第三章-線性系統(tǒng)的時域分析法

自動控制原理東華理工大學機電學院自動化系第三章線性系統(tǒng)的時域分析法第三章線性系統(tǒng)的時域分析法3.1系統(tǒng)時間響應的性能指標

3.2一階系統(tǒng)的時域分析

3.3二階系統(tǒng)的時域分析

3.4高階系統(tǒng)的時域分析

3.5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

3.6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算§3.1概述系統(tǒng)的數(shù)學模型建立后，便可對系統(tǒng)進行分析和校正。分析和校正是自動控制原理課程的兩大任務。

系統(tǒng)分析是由已知的系統(tǒng)模型確定系統(tǒng)的性能指標；

校正是根據(jù)需要在系統(tǒng)中加入一些機構和裝置并確定相應的參數(shù)，用以改善系統(tǒng)性能，使其滿足所要求的性能指標。系統(tǒng)分析的目的在于“認識”系統(tǒng)，系統(tǒng)校正的目的在于“改造”系統(tǒng)。系統(tǒng)的分析校正方法一般有時域法、根軌跡法和頻域法，本章介紹時域法。3.1系統(tǒng)時間響應的性能指標

1．典型輸入信號2、動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程又稱瞬態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應

(TransientResponse&SteadystateResponse)。在典型輸入信號作用下，任何一個控制系統(tǒng)的時間響應都有動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成。1．瞬態(tài)響應：在典型輸入信號作用下，指系統(tǒng)從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應過程。由于實際控制系統(tǒng)具有慣性、摩擦、阻尼等原因，系統(tǒng)的輸出量不可能完全復現(xiàn)輸入量的變化。動態(tài)過程表現(xiàn)為衰減、發(fā)散或等幅振蕩形式。一個實際運行的系統(tǒng)其動態(tài)過程必須是衰減的，即系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。2．穩(wěn)態(tài)響應：在典型輸入信號作用下，當t

趨于無窮大時，系統(tǒng)的輸出量的表現(xiàn)方式。

3、動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能1．穩(wěn)態(tài)特性：穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動能力的一種度量。在分析控制系統(tǒng)時，我們既要研究系統(tǒng)的瞬態(tài)響應，如達到新的穩(wěn)定狀態(tài)所需的時間，同時也要研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性，以確定對輸入信號跟蹤的誤差大小。2．動態(tài)性能：在許多實際情況中，控制系統(tǒng)所需要的性能指標，常以時域量值的形式給出。通常，控制系統(tǒng)的性能指標，系統(tǒng)在初始條件為零（靜止狀態(tài)，輸出量和輸入量的各階導數(shù)為0），對階躍輸入信號的瞬態(tài)響應。實際控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應，在達到穩(wěn)態(tài)以前，常常表現(xiàn)為阻尼振蕩過程，為了說明控制系統(tǒng)對單位階躍輸入信號的瞬態(tài)響應特性，通常采用下列一些性能指標。1、延遲時間td：響應曲線從運動開始第一次達到穩(wěn)態(tài)值的一半所需的時間，叫延遲時間。

2、上升時間tr：響應曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%，所需的時間。上升時間越短，響應速度越快。

3、峰值時間tp：響應曲線超過其終值到達第一個峰值所需要的時間。4、調節(jié)時間ts:在響應曲線的穩(wěn)態(tài)線上，用穩(wěn)態(tài)值的百分數(shù)（通常取5%或2%）作一個允許誤差范圍，響應曲線達到并永遠保持在這一允許誤差范圍內，所需的時間

5、最大超調量

tr、tp評價系統(tǒng)的響應速度.ts同時反映響應速度和阻尼程度的綜合性指標.評價系統(tǒng)的阻尼程度3.2一階系統(tǒng)的時域分析當初始條件為零時，其傳遞函數(shù)為

這種系統(tǒng)實際上是一個非周期性的慣性環(huán)節(jié)。下面分別就不同的典型輸入信號，分析該系統(tǒng)的時域響應。其中C(t)為電路輸出電壓，r(t)為電路輸入電壓，T=RC為時間常數(shù)。

