連續(xù)介質(zhì)力學(xué)幾個(gè)定律匯總情況

實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)第二章 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的基本定律在第一章中，我們僅考察了連續(xù)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述，而沒有考慮到引起運(yùn)動(dòng)和變形的因素。本章我們將引入應(yīng)力等概念，并給出連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的基本定律：質(zhì)量守恒定律、動(dòng)量平衡定律、動(dòng)量矩平衡定律、能量守恒定律及熵不等式。2.1 應(yīng)力矢量與應(yīng)力張量在物體的運(yùn)動(dòng)中，物體的兩部分之間或物體與其外界間的力學(xué)作用是通過力來描述的。在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中我們主要研究三種類型的力：(1)一個(gè)物體的兩部分之間的接觸力；(2)由外界作用于物體邊界上的接觸力；(3)由外界作用于物體內(nèi)部點(diǎn)的非接觸力(如重力、離心力等)。在另一方面，由于(1)(2)型的力總是通過某一接觸面發(fā)生作用的，因此通常把作用于單位接觸面積上的接觸力稱為表面力，或簡稱面力；由于(3)型力作用于物體整個(gè)體積內(nèi)所含的物質(zhì)點(diǎn)，因此通常把它稱為體積力，或簡稱體力。在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中重要的公理之一就是關(guān)于接觸力形式的柯西假設(shè)?？挛骷僭O(shè)在運(yùn)動(dòng)過程中的時(shí)刻t對(duì)于任何物質(zhì)坐標(biāo)X和與之對(duì)應(yīng)的接觸面S上的單位法矢量n，表面力的存在形式為ttX,t,n(2.101)通常，我們規(guī)定ttX,t,n指向接觸面S的外法向時(shí)為正，反之為負(fù)(見圖2.1).現(xiàn)在不管在X和S面與S'面的曲率相差多少。為了研究物體內(nèi)部的力學(xué)狀態(tài)，我們把一物體用一假想平面S截?cái)喑蓛刹糠諥和B，如圖2.3所示。此時(shí)S面就是A和B相互作用的接觸面，B部分對(duì)A部分一點(diǎn)的作用，便可以用A部分截面上的表面力tn來表征，我們稱之為應(yīng)力矢量。反過來，考慮A部分對(duì)B部分作用，按照牛頓的作用與反作用定律可得應(yīng)力矢量tn。它與tn作用于同一平面上的同一點(diǎn)處，并且大小相等，方向相反。即tn tn (2.102)對(duì)于物體內(nèi)部的一點(diǎn)P，通過它可以有無窮多個(gè)方向的截面，而對(duì)于不同方向的截面，應(yīng)力矢量也就不同，這種復(fù)雜情況只有引進(jìn)應(yīng)力張量的概念才能充分地加以描述。為了刻畫一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，設(shè)想在一點(diǎn) P的附近任意給定一個(gè)單位法矢量為文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)ncos1,cos2,cos3,e1n,e2n,e3n(2.103)的平截面。相應(yīng)地，過 P點(diǎn)沿活動(dòng)標(biāo)架作三個(gè)坐標(biāo)平面。于是它們?cè)谖矬w內(nèi)截得一個(gè)微小四面體，如圖 2.4所示。在這個(gè)微小四面體的每一個(gè)面上，都受有物體的其余部分給它的作用力，不妨設(shè)在 ABC上受到的作用力為 tA，在PBC，PCA與PAB上的作用力分別為t1A1、t2A2與t3A3，其中A與Ai分別為各微小平面的面積，作用于微小四面體ABCP上單位質(zhì)量的體力為b?，F(xiàn)在假設(shè)對(duì)物體的任何部分，特別是對(duì)微小四面體 ABCP而言，動(dòng)量的變化率與作用的合力成正比。雖然這是個(gè)很自然且牛頓第二定律更強(qiáng)的新假設(shè) (因?yàn)榕ｎD第二定律只適用于整個(gè)物體 )，然而，它卻不能用實(shí)驗(yàn)直接驗(yàn)證，因?yàn)椴豢赡茏鰞?nèi)部表面接觸力的直接測(cè)定，這種力的存在與大小只能由其它量的觀測(cè)推知。