2023年初中幾何證明題庫矩形

例8.如圖,已知矩形紙片ABCD，ＡＤ＝2,AB＝4.將紙片折疊，使頂點A與邊CD上的點E重合，折痕FG分別與ＡB，CD交于點G,Ｆ，AE與FＧ交于點O．（1）如圖1,求證：A,G,Ｅ，F(xiàn)四點圍成的四邊形是菱形;（2)如圖2,當(dāng)△AEＤ的外接圓與BC相切于點Ｎ時,求證:點Ｎ是線段BＣ的中點；(3)如圖2,在(2）的條件下，求折痕FG的長.【答案】解：(1)由折疊的性質(zhì)可得，GＡ＝GE,∠AGF=∠ＥGF，∵DＣ∥ＡB,∴∠EFG=∠ＡＧF?！唷螮FG=∠ＥＧＦ?！郋Ｆ=EG＝AG?！嗨倪呅蜛GＥＦ是平行四邊形(EＦ∥AG,EF=AG）。又∵AG=GE,∴四邊形ＡＧEF是菱形。（2）連接ON，∵△AＥD是直角三角形，AＥ是斜邊，點O是AE的中點,△AＥD的外接圓與BC相切于點N，∴ON⊥BＣ?！唿cＯ是AE的中點，∴ON是梯形ＡBCＥ的中位線。∴點N是線段BC的中點。（3）∵OE、ON均是△ＡED的外接圓的半徑，∴OE＝OA=ON=２。∴AＥ=AB=4。在Ｒt△ＡDＥ中，AD=2,AE＝４，∴∠AED=３０°。在Rt△ＯEＦ中,OE=2，∠ＡED=30°，∴。∴FＧ＝。【考點】翻折變換(折疊問題)，折疊對稱的性質(zhì),菱形的鑒定，梯形中位線性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義,特殊角的三角函數(shù)值。【分析】(１）根據(jù)折疊的性質(zhì)判斷出ＡG=ＧＥ,∠AGＦ=∠EGF，再由ＣD∥AＢ得出∠EFG=∠AGF,從而判斷出EF=AＧ，得出四邊形AGEF是平行四邊形，從而結(jié)合ＡＧ=GE,可得出結(jié)論。(２)連接OＮ,則ＯN⊥ＢC，從而判斷出ON是梯形AＢCＥ的中位線,從而可得出結(jié)論。(３)根據(jù)（1)可得出AE=AB，從而在Ｒt△AＤE中，可判斷出∠AＥD為30°,在Ｒt△EFＯ中求出FＯ，從而可得出ＦＧ的長度。8．依次連接一矩形場地ABCD的邊AB、BC、CD、ＤA的中點E、F、Ｇ、H,得到四邊形EＦGH,M為邊ＥＨ的中點，點Ｐ為小明在對角線EＧ上走動的位置,若AＢ＝1０米，BC=米，當(dāng)PＭ+PＨ的和為最小值時，ＥP的長為▲。10．如圖，在矩形ＡBCD中,ＡD＝4cm，AＢ=m（ｍ>４),點Ｐ是AB邊上的任意一點(不與點Ａ、B重合)，連接PＤ,過點P作ＰQ⊥PＤ,交直線ＢC于點Q．(１）當(dāng)m=１０時,是否存在點P使得點Q與點C重合?若存在，求出此時AＰ的長;若不存在，說明理由;（２)連接AC，若PQ∥AC,求線段BQ的長（用含m的代數(shù)式表達）；(3）若△ＰＱD為等腰三角形，求以P、Q、C、D為頂點的四邊形的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出m的取值范圍.1.已知長方形ABCＤ，AB=3cm，ＡＤ=4cm,過對角線BD的中點Ｏ做BＤ的垂直平分線EＦ,分別交ＡＤ、ＢC于點Ｅ、F,則AE的長為▲.例2.如圖，在矩形ABCD中,AD>AＢ,將矩形ABCＤ折疊，使點C與點A重合，折痕為MN,連結(jié)CＮ.若△CＤN的面積與△CMN的面積比為1︰４,則的值為【】A．2 B．4C． Ｄ．【答案】Ｄ?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，矩形、菱形的鑒定和性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥窟^點N作NG⊥BC于Ｇ,由四邊形ABＣD是矩形，易得四邊形ＣDNG是矩形,又由折疊的性質(zhì)，可得四邊形AMCＮ是菱形，由△CDＮ的面積與△ＣMN的面積比為1:4，根據(jù)等高三角形的面積比等于相應(yīng)底的比,可得DN：CＭ=１:4,然后設(shè)ＤN=x,由勾股定理可求得ＭN的長，從而求得答案：過點N作NＧ⊥BC于G,∵四邊形AＢCD是矩形,∴四邊形CDNG是矩形,AD∥BＣ?！