1、一階系統(tǒng)單位階躍響應

其傳遞函數(shù)為特征方程：特征根：待定系數(shù)如下當：有：當：有：求拉氏反變換有：傳遞函數(shù)的極點是產生系統(tǒng)響應的瞬態(tài)分量。這一個結論不僅適用于一階線性定常系統(tǒng)，而且也適用于高階線性定常系統(tǒng)。2、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應

響應曲線呈單調下降，無超調，無振蕩，在t=0

處下降速率最大，之后速率變小，且下降速率與時間常數(shù)成反比，即T越小，下降速率越快。

3.一階系統(tǒng)的單位斜坡響應

單位斜坡函數(shù)輸入時

所以一階系統(tǒng)跟蹤單位斜坡信號的穩(wěn)態(tài)誤差為

結論：一階系統(tǒng)在跟蹤單位斜坡信號時，總存在位置誤差，且位置誤差的大小隨時間而增大，最終趨時間常數(shù)T，因此T越大則誤差也越大。

減少時間常數(shù)T不僅可以加快瞬態(tài)響應的速度，還可減少系統(tǒng)跟蹤斜坡信號的穩(wěn)態(tài)誤差

4.一階系統(tǒng)的單位加速度響應

當

上式表明，跟蹤誤差隨時間推移而增大，直至無限大。因此，一階系統(tǒng)不能實現(xiàn)對加速度輸入函數(shù)的跟蹤。積分積分3.3二階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)的特征方程：

根表達式：

若系統(tǒng)阻尼比零阻尼系統(tǒng)

欠阻尼系統(tǒng)

臨阻尼系統(tǒng)過阻尼系統(tǒng)

負阻尼系統(tǒng)

S1,2=為兩個不相等的負實根

一對純虛根（一對復數(shù)根）（一對負的重實根）取值范圍不同，特征根形式不同，響應特性也不同1.二階系統(tǒng)的階躍響應

(1)欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應

令－衰減系數(shù)－阻尼振蕩頻率取拉氏反變換

阻尼角一對共軛負復數(shù)根(2)臨界阻尼單位階躍響應是一條無超調的單調上升曲線取拉氏反變換

(3)過阻尼

一對負的重實根為兩個不相等的負實根ζ=1ζ＞1(4)無阻尼情況(ζ=0)系統(tǒng)的單位階躍響應為系統(tǒng)一對純虛根所以,無阻尼情況下系統(tǒng)的階躍響應是等幅正(余)弦振蕩曲線(如圖3-8所示),振蕩角頻率是ωn。根表達式：其振蕩頻率為而只能測得

·實際控制系統(tǒng)通常有一定的阻尼比，因此不可能通過實驗方法測得

ωn而只能測得ωd5.二階系統(tǒng)階躍響應的性能指標計算

（1）延遲時間td一對共軛負復數(shù)根延遲時間td、上升時間tr、峰值時間tp、調節(jié)時間ts、最大超調量令所以當延遲時間td（2）上升時間tr令求得