描述一點(diǎn)是應(yīng)力張量，描述通過一點(diǎn)的某一截面是應(yīng)力矢量。對(duì)于微小四面體ABCP，柯西定律給出tAt1A1t2A2t3A3bVtAtiAibVtAtiAcos1VibhtmaVa31hAa(2.104)3其中 為物體的密度，h為P點(diǎn)到ABC面的距離，并且考慮到微小四面體的體積.V1hA(2.105)32.104式也可寫成tticos11(2.106)ibhha33當(dāng)微小四面體體積趨于零時(shí)，即A0，h0，則有tticosi(2.107)考慮到2.103式，并令tiTi1e1Ti2e2Ti3e3Tijei(2.108)則式2.107可寫成tcositineiTijejnTijeiejnTticosiTijejeinTijeiejnTTn(2.109)文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)T對(duì)稱時(shí)，則tnTTn(2.110)其中TTijeiej(2.111)稱為應(yīng)力張量，其矩陣形式為T11T12T13TT21T22T23(2.112)T31T32T33如果物體中一點(diǎn)處的應(yīng)力張量已知，那么由式2.112可以得到通過該點(diǎn)的任何截面上的應(yīng)力矢量，因此應(yīng)力張量完全地刻畫了物體中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。由Ai面上的應(yīng)力矢量ti的定義可知，titiX,t，而由式2.108知TijTijX,t，因此式2.109變?yōu)閠X,t,nnTX,t(2.113)上式就是柯西假設(shè)的具體形式，常稱之為柯西基本定理。下面我們研究應(yīng)力張量T的各分量的力學(xué)意義?？紤]到TijeiTejtiej故知，Tij代表作用于ei方向截面上的應(yīng)力矢量ti在ej方向上的分量，如圖2.5所示。我們從圖2.5看到，應(yīng)力張量T的對(duì)角線元素Tijij位于所作用平面的法線方向內(nèi)，故稱之為法向應(yīng)力分量；應(yīng)力張量T的非對(duì)角線元素Tijij位于所作用的平面內(nèi)，故稱為剪切應(yīng)力分量。2.2 質(zhì)量守恒定律物質(zhì)無論經(jīng)過怎樣形式運(yùn)動(dòng)，其總質(zhì)量是不變的，這就是古典連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的最重要規(guī)律之一—質(zhì)量守恒定律。下面我們研究質(zhì)量守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。設(shè)為物體的密度，dV表示物質(zhì)點(diǎn)的體積，由于在運(yùn)動(dòng)過程中質(zhì)量保持不變，所以D(2.201)dV0Dt展開有DdVDdV0(2.202)DtDt文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)又由式DdVvidVdivvdV(2.203)Dtxi于是式2.202可寫成Dvi0(2.204)Dtxi其不變性形式為Ddivv0(2.205)Dt其中Dvi(2.206)Dtxitvt把上式代入式2.204，則得vi0(2.207)t xi其不變性形式為div v 0注明v是張量， 只是一個(gè)函數(shù)，既不是矢量，又不是張量t(2.208)式2.205和式2.208就是質(zhì)量守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式質(zhì)量守恒方程，在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中常稱為連續(xù)性方程。在正交曲線坐標(biāo)系中，利用式:Higigj，連續(xù)性方程可寫為11v1H2H32v2H1H33v3H1H20(2.209)tH1H2H3在直角坐標(biāo)系中，連續(xù)性方程為vxvyvz0(2.210)txyz在柱面坐標(biāo)系中，利用第第一部分二章式2.13.03，連續(xù)性方程為1rvr1vvz0(2.211)trrrz在球面坐標(biāo)系中，利用第一部分二章式式2.13.04，連續(xù)性方程為1r2vr1sinv1v(2.212)tr2rrsinrsin0連續(xù)性方程也可用物質(zhì)描述法表示。