《線性代數(shù)》電子教程之十四(矩陣對角化)

《線性代數(shù)》

電子教案之十四1主要內(nèi)容方陣的對角化相似矩陣的概念和性質(zhì)；方陣與對角陣相似的條件；基本要求了解相似矩陣的概念和性質(zhì)，了解方陣可相似對角化的充要條件.2一、相似矩陣的概念第三節(jié)

相似矩陣1.概念的引入已知矩陣,求.我們可以找到一個可逆矩陣，——相似矩陣使32.相似矩陣的概念定義

設(shè)都是階矩陣，若有可逆矩陣，使則稱是的相似矩陣，或稱矩陣與相似.對進行運算稱為對進行相似變換，可逆矩陣稱為把變成的相似變換矩陣.4對階矩陣，三、方陣可對角化的充要條件1.方陣對角化的概念尋找相似變換矩陣，使這就稱為把方陣對角化.說明如果能找到可逆矩陣，使，則可對角化；如果找不到這樣可逆矩陣，則不可對角化.52.引入設(shè)有可逆矩陣，使為對角陣.下面回答能否由確定.67主要內(nèi)容特征值與特征向量特征值與特征向量的概念、求法；特征值與特征向量的性質(zhì).矩陣對角化的方法和充要條件基本要求理解矩陣的特征值與特征向量的概念，了解其性質(zhì)，并掌握其求法.矩陣對角化的方法和充要條件8一、特征值與特征向量的概念方陣的特征值與特征向量定義

設(shè)是階矩陣，如果數(shù)和維非零列向量使關(guān)系式成立，那么這樣的數(shù)稱為方陣的特征值；非零向量稱為方陣的對應(yīng)于特征值的特征向量.注意：關(guān)系式是特征值與特征向量滿足的條件式，由此可知必須為方陣.零向量顯然滿足關(guān)系式，但零向量不是特征向量.特征向量是非零向量.9二、特征值與特征向量的求法1.結(jié)論的引入若是的特征值，是的對應(yīng)于的特征向量，則有方程有非零解，且是它的一個非零解是代數(shù)方程的根.10以為未知數(shù)的一元次方程稱為方陣的特征方程.以為變元的次多項式，即稱為方陣的特征多項式.112.

結(jié)論⑴矩陣的特征方程的根就是的特征值.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)階矩陣有個特征值(重根按重數(shù)計算).⑵設(shè)是方陣的一個特征值，則齊次方程的全體非零解就是的對應(yīng)于特征值的全部特征向量；齊次方程的基礎(chǔ)解系就是對應(yīng)于特征值的全體特征向量的最大無關(guān)組.12例1求矩陣的特征值和特征向量.解

析：這是一道非常簡單的求特征值和特征向量的題目，意在熟悉特征值和特征向量的求法和步驟.的特征多項式所以的特征值為13當時，對應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足即解得得基礎(chǔ)解系所以對應(yīng)于的全部特征向量為14當時，對應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足即解得得基礎(chǔ)解系所以對應(yīng)于的全部特征向量為15例2求矩陣的特征值和特征向量.解

的特征多項式所以的特征值為16當時，解齊次方程，得基礎(chǔ)解系所以對應(yīng)于的全部特征向量為17得基礎(chǔ)解系當時，解齊次方程，所以對應(yīng)于的全部特征向量為18例3求矩陣的特征值和特征向量.解

的特征多項式所以的特征值為19當時，解齊次方程，得基礎(chǔ)解系所以對應(yīng)于的全部特征向量為20得基礎(chǔ)解系當時，解齊次方程，所以對應(yīng)于的全部特征向量為(不同時為0).21說明例2和例3屬于同一類型，解題方法和步驟也完全一致.但是，要注意它們的區(qū)別，在例2中，對應(yīng)于2重特征值僅有一個線性無關(guān)特征向量；在例3中，對應(yīng)于2重特征值有兩個線性無關(guān)特征向量.223.方陣可對角化的充要條件定理4階矩陣與對角陣相似(即能對角化)的充要條件是有個線性無關(guān)的特征向量.推論

若階矩陣的個特征值互不相等，則與對角陣相似.說明當?shù)奶卣鞣匠逃兄馗鶗r，不一定有個線性無關(guān)的特征向量，從而不一定能對角化；但是，有重根時，也有可能能對角化.所以特征值互不相等只是與對角陣相似的充分條件.23例1設(shè)問為何值時，矩陣能對角化？解

