完全平方公式的逆用、聯(lián)用、造用

PAGEPAGE17初中數(shù)學(xué)微專題練悟試卷完全平方公式、平方差公式之逆用、聯(lián)用、造用一、回顧原始公式（記住這些“舊模式”）1、“和”的完全平方公式：；2、“差”的完全平方公式：；3、平方差公式：；二、公式的逆用1、形如：“”或“”的代數(shù)式，可以收縮為：的形式，即：；2、形如：“”或“”的代數(shù)式，可以收縮為：的形式，即：；3、形如：“”的代數(shù)式，可以轉(zhuǎn)化為：的形式，即：；解讀與建議：①、代數(shù)式“”或“”都是“完全平方式”，它們屬于“展開(kāi)形式”的完全平方式，其特征是：首平方來(lái)尾平方，二倍乘積放中央；②、代數(shù)式“（和的平方）”或“（差的平方）”也都是“完全平方式”，它們屬于“收縮形式”的完全平方式。特別聲明，這只是“二項(xiàng)式”的完全平方，其特征是：括號(hào)耳朵是平方，里面?zhèn)z數(shù)隨便裝；③、代數(shù)式“”是“平方之差”的形式，代數(shù)式“”是“兩數(shù)之和”與“兩數(shù)之差”的“乘積”的形式，代數(shù)式“”是“平方之和”的形式；④、常見(jiàn)思考策略：（?。⒁?jiàn)到兩數(shù)“平方之和”的架構(gòu)，可往逆用“完全平方公式”的方向聯(lián)想；（ⅱ）、見(jiàn)到兩數(shù)“平方之差”的架構(gòu)，可往逆用“平方差公式”的方向聯(lián)想；三、逆用公式訓(xùn)練題1、已知，，則；2、若，則，；3、若，則；4、若，則；若，則；若，則；5、已知，，則；6、若，，則；7、若，則，；8、；9、已知，，，則；10、；11、若，則；12、若，，則；13、閱讀理解：由易知，∴當(dāng)時(shí)，代數(shù)式有最小值；同理，由易知，從而可知：，∴當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，代數(shù)式有最大值；請(qǐng)問(wèn)當(dāng)________時(shí)，代數(shù)式有最________值為_(kāi)________.14、；15、求的值？請(qǐng)寫(xiě)出解答過(guò)程：四、聯(lián)用（多個(gè)公式，會(huì)涉及逆用）訓(xùn)練題1、=；2、方程的解是；3、=；4、計(jì)算：；解法一（易想難算）：原式=；點(diǎn)評(píng)：此法確實(shí)易想，但也不太難算??！解法二（難想易算）：原式==；點(diǎn)評(píng)：此法不太難想，卻又確實(shí)易算啊！5、=；感嘆：本題用什么方法？自己看著辦吧！6、計(jì)算：；解法一（易想易算）：原式=；點(diǎn)評(píng)：此法確實(shí)易想，也確實(shí)易算??！咋滴?。坑姓l(shuí)不服嗎？解法二（難想難算）：原式=；點(diǎn)評(píng)：此法確實(shí)不易想到，而且也有點(diǎn)難算！不咋滴？連我也這樣認(rèn)為！7、計(jì)算：；建議：用兩種方法來(lái)解，各有簡(jiǎn)便之處！五、完全平方公式的常用“變形技巧”（屬公式的逆用、造用）1、；2、；3、；4、；5、；6、；7、；8、要留意：備注：我們通常把以上7個(gè)公式，稱為完全平方公式的“魔法寶典（涉及到和、積變換的經(jīng)驗(yàn)公式，或曰有趣結(jié)論）”，這些公式不需同學(xué)刻意去背，但要有“籠統(tǒng)的”印象，即知道有并熟悉。在以后的解題中，根據(jù)“題目的特征”，當(dāng)產(chǎn)生“想嘗試”用這些公式來(lái)搞試驗(yàn)時(shí)，屆時(shí)才通過(guò)臨場(chǎng)的組合、拼湊，召喚出“寶典”中的某一精靈來(lái)幫忙即可。也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)思維的素養(yǎng)，不在于比拼記憶，而在于合理聯(lián)想、應(yīng)需構(gòu)造，這就涉及到了公式的造用與創(chuàng)用。