高中數(shù)學函數(shù)極點與極線探秘

2002222202200學習數(shù)學領悟數(shù)學秒殺數(shù)學2002222202200極點與極探秘第講極點和線定及點極的圖

第四章圓錐曲線極與線高幾中重概，然是高數(shù)課標準規(guī)的習容也屬高考查范，由極與線圓曲的種本征因此高試中然有反，然也成高試的題景作一中數(shù)教，當解點極的念掌有極點極的本質(zhì)只這，才“破試中含有極與線知背，而握命規(guī).一極點和線定和質(zhì)在錐線程，替換x0

x，02

替x，

y0

替

y

2

，

y2

替

，可到Px,的極線方程．已知圓錐曲線00

Cy

Dx，稱點P(xy)和直線l:AxCyyD(x)(y)0是圓曲一對點極.從義們同考討幾問:．若

()

在圓，其應極是么橢的個點對的線別什?（）于圓x,對的極方為

xya

當為其00點(,極

xa

yb

變成

ac

是橢的準于曲與點P(對的線程

xa

yb

；當,y)為焦F(,0)時，線0

xa

yb

變成

ac

，是曲的準（對拋線px，點)應極線程yp(x)．x,y)為000其點F(

pp0)時，線ypx)為，恰拋線準．22過橢圓（、）意點

(,y)0

，何出應極？（）點P在圓曲時，極時線點P點處切；（）點P時極l時曲點P所引兩切的點確的（切弦所的線（）點P時其線l時曲線點P的任割兩點的線點軌．為表方，們出錐線部外的義圓橢是封圖其部外很界，物線雙線是閉是的對曲和物的部外給出下義焦所的面域為該線內(nèi)，含點平區(qū)稱曲的部曲上點既在部不外．注：明寫程參下講拋線線阿米三形》的導差代聯(lián)即，里不詳。二極點與線作（何義如1，是在錐線的點過P點引條線次圓曲線四E,H，連EH,FG交N，接,FH交M，直為對的線若P圓曲上點則點的線為線由1同可，PM為N對的線為點M所對的線因?qū)⒎Q為自三形設線交圓曲于B兩，PA恰圓曲的條線.

22學習數(shù)學領悟數(shù)學秒殺數(shù)學22

第四章圓錐曲線F

N

H

G

Q

M圖1如2點P關于錐線極為

l

圖點P任作割交,Bl則

PB；反，有成，稱,調(diào)分線AB，稱與Q關于

調(diào)共，稱P(或

關于錐線的調(diào)共點點Q(或點P).點P關于錐線調(diào)共點一直線這條線是點P的極.注：于割調(diào)分問，《1》定點法解點極中闡，以參。圖配原：P關于錐線的極p點點于極q經(jīng)過P;直關于的極在線上直線關極Q在直．由可，線的線共；點線極必線極極垂定:圖3設錐線一焦為，與相的線l．（）過的直與錐線交M兩，M,兩處切的點在準且MN;

l

上（）過線l一Q作錐線的條線切分為M，則線MN過焦點，且FQMN；（）過點F的線圓曲交M,點過F作FQMN交準線l于，則線,是圓曲兩切．注：點極一在題直用爽但在題，于不中的本圍，本都法直使，么答中們給思，多寫程是考之提的線分阿米三形寫，線寫或定點寫．三極極的用求切線切弦程題【1（2013山）3圓(的兩切，點別、則直的程（）．xy

．y

．xy

Dy

20012b222122學習數(shù)學領悟數(shù)學秒殺數(shù)學20012b222122

第四章圓錐曲線【析法：為點(3,1)作圓(x的條線切分為A，B所圓一切方為y切點一，然B、D項過(1,1)，B不滿題；另個點坐在(1,1)的側所以線斜為，項不滿，A滿足故：A．法：點AB所的線是3應極，其程即y．選Ax【2?武模）過圓內(nèi)一M，直AB與橢交點，作線CD259與圓于，，，B分別橢的線于點P過C，分作圓切交點求所在直方．【析過點A、CD切方為別l:

yyyyyyl:l:259259

，l

:

yyD因Px，y)在，PB則25

xyxy，這表A，y)，25259xyxy(，)，在線，理所在的線程，為直，交2593x3xx于，所，，所PQ所的線程25925

．本實就求圓

x32內(nèi)點M2)對應的線程、Q所在直方為．259討論直與錐線位關【32010?湖北）已橢C:

xxy兩焦FF，()滿022

y，PFPF的值圍直1

x02

y與橢C的公點數(shù)．0【析依意，P在橢圓部與點重．畫圖，橢方得，數(shù)結可，當P點在段F上原時(||PF|)