析：此例是定理4的應(yīng)用.定理4表明：階矩陣可對角化有個線性無關(guān)特征向量.由此可推得另一個充要條件：對的每個不同的特征值，的重數(shù)=對應(yīng)于的線性無關(guān)特征向量的個數(shù)24所以的特征值為1(二重)，.對應(yīng)于單根，可求得線性無關(guān)的特征向量1個；對應(yīng)于二重特征值1，若能對角化，則25要使，則即說明解答此題的關(guān)鍵是將取值條件“可對角化”轉(zhuǎn)化為“二重特征值1應(yīng)滿足”，從而求得.矩陣能否對角化，取決于它的線性無關(guān)特征向量的個數(shù)，而與的秩，的行列式都無關(guān).26例2設(shè)若能，找出一個相似變換矩陣將化為對角陣.試問能否對角化？解析：這是前面提到的一個例題.現(xiàn)在再講，目的是為了熟悉找相似變換矩陣的方法.先求的特征值，所以的特征值為再求特征向量，27當時，對應(yīng)的特征向量滿足解之，得基礎(chǔ)解系所以對應(yīng)于的線性無關(guān)的特征向量可取為解之，得基礎(chǔ)解系當時，對應(yīng)的特征向量滿足所以對應(yīng)于的線性無關(guān)的特征向量可取為28由以上可知，有兩個線性無關(guān)特征向量，令則就是所求相似變換矩陣，且有說明求相似變換矩陣的步驟：⑴求特征值；⑵求特征向量；⑶若線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)等于矩陣的階數(shù)，則相似變換矩陣存在(否則不存在)，由線性無關(guān)的特征向量構(gòu)成的矩陣就是所求.所以可以對角化.29例4設(shè)，求解析：此例的目的是掌握利用矩陣對角化理論計算方陣的冪及多項式.⑴求的特征值，由得的特征值為⑵求特征向量，對應(yīng)解方程，30由得對應(yīng)解方程，由得⑶寫出相似變換矩陣，將化為對角陣令則且即31⑷根據(jù)的相似對角陣，求32此例體現(xiàn)了方陣對角化的作用，如前面所述.將此例與第二章中的有關(guān)的例題相比較，后者給出關(guān)系式、矩陣和，也就是給出條件①可對角化；②的相似對加陣；③相似變換矩陣.前者則更具有理論性和實踐性:已知，通過計算和，求.因此盡管兩者都是求的冪，形象地說后者是矩陣乘法的練習，前者是理論指導(dǎo)下的實踐.說明33四、小結(jié)對于階矩陣和，若有可逆矩陣，使則稱與相似.階矩陣與相似，則和的特征值相同，反之不然.階矩陣與對角陣相似的充要條件是有個線性無關(guān)的特征向量.34三、特征值與特征向量的性質(zhì)⑴設(shè)階矩陣的個(在復(fù)數(shù)范圍內(nèi))特征值為則①②(的跡)1.特征值的性質(zhì)⑵若是的特征值，且，則是矩陣的特征值.證明舉例證明舉例35⑶若是的特征值，則是矩陣的特征值.一般地，若是的特征值，且則是矩陣的特征值.說明如果，則上述結(jié)論中的冪指數(shù)可取任意實數(shù).證明⑷若是的特征值，且，則是的特征值.證明特征值的性質(zhì)36⑸若階矩陣的秩為，則0一定是的特征值.但是必須注意0不一定是重特征值.證明⑹設(shè)為階矩陣，則與的特征值相同.證明特征值的性質(zhì)37⑵若是的對應(yīng)于的特征向量，則也是的對應(yīng)于的特征向量.⑴若是的對應(yīng)于的特征向量，則也是的對應(yīng)于的特征向量.2.特征向量的性質(zhì)⑶

設(shè)是方陣的個特征值，依次是與之對應(yīng)的特征向量，如果互不相等，則線性無關(guān).證明舉例38四、小結(jié)設(shè)是階矩陣，若有數(shù)和非零列向量，使則稱是的特征值，為的對應(yīng)于的特征向量.矩陣的特征值是特征方程的根.矩陣的對應(yīng)于特征值的特征向量是齊次方程的非零解.特征值和特征向量的性質(zhì).39特征值的性質(zhì)的證明⑴證因為是的個特征向量，則有即令，即得另一方面，根據(jù)行列式的定義知，上述行列式的展開式中，只有對角元之積含有40這些項中不含比較兩端的的系數(shù)，可得即證畢特征值的性質(zhì)的證明41特征值的性質(zhì)的證明因為是的特征值，⑵證所以存在非零向量使又由知，可逆，且，所以這表明是矩陣的特征向量.證畢42特征值的性質(zhì)的證明⑶證因為是的特征值，所以存在非零向量使用左乘上式兩端得這表明是矩陣的特征向量.類似地，可以證是矩陣的特征向量.證畢43特征值的性質(zhì)的證明⑷證因為是的特征值，所以存在非零向量使又因為，所以這表明是矩陣的特征向