第5章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與變量分析法

第5章時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)

絡(luò)結(jié)構(gòu)與變量分析法5.1引言5.2用信號(hào)流圖表示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)5.3無限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)5.4有限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)15.1引言一般時(shí)域離散系統(tǒng)或網(wǎng)絡(luò)可以用差分方程、單位脈沖響應(yīng)以及系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行描述。如果系統(tǒng)輸入輸出服從N階差分方程其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為(5.1.1)(5.1.2)2給定一個(gè)差分方程，不同的算法有很多種，例如：3

5.2用信號(hào)流圖表示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

觀察(5.1.1)式，數(shù)字信號(hào)處理中有三種基本算法，即乘法、加法和單位延遲，三種基本運(yùn)算用流圖表示如圖5.2.1所示。4圖5.2.1三種基本運(yùn)算的流圖表示5和每個(gè)節(jié)點(diǎn)連接的有輸入支路和輸出支路，節(jié)點(diǎn)變量等于所有輸入支路的輸出之和。在圖5.2.2中，(5.2.1)6

圖5.2.2信號(hào)流圖(a)基本信號(hào)流圖；(b)非基本信號(hào)流圖7不同的信號(hào)流圖代表不同的運(yùn)算方法，而對(duì)于同一個(gè)系統(tǒng)函數(shù)可以有很多種信號(hào)流圖相對(duì)應(yīng)。從基本運(yùn)算考慮，滿足以下條件，稱為基本信號(hào)流圖(PrimitiveSignalFlowGraghs)。

(1)信號(hào)流圖中所有支路都是基本的，即支路增益是常數(shù)或者是z-1；

(2)流圖環(huán)路中必須存在延時(shí)支路；

(3)節(jié)點(diǎn)和支路的數(shù)目是有限的。8例5.2.1求圖5.2.2(a)信號(hào)流圖決定的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。[解]：將(5.2.1)式進(jìn)行z變換，得到經(jīng)過聯(lián)立求解得到：9FIR網(wǎng)絡(luò)中一般不存在輸出對(duì)輸入的反饋支路，因此差分方程用下式描述：

其單位脈沖響應(yīng)h(n)是有限長(zhǎng)的，按照(5.2.2)式，h(n)表示為其它n

(5.2.2)10另一類IIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)存在輸出對(duì)輸入的反饋支路，也就是說，信號(hào)流圖中存在環(huán)路。這類網(wǎng)絡(luò)的單位脈沖響應(yīng)是無限長(zhǎng)的。例如一個(gè)簡(jiǎn)單的一階IIR網(wǎng)絡(luò)差分方程為:y(n)=ay(n-1)+x(n)

其單位脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n)。這兩類不同的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)各有不同的特點(diǎn)，下面分類敘述。11

5.3無限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

1.直接型對(duì)N階差分方程重寫如下：12

圖5.3.1IIR網(wǎng)絡(luò)直接型結(jié)構(gòu)13

例5.3.1IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為畫出該濾波器的直接型結(jié)構(gòu)。[解]:由H(z)寫出差分方程如下：14圖5.3.2例5.3.1圖152.級(jí)聯(lián)型在(5.1.2)式表示的系統(tǒng)函數(shù)H(z)中，公子分母均為多項(xiàng)式，且多項(xiàng)式的系數(shù)一般為實(shí)數(shù)，現(xiàn)將分子分母多項(xiàng)式分別進(jìn)行因式分解，得到(5.3.1)

形成一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)Hj(z)；Hj(z)如下式：(5.3.2)16式中，β0j、β1j、β2j、α1j和α2j均為實(shí)數(shù)。這H(z)就分解成一些一階或二階數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)形式，如下式：

H(z)=H1(z)H2(z)…Hk(z)

(5.3.3)

式中Hi(z)表示一個(gè)一階或二階的數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)，每個(gè)Hi(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)均采用前面介紹的直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如圖5.3.3所示。17

圖5.3.3一階和二階直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)(a)直接型一階網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)；(b)直接型二階網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

18例5.3.2設(shè)系統(tǒng)函數(shù)H(z)如下式：試畫出其級(jí)聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。[解]：將H(z)分子分母進(jìn)行因式分解，得到

193.并聯(lián)型如果將級(jí)聯(lián)形式的H(z)，展開部分分式形式，得到IIR并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。

圖5.3.4例5.3.2圖20式中，Hi(z)通常為一階網(wǎng)絡(luò)和二階網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)均為實(shí)數(shù)。二階網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)一般為(5.3.4)

式中，β0i、β1i、α1i和α2i都是實(shí)數(shù)。如果a2i=0則構(gòu)成一階網(wǎng)絡(luò)。由(5.3.4)式，其輸出Y(z)表示為Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+…+Hk(z)X(z)21例5.3.3畫出例題5.3.2中的H(z)的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)

