第七章應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)變分析和強度理論

第七章應(yīng)力和應(yīng)變分析強度理論§7-1應(yīng)力狀態(tài)的概念§7-3二向應(yīng)力狀態(tài)分析-解析法§7-4二向應(yīng)力狀態(tài)分析-圖解法§7-5三向應(yīng)力狀態(tài)§7-8廣義胡克定律§7-11四種常用強度理論第七章應(yīng)力和應(yīng)變分析、強度理論一、概述1、應(yīng)力狀態(tài)受力構(gòu)件中某點處不同截面上的應(yīng)力狀況。斜截面上的應(yīng)力§7-1應(yīng)力狀態(tài)的概念圓軸扭轉(zhuǎn)破壞分析滑移與剪斷發(fā)生?作用面斷裂發(fā)生在?作用面§7-1應(yīng)力狀態(tài)的概念微體A

§7-1應(yīng)力狀態(tài)的概念微體abcd§7-1應(yīng)力狀態(tài)的概念微體A§7-1應(yīng)力狀態(tài)的概念2、為什么要研究一點處的應(yīng)力狀態(tài)？（1）求單元體在某截面上的最大應(yīng)力（2）分析不同材料的破壞原因（3）構(gòu)建強度理論§7-1應(yīng)力狀態(tài)的概念注意：

1、拉伸、壓縮中有剪切，扭轉(zhuǎn)中有剪切，也有拉伸;2、不僅橫截面上存在應(yīng)力，斜截面上也存在應(yīng)力;3、同一面上不同點的應(yīng)力各不相同;4、同一點不同方向截面上的應(yīng)力也不相同哪一點？

哪個方向面？應(yīng)力哪一個面上？

哪一點？§7-1應(yīng)力狀態(tài)的概念二、應(yīng)力狀態(tài)的研究方法單元體圍繞所要研究的點截取一微小正六面體。單元體在某截面上的應(yīng)力就代表了構(gòu)件在該截面上的應(yīng)力?？臻g平面§7-1應(yīng)力狀態(tài)的概念單元體特征：

1、單元體的尺寸無限小，每個面上應(yīng)力均勻分布。

2、任意一對平行平面上的應(yīng)力相等。312231§7-1應(yīng)力狀態(tài)的概念CDDOC彎扭組合變形§7-1應(yīng)力狀態(tài)的概念FL§7-1應(yīng)力狀態(tài)的概念例1

畫出如圖所示梁S截面的應(yīng)力狀態(tài)單元體.

54321Fl/2l/2Fl/2l/2S平面§7-1應(yīng)力狀態(tài)的概念S平面254321543211x1x1x2x222333§7-1應(yīng)力狀態(tài)的概念alSF

例

2

畫出如圖所示梁危險截面危險點的應(yīng)狀態(tài)單元體

xzy4321zy4321FSMZT§7-1應(yīng)力狀態(tài)的概念12yxzzy4321FSMZTxzy43213§7-1應(yīng)力狀態(tài)的概念三、應(yīng)力狀態(tài)分類主平面剪應(yīng)力（切應(yīng)力）等于零的平面。主應(yīng)力主平面上的正應(yīng)力。拉伸、壓縮時橫截面就是主平面。扭轉(zhuǎn)時，450截面是主平面?？梢宰C明，主平面上的主應(yīng)力是最大正應(yīng)力。規(guī)定：123§7-1應(yīng)力狀態(tài)的概念

說明:一點處必定存在這樣的一個單元體,

三個相互垂直的面均為主平面,三個互相垂直的主應(yīng)力分別記為1,2,3且規(guī)定按代數(shù)值大小的順序來排列,即123§7-1應(yīng)力狀態(tài)的概念1、單向應(yīng)力狀態(tài)

三個主應(yīng)力1、2、3中只有一個不等于零11§7-1應(yīng)力狀態(tài)的概念2、二向（平面）應(yīng)力狀態(tài)

三個主應(yīng)力1、2、3中有兩個不等于零221133223311§7-1應(yīng)力狀態(tài)的概念3、三向（空間）應(yīng)力狀態(tài)

三個主應(yīng)力1、2、3

均不等于零312231§7-1應(yīng)力狀態(tài)的概念僅在微體四側(cè)面作用應(yīng)力，且應(yīng)力作用線均平行于微體的不受力表面－平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)的一般形式微體各側(cè)面均作用有應(yīng)力－空間應(yīng)力狀態(tài)空間應(yīng)力狀態(tài)一般形式§7-1應(yīng)力狀態(tài)的概念

例

3

對于圖示各單元體，試分別寫出三個主應(yīng)力.