郈D=NＧ，CG=ＤN，∠ANM＝∠ＣMN。由折疊的性質(zhì)可得:AM=CM，∠AＭN=∠ＣMN,∴∠AＮM=∠AＭN?！郃M＝AN?！郃M=ＣM,∴四邊形AMCN是平行四邊形?！撸粒停紺M，∴四邊形ＡMＣN是菱形?！摺鰿ＤN的面積與△CＭN的面積比為1:4，∴ＤN:ＣM=1:４。設(shè)DN=x，則AN=AM=CＭ=ＣＮ=4x,AD=BC＝５ｘ,ＣG=x。∴ＢM=ｘ，GM=3x。在Ｒt△CGN中，，在Rt△ＭＮG中，,∴。故選D。例１．如圖,在矩形ＡＢCＤ中，點E,F分別在BC,ＣD上，將△AＢＥ沿AＥ折疊,使點B落在AC上的點B′處,又將△CEＦ沿ＥF折疊,使點Ｃ落在EB′與AD的交點C′處.則ＢC:ＡB的值為▲。例3.如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為４的正方形紙片ABＣD，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點Ｄ重合）將正方形紙片折疊,使點B落在P處,點C落在G處,PG交DC于H,折痕為EＦ,連接BP、BH.（1)求證：∠APB=∠BPH;(2）當(dāng)點P在邊AD上移動時，△PＤH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論;(３）設(shè)AP為x，四邊形EＦGＰ的面積為Ｓ,求出S與x的函數(shù)關(guān)系式,試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值;若不存在,請說明理由．【答案】解:(１)如圖1，∵PＥ=BE，∴∠EBＰ=∠EPＢ.又∵∠ＥＰH=∠EＢＣ=9０°，∴∠EPＨ﹣∠EＰB=∠EＢＣ﹣∠ＥBＰ，即∠PＢC＝∠BＰＨ。又∵AD∥BC,∴∠AＰB＝∠PBＣ?！唷希罰Ｂ=∠BPH。（2）△PHD的周長不變?yōu)槎ㄖ?。證明如下：如圖2，過B作BQ⊥PＨ，垂足為Q。由(1)知∠AＰＢ=∠BPＨ，又∵∠A＝∠ＢＱＰ=90°,BP=BＰ,∴△ABP≌△QＢＰ（ＡＡS)?！郃P＝QP,ＡB=BQ。又∵ＡB＝BC,∴BC=BQ。又∵∠C=∠BＱH=90°,BH=BH,∴△BCH≌△ＢＱH(HＬ)?！郈H=ＱH?！唷鱌HD的周長為：ＰD＋DＨ+PＨ=AＰ+PD+DH+HＣ＝ＡＤ+CD＝8。（３)如圖3，過Ｆ作ＦM⊥AB，垂足為M，則FM＝ＢＣ=ＡB。又∵EF為折痕,∴EF⊥BＰ。∴∠EFＭ+∠MEＦ=∠AＢP+∠BEF=90°?！唷螮FＭ＝∠ABP。又∵∠A＝∠EMF＝90°,AB＝ME，∴△ＥＦＭ≌△ＢPＡ（ASA)。∴ＥM=AP=ｘ.∴在Rt△APE中,（4﹣BE）2+x2＝BＥ２，即?！?。又∵四邊形PＥFＧ與四邊形BEFＣ全等,∴?！?，∴當(dāng)x＝２時,S有最小值6?！究键c】翻折變換(折疊問題)，正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì),全等三角形的鑒定和性質(zhì),勾股定理,二次函數(shù)的最值?！痉治觥?1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出∠PBC=∠ＢPH，進而運用平行線的性質(zhì)得出∠APB=∠PBＣ即可得出答案。(2）先由AAS證明△ABP≌△QBP,從而由HＬ得出△BCH≌△BQH,即可得ＣH=QH。因此,△ＰDH的周長=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8為定值。(３)運用已知得出△ＥＦＭ≌△BPＡ，從而運用在Ｒｔ△APＥ中，(4﹣ＢE)2+x2=BE2，運用二次函數(shù)的最值求出即可。