親愛(ài)的同學(xué)啊，我所崇敬的魔法師們，有大批妖孽正在我們城堡外面叫囂，大家快穿上魔袍，操起魔杖，召喚精靈驅(qū)魔去吧！百年妖精：1、已知，，則；2、已知，則________，__________；3、已知，且，則__________；4、已知，則_____；5、已知，則_____；6、已知，，則________，__________；7、已知，，則__________，__________；8、已知，，則__________；9、已知，，則________，__________；10、已知，，則__________；11、已知，，則__________；12、已知，，則；千年妖王：13、若，則_____________；14、若，則_____________；15、已知，，則________，__________，即__________________；16、已知，，則__________；17、已知，，則__________；18、已知，則________，________；萬(wàn)年妖帝：19、已知，則__________，__________，________，________；20、已知，且，求：①、的值；②、的值；21、已知，，，求的值；十萬(wàn)年妖魔仙：22、已知，，，求：①、；②、；六、完全平方公式的“項(xiàng)數(shù)推廣”與“類比聯(lián)想”1、項(xiàng)數(shù)推廣①、由公式，可聯(lián)想到：建議：應(yīng)該記住這個(gè)有趣結(jié)論。一個(gè)多項(xiàng)式的完全平方，等于其中每一個(gè)單項(xiàng)式的，再加上。②、直接寫(xiě)出結(jié)果：。2、類比聯(lián)想①、根據(jù)乘方的意義可知：②、根據(jù)以上結(jié)論，直接寫(xiě)出結(jié)果：。③、根據(jù)乘方的意義可知：④、直接寫(xiě)出結(jié)果：。3、調(diào)整形式，豐富聯(lián)系（即把結(jié)果與“寶典”中的“和、積變換”聯(lián)系起來(lái)）①、依據(jù)：去類比：，易得：②、依據(jù)：去類比：，易得：但，若考慮：，似乎更易操作。七、平方差公式、完全平方公式的拼補(bǔ)、構(gòu)造1、計(jì)算：。2、求的值。3、已知、、是⊿ABC的三邊，且，試判斷⊿ABC的形狀。4、已知，，求的值。5、四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積，再加上1所得的數(shù)是完全平方數(shù)嗎？請(qǐng)證明。6、已知，，求的值。﹤申述一﹥：如果，解題者“甲”熟悉“六-3-①”的公式：，那么，對(duì)此題而言，他就是一個(gè)“內(nèi)幕知情者”，他可以作如下書(shū)寫(xiě)：解答：由，可得：∴，∴==；﹤申述二﹥：如果，解題者“乙”壓根兒就不知道以上那個(gè)“新魔法”公式，那么，憑借“對(duì)比觀察，創(chuàng)設(shè)聯(lián)絡(luò)”的思維策略，他可以作如下思考：分析：首先，對(duì)比“”和“”，產(chǎn)生嘗試“升次”的念頭，∴由，可得，即：，也即：，又∵，∴，即：，也即：，∴，然后，就算他假裝自己“類比”不出公式：，他仍可經(jīng)由“”與“”的“對(duì)比觀察”，繼續(xù)發(fā)揮“升次”的老伎倆：由，可得，即得：，又∵，∴=；“創(chuàng)設(shè)聯(lián)絡(luò)”告捷！親愛(ài)的同學(xué)，請(qǐng)你壓抑住扮演“甲”的沖動(dòng)，去充分領(lǐng)悟“乙”的思維“念頭”吧！請(qǐng)你幫“乙”把解答過(guò)程展示出來(lái)：﹤申述三﹥：甲、乙二法并無(wú)優(yōu)劣之分。會(huì)用“甲”的魔法師應(yīng)捫心自問(wèn)“能領(lǐng)悟乙嗎？能學(xué)習(xí)乙嗎”？會(huì)用“乙”的大師們應(yīng)自我反思提煉，學(xué)習(xí)甲以提高解答效率。要曉得單獨(dú)甲和單獨(dú)乙都不“港火”（四川話，大意是值得自豪）。