，在橢圓時|)

2a2，故|

的值圍22)．由意，點P(y)和線0

x02

恰是圓一極0和線因點P在橢內(nèi)所極與圓離，極與圓共的數(shù)零【42009?安已點P(x,y)橢0

sin0

，，2直l與線l:2

xyab

垂直為標點，線OP的斜角直l的斜為2

．明點P是橢

與直l的一交．bxy【析Ⅰ由

y，得y

2y2)，代橢，2b2

學習數(shù)學領悟數(shù)學秒殺數(shù)學

第四章圓錐曲線()x，將ayay

sin

，入式得

cos

，從xcos

yyxyb

有一

，直l

與圓唯交P．易(xy)直l是橢的對點線(y)在圓所直l橢相與即0100是圓l:

xyab

與線l唯一點1yb（）tanl的斜率xa，tantan構等比列.最問

，此tantan，b【5（2018?安徽末已知圓

C

的程

x，過線l:上任意點，橢的4兩切，點別A，，則點直離最值．【析法：A，y)(x，)，Q(4,y)，橢

2a在(，)處的線b2程：

xxxyyxx，直QA的程，直線QB的方：，由線，b33線QB過，將代入直QA，直B方程3yy，3，(x，)，B(，)1分為程3的直的程令直線恒過點(1,0)當直線AB的斜率不存時，直線AB的方程(x，O到線AB的距離d

k|1

11，當線斜不在，直AB的方，原到線11距離為1，故案：．法：點AB是點Q對的極，點

的標知線的程

4，43x

my3

因直橢焦點1,，所原到線的離最大為1．【6（?諸市期）知圓C:

xy2a的左點右點別，F(xiàn)右線a為線，D:x

y（）點A在圓，橢C的離率

32

，橢的方；（）直m上存在使等三形求圓的心的取范；（）若點在（）中的圓上且點P作D的條線切分為求長的

學習數(shù)學領悟數(shù)學秒殺數(shù)學取范．

第四章圓錐曲線【析）對x

y，令，則．以(，a，因，e

c3，a所，3，

2，橢圓C方為y

2

．a(chǎn)（）由圖知AFQ為腰三角形aAF，所以cac，2，c(2e又，所

11，橢離心取范為(2

．（）法連交于H，DM，則由圓幾性知H為的點DM，MNPD．MH

22PDMDMD21PDPD

，D:

，MD13，MN

PD

，P，)

x，4

y

，PD

y3)

y

y

16(y13

，以，0

392

．法思切弦程自證完點P為橢上點點P(2

,sin

對應極即點弦MN）方為2x

sin

2

由圓D:x

y的圓為，徑，弦距

]，顯然MN

]，以0MN

392

．直線過點定線題【72019?武漢期設P是直l:2y上的一過作x

的兩切、，切分為A、B，則直恒過點．【析法：為是線l:2xy上任點所設m，于x

的兩切、PB，點別、，以OA，OBPB，點A、在以為徑圓，ABmm是和的公共，圓的坐是(，)，半徑平是r

2

m2(24

2

，所圓的方程是

mmm2m)2)222

2

，又x

，②，②①得，m即公弦所在直方是：mxm)9)，由得，，所直恒過點(，故案：(．yy法：點P的坐為(m,，為對的線直，其程mx，整得(x，，見線過,故案：(

222學習數(shù)學領悟數(shù)學秒殺數(shù)學222

第四章圓錐曲線【2019江西擬已橢C:

2y離率，橢圓的與個b2點F，F(xiàn)構成三形最面為1，（）橢的方程（若為線xy上的意點點作橢圓的兩切QD（點別D、)，試明直DE過定，求該點坐．22【析）解橢圓C:的離率

2橢上點P兩焦F，22a2成三形最面為1，得a2，b，橢的方為a

2

．（）明設點(，y)

，(y)

，切方為xyy2，yy，兩切都x上意點()，得到xm)，xy(2)，(，y)

，E(x，)

，在線)y，而對意，直mx)y始終11過點)．動線恒過定)2

．x1【9（2018福建?？家褭EC長長4，離率點P是橢圓異頂?shù)囊恻c過做圓切l(wèi)，軸點A，直l．

過P垂于l，交y軸點（）橢的程（）判以為徑圓否過點若，出點標若能請明由1x【析1，，，b3．圓方為．a(chǎn)243（）點(x，yx，y0)，直l

的程()，代入

y2，整，

)