4.如圖所示，將兩張等寬的長方形紙條交叉疊放,重疊部分是一個四邊形AＢCD，若ＡＤ=6cm，∠ABC＝6０°,則四邊形ＡBCD的面積等于_▲cm2．例2．如圖，矩形AＢCD中，AB=２，AＤ=4，AC的垂直平分線ＥF交ＡＤ于點E、交BＣ于點F,則EＦ=▲．【答案】?！究键c】線段垂直平分線的性質(zhì),矩形的性質(zhì)，相似三角形的鑒定和性質(zhì)，勾股定理;.【分析】連接ＥＣ,AC、ＥF相交于點O?！逜C的垂直平分線EＦ，∴AＥ=EC?！咚倪呅危罛CD是矩形，∴∠Ｄ=∠B＝９0°,AB=CD=2,ＡD＝ＢC=４,ＡD∥ＢC?！唷鰽OE∽△CＯF。∴?！逴A=ＯC，∴OE＝OF，即EF=２OE。在Rt△CEＤ中,由勾股定理得:CE２=CＤ2+EＤ2，即ＣＥ2＝(4-CE）2+２2，解得：CE＝?！咴冢遥簟鳎罛C中,AB＝2，ＢC＝4,由勾股定理得：AC＝，∴ＣO=?！咴赗t△CEO中，CO＝，CE=,由勾股定理得：ＥＯ=?！郋F＝2EO＝。例３.已知一個矩形紙片OACB,將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點A（１１，０),點B（０，6)，點P為BC邊上的動點(點P不與點B、Ｃ重合）,通過點O、Ｐ折疊該紙片，得點Ｂ′和折痕OP．設(shè)ＢＰ＝t．(Ⅰ）如圖①，當(dāng)∠BOP=300時，求點P的坐標(biāo)；（Ⅱ）如圖②，通過點P再次折疊紙片,使點C落在直線PB′上,得點C′和折痕PＱ,若AQ＝ｍ,試用品有ｔ的式子表達ｍ;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,當(dāng)點Ｃ′恰好落在邊OA上時，求點Ｐ的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可).【答案】解：（Ⅰ）根據(jù)題意,∠OBＰ=９0°,OB＝6。在Rt△OBP中,由∠BOＰ=3０°，ＢP=ｔ,得OP=2t?！逴P2=ＯB2+BP2,即(2t)2=６２+t2,解得：ｔ1=，t2=－（舍去).∴點P的坐標(biāo)為(，6）。（Ⅱ)∵△OＢ′P、△ＱC′P分別是由△ＯBP、△ＱCP折疊得到的，∴△OB′P≌△OBP，△ＱＣ′Ｐ≌△ＱCP?！唷希螾B′=∠OＰB，∠ＱPC′=∠QＰC。∵∠OPB′+∠OPB＋∠QPC′+∠ＱPＣ=１80°,∴∠OＰB+∠QPC=90°?！摺螧OP+∠ＯPB＝９0°,∴∠ＢOP=∠ＣPQ。又∵∠OBP=∠C=9０°，∴△OBP∽△PCQ?！?。由題意設(shè)BP=t,AQ=ｍ,ＢＣ=11,AＣ=6,則PＣ=11-t,CQ＝6-ｍ．∴?！啵?＜t<1１)。（Ⅲ）點Ｐ的坐標(biāo)為（，6)或（,6）?！究键c】翻折變換（折疊問題），坐標(biāo)與圖形性質(zhì),全等三角形的鑒定和性質(zhì),勾股定理,相似三角形的鑒定和性質(zhì)。【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意得,∠OBP=90°,ＯＢ=6,在Rｔ△OBP中，由∠BＯP=３０°,ＢP=t，得ＯＰ=2t，然后運用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。（Ⅱ）由△OＢ′P、△QＣ′P分別是由△OBP、△QＣP折疊得到的,可知△OB′P≌△ＯBP，△QＣ′P≌△QCP,易證得△OBP∽△ＰCQ,然后由相似三角形的相應(yīng)邊成比例，即可求得答案。(Ⅲ）一方面過點P作PE⊥ＯA于E，易證得△PC′Ｅ∽△C′QＡ，由勾股定理可求得C′Q的長,然后運用相似三角形的相應(yīng)邊成比例與,即可求得t的值:過點Ｐ作PE⊥OA于E,∴∠ＰEＡ＝∠QＡC′=90°?！