機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)第四章多自由度系統(tǒng)

將具體的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化成：多個(gè)以各種方式相連接的離散質(zhì)量、彈性元件和阻尼元件組成的離散振動(dòng)系統(tǒng)。這種系統(tǒng)稱為多自由度振動(dòng)系統(tǒng)。描述它振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為常微分方程組。第4章多自由度系統(tǒng)

本章內(nèi)容：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)的基本理論，多自由度系統(tǒng)的固有頻率和振型的理論；分析多自由度系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)常用的振型迭加方法；用變換方法求多自由度系統(tǒng)動(dòng)力（態(tài)）響應(yīng)的問(wèn)題?！?.1運(yùn)動(dòng)微分方程n個(gè)自由度的振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程可以寫為一般[M][C][K]不會(huì)同時(shí)為對(duì)角矩陣，方程存在耦合。解耦是在時(shí)域內(nèi)求解方程的重要一環(huán)。

分別叫：[…]矩陣{…}向量在靜力學(xué)中，各自由度的位移{x}、系統(tǒng)的剛度矩陣[K]、各自由度上所受到的外力關(guān)系為：剛度矩陣[K]的元素kij的意義：——如系統(tǒng)第j個(gè)自由度沿其坐標(biāo)正方向有一個(gè)單位位移，其余各個(gè)自由度的位移保持為零，為保持系統(tǒng)這種變形狀態(tài)需要在各個(gè)自由度施加外力，其中在第i個(gè)自由度上施加的外力就是kij。

[K]的定義：外力{f}正好是剛度矩陣[K]的第j列。系統(tǒng)第j個(gè)自由度有一個(gè)正向單位位移，其余自由度位移為零這種變形狀態(tài)可以由向量{x}＝{ej}描述。為使系統(tǒng)保持{ej}的變形狀態(tài)，所加的外力為：

例4.1求圖示的簡(jiǎn)化的汽車4自由度模型的剛度矩陣。解：取yA,yB,y1,y2為描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的廣義坐標(biāo)，即

{x}={yA,yB,y1,y2}T

各個(gè)自由度原點(diǎn)均取靜平衡位置，向上為正。(1)求[K]的第一列：設(shè)yA沿坐標(biāo)正方向有一個(gè)單位位移，其余廣義坐標(biāo)位移為零，則只有k2被伸長(zhǎng)，此時(shí)：外力{f}=???f1=k2;f2=0;f3=-k2;f4=0k11=k2;k21=0;k3l=-k2;k41=0(2)求[K]的第二列：yB↑k12＝0，k22＝k4，

k32=0，k42=-k4

坐標(biāo){x}={yA,yB,yl,y2}T(3)求[K]的第三列。設(shè)yl↑k13＝-k2，k23＝0，

k33=k2+k1，k43=0(4)求[K]的第四列。設(shè)y2↑k14=0，k24=-k4，

k34=0，k44＝k2+k4

三種求[K]的方法：？？牛頓法、求偏倒法（能量法）、定義法。坐標(biāo){x}={yA,yB,yl,y2}T

質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣均是對(duì)稱矩陣。用求偏倒的方法寫[M][C][K]矩陣：定義法和牛頓法比較麻煩，一般用能量法比較方便：1)寫系統(tǒng)的動(dòng)能、能量耗散函數(shù)和勢(shì)能2)求偏導(dǎo)3)得到矩陣針對(duì)本例：系統(tǒng)的動(dòng)能為桿的平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與兩個(gè)質(zhì)量的動(dòng)能之和，設(shè)桿的質(zhì)心在桿的中點(diǎn)，質(zhì)量為M。系統(tǒng)的動(dòng)能為：坐標(biāo)系{x}={yA,yB,y1,y2}T由系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣可以得到系統(tǒng)的慣性力、阻尼力和彈性力：它們的分量分別為施加于各個(gè)自由度上的慣性力、阻尼力和彈性力。求解方程：——求解一種方法是尋找一個(gè)新廣義坐標(biāo)系，使得系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣為對(duì)角矩陣。也就是解耦。——新坐標(biāo)系與原坐標(biāo)系存在線性變換關(guān)系，因此，要尋找一個(gè)可逆線性變換矩陣[u]，將質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣變換為對(duì)角矩陣。——為此，我們討論線性變換前后多自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的關(guān)系。設(shè)有可逆線性變換[u]，使得因而有稱{x}為舊坐標(biāo)系，{y}為新坐標(biāo)系。系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能和能量耗散函數(shù)與坐標(biāo)系選擇無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)，它們是坐標(biāo)變換下的不變量,因此有：新舊坐標(biāo)系下矩陣的關(guān)系：兩邊左乘[u]T

