完全平方公式的逆用、聯(lián)用、造用

PAGEPAGE17初中數學微專題練悟試卷完全平方公式、平方差公式之逆用、聯(lián)用、造用一、回顧原始公式（記住這些“舊模式”）1、“和”的完全平方公式：；2、“差”的完全平方公式：；3、平方差公式：；二、公式的逆用1、形如：“”或“”的代數式，可以收縮為：的形式，即：；2、形如：“”或“”的代數式，可以收縮為：的形式，即：；3、形如：“”的代數式，可以轉化為：的形式，即：；解讀與建議：①、代數式“”或“”都是“完全平方式”，它們屬于“展開形式”的完全平方式，其特征是：首平方來尾平方，二倍乘積放中央；②、代數式“（和的平方）”或“（差的平方）”也都是“完全平方式”，它們屬于“收縮形式”的完全平方式。特別聲明，這只是“二項式”的完全平方，其特征是：括號耳朵是平方，里面?zhèn)z數隨便裝；③、代數式“”是“平方之差”的形式，代數式“”是“兩數之和”與“兩數之差”的“乘積”的形式，代數式“”是“平方之和”的形式；④、常見思考策略：（?。?、見到兩數“平方之和”的架構，可往逆用“完全平方公式”的方向聯(lián)想；（ⅱ）、見到兩數“平方之差”的架構，可往逆用“平方差公式”的方向聯(lián)想；三、逆用公式訓練題1、已知，，則；2、若，則，；3、若，則；4、若，則；若，則；若，則；5、已知，，則；6、若，，則；7、若，則，；8、；9、已知，，，則；10、；11、若，則；12、若，，則；13、閱讀理解：由易知，∴當時，代數式有最小值；同理，由易知，從而可知：，∴當，即當時，代數式有最大值；請問當________時，代數式有最________值為_________.14、；15、求的值？請寫出解答過程：四、聯(lián)用（多個公式，會涉及逆用）訓練題1、=；2、方程的解是；3、=；4、計算：；解法一（易想難算）：原式=；點評：此法確實易想，但也不太難算啊！解法二（難想易算）：原式==；點評：此法不太難想，卻又確實易算??！5、=；感嘆：本題用什么方法？自己看著辦吧！6、計算：；解法一（易想易算）：原式=；點評：此法確實易想，也確實易算??！咋滴??？有誰不服嗎？解法二（難想難算）：原式=；點評：此法確實不易想到，而且也有點難算！不咋滴？連我也這樣認為！7、計算：；建議：用兩種方法來解，各有簡便之處！五、完全平方公式的常用“變形技巧”（屬公式的逆用、造用）1、；2、；3、；4、；5、；6、；7、；8、要留意：備注：我們通常把以上7個公式，稱為完全平方公式的“魔法寶典（涉及到和、積變換的經驗公式，或曰有趣結論）”，這些公式不需同學刻意去背，但要有“籠統(tǒng)的”印象，即知道有并熟悉。在以后的解題中，根據“題目的特征”，當產生“想嘗試”用這些公式來搞試驗時，屆時才通過臨場的組合、拼湊，召喚出“寶典”中的某一精靈來幫忙即可。也就是說，數學思維的素養(yǎng)，不在于比拼記憶，而在于合理聯(lián)想、應需構造，這就涉及到了公式的造用與創(chuàng)用。親愛的同學啊，我所崇敬的魔法師們，有大批妖孽正在我們城堡外面叫囂，大家快穿上魔袍，操起魔杖，召喚精靈驅魔去吧！百年妖精：1、已知，，則；2、已知，則________，__________；3、已知，且，則__________；4、已知，則_____；5、已知，則_____；6、已知，，則________，__________；7、已知，，則__________，__________；8、已知，，則__________；9、已知，，則________，__________；10、已知，，則__________；11、已知，，則__________；12、已知，，則；千年妖王：13、若，則_____________；14、若，則_____________；15、已知，，則________，__________，即__________