正余弦定理知識(shí)點(diǎn)及題型歸納

解三角形正弦定理：===2R，其中R是三角形外接圓半徑.正弦定理的如下變形常在解題中用到1.(1)a=2RsinA(2)b=2RsinB(3)c=2RsinC2.(1)sinA=a/2R(2)sinB=b/2R(3)sinC=c/2R3.a：b：c=sinA：sinB:sinC二．余弦定理：1.a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosA2.b^2=a^2+c^2-2·a·c·cosB3.c^2=a^2+b^2-2·a·b·cosC余弦定理的如下變形常在解題中用到1.cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2·a·b)2.cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2·a·c)3.cosA=(c^2+b^2-a^2)/(2·b·c）余弦定理和正弦定理的面積公式S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB（常用類型：已知三角形兩邊及其夾角）推斷三角形的形態(tài)有兩種途徑：將已知的條件統(tǒng)一化成邊的關(guān)系，用代數(shù)求和法求解將已知的條件統(tǒng)一化成角的關(guān)系，用三角函數(shù)法求解三．解三角形的實(shí)際應(yīng)用測(cè)量中相關(guān)的名稱術(shù)語(yǔ)仰角：視線在水平線以上時(shí)，在視線所在的垂直平面內(nèi)，視線與水平線所成的角叫做仰角。俯角：視線在水平線以下時(shí)，在視線所在的垂直平面內(nèi)，視線與水平線所成的角叫俯角方向角：從指定方向線到目標(biāo)方向的水平角(一)已知兩角及一邊解三角形例1已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a,b和B.（二）已知兩邊和其中一邊對(duì)角解三角形例2在△ABC中，已知角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，C，若a=2√3，b=√6，A=45°，求邊長(zhǎng)C（三）已知兩邊及夾角，解三角形例3△ABC中，已知b＝3，c＝3eq\r(3)，B＝30°，求角A，角C和邊a.例四：在△ABC中，若∠B=30°,AB=2,AC=2,則△ABC的面積是

例五.推斷三角形的形態(tài)（1）正弦定理推斷在△ABC中，若a2tanB＝b2tanA，試推斷△ABC的形態(tài)．（2）余弦定理推斷在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，試推斷三角形的形態(tài)．例六推斷解得個(gè)數(shù)不解三角形，推斷下列三角形的解的個(gè)數(shù)：

（1）a=5,b=4,A=120度（2）a=7,b=14,A=150度

（3）a=9,b=10,A=60度

（4）c=50,b=72,C=135度考試類型一,求解斜三角形中的基本元素指已知兩邊一角(或二角一邊或三邊)，求其它三個(gè)元素問題，進(jìn)而求出三角形的三線(高線,角平分線,中線)及周長(zhǎng)等基本問題．1,中，，BC＝3，則的周長(zhǎng)為（）A．B．C．D．2,在ΔABC中，已知，AC邊上的中線BD=，求sinA的值．3,在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若∠C=120°，c=a，則A.a＞bB.a＜bC.a＝bD.a與b的大小關(guān)系不能確定4,在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c，若，，則A=（A）（B）（C）（D）5,在中，a=15,b=10,A=60°，則=A－BC－D6,在△ABC中，若b=1，c=，，則a=。7, 在△ABC中，已知B=45°,D是BC邊上的一點(diǎn)， AD=10,AC=14,DC=6，求AB的長(zhǎng).8,在銳角中，則的值等于，的取值范圍為.9,△中，所對(duì)的邊分別為，,.（1）求；（2）若,求.二,推斷三角形的形態(tài)：給出三角形中的三角關(guān)系式，推斷此三角形的形態(tài)．1,在中，已知，則肯定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形2,18.若△的三個(gè)內(nèi)角滿意，則△（A）肯定是銳角三角形.（B）肯定是直角三角形.（C）肯定是鈍角三角形.(D)可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形.三,解決與面積有關(guān)問題：主要是利用正,余弦定理，并結(jié)合三角形的面積公式來(lái)解題．1,在中，若，，，則的面積S＝_________四,求值問題1,在中，所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，設(shè)滿意條件和，求和的值．2,在銳角三角形ABC，A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，，則=_________。3,在△ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，且（Ⅰ）求A的大?。唬á颍┣蟮淖畲笾?五,正余弦定理解三角形的實(shí)際應(yīng)用利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量,航海,幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)，例析如下：圖1AB圖1ABCD1,如圖1所示，為了測(cè)河的寬度，在一岸邊選定A,B兩點(diǎn)，望對(duì)岸標(biāo)記物C，測(cè)得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的寬度。（二.）遇險(xiǎn)問題西北南東ABC30西北南東ABC30°15°圖2圖3A