只有經(jīng)歷“先乙后甲”的蛻變才能“優(yōu)術(shù)熟技，深耕謀略”，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的精神與魅力。7、百萬(wàn)年妖祖降臨：已知，，，求：（建議：各位魔杖之主對(duì)本題把玩“甲”、“乙”兩種不同風(fēng)格）；﹤寄語(yǔ)﹥：各位尊敬的魔法師??！魔法的高遠(yuǎn)境界不是滿足于熟練已有的魔法，也不是停留在融合已有的魔法，其實(shí)我們可以繼承類比的思想，構(gòu)造出似曾相識(shí)卻又不乏新穎的魔法，甚至我們可以發(fā)揮自我的奇思異想去開(kāi)創(chuàng)嶄新的魔法領(lǐng)域。各位親愛(ài)的魔法師，數(shù)學(xué)王國(guó)的法皇們對(duì)現(xiàn)世的古老魔法自然早已優(yōu)術(shù)熟技（即熟練掌握前雙基），并且還對(duì)其追尋深耕謀略（即有意實(shí)踐后雙基）。在這片為眾多魔法師所熟悉的大陸中，他們立足數(shù)學(xué)的思想方法與精神文化，操持?jǐn)?shù)學(xué)的基本方法與思維策略，把其思維的觸角伸向了眾人易見(jiàn)卻又被忽略著的異域空間，他們靜靜地探索著，凝結(jié)著。附件：1、計(jì)算：。提示：利用“六-1-①”公式，借助“對(duì)比觀察”就可以直接寫(xiě)出最終答案。2、求的值。提示：題目特點(diǎn)給人的“第一感覺(jué)”是可能要使用“平方差公式”，這就是“數(shù)感”。但是要想使用平方差公式，在構(gòu)架上還缺少什么？可以把“缺少的東西”修補(bǔ)出來(lái)嗎？但要注意保持原式的“恒等性”。3、已知、、是⊿ABC的三邊，且，試判斷⊿ABC的形狀。提示：題目特點(diǎn)給人的“第一感覺(jué)”是可能要逆用公式“六-1-①”，但后來(lái)我們?nèi)菀追穸ù四铑^。再看原式的特點(diǎn)是：具有“平方項(xiàng)”和“交叉項(xiàng)”，這也容易讓我們往“完全平方公式”的方向思考，但用什么手段才能把“1倍交叉項(xiàng)”轉(zhuǎn)化成“2倍交叉項(xiàng)”呢？4、已知，，求的值。提示：初看，感覺(jué)題目沒(méi)有任何顯著特征能讓我們冒出任何念頭。兩個(gè)方程，解三個(gè)未知數(shù)，行嗎？不行！那么本題多半要用“整體法”，但需把待求式中的什么地方看作一個(gè)整體呢？好像也抓不出任何線索??！咋辦呢？題目中共有“三元”，可以考慮消元嗎？消誰(shuí)呢？消元后就保證一定能破題嗎？那倒未必！但是暫無(wú)他法??！只有死馬當(dāng)作活馬醫(yī)，先消掉“一元”，再走走瞧瞧吧。點(diǎn)評(píng)：其實(shí)“消元”本身就屬于一種“化簡(jiǎn)”的手段，這本就符合“連續(xù)化簡(jiǎn)走著瞧，有了眉目再微調(diào)”的“基本解題規(guī)律”。5、四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積，再加上1所得的數(shù)是完全平方數(shù)嗎？請(qǐng)證明。提示：在嘗試對(duì)“”進(jìn)行因式分解的過(guò)程中，有沒(méi)有看出可以把“某個(gè)東西”當(dāng)作一個(gè)整體，因?yàn)槭┬姓w換元后，目標(biāo)的結(jié)構(gòu)將變得更加醒目，能讓人一目了然。6、已知，，求的值。﹤甲解法﹥：由，可得：∴，∴﹤乙解法﹥：由，可得：，又∵，∴，即：，（假如乙裝瘋賣傻）那么他：又由，可得：，故，.﹤再次點(diǎn)評(píng)、申述﹥：甲的解答顯然比乙干練、快捷。但甲的破題思維就優(yōu)越于乙的破題思維嗎？非矣！飛矣！甲的破題思維和解答書(shū)寫(xiě)，體現(xiàn)了讓數(shù)學(xué)解題成為數(shù)學(xué)技能的對(duì)應(yīng)操作，體現(xiàn)了讓數(shù)學(xué)解題印證數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的波動(dòng)潤(rùn)滑；而乙的破題思維和解答書(shū)寫(xiě)，反映了讓數(shù)學(xué)解題體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用落實(shí)，反映了讓數(shù)學(xué)解題回歸數(shù)學(xué)思維的自然流露。