(d)50MPa70MPa40MPa30MPa120MPa120MPa(a)(b)

140MPa

110MPa

(C)140MPa80MPa70MPa§7-1應(yīng)力狀態(tài)的概念二向應(yīng)力狀態(tài)，平面應(yīng)力狀態(tài)，是工程中最常見的應(yīng)力狀態(tài)。為了對構(gòu)件進行強度計算，必須了解危險點的應(yīng)力狀態(tài)，求出主應(yīng)力的大小和主平面的方位，以此作為對構(gòu)件計算的依據(jù)。研究方法有兩種，解析法和幾何法。§7-3

平面應(yīng)力狀態(tài)分析－－解析法一、任意斜截面上的應(yīng)力公式斜截面的面積為dA§7-3

平面應(yīng)力狀態(tài)分析－－解析法一、任意斜截面上的應(yīng)力公式§7-3

平面應(yīng)力狀態(tài)分析－－解析法一、任意斜截面上的應(yīng)力公式§7-3

平面應(yīng)力狀態(tài)分析－－解析法一、任意斜截面上的應(yīng)力公式§7-3

平面應(yīng)力狀態(tài)分析－－解析法一、任意斜截面上的應(yīng)力公式符號規(guī)定：σ：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負。τ：順時針轉(zhuǎn)為正，逆時針轉(zhuǎn)為負。α：以x軸為始邊，逆時針轉(zhuǎn)為正?！?-3

平面應(yīng)力狀態(tài)分析－－解析法上述關(guān)系建立在靜力學(xué)基礎(chǔ)上，故所得結(jié)論既適用于各向同性與線彈性情況，也適用于各向異性、非線彈性與非彈性問題?！?-3

平面應(yīng)力狀態(tài)分析－－解析法二、正應(yīng)力極值§7-3

平面應(yīng)力狀態(tài)分析－－解析法設(shè)α＝α0

時，上式值為零，即即α＝α0

時，切應(yīng)力為零

由上式可以確定出兩個相互垂直的平面，分別為最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力（主應(yīng)力）所在平面。

所以，最大和最小正應(yīng)力分別為：主應(yīng)力按代數(shù)值排序：σ1σ2

σ3§7-3

平面應(yīng)力狀態(tài)分析－－解析法在切應(yīng)力相對的方向上，且偏向于x

及y大的一側(cè)xy主sytxyO單元體sx在切應(yīng)力相對的方向上，且偏向于x

及y大的一側(cè)§7-3

平面應(yīng)力狀態(tài)分析－－解析法二、切應(yīng)力極值或§7-3

平面應(yīng)力狀態(tài)分析－－解析法xyxy例4

圖示單元體，已知x

=-40MPa，y

=60MPa，xy=-50MPa.試求ef

截面上的應(yīng)力情況及主應(yīng)力和主單元體的方位.n30°ef(1)求

ef截面上的應(yīng)力§7-3

平面應(yīng)力狀態(tài)分析－－解析法(2)求主應(yīng)力和主單元體的方位x

=-40MPa

y

=60MPa

xy

=-50MPa=-30°因為x

<y，所以0=-22.5°與min對應(yīng)§7-3

平面應(yīng)力狀態(tài)分析－－解析法xyxy22.5°13§7-3

平面應(yīng)力狀態(tài)分析－－解析法解（1）求主平面方位因為x

=y

，且xy>0例5

求平面純剪切應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及主平面方位.xy所以0=-45°與max對應(yīng)45°（2）求主應(yīng)力1=，2=0，3=-13§7-3