唷螾C′E+∠ＥPＣ′＝９０°?！摺螾C′Ｅ＋∠QC′A=90°，∴∠EPC′＝∠QＣ′A?！唷鱌C′E∽△C′ＱA。∴。∵ＰC′=PＣ=11－t，PＥ=OB=6,AQ=m，C′Ｑ=CQ=６－m，∴。∴?！?即，∴,即。將代入,并化簡,得。解得：。∴點Ｐ的坐標(biāo)為（，6)或(，6)。5.有甲、乙兩張紙條，甲紙條的寬是乙紙條寬的２倍，如圖。將這兩張紙條交叉重疊地放在一起,重合部分為四邊形ABCD,則AB與BC的數(shù)量關(guān)系為▲.例1.如圖，矩形ABCD中,E是AD的中點，將△ABE沿ＢE折疊后得到△GBE,延長BＧ交CD于F點,若CF=1，F(xiàn)Ｄ＝2,則ＢC的長為【】A．Ｂ.C.Ｄ．【答案】Ｂ。【考點】翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)和鑒定,折疊對稱的性質(zhì),全等三角形的鑒定和性質(zhì),勾股定理?！痉治觥窟^點Ｅ作EＭ⊥BC于Ｍ,交BF于N?！咚倪呅蜛ＢCD是矩形，∴∠Ａ=∠ABＣ＝90°,AD=BC，∵∠EMB=90°,∴四邊形ABMＥ是矩形。∴AE＝ＢM,由折疊的性質(zhì)得：AE＝GE,∠EGN＝∠A=90°，∴ＥG=BＭ?！摺希臢G=∠BNM,∴△ENＧ≌△ＢNM(AAS）?！郚G=ＮＭ。∵Ｅ是AD的中點,CM=ＤE,∴AE＝ED=BＭ=CM?！逧Ｍ∥CD,∴ＢＮ:ＮF=BＭ:CＭ?！郆N＝NF。∴NM=ＣF=。∴NG=?！連Ｇ＝AB=CD=CＦ+DF＝3,∴BN=BＧ﹣ＮG=３﹣?！郆F=2BN＝5∴。故選Ｂ。例2．如圖,點D是△ABC的邊AB的延長線上一點,點F是邊BC上的一個動點（不與點Ｂ重合)．以BD、BF為鄰邊作平行四邊形BＤEF，又APBE(點Ｐ、E在直線AＢ的同側(cè))，假如，那么△PBＣ的面積與△AＢC面積之比為【】Ａ.B.C.D.【答案】D?！究键c】平行四邊形的鑒定和性質(zhì)?！痉治觥窟^點Ｐ作ＰH∥BC交AB于Ｈ，連接CH，ＰF,ＰＥ。∵APＢE,∴四邊形APEＢ是平行四邊形。∴PEAB。，∵四邊形BDEＦ是平行四邊形，∴EFBＤ?！郋F∥AB?！郟,E，F(xiàn)共線。設(shè)BＤ=a，∵,∴PＥ＝ＡB=４ａ?！郟F=ＰE﹣EＦ=3a。∵ＰH∥BC，∴S△ＨBＣ=S△PBC?！逷F∥AB,∴四邊形BＦPH是平行四邊形?！郆H=PF=3ａ。∵S△HBＣ:Ｓ△ABC=BH:AＢ=3a:4a＝3:4,∴S△PBC:Ｓ△ＡBＣ=３：４。故選Ｄ。例3.如圖，Ｐ是矩形ＡBCＤ內(nèi)的任意一點,連接PＡ、PB、PＣ、ＰD，得到△ＰAB、△PBC、△PCD、△PDA,設(shè)它們的面積分別是S1、Ｓ2、S３、Ｓ4,給出如下結(jié)論：①S1＋S2＝S３+Ｓ４②S２+S4=Ｓ１+S３③若S3=２S1,則Ｓ4=2Ｓ２④若Ｓ1=S2,則P點在矩形的對角線上其中對的的結(jié)論的序號是▲(把所有對的結(jié)論的序號都填在橫線上）.【答案】②④?！究键c】矩形的性質(zhì)，相似【分析】如圖，過點P分別作四個三角形的高，∵△AＰD以AＤ為底邊，△ＰBC以ＢC為底邊,∴此時兩三角形的高的和為AB,∴S１+S3=S矩形ABCD；同理可得出Ｓ2+S４=S矩形ABＣD?！啖赟2+S４=S1+S3對的，則①Ｓ１+Ｓ２=S3+S4錯誤。若S3＝２S1,只能得出△APD與△PＢC高度之比，Ｓ4不一定等于2S2；故結(jié)論③錯誤。如圖,若Ｓ1=S2，則×PF×ＡD=×PE×AB,∴△APＤ與△ＰBA高度之比為：ＰF:PE=ＡB：AＤ。∵∠DAE＝∠PEA=∠ＰFＡ＝9０°,∴四邊形AＥPF是矩形，∴矩形AＥＰF∽矩形AＢＣD。連接AＣ。∴ＰＦ：CD=PE：BC＝AP：AC，即PＦ：ＣＤ=ＡＦ：AD=AP:AＣ?！唷鰽PF∽△ＡＣD?！唷螾AF=∠CAD?！帱cA、Ｐ、Ｃ共線?！啵悬c在矩形的對角線上。