求得

欠阻尼二階系統(tǒng)的特征參量各指標之間是有矛盾的（3）峰值時間tp對h(t)求導，并令其為零，

解得（4）最大超調量超調量在峰值時間發(fā)生在tp時刻

（5）調節(jié)時間ts當通過對調節(jié)時間、超調量與阻尼比之間關系得比較，可以得出如下的基本結論：調節(jié)時間

ts、是相互矛盾的某位置控制系統(tǒng)(隨動系統(tǒng))，其閉環(huán)傳遞函數(shù)矛盾阻尼大，超調小矛盾！wn一定,x↑→b↓→tr↑→速度慢用什么辦法來改善系統(tǒng)性能呢？x↑→K↓wn↑→K↑6．二階系統(tǒng)性能的改善 在前向通道串連一個一階微分環(huán)節(jié)(PD)，閉環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)椋簒’=x+0.5wnTd，z=Td-1（零點）（1）比例—微分控制1C(s)R(s)wn2—————s(s+2xwn)Tds1+TdsC(s)R(s)wn2—————s(s+2xwn)可通過適當選擇微分時間常數(shù)Td，改變系統(tǒng)阻尼比x(變大)；比例－微分控制(PD)可以不改變自然頻率wn，但可增大系統(tǒng)的阻尼比x；阻尼比x增大，但自然頻率wn不變，因此系統(tǒng)的性能得到了改善(sp↓,ts↓)。但PD控制同時給系統(tǒng)增加了一個閉環(huán)零點，零點是如何影響系統(tǒng)響應的還需進行深入的研究：2.速度反饋控制標準二階系統(tǒng)加速度負反饋，其開環(huán)與閉環(huán)傳遞函數(shù)分別變?yōu)椋?/p>

系統(tǒng)自激振蕩頻率不變，阻尼比增大為： x’=x+0.5wntt

sC(s)R(s)wn2—————s(s+2xwn)結論：①測速反饋會降低系統(tǒng)的開環(huán)增益，從而會加大系統(tǒng)在斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差②測速反饋不影響系統(tǒng)的自然頻率不變；③系統(tǒng)的阻尼比增大；④測速反饋不形成閉環(huán)零點，與PD對系統(tǒng)動態(tài)性能的改善程度不相同；

⑤設計時，可適當增加原系統(tǒng)的開環(huán)增益，以減小穩(wěn)態(tài)誤差。3.4高階系統(tǒng)的時域分析

若描述系統(tǒng)的微分方程高于二階，則該系統(tǒng)為高階系統(tǒng)。從理論上講，高階系統(tǒng)也可以直接由傳遞函數(shù)求出它的時域響應，進而確定系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標。但是，高階系統(tǒng)的分析計算比較困難，同時，在工程設計的許多問題中，過分講究精確往往是不必要的，甚至是無意義的。因此工程上通常把高階系統(tǒng)適當?shù)睾喕傻碗A系統(tǒng)后再進行分析。3.4.1高階系統(tǒng)單位階躍響應3.4.2閉環(huán)主導極點的概念3.4.3高階系統(tǒng)單位階躍響應的近似分析3.4.1高階系統(tǒng)單位階躍響應設系統(tǒng)的所有零點、極點互不相同，且極點中有q個實數(shù)極點和r對復數(shù)極點(q+2r=n)，零點中只有實數(shù)極點，則系統(tǒng)單位階躍響應的拉氏變換為零初始條件下的單位階躍響應為：(3-32)式中A0、Ai、Bk都是進行部分分式展開時所確定的常數(shù)，與系統(tǒng)零極點分布有關。結論：1)系統(tǒng)響應由穩(wěn)態(tài)值和一些慣性環(huán)節(jié)及振蕩環(huán)節(jié)的瞬態(tài)響應分量所組成；2)瞬態(tài)分量取決于它們的指數(shù)Pi、xkwnk的值和相應項的系數(shù)Ai、Bk： ①系統(tǒng)閉環(huán)極點距虛軸越遠，即Pi或xkwnk值越大，則該項衰減越快，反之亦然； ②瞬態(tài)分量的系數(shù)與閉環(huán)零極點相對位置有關:如果某極點與零點很靠近【偶極子】，則相應分量的系數(shù)也很小(Pi-Zi≈0)，這對零極點對系統(tǒng)過渡過程的影響也將很小。3)即系統(tǒng)的瞬態(tài)特性主要由那些靠近虛軸而又遠離零點的極點——主導極點——來決定。