，根據(jù)：將{x}=[u]{y}代入方程：

得到，新坐標(biāo)系{y}下的運(yùn)動(dòng)微分方程：得到：其中：是新坐標(biāo){y}下的廣義激勵(lì)。此時(shí)，方程解耦了！為求{x}=[u]{y}的逆變換，在其兩邊左乘[u]T[M]得即：坐標(biāo)系{y}下的初始條件為：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為坐標(biāo){y}微分方程的定解思路：{x}坐標(biāo)系下的微分方程和初試條件{x}坐標(biāo)系下的微分方程解{y}坐標(biāo)系下的微分方程和初試條件耦合，不能求解[u]坐標(biāo)轉(zhuǎn)換解耦{y}坐標(biāo)系下的微分方程解微分方程相互，可求解[u]T坐標(biāo)逆轉(zhuǎn)換§4.2固有頻率與振型——系統(tǒng)的固有頻率和振型一一對(duì)應(yīng)。系統(tǒng)求解的思路：設(shè)系統(tǒng)解為簡(jiǎn)諧振動(dòng)：代入微分方程：得到廣義特征值問(wèn)題：得到特征方程或頻率方程：求得w1，w2并取w1≤w2;代回廣義特征值問(wèn)題，求得振型{u}。

無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：在特殊初始激勵(lì)下，系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，也就是固有振動(dòng)。形式為：其中，{u}和w是待求的振型和固有頻率。這就是頻率方程。

將代入方程得到方程有非零解的充要條件是系數(shù)矩陣的行列式為零，即：這是以w2為未知數(shù)的n次代數(shù)方程，解之可得n個(gè)根，w1，w2

，......wn

。依次代入廣義特征值問(wèn)題方程可以得到n個(gè)方程廣義特征值問(wèn)題求出與w2r相對(duì)應(yīng)的非零的{ur}。就是與固有頻率對(duì)應(yīng)的振型。由：固有頻率振型如果w2r是是頻率方程（4.13）的k重根（k正整數(shù)，k<n）,則有：此時(shí)系數(shù)矩陣的秩為m-k。例4.2如圖所示：兩個(gè)相同的質(zhì)量以彈簧相聯(lián)。求它的固有頻率與振型。1)兩個(gè)質(zhì)量以相同位移同向運(yùn)動(dòng)時(shí)：彈簧無(wú)變形，整個(gè)系統(tǒng)如同一個(gè)剛體在運(yùn)動(dòng)。即振型為{u1}={1,1}T時(shí)，w12＝02)兩個(gè)質(zhì)量以相同位移反向運(yùn)動(dòng)時(shí)：彈簧有變形，勢(shì)能大于零。即振型為{u2}={-1,1}T時(shí)，w22>0?！@是一個(gè)對(duì)稱系統(tǒng)，對(duì)稱點(diǎn)為彈簧是的中點(diǎn)。它有兩種固有振動(dòng)：1)寫[K][M]：2)由特征方程計(jì)算固有頻率：3)取wr2的正平方根wr，稱為系統(tǒng)的第r階固有頻率，而相應(yīng)地稱{ur}為系統(tǒng)的第r階固有振型，簡(jiǎn)稱振型。并將固有頻率按由小到大的順序編號(hào)系統(tǒng)的固有頻率和振型與激勵(lì)無(wú)關(guān)，由[K]和[M]決定。同樣，由能量法可獲得相同的結(jié)果：如果振型{ur}滿足則對(duì)任意非零常數(shù)c，c{ur}也滿足上式。即振型只是給出了振動(dòng)方向和相對(duì)振幅，而振型大小需要人為指定。稱指定振型的大小為振型的正規(guī)化。(1)令{ur}滿足此時(shí)在式(4.14)兩邊左乘{(lán)ur}T可得振型正規(guī)化方案有多種，常用的有以下幾種：(2)令{ur}的某一分量（常取絕對(duì)值最大的分量）為1；其他分量等比縮小。如： {ur}={2,1.4,0.8,0.6}正規(guī)化得到：