________；16、已知，，則__________；17、已知，，則__________；18、已知，則________，________；萬年妖帝：19、已知，則__________，__________，________，________；20、已知，且，求：①、的值；②、的值；21、已知，，，求的值；十萬年妖魔仙：22、已知，，，求：①、；②、；六、完全平方公式的“項數推廣”與“類比聯(lián)想”1、項數推廣①、由公式，可聯(lián)想到：建議：應該記住這個有趣結論。一個多項式的完全平方，等于其中每一個單項式的，再加上。②、直接寫出結果：。2、類比聯(lián)想①、根據乘方的意義可知：②、根據以上結論，直接寫出結果：。③、根據乘方的意義可知：④、直接寫出結果：。3、調整形式，豐富聯(lián)系（即把結果與“寶典”中的“和、積變換”聯(lián)系起來）①、依據：去類比：，易得：②、依據：去類比：，易得：但，若考慮：，似乎更易操作。七、平方差公式、完全平方公式的拼補、構造1、計算：。2、求的值。3、已知、、是⊿ABC的三邊，且，試判斷⊿ABC的形狀。4、已知，，求的值。5、四個連續(xù)自然數的乘積，再加上1所得的數是完全平方數嗎？請證明。6、已知，，求的值。﹤申述一﹥：如果，解題者“甲”熟悉“六-3-①”的公式：，那么，對此題而言，他就是一個“內幕知情者”，他可以作如下書寫：解答：由，可得：∴，∴==；﹤申述二﹥：如果，解題者“乙”壓根兒就不知道以上那個“新魔法”公式，那么，憑借“對比觀察，創(chuàng)設聯(lián)絡”的思維策略，他可以作如下思考：分析：首先，對比“”和“”，產生嘗試“升次”的念頭，∴由，可得，即：，也即：，又∵，∴，即：，也即：，∴，然后，就算他假裝自己“類比”不出公式：，他仍可經由“”與“”的“對比觀察”，繼續(xù)發(fā)揮“升次”的老伎倆：由，可得，即得：，又∵，∴=；“創(chuàng)設聯(lián)絡”告捷！親愛的同學，請你壓抑住扮演“甲”的沖動，去充分領悟“乙”的思維“念頭”吧！請你幫“乙”把解答過程展示出來：﹤申述三﹥：甲、乙二法并無優(yōu)劣之分。會用“甲”的魔法師應捫心自問“能領悟乙嗎？能學習乙嗎”？會用“乙”的大師們應自我反思提煉，學習甲以提高解答效率。要曉得單獨甲和單獨乙都不“港火”（四川話，大意是值得自豪）。只有經歷“先乙后甲”的蛻變才能“優(yōu)術熟技，深耕謀略”，這體現了數學的精神與魅力。7、百萬年妖祖降臨：已知，，，求：（建議：各位魔杖之主對本題把玩“甲”、“乙”兩種不同風格）；﹤寄語﹥：各位尊敬的魔法師??！魔法的高遠境界不是滿足于熟練已有的魔法，也不是停留在融合已有的魔法，其實我們可以繼承類比的思想，構造出似曾相識卻又不乏新穎的魔法，甚至我們可以發(fā)揮自我的奇思異想去開創(chuàng)嶄新的魔法領域。各位親愛的魔法師，數學王國的法皇們對現世的古老魔法自然早已優(yōu)術熟技（即熟練掌握前雙基），并且還對其追尋深耕謀略（即有意實踐后雙基）。在這片為眾多魔法師所熟悉的大陸中，他們立足數學的思想方法與精神文化，操持數學的基本方法與思維策略，把其思維的觸角伸向了眾人易見卻又被忽略著的異域空間，他們靜靜地探索著，凝結著。附件：1、計算：。提示：利用“六-1-①”公式，借助“對比觀察”就可以直接寫出最終答案。2、求的值。提示：題目特點給人的“第一感覺”是可能要使用“平方差公式”，這就是“數感”。但是要想使用平方差公式，在構架上還缺少什么？可以把“缺少的東西”修補出來嗎？但要注意保持原式的“恒等性”。3、已知、、是⊿ABC的三邊，且，試判斷⊿ABC的形狀。提示：題目特點給人的“第一感覺”是可能要逆用公式“六-1-①”，但后來我們容易否定此念頭。