()x)

．

x是方的個等根x

k()，解k

x．直l的方為y

y

(令x，得A的坐為(0,

x

)．又

x4

4y

．點A的坐為(0,

y

)．又線l

的程y

y(x)，令，得B的標(0,0)．

422yM學習數(shù)學領悟數(shù)學秒殺數(shù)學422yM

第四章圓錐曲線以為直的的程xy

yy3)(．理得)y．y33y令，得，為直的恒定(1,0)(．xy利極極整一思：(x)(x0,y0)，據(jù)線程可直l的方程0，03所點的標為)又直線ly

的程

43x

()，令，點B坐標(0,

)所3以AB為直的方程y))（的徑程(x)(y)，y其x,和B,y)為圓的條徑兩端，理xy12

y3)0)，y，33得所以以為直徑圓過點和(．證明直交在直上【（2015南開一）知圓C:0)與y軸的點A，（A位于的2上，

F左點原O直距離為

．（）橢C的心；（），線y與橢C交不的點M，N，求：線M與線AN的交在定直上【析1由意F的標(，依意bc

22ab，橢圓離率e22

．x22（）一若b，由Ⅰ），橢圓方為．聯(lián)方組8

yykx化得xkx24，△，得：k2

由達理：xM

①

②M(，kx，(x，4)，kxMB方程：yMx

kx2(kx)x③方程：y，，由③④得MMxxM

kkkx)2()k2k2kkxxkk

即，直線BM與直的點G定直線．法：線法若，由1得，圓程

y2．設l

:，

l

BM

:yx2

，l

:y+4，

l

:x0AB

，以AMBN四點曲系程(xykx(kx4)84xy的數(shù)0；系為0u；

22942294

第四章圓錐曲線l

:，

l

BM

:yx2

相可得，y=

kx12

，減以到

k012聯(lián)可，點在定線y上極極原：圓程

y2．線（）與線ABy軸的點S0,4直線AM與直的點則，構橢圓自三形故點一定點極線上其程

4即y，是直BM與線AN的交點G在直上．【2018太原擬知圓C:

2ya的右點別，A焦為F，b2點(1,)

在圓上．（）橢方；（）直l:(k0)與橢C交M，兩，已直M與A相交點G，明點G在直上并出直的程y【析F(1,0)由目已條知橢圓的程：；143（）一由圓稱知G在x，設線l

過圓頂，M3)，k

33333N()，l:(2),l:(，)，所G在定線x上．4522(x當不橢圓點設M(x，)N(x，)，

整理)xx64k，所12

32k23k

2

x12

64k3k

，l:y

y(2),l:yxx

(，當x，

3xx

，xxx)，以2

642kk2k2

8(3k2k

)

，所以G在直上法：線法設l

:

l

A

:xy

，l

:y(，

l

:y0以AMA四曲系程[x2)][(y[k]12xy的數(shù)0y的數(shù)為，kk；

4l

M

:，l

:相加以到2x

ky12

，減以到

ky12聯(lián)可，即在定線上．極極原由直l:yx經(jīng)過P設線相交于則直GH在點P1所應極上點對應極方

4，即，點G頂點．43

2222學習數(shù)學領悟數(shù)學秒殺數(shù)學2222達標訓練

第四章圓錐曲線2018?蘭州考過P,4)作圓x

2

y

2

的兩切，點別，則所在直線方為）．y

．3x

．3x

D3x（2018?蚌埠模已F橢圓與點B，則線BF的率（）

x的右點過的直線橢在上方相4．

12

．

23

．

D

432014?遼寧已點A(,拋線：的準上過點A的直與在第象相與，記C焦，則線BF的斜為．

12．2

．

34

D

43．若點,3)作圓

2

2

的切，兩所在線程_____．（2018?深圳末對拋線Cy，我稱足y2l:y物（）00

20

的x,拋物線內(nèi)，直0．恰1個共B．有2個共．可有個公也能2個共．有共x．已知為2y上一點過P作橢圓的條線切點別B，當P運動4時直AB過點該點坐是．（2011?希杯從線l:

y上任一作O：的兩條線切為、B則4弦度最值．（2019通州期）已點P是拋線上一動，點作兩條線切點別，N，則段MN長的小為．點()在圓:

2

上且cos

sin

x0直l直l:2

yy垂，為坐原，線的斜為，直l的傾角為．

學習數(shù)學領悟數(shù)學秒殺數(shù)學

第四章圓錐曲線（）明點P是橢圓:

