第5章角動(dòng)量關(guān)于對(duì)稱性

第五章角動(dòng)量·關(guān)于對(duì)稱性§5.1質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量§5.2質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理及角動(dòng)量守恒定律§5.3質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量定理和守恒定律§5.4對(duì)稱性·對(duì)稱性與守恒定律§5.5經(jīng)典動(dòng)力學(xué)的適用范圍§5.1質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量§5.1.1質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量§5.1.2力對(duì)一參考點(diǎn)的力矩§5.1.3質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量定理和守恒定律§5.1.4質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量定理和守恒定律§5.1質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量§5.1.1質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量1.質(zhì)點(diǎn)相對(duì)某參考點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的共同特征掠面速度O行星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)時(shí)，掠面速度守恒水平面上一端固定的橡皮筋其另一端小物體對(duì)固定點(diǎn)的掠面速度守恒.OO作均速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)的掠面速度定恒.定義是質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)的動(dòng)量矩(角動(dòng)量)方向：是參考點(diǎn)指向質(zhì)點(diǎn)的矢量.單位：量綱：角動(dòng)量是描述物體的轉(zhuǎn)動(dòng)特征的物理量.大?。菏鞘噶?是狀態(tài)量.它與參考系和參考點(diǎn)都有關(guān).2.角動(dòng)量[例題1]如圖質(zhì)點(diǎn)m以速率v做逆時(shí)針圓錐運(yùn)動(dòng),求對(duì)O點(diǎn)和對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量.設(shè)擺長(zhǎng)為b.[解]如圖對(duì)O點(diǎn)方向:向上,是常矢量.對(duì)O′點(diǎn)方向:垂直擺線向外,方向始終在變,其端亦在水平面內(nèi)畫(huà)一圓.不是常矢.§5.1.2力對(duì)一參考點(diǎn)的力矩——參考點(diǎn)指向質(zhì)點(diǎn)的位置矢量.方向：?jiǎn)挝唬篘·m量綱：ML2T-2

大小:xyzOP定義若質(zhì)點(diǎn)受N個(gè)力同時(shí)作用時(shí)即諸力對(duì)參考點(diǎn)的力矩的矢量和等于合力對(duì)同一參考點(diǎn)的力矩.說(shuō)明(1)力矩與功不同;力矩是瞬態(tài)量，功是過(guò)程量;(2)力矩與參考點(diǎn)的選擇有關(guān).[例題2]求作用于圓錐擺質(zhì)點(diǎn)m上的重力,拉力及合力的力矩.（擺長(zhǎng)r0.）質(zhì)點(diǎn)m相對(duì)圓錐運(yùn)動(dòng)中心O矢徑對(duì)O′

點(diǎn)[解]質(zhì)點(diǎn)m相對(duì)圓錐擺懸點(diǎn)O′的矢徑對(duì)質(zhì)點(diǎn)，合力對(duì)某一參考點(diǎn)的力矩等于各分力對(duì)同一參考點(diǎn)力矩的矢量和，如本題.對(duì)O點(diǎn)§5.1.3質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量定理和守恒定律設(shè)參考點(diǎn)靜止，則由——角動(dòng)量定理微分形式.得1.質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理掠面速度

質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定點(diǎn)的角動(dòng)量的時(shí)間變化率等于合外力對(duì)該點(diǎn)的力矩.2.質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律即:外力對(duì)定點(diǎn)的力矩為零時(shí),質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量守恒.當(dāng):時(shí)為恒矢量,質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng)(初條件定).掠面速度守恒.§5.1.4質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量定理和守恒定律1.質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量定理過(guò)參考點(diǎn)O建立坐標(biāo)軸，則上式在z軸上的投影為稱質(zhì)點(diǎn)對(duì)z

軸的角動(dòng)量定理的微分形式.質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)O的角動(dòng)量2.力對(duì)軸的力矩zOO′如圖力對(duì)O力矩點(diǎn)因若參考點(diǎn)選在O′點(diǎn),Mz