3.4.2閉環(huán)主導極點的概念 如系統(tǒng)的某個(對)極點離虛軸最近，且其附近又無零點存在，而其他所有極點與虛軸的距離都在此極點與虛軸的距離的5倍以上，則系統(tǒng)的瞬態(tài)特性將主要由這個(對)極點來確定，而其它極點的影響可以忽略不計，這個(對)極點就稱為高階系統(tǒng)的主導極點。如：s1s2s3xwn主導極點示意圖5xwns1,2是主導極點，因為Re[s3]＞5Re[s1] 高階系統(tǒng)的主導極點常常是共軛復數(shù)極點，因此高階系統(tǒng)可以常用主導極點構成的二階系統(tǒng)來近似。相應的性能指標可按二階系統(tǒng)的各項指標來估計。在設計高階系統(tǒng)時，常利用主導極點的概念來選擇系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)具有預期的一對共軛復數(shù)主導極點，故可以近似的用二階系統(tǒng)的性能指標來設計系統(tǒng)。閉環(huán)主導極點的應用3.4.3高階系統(tǒng)單位階躍響應的近似分析（參考p106-108)1)閉環(huán)零點的作用為減小峰值時間，使系統(tǒng)響應速度加快，并且閉環(huán)零點越接近虛軸，這種作用越顯著；2)閉環(huán)非主導極點的作用為增大峰值時間，使系統(tǒng)響應速度變緩；3)若閉環(huán)零、極點彼此接近，則它們對系統(tǒng)響應速度的影響相互削弱；4)若系統(tǒng)不存在閉環(huán)零點和非主導極點，則式(3—69)還原為式(3—22)。3.5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 在控制系統(tǒng)的分析研究中，最重要的問題是系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。不穩(wěn)定的系統(tǒng)在受到外界或內部的一些因素擾動時，會使被控制量偏離原來的平衡工作狀態(tài)，并隨時間的推移而發(fā)散。因此，不穩(wěn)定的系統(tǒng)是無法正常工作的。在這一節(jié)中將討論穩(wěn)定性的定義，穩(wěn)定的充要條件及判別穩(wěn)定性的基本方法。3.5.1穩(wěn)定的概念與定義3.5.2線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3.5.3穩(wěn)定判據(jù)1穩(wěn)定的概念與定義

穩(wěn)定性有多種定義，這里只討論其中最常用的一種，即漸近穩(wěn)定性：若線性系統(tǒng)在初始擾動的影響下，其過渡過程隨時間的推移逐漸衰減并趨于零，則稱系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定；反之若在初始擾動影響下，系統(tǒng)的過渡過程隨時間推移而發(fā)散，則稱其不穩(wěn)定。

穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的固有特性，與外界輸入信號無關。在下面的討論中，如果系統(tǒng)的數(shù)學模型是建立在小偏差線性化的基礎上，則認為系統(tǒng)中各信號的變化均不超出其線性范圍。此時，該系統(tǒng)采用上述的穩(wěn)定性的定義。

2．線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件假設系統(tǒng)的初始條件為零，外部激勵為輸入信號

線性系統(tǒng)穩(wěn)定要滿足的條件，實際上取決于其特征根，也即系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點

.c(t)=A0+A1es1t+…+Anesnt線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：

系統(tǒng)微分方程的特征根的全部根都是都負實數(shù)或實部為負的復數(shù)，也即，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點均位于S平面的左半平面。

3．勞思—赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)（1）赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)

系統(tǒng)特征方程：

系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：特征方程的全部系數(shù)都為正，且主行列式及對角線上的子行列式都大于零。即：當系統(tǒng)特征方程的次數(shù)較高時，應用赫爾維茨判據(jù)的計算工作量較大系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：特征方程所有系數(shù)均為正，則系統(tǒng)可能穩(wěn)定，則可用勞斯判據(jù)判穩(wěn)。勞思表中第一列的所有元素都大于零，系統(tǒng)必定穩(wěn)定。

(2)勞思穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)特征方程的標準形式：

判別方法：如果勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值，則其特征方程式的根都在S的左半平面，相應的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果勞斯表中第一列系數(shù)的符號有變化，其變化的次數(shù)等于該特征方程式的根在S的右半平面上的個數(shù)，相應的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。舉例(1)三階系統(tǒng)特征方程式：