甲、乙兩種破題思維并無(wú)優(yōu)劣之分，但解完題后的乙確實(shí)該考慮可否對(duì)自己的解答書(shū)寫(xiě)進(jìn)行優(yōu)化，可否讓它變得更簡(jiǎn)捷？當(dāng)然對(duì)甲也要提出一個(gè)問(wèn)題：你能學(xué)習(xí)如乙那般思考嗎？你能體會(huì)出“對(duì)比創(chuàng)造找思路”這句活，可能給破題帶來(lái)的一線轉(zhuǎn)機(jī)嗎？甲的簡(jiǎn)捷解答，或說(shuō)破題念頭取決于他恰好知道那個(gè)“關(guān)鍵的”經(jīng)驗(yàn)公式，并且在求解該題的節(jié)骨眼上仍然對(duì)這個(gè)公式記憶猶新，也就是說(shuō)甲根本沒(méi)有淘過(guò)神，就把該題給成功破解了！或者還有另外一種可能，就是甲其實(shí)也淘過(guò)神。比如，在解題之初，甲對(duì)該題之結(jié)構(gòu)形式所產(chǎn)生的數(shù)感告訴他該題的破解多半要用到那個(gè)“關(guān)鍵的”魔法技能，可是甲對(duì)它的記憶卻是模糊不清的，咋辦呢？于是甲在草稿紙上作了一番推證、微調(diào)，最終把那個(gè)“要命的”技能重新找了回來(lái)，真是急得滿頭大汗啊，但是隨后的成功破題讓甲喜笑顏開(kāi)。這又能說(shuō)明什么？這個(gè)對(duì)解題起關(guān)鍵作用的魔法技能，即：，教材上本來(lái)就沒(méi)有，對(duì)知情者而言它是一種“飛升技能”，其他人不知道它的存在當(dāng)然屬于正常的現(xiàn)象，而且那些曾經(jīng)記憶過(guò)它的人后來(lái)又把它搞忘了也是合情合理的。但我們?cè)谶^(guò)去捕捉這類“有趣結(jié)論”的過(guò)程中所經(jīng)歷的“后雙基”體驗(yàn)卻能讓我們得益匪淺，這些體驗(yàn)?zāi)茏屛覀冊(cè)诨貞浕蛑匦峦谱C“回憶對(duì)象”的過(guò)程中更加輕車熟路。我想不管是教材要求的“必備技能”，還是從教材中暗涌出來(lái)的“飛升技能”，我們都應(yīng)該去處理好“漁與魚(yú)”的關(guān)系。據(jù)此而論，我認(rèn)為本文之“第六大點(diǎn)”談及的“完全平方公式的項(xiàng)數(shù)推廣與類比聯(lián)想”就是一種可以適時(shí)點(diǎn)播的課堂節(jié)目。這是藏匿在數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)教育，它其所涉及的“魚(yú)”雖并非教材要求的基本技能，但蘊(yùn)含于其中的各種“淺水漁術(shù)”、“深水漁術(shù)”卻是考試要求的，也是數(shù)學(xué)教育在追求的“后雙基”技能。簡(jiǎn)言之，不怕遺忘結(jié)論帶來(lái)解題無(wú)望，只要深刻過(guò)程就能回憶開(kāi)創(chuàng)！最后再?gòu)?qiáng)調(diào)，乙的破題思維本身就體現(xiàn)著“后雙基”中的某些技巧，這是凌駕于“前雙基”之上的的“思想方法”和“思維策略”，它們對(duì)數(shù)學(xué)解題具有遷移性和有效性。讓我們來(lái)重溫其中的某些技巧：連續(xù)化簡(jiǎn)走著瞧，有了眉目就微調(diào)，綜合分析兩頭顧，對(duì)比創(chuàng)造找思路。7、已知，，，求：（建議：各位魔杖之主對(duì)本題把玩“甲”、“乙”兩種不同風(fēng)格）；﹤甲的解題心理活動(dòng)﹥：我的數(shù)感告訴我本題可以用一個(gè)“魔法技能”來(lái)解決，但這個(gè)技能對(duì)我而言是陌生的，我從來(lái)沒(méi)有在任何地方見(jiàn)識(shí)