{ur}={1,0.7,0.4,0.3}振型的性質(zhì)：屬于不同固有頻率的振型彼此以系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為權(quán)正交，這個(gè)性質(zhì)稱為振型的正交性。前提：數(shù)學(xué)表示為：證明過(guò)程：由可得這里左乘{(lán)us}T

得：左乘{(lán)ur}T

，再轉(zhuǎn)置得：不為0因此：即：振型的正交性振型正交性的物理意義：假定系統(tǒng)的位移可以表示為第s和第r階兩個(gè)振型的線性組合，即：其中：{ur}、{us}對(duì)質(zhì)量矩陣歸一；a(t)、b(t)是時(shí)間的標(biāo)量函數(shù)。則系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能為：令：則：它們分別是第r、s階振型單獨(dú)存在時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能，稱為系統(tǒng)的第r、s階動(dòng)能和勢(shì)能。這個(gè)結(jié)論對(duì)位移是任意k(k≤n)個(gè)振型的線性組合的情況也成立。更進(jìn)一步：各個(gè)振型之間的動(dòng)能、勢(shì)能不交換。各振型在振動(dòng)時(shí)相互獨(dú)立、互不影響，如同一組彼此沒(méi)有關(guān)系的單自由度系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)的情形一樣。由全體振型構(gòu)成的向量組是線性無(wú)關(guān)的。是一個(gè)基。響應(yīng){x}可以被系統(tǒng)的振型線性表出：即：展開定理。振動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)是系統(tǒng)n個(gè)振型的線性組合。矩陣形式：{x}=[u]{y}

振型的正規(guī)正交化條件：1)先引入符號(hào)是單位矩陣[E]的元素2)振型的正規(guī)正交化條件可寫為：定義振型矩陣[u]，它的列向量為相應(yīng)的振型，即因此，有且同樣因此：屬于不同固有頻率的振型彼此以系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為權(quán)正交，這就是振型的正交性。更進(jìn)一步，證明：由全體振型{ur}構(gòu)成的向量組[u]是線性無(wú)關(guān)的。1)線性無(wú)關(guān)定義：如果一組向量{x1}，{x2}，…，{xn}由方程只能得出，則向量{x1}，{x2}，…，{xn}線性無(wú)關(guān)。也就是說(shuō)，它們是{x}空間的一個(gè)正交基。

2)同樣，如果{u}空間（振型空間）有：則方程兩邊左乘{(lán)u1}T[M]得：由于振型的正交性，有不為0所以有3)按此方法，依次對(duì)兩邊左乘，將得到4)因此振型{u1}，{u2}，……{un}是線性無(wú)關(guān)的。振型矩陣[u]的列向量是線性無(wú)關(guān)的；振型矩陣[u]為可逆矩陣。振型{ur}是n維向量空間的一個(gè)向量，且n個(gè)振型是線性無(wú)關(guān)的，因此：n個(gè)振型構(gòu)成了n維向量空間中的一個(gè)基，任何一個(gè)向量都可以被這n個(gè)振型線性表出。系統(tǒng)n個(gè)振型構(gòu)成的廣義坐標(biāo)為振型坐標(biāo)，系統(tǒng)所有的響應(yīng)振動(dòng)，都是這個(gè)基的線性組合。三維向量空間的直角坐標(biāo)基三維向量空間的柱坐標(biāo)基n自由度振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng){x}也是n維向量，可以被系統(tǒng)的振型{ur}線性表示，即有:這就是展開定理，其中yr(r＝1，2，…，n)是響應(yīng){x}在第r個(gè)基向量{ur}下的坐標(biāo)（系數(shù)）。振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)是系統(tǒng)n個(gè)振型的線性組合。