故結(jié)論④對的。綜上所述，結(jié)論②和④對的。例6.如圖（1）,在矩形ABCD中,把∠B、∠D分別翻折，使點B、D分別落在對角線BC上的點Ｅ、F處，折痕分別為CM、ＡN.(１）求證：△AND≌△CBＭ．(2)請連接MF、NE，證明四邊形MFNE是平行四邊形,四邊形MFNＥ是菱形嗎?請說明理由?(3)P、Ｑ是矩形的邊ＣD、AB上的兩點，連結(jié)ＰQ、ＣＱ、MＮ,如圖（2）所示,若PＱ＝CQ,ＰQ∥MN。且AB=4，ＢC＝3,求ＰC的長度.【答案】（1)證明：∵四邊形AＢCＤ是矩形，∴∠D=∠B，ＡＤ＝BC,AD∥ＢC?！唷螪ＡC＝∠BCA。又由翻折的性質(zhì)，得∠DAＮ=∠NＡF,∠ECM=∠ＢCM，∴∠DAＮ＝∠ＢCＭ?！唷鰽ＮD≌△CBM(ＡSA)。（2)證明:∵△AＮD≌△CBM,∴DN=BＭ。又由翻折的性質(zhì),得DN=FN，BM＝ＥM,∴FＮ=EM。又∠NFＡ=∠ACD+∠CNＦ=∠BAC＋∠ＥMA=∠MEＣ,∴FN∥EM?！嗨倪呅蜯FＮE是平行四邊形。四邊形MFＮE不是菱形，理由如下:由翻折的性質(zhì)，得∠CEM=∠B=900,∴在△EMF中，∠FEM＞∠ＥFＭ?！郌M>ＥM?！嗨倪呅危虵ＮE不是菱形。(3)解：∵AＢ=4，BＣ=3，∴AC=5。設(shè)DN=ｘ,則由S△ADC=Ｓ△ＡNＤ+S△NＡC得3ｘ+5x=1２,解得x＝，即DＮ=BM=。過點N作NH⊥AＢ于H，則ＨM=4－３＝１。在△ＮHM中,ＮH=3,HＭ＝1，由勾股定理，得ＮM＝?！撸蠶∥MＮ，ＤC∥AＢ，∴四邊形NMQP是平行四邊形?！郚P=ＭQ,ＰQ=NM＝。又∵PQ=ＣQ,∴ＣＱ=。在△CBＱ中，CQ=,ＣＢ=３，由勾股定理，得BQ=1。∴NP＝MQ=?！郟C=４-－=２。【考點】翻折問題,翻折的性質(zhì)，矩形的性質(zhì),平行的性質(zhì)，全等三角形的鑒定和性質(zhì)，平行四邊形的鑒定和性質(zhì)，菱形的鑒定，勾股定理?！痉治觥浚?）由矩形和翻折對稱的性質(zhì)，用ASA即可得到△AＮD≌△CＢM。(2)根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的鑒定即可證明。(3）設(shè)DＮ＝ｘ，則由S△ADC=S△AND+Ｓ△NＡＣ可得DＮ=BＭ=。過點N作NH⊥AB于H，則由勾股定理可得NＭ＝,從而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和已知PQ=CQ，即可求得CQ＝。因此，在△CBQ中,應(yīng)用勾股定理求得BQ=１。從而求解。例2.如圖，圓柱形玻璃杯高為12ｃm、底面周長為18cｍ,在杯內(nèi)離杯底4cm的點Ｃ處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿４cm與蜂蜜相對的點Ａ處，則螞蟻到達蜂蜜的最短距離為▲cm．【答案】15?！究键c】圓柱的展開，矩形的性質(zhì),軸對稱的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理?！痉治觥咳鐖D,圓柱形玻璃杯展開(沿點Ａ豎直剖開）后側(cè)面是一個長18寬１2的矩形,作點A關(guān)于杯上沿MN的對稱點B，連接BC交MN于點Ｐ,連接BM,過點C作AB的垂線交剖開線ＭA于點Ｄ。由軸對稱的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系知AP＋PＣ為螞蟻到達蜂蜜的最短距離,且AP=BP。由已知和矩形的性質(zhì),得ＤＣ=9，BＤ=12。在Ｒt△ＢCD中,由勾股定理得?！郃P＋PC=ＢP+ＰC=ＢＣ=１５，即螞蟻到達蜂蜜的最短距離為1５cm。例2.如圖,有a、b、ｃ三戶家用電路接入電表,相鄰電路的電線等距排列,則三戶所用電線【