再看原式的特點是：具有“平方項”和“交叉項”，這也容易讓我們往“完全平方公式”的方向思考，但用什么手段才能把“1倍交叉項”轉化成“2倍交叉項”呢？4、已知，，求的值。提示：初看，感覺題目沒有任何顯著特征能讓我們冒出任何念頭。兩個方程，解三個未知數，行嗎？不行！那么本題多半要用“整體法”，但需把待求式中的什么地方看作一個整體呢？好像也抓不出任何線索?。≌k呢？題目中共有“三元”，可以考慮消元嗎？消誰呢？消元后就保證一定能破題嗎？那倒未必！但是暫無他法??！只有死馬當作活馬醫(yī)，先消掉“一元”，再走走瞧瞧吧。點評：其實“消元”本身就屬于一種“化簡”的手段，這本就符合“連續(xù)化簡走著瞧，有了眉目再微調”的“基本解題規(guī)律”。5、四個連續(xù)自然數的乘積，再加上1所得的數是完全平方數嗎？請證明。提示：在嘗試對“”進行因式分解的過程中，有沒有看出可以把“某個東西”當作一個整體，因為施行整體換元后，目標的結構將變得更加醒目，能讓人一目了然。6、已知，，求的值。﹤甲解法﹥：由，可得：∴，∴﹤乙解法﹥：由，可得：，又∵，∴，即：，（假如乙裝瘋賣傻）那么他：又由，可得：，故，.﹤再次點評、申述﹥：甲的解答顯然比乙干練、快捷。但甲的破題思維就優(yōu)越于乙的破題思維嗎？非矣！飛矣！甲的破題思維和解答書寫，體現了讓數學解題成為數學技能的對應操作，體現了讓數學解題印證數學經驗的波動潤滑；而乙的破題思維和解答書寫，反映了讓數學解題體現數學思想的應用落實，反映了讓數學解題回歸數學思維的自然流露。甲、乙兩種破題思維并無優(yōu)劣之分，但解完題后的乙確實該考慮可否對自己的解答書寫進行優(yōu)化，可否讓它變得更簡捷？當然對甲也要提出一個問題：你能學習如乙那般思考嗎？你能體會出“對比創(chuàng)造找思路”這句活，可能給破題帶來的一線轉機嗎？甲的簡捷解答，或說破題念頭取決于他恰好知道那個“關鍵的”經驗公式，并且在求解該題的節(jié)骨眼上仍然對這個公式記憶猶新，也就是說甲根本沒有淘過神，就把該題給成功破解了！或者還有另外一種可能，就是甲其實也淘過神。比如，在解題之初，甲對該題之結構形式所產生的數感告訴他該題的破解多半要用到那個“關鍵的”魔法技能，可是甲對它的記憶卻是模糊不清的，咋辦呢？于是甲在草稿紙上作了一番推證、微調，最終把那個“要命的”技能重新找了回來，真是急得滿頭大汗啊，但是隨后的成功破題讓甲喜笑顏開。這又能說明什么？這個對解題起關鍵作用的魔法技能，即：，教材上本來就沒有，對知情者而言它是一種“飛升技能”，其他人不知道它的存在當然屬于正常的現象，而且那些曾經記憶過它的人后來又把它搞忘了也是合情合理的。但我們在過去捕捉這類“有趣結論”的過程中所經歷的“后雙基”體驗卻能讓我們得益匪淺，這些體驗能讓我們在回憶或重新推證“回憶對象”的過程中更加輕車熟路。我想不管是教材要求的“必備技能”，還是從教材中暗涌出來的“飛升技能”，我們都應該去處理好“漁與魚”的關系。據此而論，我認為本文之“第六大點”談及的“完全平方公式的項數推廣與類比聯(lián)想”就是一種可以適時點播的課堂節(jié)目。這是藏匿在數學教學中的數學教育，它其所涉及的“魚”雖并非教材要求的基本技能，但蘊含于其中的各種“淺水漁術”、“深水漁術”卻是考試要求的，也是數學教育在追求的“后雙基”技能。簡言之，不怕遺忘結論帶來解題無望，只要深刻過程就能回憶開創(chuàng)！最后再強調，乙的破題思維本身就體現著“后雙基”中的某些技巧，這是凌駕于“前雙基”之上的的“思想方法”和“思維策略”，它們對數學解題具有遷移性和有效性。讓我們來重溫其中的某些技巧：連續(xù)化簡走著瞧，有了眉目就微調，綜合分析兩頭顧，對比創(chuàng)造找思路。7、已知，，，求：（建議：各位魔杖之主對本題把玩“甲”、“乙”兩種不同風格）；﹤甲的解題心理活動﹥：我的數感告訴我本題可以用一個“魔法技能”來解決，但這個技能對我而言是陌生的，我從來沒有在任何地方見識