在這種情況下質(zhì)量定恒定律要求V0X,t0dV0Vx,tdV(2.213)文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)其中V是物質(zhì)在現(xiàn)時(shí)刻所占據(jù)的體積，而V0是物質(zhì)在時(shí)刻t0所占據(jù)的體積。于是V0X,t0dV0V0xX,t,tJdV0V0X,tJdV0(2.214)因?yàn)檫@個(gè)關(guān)系式對(duì)任意體積V0都必須成立，故得0J(2.215)它表示J與時(shí)間無關(guān)，即Jconst(2.216)這就是物質(zhì)形式的連續(xù)性方程。2.3 動(dòng)量平衡定律歐拉把下列關(guān)系作為在連續(xù)介質(zhì)中普遍成立的一般性原理：Dm(2.301)fDt它稱為歐拉第一運(yùn)動(dòng)定律。上式說明任意物體具有的動(dòng)量的變化率等于作用于該物體上的合力f。設(shè)所研究物體在其體積 V上受有連續(xù)分布的體力和在其體積的邊界面 S上連續(xù)分布的接觸力 fc，因此物體上所受合力為f fb fc (2.302)其中fbVbdV(2.303)fcStdS(2.304)物體的動(dòng)量為m V vdV (2.305)DxdVDt于是將式2.302和式2.305代入式2.301則VadVStdSVbdV(2.306)D2x表示x點(diǎn)的加速度。由式2.109，可將上式改寫為其中a2DtSnTdSVbdVVadV(2.307)利用高斯公式SnTdSVTdV(2.308)則得文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)S TdV V bdV V adV (2.309)即V T b adV 0 (2.310)考慮到V的任意性，則Tba0(2.311)即divTba(2.312)需要指出的是，這里的散度是對(duì)于空間坐標(biāo)的。上式稱為柯西第一運(yùn)動(dòng)定律。其指標(biāo)形式為Tji;ibiai(2.313)展開得T11T21T31b1a1(2.314)x1x2x3T12T22T32b2a2(2.315)x1x2x3T13T23T33b3a3(2.316)x1x2x3特別地，在靜止的情況下，物體的加速度為零，則式2.313化為divTb0(2.317)在彈性力學(xué)中，上式稱為平衡方程。在柱面坐標(biāo)系中，利用第一部分第二章2.13.4.d可得上式化為Trr1TrTzrTrrTbr0(2.318)rrzrTr1TTzTrTrb0(2.319)rrzrTrz1TzTzzTrzbz0(2.320)rrzr在球面坐標(biāo)系中，利用第一部分第二章2.13.4.e，則2.317式可化為Trr1Tr1Tr1TcotTrTTbr0(2.321)rrrsinrTr1T1T12TrTrcotTTb0(2.322)rrrsinrTr1T1T12cotTTb0(2.323)rrrsinrTrTr2.4 動(dòng)量矩平衡定律文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于任意物體下列關(guān)系式成立：DMx0lx0(2.401)Dt其中Mx0表示物體繞 x0點(diǎn)的動(dòng)量矩，lx0表示作用于物體上的力對(duì)x0點(diǎn)的合力矩。上式稱為歐拉第二運(yùn)動(dòng)定律。設(shè)作用于物體上的力矩只是由體力和接觸力引起的 ,故其合力矩為lx0Vxx0bdVSxx0tdS(2.402)而物體的動(dòng)量矩為Mx0xDxdV(2.403)Vx0Dt將式2.402和式2.403代入式2.401，并考慮到Dxx0Dx(2.404)VdVDtDtD2xDxx0Dxxx0dVVxx0DxDVDtdVVDt2dVDtDtDtVDxDxdV張量本身叉乘是0Vxx0D22xdVVxx0DxDdV質(zhì)量守恒0DtDtDtDtDtVxx0D22xdV(2.405)Dt可得Vxx0adVVxx0bdVSxx0tdS(2.406)其中aD2x表示x點(diǎn)的加速度?？