與直l

的一共；（）明tan，tan成比列?福建卷已直l:y，R．（）以(2,0)為圓的與線l

相于P且在y軸，該圓方；（）直l

關軸對的線l

，直l物:

y是否切說理．?徐州期）知C:xy有以性：過C一M(，y)的的線程yr②M(x，y)為一，M作圓兩條切，點別，，則線AB的程xxy；③不坐軸的Mx，y)為圓C外點國M作圓C的條線切點分為，B，則垂直AB，即k

k

且OM平分段．（）類上有結，猜過圓Ca0)上一點M(x，)切方（不證，b2（）橢

0)外一M(x，y)兩線與圓切，B兩，過A，b兩的線程（）過圓C外點M(x，)(M不在標上作直，與圓切A，0點，求k

為定，OM平分段．

學習數(shù)學領悟數(shù)學秒殺數(shù)學

第四章圓錐曲線y22010江蘇在平直坐系xOy中，已知圓的左右頂為A、右點F．過(t,m的線TA、橢分別于(,)

、N(,)

，中y，y．（）動滿PF

PB

，點P的軌；（），2

13

，點的坐；（）t，求：線必

軸的定（坐與無．?咸陽二）知A(B,是動，直和線的斜之為

34

．（）動C軌跡方；（）至線l（中跡切點P與線相較點,斷為直的是過軸一定.?常德期）知是:y內(nèi)點直l:y．（）圓的弦AB恰被P平分求所在線方；（）過P作圓O的條相直弦EF，GH，求邊EGFH的積最值（）k

12

，Q是l

上動，Q作O的兩切，點別C，D．證：線CD過點

學習數(shù)學領悟數(shù)學秒殺數(shù)學?四川橢有頂A0)、B，其點(0的線l

第四章圓錐曲線與圓于C、D兩，并與

軸于P．直直交點Q（）CD

32

2時，求線l

的程（）點P于、B兩點時求：為定．?南一）、焦分為F、F的橢2

x220)經(jīng)點Q3)，P為橢ab2圓一，的重為G，內(nèi)心I，IG//FF．（）橢C的方；（）M為直x上一點過M作橢C的兩條線MAMB，A、為切，直是否過點若定，出點坐；不定，說理．?深圳二）知數(shù)P,且點M

2

)的線l與線：x

2

2py交,B兩．（）O為坐原，線OA的率別k，若k，p的；1212（）直MT曲C分相于T,T，點N為直T與弦AB的點且122MAMBMN證：

1

1

為值

學習數(shù)學領悟數(shù)學秒殺數(shù)學

第四章圓錐曲線?安徽）橢:（）橢的方程

220)過M2,1)且焦為（）過(4,1)的動線l

與圓C相交兩同，B時，線AB上取Q，滿||PB，證：總在定線．（?浦東新校級月）材有介紹：y上x，y)處的切線方程為yr

x2xy我們其結推橢的，)的線程a2b

在本時以接用已，線y與橢:1

xa

22

y

2

有只一公點（）橢的方程（設O為標點橢圓上兩分別該圓兩切l(wèi)

l

l

與l

交點M(2,m)化，OAB面的大；（）若，是橢圓:2

22

2

上不同兩，x軸，E過PP，且圓上任一都在E內(nèi)，則圓E為該圓一內(nèi)切．問橢是否在左點F的切？存，求圓E的坐標若存，說理．

2x學習數(shù)學領悟數(shù)學秒殺數(shù)學2x

第四章圓錐曲線【解】P(所應極方y(tǒng)，故B．【解析】設過點圓的另一條切線與橢圓在軸方相于點C，故點A的極線BC

43，直xy經(jīng)過右點，所直BF的率4【解】已得

p2

，拋線程為

2

x，設點A作直與物C相與一點D，則過兩切的線就是點對應極，方是3點A在拋線準線，焦F在A的極上B、、D三點共BFBD

43

，選．【解】點即點對的線其程1，xy．【解】于物:，點的線直l:yy極（,y）在在拋000物的部，線拋線離故D．解析】設點的坐標（，則切點弦的方程為

mx(4)y，化簡得3(3xy)，令xy，可x2,y，直過定，)．4解析(8m易的線方為my)xm(2xy)可得弦AB

必

，易圓：x2上過長為2r

max

3．解圓

y4)

的心C(0,4)，徑r．設(x

x

)，故方程xxy0

0

4)弦距

x

1x4

4)

