2022衡水中學(xué)政治內(nèi)部學(xué)習(xí)資料專(zhuān)題02 平面向量（新高考地區(qū)專(zhuān)用）（原卷版）

專(zhuān)題02平面向量技巧導(dǎo)圖技巧導(dǎo)圖技巧詳講技巧詳講一：奔馳定理1：奔馳定理內(nèi)容---三角形的面積比等于其所對(duì)應(yīng)的系數(shù)比已知是內(nèi)的一點(diǎn)，的面積分別為，，，求證：2.推導(dǎo)過(guò)程證明方法一：如圖延長(zhǎng)與邊相交于點(diǎn)則推論是內(nèi)的一點(diǎn)，且，則二.極化恒等式2.推導(dǎo)過(guò)程：三角形的四心1.推論重心：中線的交點(diǎn)，①是的重心②中線長(zhǎng)度分成2：1③=內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等①是的內(nèi)心②外心：①是的外心②垂心：高線的交點(diǎn)，高線與對(duì)應(yīng)邊垂直①是的垂心:證明：如圖為三角形的垂心，同理得，②由，得，即，所以．同理可證，．技巧舉證技巧舉證技巧1奔馳定理【例1】是內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則（）A． B． C． D．技巧法注意事項(xiàng)技巧法注意事項(xiàng)條件一般是3個(gè)同起點(diǎn)的向量相加減且等于零向量，若系數(shù)有正有負(fù)則公共點(diǎn)在三角形外，系數(shù)都為正則公共點(diǎn)在三角形內(nèi)三角形所對(duì)應(yīng)的向量的找法圖像法：三角形頂上的向量頂點(diǎn)法：公共點(diǎn)即起點(diǎn)，剩余3點(diǎn)構(gòu)成三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的向量?jī)蓚€(gè)點(diǎn)其中一個(gè)點(diǎn)為公共點(diǎn)，另外一點(diǎn)則是三角形的頂點(diǎn)?！九e一反三】1.已知所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則與的面積的比值為（）A． B． C． D．2.（廣東省深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2020）點(diǎn)是所在平面上一點(diǎn)，若，則與的面積之比是（）A．3 B．2 C． D．3.（天津市紅橋區(qū)2019）已知點(diǎn)O是內(nèi)一點(diǎn)，滿足，，則實(shí)數(shù)m為（）A．2 B．-2 C．4 D．-4技巧2三角形的四心【例2-1】點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)O是的__________心．【例2-2】（黑龍江省哈爾濱市哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)）在中，設(shè)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過(guò)的（）A．垂心 B．內(nèi)心 C．重心 D．外心【舉一反三】1.（河北省保定市）過(guò)內(nèi)一點(diǎn)任作一條直線，再分別過(guò)頂點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，若恒成立，則點(diǎn)是的（）A．垂心 B．重心 C．外心 D．內(nèi)心2．（遼寧朝陽(yáng)柳城高中）設(shè)點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則點(diǎn)P是△ABCA．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心3．設(shè)點(diǎn)O是三角形ABC所在平面上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)O是三角形ABC的________心．4．設(shè)是平面內(nèi)一定點(diǎn)，為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若，則為的（）A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心技巧3極化恒等式【例3】（1）（2020福建省南平市）在中，若，邊上中線長(zhǎng)為3，則（）A．-7 B．7 C．-28 D．28（2）（2020屆河南省八市重點(diǎn)高中聯(lián)盟領(lǐng)軍）在中，，點(diǎn)在上，且，若，則的值是（）A． B． C． D．【舉一反三】1.（2018?天津）如圖，在平面四邊形中，，，，．若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．32.（2017年新課標(biāo)2）已知是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是A． B． C． D．3．（2020屆湖北省武漢市）已知等邊△ABC內(nèi)接于圓：x2+y2=1，且P是圓τ上一點(diǎn)，則的最大值是（）A． B．1 C． D．2技巧強(qiáng)化技巧強(qiáng)化1．（2020上海市控江中學(xué)）點(diǎn)在△內(nèi)部，且滿足，則△的面積與△、△面積之和的比為_(kāi)_______2．已知點(diǎn)P在△ABC所在的平面內(nèi)，若2＋3＋4＝3，則△PAB與△PBC的面積的比值為_(kāi)_________．3．（2020屆山西省太原市第五中學(xué)校）設(shè)點(diǎn)在的外部，且，則。4．(2020·哈爾濱三模)已知O為正三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，若△OAB的面積與△OAC的面積比值為3，則λ的值為。5．（2020屆海南省全國(guó)大聯(lián)考）設(shè)點(diǎn)是的重心，且滿足，則。6．若在△中,，其外接圓圓心滿足，則__________.7．已知是銳角的外心，．若，則實(shí)數(shù)______．8．（2020湖北省重點(diǎn)高中聯(lián)考協(xié)作）已知是平面上一定點(diǎn)，滿足，，，則的軌跡一定通過(guò)的（外心 、垂心、重心、內(nèi)心）9．已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，，且，則點(diǎn)O，N，P依次是的（填三角形的四心）10．（2020河南省八市重點(diǎn)高中聯(lián)盟）已知是半徑為1的圓的一條直徑，點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值等于。11．（2020屆江蘇省無(wú)錫市）正方形的邊長(zhǎng)為2，圓內(nèi)切于正方形，為圓的一條動(dòng)直徑，點(diǎn)為正方形邊界上任一點(diǎn)，則的取值范圍是______.12．（2020屆江蘇省蘇州市張家港市）已知正方形的邊長(zhǎng)為4，是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形的內(nèi)部或其邊界移動(dòng)，并且滿足，則的最小值是______．13．（2020屆江蘇省沭陽(yáng)