列勞斯表：

系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：

特殊情況一（第一列中有一元素為零）

有兩個根位于右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

注意：勞斯表每列元素同時乘或除某一個數(shù)，不影響計算結果。特殊情況二（勞斯表中一行元素均為零）：

征方程為:

輔助方程：

第一列沒改變符號，右半平面沒有根

有一對共軛虛根。輔助方程：

至少有三種情況：1、特征方程有一對實根，大小相等，符號相反2、有一對虛根3、有對稱于S平面原點的共軛復根

舉例：試用勞斯判據(jù)確定系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益K的取值范圍

R(s)C(s)閉環(huán)傳函：

系統(tǒng)特征方程式：為使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須

40k>0即k>00<k<14

k<143.6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算前提：系統(tǒng)穩(wěn)定一個符合工程要求的系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差必須控制在允許的范圍之內。如工業(yè)加熱爐的爐溫誤差若超過其允許的限度，就會影響加工產品的質量。又如造紙廠中卷繞紙張的恒張力控制系統(tǒng)，要求紙張在卷繞過程中張力的誤差保持在某一允許的范圍之內。重要性能指標。

動態(tài)性能:穩(wěn)態(tài)性能:系統(tǒng)性能指標:1．誤差與穩(wěn)態(tài)誤差在實際系統(tǒng)中是可以量測的

輸出的實際值

輸出的希望值（真值很難得到）

可得誤差閉環(huán)傳遞函數(shù)

誤差傳遞函數(shù)拉氏反變換可見，不同的輸入對同一個系統(tǒng)所產生的誤差是不同的

終值定理，求穩(wěn)態(tài)誤差

公式條件：的極點均位于S左半平面（包括坐標原點）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，不僅與開環(huán)傳遞函數(shù)的結構有關，還與輸入形式密切相關。對于一個給定的穩(wěn)定系統(tǒng)，當輸入信號形式一定時，系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差就取決于開環(huán)傳遞函數(shù)所描述的系統(tǒng)結構。因此，按照控制系統(tǒng)跟蹤不同輸入信號的能力來進行系統(tǒng)分類是必要的。2、系統(tǒng)類型

令系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

為便于討論，令

有穩(wěn)態(tài)誤差因為實際輸入多為階躍函數(shù)，斜坡函數(shù)和加速度函數(shù)或者其組合，因此分別討論。

此s->0是終值定理3、階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)位置誤差系數(shù)

令則由如果要求對于階躍作用下不存在穩(wěn)態(tài)誤差，則必須選用Ⅰ型及Ⅰ型以上的系統(tǒng)。習慣上，階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差稱為靜差。

4、斜坡輸入作用下的靜態(tài)誤差與靜態(tài)速度誤差系數(shù)

令稱為靜態(tài)速度誤差系數(shù)，指系統(tǒng)在速度(斜坡)輸入作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之間存在

由結論：0型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時不能跟蹤斜坡輸入Ⅰ型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時能跟蹤斜坡輸入，但存在一個穩(wěn)態(tài)位置誤差Ⅱ型及Ⅱ型以上系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)時能準確跟蹤斜坡輸入信號，不存在位置誤差

5、加速度輸入作用下的靜態(tài)誤差與靜態(tài)加速度誤差系數(shù)

令令分析結論：（1）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與輸入信號有關（2）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與開環(huán)放大倍數(shù)K基本成反比關系。對于有差的系統(tǒng)，K值越大穩(wěn)態(tài)誤差越小。（3）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與開環(huán)傳遞函數(shù)的積分環(huán)節(jié)數(shù)ν有關。積分環(huán)節(jié)數(shù)增加，穩(wěn)態(tài)誤差減小，但同時系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。

例系統(tǒng)結構圖如圖所示，求r(t)分別為A·1(t),At,At2/2時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解

系統(tǒng)自身的結構參數(shù)影響ess

的因素：

外作用的形式（階躍、斜坡或加速度等）

外作用的類型（控制量，擾動量及作用點）構根據(jù)定義求解例系統(tǒng)結構圖如圖所示，已知輸入