紤]到式2.110和高斯公式，則Dt2V x x0 bdV S x x0 tdS V x x0 adV可知 S x x0 tdS V x x0 ngTdSVxx0bdVSxx0nTdSVxx0adVVxx0badV混合積互換SnTxx0dSVxx0baTxx0dV積分定理Vljkxlx0lbjajekiTijxlx0ljlkekdV張量運(yùn)算Vljkekxlx0lbjajiTijxlx0ldVVljkekxlx0lbjajTij;ixlx0lTijixlx0ldVV ljkek xl x0l Tij;i bj aj Tijil dV根據(jù)平衡方程，紅色部分為 0文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)VljkTijilekdVVijkTijekdV0(2.407)考慮到體積V的任意性，得ijkTij0(2.408)因此，Tij必須對(duì)稱張量，即TijTji(2.409)或TTT(2.410)上式叫做柯西第二運(yùn)動(dòng)定律?？挛鞯诙\(yùn)動(dòng)定律限定應(yīng)力張量為對(duì)稱張量，其中只有六個(gè)獨(dú)立分量。2.5 能量守恒定律在連續(xù)介質(zhì)中，如果只研究力學(xué)量的影響，而不考慮熱學(xué)效應(yīng)，那么連續(xù)介質(zhì)的能量守恒定律可以直接由運(yùn)動(dòng)方程導(dǎo)出。首先，將運(yùn)動(dòng)方程TbDv(2.501)Dt點(diǎn)乘速度矢量vvTvbvDv(2.502)Dt在體積V上積分DvVvTdVvbdV(2.503)VvVDt考慮到VvDvVD1vvdVDtDt2VD2vvdVV1vvDdV質(zhì)量守恒0Dt2DtDV1vvdVDt2DV1v2dVDt2DK(2.504)Dt1上式表示在體積V中的總動(dòng)能K2的時(shí)間變化率。另外，考慮到V2vdV文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)vTvjTij;ivjTij,ivj;iTijTvv:TTvDW:TvD:TW:T反對(duì)陳與對(duì)稱雙點(diǎn)乘是0TvD:T(2.505)這里利用了反稱張量W與對(duì)稱張量T之間的雙重點(diǎn)積為零的性質(zhì)。把式2.504和式2.505代回到式2.503中去，則得DKVD:TdVVTvdVVvbdV(2.506)Dt運(yùn)用高斯公式把上式右邊第一體積分化為面積分，并利用柯西假設(shè)ttnT，則VTvdVSn添加取掉無影響TvdSStvdS(2.507)將上式代入式2.506，于是我們得到在純力學(xué)作用下的能量方程DKVD:TdVStvdSVbvdV其中D是速度梯度的對(duì)稱部分Dt(2.508)其中方程左邊兩項(xiàng)分別表示連續(xù)介質(zhì)的動(dòng)能和內(nèi)能 (應(yīng)力生熱)的時(shí)間變化率，右邊兩項(xiàng)分別表示接觸力和體力所做的功率。若令 U表示內(nèi)能，則能量方程5.508也可簡潔地寫成DK DU DWDt Dt DtDW

(2.509)其中Dt表示接觸力和體力的功率，記號(hào)D表示這個(gè)量不一定能寫成某個(gè)函數(shù)的全微分形式。如果同時(shí)考慮機(jī)械能和非機(jī)械能，那么就必須用能量守恒定律的一般形式。能量守恒定律的一般形式可以表述為：動(dòng)能加上內(nèi)能對(duì)時(shí)間的變化率等于總功率加上在單位時(shí)間內(nèi)供給物體的各種其它形式的能量。這些能量包括熱能、化學(xué)能、電磁能等等。本書只考慮機(jī)械能和熱能，于是能量守恒定律就化為著名的熱力學(xué)第一定律的形式。對(duì)于熱力連續(xù)介質(zhì)(thermomechanical continua)來說，通常把內(nèi)能的時(shí)間變化率寫成DUDudVDtVDtDuVuD是0VdVdVDtDt文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)DudV(2.510)VDt其中u稱為比內(nèi)能，表示每單位質(zhì)量的內(nèi)能密度。另外，我們定義矢量f為在單位時(shí)間內(nèi)每單位面積的熱通量，函數(shù)q為在單位時(shí)間內(nèi)每單位質(zhì)量的熱輻射量，于是物體總熱量的增量變化率為DQndSVqdV(2.511)SfDt其中n為物體表面的外法向，熱通量矢量f由傅立葉定律給出，即fkT(2.512)這里k為熱傳導(dǎo)系數(shù)，T為溫度。于是熱力連續(xù)介質(zhì)的能量方程可以寫成DK DU DW DQDt Dt Dt Dt或?qū)懗煞e分形式

(2.513)D V1 vvdVDt 2

V DudV StvdS V vbdV Sf ndS V qdVDt(2.514)把上式右邊面積分化為體積分后再移到左端，則有V1DvvDudVVDt2Dt(2.515)