平面應(yīng)力狀態(tài)分析－－解析法

例6

簡支梁如圖所示.已知mm

截面上A點的彎曲正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為

=-70MPa，=50MPa.確定A點的主應(yīng)力及主平面的方位.AmmalA解：把從A點處截取的單元體放大如圖§7-3

平面應(yīng)力狀態(tài)分析－－解析法因為x

<y，所以0=27.5°與min對應(yīng)xAA01313§7-3

平面應(yīng)力狀態(tài)分析－－解析法一、原理兩式相加，§7-4

平面應(yīng)力狀態(tài)分析－－圖解法應(yīng)力圓圓心位于s軸以橫坐標(biāo)表示σα，縱坐標(biāo)表示τα，則方程的軌跡是一個圓，應(yīng)力圓，莫爾圓。

應(yīng)力圓上任意一點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，分別代表單元體上相應(yīng)截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。德國學(xué)者莫爾ottoMohr,1882年提出。§7-4

平面應(yīng)力狀態(tài)分析－－圖解法(1)建-坐標(biāo)系,選定比例尺o二、應(yīng)力圓作法1、步驟xyxxyxxyyy§7-4

平面應(yīng)力狀態(tài)分析－－圖解法Dxyo(2)量取OA=xAD

=xy得D

點xyxxyxxyxAOB=y(3)量取BD′=yx得

D′

點yByxD′(4)連接DD′兩點的直線與軸相交于C

點(5)以C為圓心,CD

為半徑作圓,該圓就是相應(yīng)于該單元體的應(yīng)力圓C§7-4

平面應(yīng)力狀態(tài)分析－－圖解法(1)該圓的圓心C點到坐標(biāo)原點的距離為(2)該圓半徑為DxyoxAyByxD′C證明§7-4

平面應(yīng)力狀態(tài)分析－－圖解法oC§7-4

平面應(yīng)力狀態(tài)分析－－圖解法點面對應(yīng)—應(yīng)力圓上某一點的坐標(biāo)值對應(yīng)著微元某一截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力3、幾種對應(yīng)關(guān)系D(sx,txy)D/(sy,tyx)cxyHnH§7-4

平面應(yīng)力狀態(tài)分析－－圖解法

應(yīng)力圓上任意兩點的半徑夾角，等于單元體上對應(yīng)兩截面外法線夾角的兩倍。單元體以α為參數(shù)，應(yīng)力圓以2α為參數(shù)，轉(zhuǎn)向一致。

單元體上的兩個主平面必相互垂直。

最大剪應(yīng)力所在平面與主平面之間的夾角必為450。

§7-4

平面應(yīng)力狀態(tài)分析－－圖解法4、求主應(yīng)力大小和主平面位置

(1)主應(yīng)力數(shù)值A(chǔ)1和B1兩點為與主平面對應(yīng)的點，其橫坐標(biāo)為主應(yīng)力1，212DxyoxAyByxD′C20FE2B1A1§7-4