[解]:將例5.3.2中H(z)展成部分分式形式：

將每一部分用直接型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，其并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖5.3.5所示。22

圖5.3.5例5.3.3圖

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5.4有限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

FIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是沒有反饋支路，即沒有環(huán)路，其單位脈沖響應(yīng)是有限長(zhǎng)的。設(shè)單位脈沖響應(yīng)h(n)長(zhǎng)度為N，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)和差分方程為241.直接型按照H(z)或者差分方程直接畫出結(jié)構(gòu)圖如圖5.4.1所示。這種結(jié)構(gòu)稱為直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者稱為卷積型結(jié)構(gòu)。

圖5.4.1FIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)252.級(jí)聯(lián)型將H(z)進(jìn)行因式分解，并將共軛成對(duì)的零點(diǎn)放在一起，形成一個(gè)系數(shù)為實(shí)數(shù)的二階形式，這樣級(jí)聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)就是由一階或二階因子構(gòu)成的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)，其中每一個(gè)因式都用直接型實(shí)現(xiàn)。例5.4.1設(shè)FIR網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)函數(shù)H(z)如下式：H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3畫出H(z)的直接型結(jié)構(gòu)和級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)。26[解]:將H(z)進(jìn)行因式分解，得到：H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)其直接型結(jié)構(gòu)和級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)如圖5.4.2所示。圖5.4.2例5.4.1圖273.頻率采樣結(jié)構(gòu)頻率域等間隔采樣，相應(yīng)的時(shí)域信號(hào)會(huì)以采樣點(diǎn)數(shù)為周期進(jìn)行周期性延拓，如果在頻率域采樣點(diǎn)數(shù)N大于等于原序列的長(zhǎng)度M，則不會(huì)引起信號(hào)失真，此時(shí)原序列的z變換H(z)與頻域采樣值H(k)滿足下面關(guān)系式：設(shè)FIR濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)長(zhǎng)度為M，系統(tǒng)函數(shù)H(z)=ZT［h(n)］，(5.4.1)式中H(k)用下式表示：

(5.4.1)

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要求頻率域采樣點(diǎn)數(shù)N≥M。(5.4.1)式提供了一種稱為頻率采樣的FIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。請(qǐng)分析IIR濾波網(wǎng)絡(luò)，為什么不采用頻率采樣結(jié)構(gòu)。將(5.4.1)式寫成下式：(5.4.2)式中：

Hc(z)是一個(gè)梳狀濾波網(wǎng)絡(luò)(參考第八章)，其零點(diǎn)為29圖5.4.3FIR濾波器頻率采樣結(jié)構(gòu)30(1)在頻率采樣點(diǎn)ωk，H(ejωk)=H(k)，只要調(diào)整H(k)(即一階網(wǎng)絡(luò)Hk(z)中乘法器的系數(shù)H(k))，就可以有效地調(diào)整頻響特性，使實(shí)際調(diào)整方便。

(2)只要h(n)長(zhǎng)度N相同，對(duì)于任何頻響形狀，其梳狀濾波器部分和N一階網(wǎng)絡(luò)部分結(jié)構(gòu)完全相同，只是各支路增益H(k)不同。這樣，相同部分便于標(biāo)準(zhǔn)化、模塊化。31上述頻率采樣結(jié)構(gòu)亦有兩個(gè)缺點(diǎn):(1)系統(tǒng)穩(wěn)定是靠位于單位圓上的N個(gè)零極點(diǎn)對(duì)消來保證的。(2)結(jié)構(gòu)中，H(k)和W-kN一般為復(fù)數(shù)，要求乘法器完成復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算，這對(duì)硬件實(shí)現(xiàn)是不方便的。

為了克服上述缺點(diǎn)，對(duì)頻率采樣結(jié)構(gòu)作以下修正。首先將單位圓上的零極點(diǎn)向單位圓內(nèi)收縮一點(diǎn)，收縮到半徑為r的圓上，取r<1且r≈1。此時(shí)H(z)為:(5.4.3)32

另外，由DFT的共軛對(duì)稱性知道，如果h(n)是實(shí)數(shù)序列，則其離散傅里葉變換H(k)關(guān)于N/2點(diǎn)共軛對(duì)稱，即H(k)=H*(N-k)。而且W-kN=W-(N-k)N，我們將hk(z)和HN-k(z)合并為一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)，并記為Hk(z)，則33顯然，二階網(wǎng)絡(luò)Hk(z)的系數(shù)都為實(shí)數(shù)，其結(jié)構(gòu)如圖5.4.4(a)所示。當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，h(