Tv vb f qdV高斯公式由于體積V是任意的，故有Dvv1Tvvb1fq(2.516)Dtu2利用式2.505，則上式化為vDvDu1D:TvTvb1fq(2.517)DtDt整理得Du1D:T1fq1vTbDv平衡方程0DtDt(2.518)考慮到運(yùn)動(dòng)方程成立，則有Du11fq(2.519)DtD:T或Du1DijTij1fiq(2.520)Dtxi文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)上式表示物體內(nèi)能的時(shí)間變化率等于應(yīng)力功率和吸收的熱量之和 。式2.513、式2.514、和式2.519都是能量守恒定律的表現(xiàn)形式。2.6 狀態(tài)方程熵定律完整地表征一個(gè)熱力學(xué)統(tǒng)稱做是對(duì)這個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)的描述。用來描述這個(gè)狀態(tài)的物理量稱狀態(tài)參數(shù)。狀態(tài)參數(shù)隨著時(shí)間變化表征一個(gè)熱力學(xué)過程。但是，在一般情況下，這些狀態(tài)參數(shù)并不全是獨(dú)立的，它們之間存在著某種關(guān)系。這種關(guān)系就稱為狀態(tài)方程。如果某個(gè)狀態(tài)參數(shù)可以通過其它幾個(gè)狀態(tài)參數(shù)表出，則稱它為狀態(tài)函數(shù)。現(xiàn)在，我們考慮一個(gè)均勻的熱力學(xué)系統(tǒng)，它處于平衡狀態(tài)，即在沒有外界影響的條件下，系統(tǒng)的各部分在長時(shí)間內(nèi)不發(fā)生任何變化。描述這樣一個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)參數(shù)為：幾何參數(shù) V(體積)、力學(xué)參數(shù)p(壓力)及熱力學(xué)參數(shù)T(溫度)。聯(lián)系這三個(gè)量的關(guān)系的狀態(tài)方程可寫成Fp,V,T0(2.601)這里需要指出的是，對(duì)于一定的物質(zhì)來說，狀態(tài)方程是普遍適用的，也就是說，構(gòu)成熱力學(xué)系統(tǒng)的物質(zhì)一經(jīng)選定，狀態(tài)方程的具體形式也就確定了。例如對(duì)于完全氣體而言，狀態(tài)方程的具體形式可寫成m(2.602)pVR0TM其中m為氣體的質(zhì)量，M為分子量，R0是克分子氣體常數(shù)。在上一節(jié)我們?cè)鴶⑹鲞^熱力學(xué)第一定律，它公設(shè)機(jī)械能和熱能可以互相轉(zhuǎn)換，但是，只根據(jù)熱力學(xué)第一定律還不能判定這種轉(zhuǎn)換過程是否可逆。事實(shí)上，所有的真實(shí)過程都是不可逆的，但可逆過程卻是一個(gè)非常有用的假設(shè)，因?yàn)樵谠S多情況下，能量耗損是可以忽略不計(jì)的。可逆性判據(jù)由熱力學(xué)第二定律給出。熱力學(xué)第二定律公設(shè)存在兩個(gè)獨(dú)立狀態(tài)函數(shù)：絕對(duì)溫度 T和熵S。它們有如下性質(zhì)：絕對(duì)溫度T為一正量，它僅僅是經(jīng)驗(yàn)溫度(即我們通常見到的溫度)的函數(shù)，熵S和體積V一樣，是一個(gè)廣延量，而溫度是與熵相對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度量，正如壓強(qiáng)是與體積相對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度量一樣。一個(gè)物體的強(qiáng)度量代表物質(zhì)的內(nèi)在性質(zhì)，與物體的質(zhì)量大小無關(guān)，而一個(gè)物體的廣延量則可分解為物體上各個(gè)子部分上的廣延量之和。因此，一連續(xù)介質(zhì)的總熵S可寫成下列形式：SVsdV(2.603)這里s表示連續(xù)介質(zhì)中的熵密度，即每單位質(zhì)量中的熵。文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)一個(gè)系統(tǒng)的熵既可由于與外界相互作用而發(fā)生改變，也可由于系統(tǒng)內(nèi)部發(fā)生變化而改變，因此dsdsedsi(2.604)這里ds是熵密度的增量,dse是由于與外部相互作用而引起的熵密度增量。dsi是由于系統(tǒng)內(nèi)部發(fā)生變化而引起的熵密度的增量。