不變.力矩在z軸上的投影為力對(duì)z軸上任意一點(diǎn)力矩在z軸上的投影等于力對(duì)z軸的力矩.均在與z軸垂直的平面上角動(dòng)量同樣有3.角動(dòng)量在軸上的投影均在與z軸垂直的平面上4.質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量守恒定理[例題3]盧瑟福等人發(fā)現(xiàn)用粒子轟擊金鉑時(shí)有些入射偏轉(zhuǎn)角很大，甚至超過(guò)90°.盧瑟福于1911年提出原子必有一帶正電的核心，即原子核；此即原子結(jié)構(gòu)的行星模型。已知粒子的質(zhì)量為m，以速度接近電荷為Ze

的重原子核.瞄準(zhǔn)距離為b，如圖所示.求

粒子接近重核的最近距離.設(shè)原子核質(zhì)量比粒子大很多，可近似看作靜止.bb(a)r(b)[解]設(shè)

z軸垂直于粒子運(yùn)動(dòng)平面且通過(guò)重核中心.對(duì)z軸的角動(dòng)量故粒子最接近重核（距離為d）時(shí)角動(dòng)量為dmv

對(duì)z軸的角動(dòng)量守恒得只有靜電力作用，故能量守恒將v代入得因d只能為正，故式負(fù)號(hào)無(wú)物理意義，舍去.§5.2質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理及角動(dòng)量守恒定律§5.2.1質(zhì)點(diǎn)系對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量定理及守恒律§5.2.2質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸的角動(dòng)量定理及守恒律§5.2質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理及角動(dòng)量守恒定律§5.2.1質(zhì)點(diǎn)系對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量定理及守恒律1.質(zhì)點(diǎn)系對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量對(duì)參考點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)系中的第i

個(gè)質(zhì)點(diǎn),有其中對(duì)質(zhì)點(diǎn)系，有2.內(nèi)力的力矩ijOd因質(zhì)點(diǎn)i與質(zhì)點(diǎn)j間的相互作用力關(guān)系為且二力到參考點(diǎn)O的垂直距離相等，故成對(duì)出現(xiàn)的內(nèi)力對(duì)O點(diǎn)的力矩矢量和為零.即3.質(zhì)點(diǎn)系對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量定理即質(zhì)點(diǎn)系對(duì)給定點(diǎn)(參考點(diǎn))的角動(dòng)量的時(shí)間變化率等于作用在體系上所有外力對(duì)該點(diǎn)力矩矢量和.4.質(zhì)點(diǎn)系對(duì)參考點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律若即若外力對(duì)參考點(diǎn)的力矩的矢量和始終為零，則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量保持不變.§5.2.2質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸的角動(dòng)量定理及守恒律設(shè)質(zhì)點(diǎn)在垂直于z

軸的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)z軸的角動(dòng)量1.質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸的角動(dòng)量2.質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)在垂直于z

軸的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)系而——稱質(zhì)點(diǎn)系對(duì)z軸的角動(dòng)量定理.3.質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸的角動(dòng)量守恒定律若若質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)繞z作圓周運(yùn)動(dòng)例如茹可夫斯基凳，花樣滑冰等.討論[例題]裝置如圖所示.滑輪兩邊懸掛的重物與盤(pán)的質(zhì)量相同而處于平衡，現(xiàn)有距盤(pán)底高為h質(zhì)量為m′