展開定理的矩陣形式為：{x}=[u]{y}其中，{y}的分量為響應(yīng){x}在系統(tǒng)振型[u]下的坐標(biāo)。以式(4.29)取代式(4.5)，可以得到在振型坐標(biāo)下n自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。——在振型[u]坐標(biāo)下n自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為分量形式為：N個(gè)獨(dú)立的單自由度方程§4.3動(dòng)力響應(yīng)分析——多自由度系統(tǒng)在外部激勵(lì)作用下的響應(yīng)分析稱為動(dòng)力響應(yīng)分析。常用方法有：振型疊加方法和逐步積分方法。特點(diǎn)：適于已知系統(tǒng)的[M]、[C]、[K]和激勵(lì){f}，求系統(tǒng)響應(yīng)x(t)的情況。振型疊加方法求解n-DOF的振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程的步驟如下：求出系統(tǒng)的固有頻率和振型矩陣。做變換代入式并兩邊左乘[u]T，可得:——只有當(dāng)[C]滿足一定條件時(shí)[u]T[C][u]才為對(duì)角矩陣（對(duì)角化）。3)方程解耦，采用單自由度系統(tǒng)求解方法。工程上常設(shè)阻尼為Rayleigh阻尼，即：[Cr]是對(duì)角矩陣，它的第r個(gè)對(duì)角元素為Cr，稱Cr為系統(tǒng)的第r階模態(tài)阻尼或廣義阻尼。類似于單自由度系統(tǒng)，定義系統(tǒng)的第r階阻尼比：此時(shí)，式(4.33)可視為n個(gè)相互獨(dú)立的單自由系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。寫成分量形式為4)如果振型矩陣[u]不能將阻尼矩陣[C]對(duì)角化，即[u]T[C][u]不是對(duì)角矩陣，則式(4.33)可寫為：——準(zhǔn)確求解式(4.38)的方法比較復(fù)雜。多數(shù)情況下，實(shí)踐證明：在系統(tǒng)的各階固有頻率間隔較大，阻尼較小的條件下，對(duì)阻尼矩陣進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，以方便計(jì)算。簡(jiǎn)化方法：

最簡(jiǎn)單的處理方法：把[Cn]的非對(duì)角元素全認(rèn)為是零。如果系統(tǒng)的阻尼較小，各階固有頻率之間的間隙較大，這種處理方法的精度一般還能滿足工程上的要求。有時(shí)阻尼矩陣不容易求得，在求得各階固有頻率和振型后，可以按經(jīng)驗(yàn)或規(guī)范給出各階的阻尼比zr。在實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析中，通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到的是系統(tǒng)的固有頻率、振型，阻尼則往往是給出各階的阻尼比。在振型迭加法中，有各階的阻尼比已經(jīng)足夠用。經(jīng)過(guò)近似處理后，式(4.38)解耦，可以采用第二章講過(guò)的任一種方法求解。得到{y}，再由展開定理得到系統(tǒng)響應(yīng){x}?！到y(tǒng)的各階固有頻率、振型、模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度、模態(tài)阻尼和阻尼比稱為系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。——當(dāng)系統(tǒng)的[M]、[K]和[C]確定后，響應(yīng){x}在系統(tǒng)振型[u]下的坐標(biāo){y}大小取決于外載荷{f}?！獙?duì)多數(shù)實(shí)際載荷，{f}中與低階振型有關(guān)的部分大，與高階振型有關(guān)的部分小。因而，一般不必求出全部，一般取前幾階或十幾階固有頻率和振型已足夠?！獜?fù)雜的機(jī)械系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型誤差高階振型的可靠性較差。多計(jì)入高階振型不一定會(huì)得到更好的結(jié)果。例4.3設(shè)多自由度系統(tǒng)在t=0時(shí)在第j個(gè)自由度受到一個(gè)單位脈沖力作用，初始條件為零，其他自由度上無(wú)激勵(lì)。求系統(tǒng)的響應(yīng)。解：考慮阻尼矩陣可以被振型矩陣解耦的情況。激勵(lì)可寫為因此——由于在振型坐標(biāo)下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程解耦，可得到n個(gè)彼此獨(dú)立的單自由度運(yùn)動(dòng)微分方程：上式的解為根據(jù)展開定理，系統(tǒng)的響應(yīng)為——因此，系統(tǒng)第i個(gè)自由度在第j個(gè)自由度受到一個(gè)單位脈沖力作用后的響應(yīng)為根據(jù)展開定理，系統(tǒng)的響應(yīng)為這個(gè)響應(yīng)是由n個(gè)單自由度系統(tǒng)的阻尼自由振動(dòng)迭加而成；定義此時(shí)的響應(yīng)為脈沖響應(yīng)：下標(biāo)i表示響應(yīng)的空間位置，j表示脈沖力的空間位置。依次取j＝1，2，…，n，即對(duì)各個(gè)自由度依次施加一個(gè)單位脈沖力，可以得到n2個(gè)脈沖響應(yīng)，得到脈沖響應(yīng)矩陣：——由于脈沖響應(yīng)矩陣可以由振動(dòng)試驗(yàn)測(cè)得，所以，它常常用來(lái)識(shí)別系統(tǒng)的振動(dòng)系統(tǒng)。0§4.4動(dòng)力響應(yīng)分析中的變換方法——用傅里葉變換和拉普拉斯變換求多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)。1)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：對(duì)向量做傅里葉變換和拉普拉斯變換＝分別對(duì)向量的各分量做傅里葉變換和拉普拉斯變換。