dsi決不能為負(fù)值。它在可逆過程中為零，在不可逆過程中為正，即dsi0(不可逆過程)(2.605)dsi0(可逆過程)(2.606)在可逆過程中，如果令dqR表示供給系統(tǒng)的每單位質(zhì)量的熱量，則dse可表示為dsedqR(可逆過程)(2.607)T按照熱力學(xué)第二定律，在連續(xù)介質(zhì)所占據(jù)的物理空間中總熵的時(shí)間變率不小于通過連續(xù)介質(zhì)表面流入的熵與連續(xù)體內(nèi)部源產(chǎn)生的熵之和。在數(shù)學(xué)上，這個(gè)熵原理可以以積分形式表示為dfn(2.608)dtVsdVVedVSTdS稱之為克勞修斯—杜姆不等式，其中e為單位質(zhì)量中的局部熵源。上式中的等號(hào)成立時(shí)表示可逆過程，不等號(hào)成立時(shí)代表不可逆過程。利用質(zhì)量守恒定律dVsdVVdsdVVSddVdtdtdtdsdVVdt和高斯公式V f ndST

V

dVT考慮到體積V的任意性，則由式2.608可得克勞修斯—杜姆不等式的微分形式ds1f(2.609)e0dtT2.7 主應(yīng)力最大剪應(yīng)力nT表示物體中一點(diǎn)周圍不同方向上的應(yīng)力矢量公式，當(dāng)應(yīng)力張量已知時(shí)，在給定的任何一個(gè)方向n上的應(yīng)力矢量就由tnT給出。下面，我們將要文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)討論的問題是，對(duì)于某給定點(diǎn)來說，在什么方向上法向應(yīng)力 Tn取駐值。這個(gè)問題歸結(jié)為在n為單位矢量的條件下，即n2nnn12n22n32nknk1(2.701)時(shí)，求Tn的條件極值問題。運(yùn)用大家所熟知的拉格朗日乘子法，有Tnf0(2.702)nini其中f為約束條件fnnn11kk0(2.703)nn考慮到TijTji，則由式2.110可得TnntnTnnkekTpqepeqnlelkpnkTpqnlqlnpTpqnq(2.704)將上式代入式2.702，則TnfninininpTpqnqninknk1npTpqnqnpTpqnqnknknini2nipiTpqnqnpTpqqi2kink2Tiqnqni0(2.705)或?qū)懗刹蛔冃孕问?，即Tnn(2.706)或TIn0(2.707)寫成展開形式，則為T11n1T12n2T13n30T21n1T22n2T23n30T31n1T32n2T33n30(2.708)上列方程中n具有非零解的充分必要條件是它的系數(shù)行列式為零，即Tijij0(2.709)或3I12I2I30(2.710)其中文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)I1T11T22T33TiitrT(2.711)I2T11T12T11T13T22T23T21T22T31T33T32T331TiiTjjTij21trT2trT2(2.712)2T11T12T13I3T12T22T23TijdetT(2.713)T31T32T33這里I1，I2，I3是應(yīng)力張量T的三個(gè)主不變量，分別稱為第一、第二、第三應(yīng)力不變量。方程的解1，2，3為特征值，n1，n2，n3為特征矢量。其中若i j，則ni nj。事實(shí)上，在ni方向上法向應(yīng)力值就是ni所對(duì)應(yīng)的特征值。將式2.706與ni點(diǎn)乘，得i inini niTni tini (2.714)則i就是ni方向上的應(yīng)力，稱為主應(yīng)力，而ni稱為主方向，主方向所確定的平面稱為主平面。若ni和nj不兩個(gè)不同的主方向ij，則在ni面上nj方向的剪應(yīng)力Tij為TijniTnjininj0(2.715)故主應(yīng)力平面上的剪應(yīng)力為零。若以(n1，n2，n3)為坐標(biāo)單位基矢量，并令Ti，則應(yīng)力張量矩陣具有下列形式：T100T0T20(2.716)00T3即T Tniini (2.717)現(xiàn)在我們來討論最大剪切應(yīng)力問題。為了計(jì)算方便，不妨將坐標(biāo)系選取在主方向上，即取(e1，e2，e3)為主方向。設(shè)n是通過物體內(nèi)一點(diǎn)的某一平面的單位法向矢量，則nn1e1n2e2n3e3nkek(2.718)作用于該平面的應(yīng)力矢量分量為tnTneTee(2.719)kkiiinTenTei(2.720)k