的膠泥自由下落，求膠泥粘在盤(pán)上時(shí)盤(pán)獲得到初速度.滑輪和繩質(zhì)量不計(jì).不計(jì)軸承摩擦及繩的伸長(zhǎng).hmm′ORmOR[解]膠泥自由下落至盤(pán)面的速度為.將盤(pán)、重物和膠泥視為質(zhì)點(diǎn)系，繩的拉力及物體所受重力為外力.因不計(jì)滑輪、繩質(zhì)量及軸承摩擦，兩邊繩的拉力相等；重物與盤(pán)所受重力也相等.它們對(duì)軸心O的力矩之和為零，故質(zhì)點(diǎn)系所受外力對(duì)O點(diǎn)的力矩之和就等于膠泥的重力矩，不等于零.但在碰撞時(shí)，膠泥與盤(pán)之間的碰撞內(nèi)力對(duì)O點(diǎn)的力矩遠(yuǎn)大于外力矩之和，即內(nèi)力矩對(duì)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的影響遠(yuǎn)大于外力矩的影響.討論質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)，可不計(jì)外力矩。故在碰撞時(shí)，可用質(zhì)點(diǎn)系對(duì)O軸角動(dòng)量守恒方程求近似解.取垂直紙面朝向讀者的方向?yàn)镺軸正方向，有本題也可以利用對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒求解，讀者可自行完成.得繩不伸長(zhǎng)，故將代入，得§5.3質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量定理和守恒定律§5.31質(zhì)心系中的角動(dòng)量定理§5.32質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量守恒定律§5.3質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量定理和守恒定律角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律只在慣性系中成立.以質(zhì)心C為參考點(diǎn)，建質(zhì)心坐標(biāo)系，各坐標(biāo)軸與基本參考系平行.由于質(zhì)心具有加速度，所以要計(jì)入相應(yīng)的慣性力力矩.§5.31質(zhì)心系中的角動(dòng)量定理=0而慣性力的力矩因而——質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量定理.質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量的時(shí)間變化率等于外力相對(duì)質(zhì)心的力矩的矢量和.在質(zhì)心系中角動(dòng)量定理同樣適用.當(dāng)如跳水運(yùn)動(dòng)員等在空中翻筋斗.§5.32質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量守恒定律§5.4對(duì)稱性·對(duì)稱性與守恒定律§5.4.1關(guān)于對(duì)稱性§5.4.2守恒律與對(duì)稱性§5.4對(duì)稱性·對(duì)稱性與守恒定律§5.4.1關(guān)于對(duì)稱性1.對(duì)稱性

關(guān)于對(duì)稱性的普遍的嚴(yán)格的定義是德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾（H.Weyl）1951年給出的：對(duì)一個(gè)事物進(jìn)行一次變動(dòng)或操作，如果經(jīng)過(guò)操作后，該事物完全復(fù)原，則稱該事物對(duì)所經(jīng)歷的操作是對(duì)稱的.而該操作就叫對(duì)稱操作.由于操作方式不同而有若干種不同的對(duì)稱性.(1)鏡象對(duì)稱或左右對(duì)稱O常見(jiàn)的對(duì)稱性(2)轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱(3)平移對(duì)稱d2.對(duì)稱性概念在物理學(xué)中的應(yīng)用(1)加速度對(duì)伽利略變換具有對(duì)稱性(2)牛頓第二定律對(duì)伽利略變換具有對(duì)稱性(3)動(dòng)量守恒定律對(duì)伽利略變換具有對(duì)稱性對(duì)稱性概念在現(xiàn)代物理學(xué)中具有重要作用.它為物理學(xué)家致力于認(rèn)識(shí)錯(cuò)綜復(fù)雜的宇宙提供了強(qiáng)有力的工具.§5.4.2守恒律與對(duì)稱性在物理學(xué)中具有更深刻意義的是物理定律的對(duì)稱性.物理定律的對(duì)稱性是指經(jīng)過(guò)一定的操作后，物理定律的形式保持不變，因此物理定律的對(duì)稱性又叫不變性.關(guān)于物理定律的對(duì)稱性有一條很重要的定律：對(duì)應(yīng)于每一種對(duì)稱性都有一條守恒定律.

如：對(duì)應(yīng)于空間均勻性的是動(dòng)量守恒定律；對(duì)應(yīng)于空間的各向同性的是角動(dòng)量守恒定律；對(duì)應(yīng)于空間