1x216

，x

時，d取得最值則MN|取最值

333

．【析證明（1直線l:

xx

yy，得：y

x2xx)，橢Cy2

2

得x(4y

)．

x2cosysin

代上得：x

cos

，2

，

y方組有一

y

，

x2點P是橢:2

2

與直l

的一共．（）

22

，l的斜為，l的斜為tan

tan

，tan

，

，

構等數(shù)．

OMx學習數(shù)學領悟數(shù)學秒殺數(shù)學OMx

第四章圓錐曲線析設求的半為r則圓方可設(xr由意求與線l:x相于m)，則有

r

，得

r2

，以的程(y．（2由于直線l

的方程為ym，所以直線l

的方程為y，由

y

消去得到

x，△

m16(1)．①m時即時直l

與物C:

y相切②時，△時，直l

與物:

y不相．綜，m時直l

與物:xy相切當時直l

與物Cy不相．解（1過圓

xya0)上點M(x，y)的切方為ab

（過圓C

a0)外點M(x，)作直與橢圓切AB兩點設A，)

，(，y)，由1的結可A處的線程

xxxy，處切方為bb

，又切都M可

xxxx，bb

，由A，B兩確一直可，AB的yy線程；abxx（證明由（2可得AB的直方為b

，可得k

，

yb2則k；xa2由，B都在圓，得

xyy，abab

(xx)(yy)()，相減得ab

，設中為(mn)得yn則k

ba

x

y，，可

，OM過AB的點即OM平線段AB．【解析】（）設點(,)，則：F、(．由PF9(xy]，化得．所點P的軌為線．21520（）xx分代橢方，及，，得M)N(，)339

2

PB

，得

又，(2,0)所以(y，學習數(shù)學領悟數(shù)學秒殺數(shù)學又，(2,0)所以(y，

第四章圓錐曲線直方程：

x1即，線方程：

x3

，55即yx．立程，得62

10，以坐標為(7,)3

．（）線法詳過參上講這介極極原理點坐為)．t9時點T的坐9，連MN交AB于，極極的義知點T對的線過K，點T的對應的線程

x，該線為與線AB交的跡當0，得x1，故線MN必經(jīng)9過軸的點．解析設C,y)則題得

k

A(y0)xx42x整得y0)，動的軌跡程y43（2）法一：設直l:，與

y

聯(lián)立得

4()

，即k)xkmxm，依意km)4(3)(4，即

，設線l與點C的軌交點x，y)

，，y)

，

km，，kk

P(

kmk

3mk

)

，

，P()mm

，Q(4,4k)，t,0)為為直的上點則RQ得(

34,)k)整得(t，mk由的意得t且m

t，得，綜知以為直徑圓軸上定點(1,0)．法：

xxy(x，)，曲點P處切PQ:，令，Q

y

)，設Rt,0)，由RQ，得(x)(4)，即(1)x

t，由的任性且tt，得t，上，PQ直的圓軸上定(1,0)．解（1由意，k

k

，，因弦AB所直方為2)，即2xy（）圖設O到直線GH的離別則d

OP

r228|GHr21

四邊

12

EF

)(242d)，

學習數(shù)學領悟數(shù)學秒殺數(shù)學10當時取號邊形EGFH積最值112t（3）證：由題意可知C、D兩在以為徑的圓上Qt,

第四章圓錐曲線，則該圓的方程1x(x)y(yt，即yt．又、在:上直線的21y方為txty()由直線CD過定點(1,．22析1）橢的點y軸設圓標方為a由知，，b2所2，橢的程2，當線l與軸直與意符設直l的方為ykx，(x，y)，D(x，y)，將線l的方代橢圓方化得(kx，則x，kk|

(x)

1

(

k

k)

k3解．直l

的程2；（）題以常方和線法具體容參上講本題究下極極性，對圓2

2

若點為點其應極過Q,Pm其極方為

y

1+mx1x=，1故設的坐標(y)，所?OQ(m,0)?(,y)1即為定1．m22解（1橢圓C:焦在x軸上且點(0,，b設PFF內(nèi)切的徑r，點P的坐為(，y)，則PFF重G的坐為(//FF，yr．由PFF面積得||FFr|F2

xy，

)

，即c，

2)，得a，即求橢方為橢圓程（）(，)，A(，y)，()則切，MB的方程別

xxyxxy343點M在兩條線，

xxxxxx，，故線AB的方程34

．

4，222222222學習數(shù)學領悟數(shù)學秒殺數(shù)學4，222222222

第四章圓錐曲線又

xx(xy點M為直線y上，x即直線的方程可為3

整理得(3xx，

解

34

，此直過定)

．解（）設直

p的方程