，右子樹(shù)中可能含有最優(yōu)解，此時(shí)將右兒子結(jié)點(diǎn)加入到子集樹(shù)中并插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。64算法的while循環(huán)的終止條件是遇到子集樹(shù)中的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)(即n+1層結(jié)點(diǎn))成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。對(duì)于子集樹(shù)中的葉結(jié)點(diǎn)，有upperSize=cliqueSize。此時(shí)活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中剩余結(jié)點(diǎn)的upperSize值均不超過(guò)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的upperSize值，從而進(jìn)一步搜索不可能得到更大的團(tuán)，此時(shí)算法已找到一個(gè)最優(yōu)解。656.7旅行售貨員問(wèn)題

1.問(wèn)題描述某售貨員要到若干城市去推銷(xiāo)商品，已知各城市之間的路程(或旅費(fèi))。他要選定一條從駐地出發(fā)，經(jīng)過(guò)每個(gè)城市一次，最后回到駐地的路線(xiàn)，使總的路程(或總旅費(fèi))最小。路線(xiàn)是一個(gè)帶權(quán)圖。圖中各邊的費(fèi)用（權(quán)）為正數(shù)。圖的一條周游路線(xiàn)是包括V中的每個(gè)頂點(diǎn)在內(nèi)的一條回路。周游路線(xiàn)的費(fèi)用是這條路線(xiàn)上所有邊的費(fèi)用之和。66旅行售貨員問(wèn)題的解空間可以組織成一棵樹(shù)，從樹(shù)的根結(jié)點(diǎn)到任一葉結(jié)點(diǎn)的路徑定義了圖的一條周游路線(xiàn)。旅行售貨員問(wèn)題要在圖G中找出費(fèi)用最小的周游路線(xiàn)。672.算法描述算法開(kāi)始時(shí)創(chuàng)建一個(gè)最小堆，用于表示活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列。堆中每個(gè)結(jié)點(diǎn)的子樹(shù)費(fèi)用的下界lcost值是優(yōu)先隊(duì)列的優(yōu)先級(jí)。接著算法計(jì)算出圖中每個(gè)頂點(diǎn)的最小費(fèi)用出邊并用minout記錄。如果所給的有向圖中某個(gè)頂點(diǎn)沒(méi)有出邊，則該圖不可能有回路，算法即告結(jié)束。如果每個(gè)頂點(diǎn)都有出邊，則根據(jù)計(jì)算出的minout作算法初始化。68算法的while循環(huán)體完成對(duì)排列樹(shù)內(nèi)部結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，算法分2種情況進(jìn)行處理：首先考慮s=n-2的情形，此時(shí)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)是排列樹(shù)中某個(gè)葉結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)。如果該葉結(jié)點(diǎn)相應(yīng)一條可行回路且費(fèi)用小于當(dāng)前最小費(fèi)用，則將該葉結(jié)點(diǎn)插入到優(yōu)先隊(duì)列中，否則舍去該葉結(jié)點(diǎn)。當(dāng)s<n-2時(shí)，算法依次產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒子結(jié)點(diǎn)。由于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的路徑是x[0:s]，其可行兒子結(jié)點(diǎn)是從剩余頂點(diǎn)x[s+1:n-1]中選取的頂點(diǎn)x[i]，且(x[s]，x[i])是所給有向圖G中的一條邊。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的每一個(gè)可行兒子結(jié)點(diǎn)，計(jì)算出其前綴(x[0:s]，x[i])的費(fèi)用cc和相應(yīng)的下界lcost。當(dāng)lcost<bestc時(shí)，將這個(gè)可行兒子結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。69算法中while循環(huán)的終止條件是排列樹(shù)的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。當(dāng)s=n-1時(shí)，已找到的回路前綴是x[0:n-1]，它已包含圖G的所有n個(gè)頂點(diǎn)。因此，當(dāng)s=n-1時(shí)，相應(yīng)的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)表示一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)。此時(shí)該葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的回路的費(fèi)用等于cc和lcost的值。剩余的活結(jié)點(diǎn)的lcost值不小于已找到的回路的費(fèi)用。它們都不可能導(dǎo)致費(fèi)用更小的回路。因此已找到的葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的回路是一個(gè)最小費(fèi)用旅行售貨員回路，算法可以結(jié)束。算法結(jié)束時(shí)返回找到的最小費(fèi)用，相應(yīng)的最優(yōu)解由數(shù)組v給出。706.8電路板排列問(wèn)題

1.問(wèn)題描述電路板排列問(wèn)題的解空間樹(shù)是一棵排列樹(shù)。x21345678712.算法描述算法開(kāi)始時(shí)，將排列樹(shù)的根結(jié)點(diǎn)置為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。在do-while循環(huán)體內(nèi)算法依次從活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中取出具有最小cd值的結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并加以擴(kuò)展。首先考慮s=n-1的情形，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)是排列樹(shù)中的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)。x表示相應(yīng)于該葉結(jié)點(diǎn)的電路板排列。計(jì)算出與x相應(yīng)的密度并在必要時(shí)更新當(dāng)前最優(yōu)值和相應(yīng)的當(dāng)前最優(yōu)解。72當(dāng)s<n-1時(shí)，算法依次產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒子結(jié)點(diǎn)。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的每一個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)node，計(jì)算出其相應(yīng)的密度node.cd。當(dāng)node.cd<bestd時(shí)，將該兒子結(jié)點(diǎn)N插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。73do{//結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展if(E.s==n-1){//僅一個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)intld=0;//最后一塊電路板的密度f(wàn)or(intj=1;j<=m;j++)ld+=B[E.x[n]][j];if(ld<bestd){//密度更小的電路板排列delete[]bestx;bestx=E.x;bestd=max(ld,E.cd);}S=n-1的情況，計(jì)算出此時(shí)的密度和bestd進(jìn)行比較。74else{//產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒子結(jié)點(diǎn)for(inti=E.s+1;i<=n;i++){BoardNodeN;N.now=newint[m+1];for(intj=1;j<=m;j++)//新插入的電路板N.now[j]=E.now[j]+B[E.x[i]][j];75intld=0;//新插入電路板的密度f(wàn)or(intj=1;j<=m;j++)if(N.now[j]>0&&total[j]!=N.now[j])ld++;N.cd=max(ld,E.cd);if(N.cd<bestd){//可能產(chǎn)