平面應(yīng)力狀態(tài)分析－－圖解法20DxyoxAyByxD′C12A1B1（2）主平面方位由CD順時針轉(zhuǎn)20到CA1

所以單元體上從

x

軸順時針轉(zhuǎn)0（負值）即到1對應(yīng)的主平面的外法線0確定后，1對應(yīng)的主平面方位即確定§7-4

平面應(yīng)力狀態(tài)分析－－圖解法5、求最大切應(yīng)力G1和G2兩點的縱坐標(biāo)分別代表最大和最小切應(yīng)力

20DxyoxAyByxD′C12A1B1G1G2因為最大最小切應(yīng)力等于應(yīng)力圓的半徑§7-4

平面應(yīng)力狀態(tài)分析－－圖解法§7-4

平面應(yīng)力狀態(tài)分析－－圖解法§7-4

平面應(yīng)力狀態(tài)分析－－圖解法o例7

從水壩體內(nèi)某點處取出的單元體如圖所示,x

=-1MPa,y

=-0.4MPa,xy=-0.2MPa,yx

=0.2MPa,

(1)繪出相應(yīng)的應(yīng)力圓(2)確定此單元體在

=30°和

=-40°兩斜面上的應(yīng)力。xyxy解:(1)畫應(yīng)力圓量取OA=x=-1,AD

=XY=-0.2，定出D點;ACBOB

=y=-0.4和，BD′

=yx=0.2，定出D′點.(-1,-0.2)DD′(-0.4,0.2)以DD′

為直徑繪出的圓即為應(yīng)力圓。將半徑CD

逆時針轉(zhuǎn)動2=60°到半徑CE,E

點的坐標(biāo)就代表

=30°斜截面上的應(yīng)力。(2)確定=30°斜截面上的應(yīng)力E60°(3)確定

=-40°斜截面上的應(yīng)力將半徑

CD順時針轉(zhuǎn)2=80°到半徑CF,F

點的坐標(biāo)就代表

=-40°斜截面上的應(yīng)力。F80°AD′CBoD

30°40°

40°30°30°=-0.36MPa30°=-0.68MPa40°=-0.26MPa-40°=-0.95MPa§7-4

平面應(yīng)力狀態(tài)分析－－圖解法純剪切狀態(tài)的最大應(yīng)力s1s3主平面微體位于方位§7-4

平面應(yīng)力狀態(tài)分析－－圖解法圓軸扭轉(zhuǎn)破壞分析滑移與剪斷發(fā)生在tmax的作用面斷裂發(fā)生在smax

作用面§7-4

平面應(yīng)力狀態(tài)分析－－圖解法解：1.解析法例8

用解析法與圖解法，確定主應(yīng)力的大小與方位§7-4

平面應(yīng)力狀態(tài)分析－－圖解法2.圖解法主應(yīng)力的大小與方位？§7-4

平面應(yīng)力狀態(tài)分析－－圖解法定義三個主應(yīng)力都不為零的應(yīng)力狀態(tài)§7-5

三向應(yīng)力狀態(tài)由三向應(yīng)力圓可以看出：結(jié)論：代表單元體任意斜截面上應(yīng)力的點，必定在三個應(yīng)力圓圓周上或圓內(nèi)。2130§7-5

三向應(yīng)力狀態(tài)1.基本變形時的胡克定律yx1）軸向拉壓胡克定律橫向變形2）純剪切胡克定律§7-8

廣義胡克定律2、三向應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律－疊加法=++§7-8

廣義胡克定律§7-8

廣義胡克定律3、廣義胡克定律的一般形式§7-8

廣義胡克定律（拉壓）（彎曲）（正應(yīng)力強度條件）（彎曲）（扭轉(zhuǎn)）（切應(yīng)力強度條件）桿件基本變形下的強度條件§7-11

四種常用強度理論滿足是否強度就沒有問題了？§7-11

四種常用強度理論強度理論：人們根據(jù)大量的破壞現(xiàn)象，通過判斷推理、概括，提出了種種關(guān)于破壞原因的假說，找出引起破壞的主要因素，經(jīng)過實踐檢驗，不斷完善，在一定范圍與實際相符合，上升為理論。

為了建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強度條件，而提出的關(guān)于材料破壞原因的假設(shè)及計算方法?！?-11

四種常用強度理論構(gòu)件由于強度不足將引發(fā)兩種失效形式(1)脆性斷裂：材料無明顯的塑性變形即發(fā)生斷裂，斷面較粗糙，且多發(fā)生在垂直于最大正應(yīng)力的截面上，如鑄鐵受拉、扭，低溫脆斷等。關(guān)于屈服的強度理論：最大切應(yīng)力理論和形狀改變比能理論(2)塑性屈服（流動）：材料破壞前發(fā)生顯著的塑性變形，破壞斷面粒子較光滑，且多發(fā)生在最大剪應(yīng)力面上，例如低碳鋼拉、扭，鑄鐵壓。關(guān)于斷裂的強度理論：最大拉應(yīng)力理論和最大伸長線應(yīng)變理論§7-11

四種常用強度理論1.最大拉應(yīng)力理論（第一強度理論）－構(gòu)件危險點的最大拉應(yīng)力－極限拉應(yīng)力，由單拉實驗測得無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要發(fā)生脆性斷裂,都是由于微元內(nèi)的最大拉應(yīng)力達到簡單拉伸時的破壞拉應(yīng)力數(shù)值。§7-11

四種常用強度理論斷裂條件強度條件最大拉應(yīng)力理論（第一強度理論）鑄鐵拉伸鑄鐵扭轉(zhuǎn)§7-11

四種常用強度理論2.最大伸長拉應(yīng)變理論（第二強度理論）無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要發(fā)生脆性斷裂,都是由于微元內(nèi)的最大拉應(yīng)變（線變形）達到簡單拉伸時的破壞伸長應(yīng)變數(shù)值。－構(gòu)件危險點的最大伸