如，{x(t)}＝{x1(t)，x2(t)，…，xn(t)}T的傅里葉變換為對(duì)多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式兩邊做拉普拉斯變換，根據(jù)拉普拉斯變換的性質(zhì)有其中：{X(s)}和{F(s)}分別為系統(tǒng)響應(yīng){x(t)}和激勵(lì){f(t)}的拉普拉斯變換；稱為系統(tǒng)的機(jī)械阻抗矩陣；它的逆矩陣為：稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣

因此，式(4.38)可以改寫為然后，求出{X(s)}的拉普拉斯逆變換就可以得到響應(yīng){x(t)}思路：困難，復(fù)雜的微分方程求解變換簡(jiǎn)單的代數(shù)方程求解逆變換對(duì)于初始條件為零的情況，如果激勵(lì){f(t)}的傅里葉變換存在，則可對(duì)式兩邊做傅里葉變換得到稱為系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣。因此：——用變換方法求系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)：得到了系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣或頻響函數(shù)矩陣，則不必考慮方程解耦的問(wèn)題，不必求系統(tǒng)的固有頻率和振型?！到y(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣和頻響函數(shù)矩陣的元素的定義（以傳遞函數(shù)矩陣[H(s)]的元素Hij(s)為例）

系統(tǒng)的初始條件為零＋只在第j個(gè)自由度上有激勵(lì)fj(t)＝各個(gè)自由度均會(huì)有響應(yīng)，第i個(gè)自由度的響應(yīng)為xi(t)。則：依次取j=1，2，…，n，可以得到傳遞函數(shù)矩陣[H(s)]的全部元素Hij(s)。多自由度系統(tǒng)的響應(yīng)為脈沖響應(yīng)同樣，可以定義系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣。因此：系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)hij(t)和Hij(s)是一對(duì)拉普拉斯變換對(duì)，和Hij(w)是一對(duì)傅里葉變換對(duì)。同樣，系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣[h(t)]和傳遞函數(shù)矩陣[H(s)]是一對(duì)拉普拉斯變換對(duì)，和頻響函數(shù)矩陣[H(w)]是一對(duì)傅里葉變換對(duì)?！到y(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣[h(t)]、傳遞函數(shù)矩陣[h(s)]和頻響函數(shù)矩陣[H(w)]都反映了系統(tǒng)的振動(dòng)特性。頻響函數(shù)矩陣[H(w)]也可以由振動(dòng)試驗(yàn)測(cè)得，因而常常用來(lái)識(shí)別系統(tǒng)的振動(dòng)參數(shù)：

設(shè)系統(tǒng)的阻尼矩陣可以被振型矩陣解耦，做變換：在振型坐標(biāo)下系統(tǒng)的阻抗矩陣為：即振型坐標(biāo)下阻抗矩陣也為對(duì)角矩陣，對(duì)角元素為：為求傳遞函數(shù)矩陣[H(s)]，對(duì)[Zr(s)]求逆，有寫成向量形式，有：同樣，頻響函數(shù)矩陣[H(w)]也可以寫成：——這就是：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