自動控制原理第6章 頻率特性分析法

第5章線性系統(tǒng)的頻域分析內(nèi)容提要頻率特性是研究控制系統(tǒng)的一種工程方法，應(yīng)用頻率特性可間接地分析系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。本章主要介紹典型環(huán)節(jié)的頻率特性、開環(huán)頻率特性、最小相位系統(tǒng)、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)、對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)、閉環(huán)頻率特性及用品類特性分析系統(tǒng)品質(zhì)。知識要點開環(huán)頻率特性、極坐標圖、Bode圖、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)、對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)、相對穩(wěn)定性、閉環(huán)頻率特性、等M圓、等N圓及用品類特性分析系統(tǒng)品質(zhì)。時域分析方法的缺陷：（1）對于高階或較為復(fù)雜的系統(tǒng)難以求解和定量分析；（2）某些元件或環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型難以求出時，系統(tǒng)的分析將無法進行；（3）系統(tǒng)的參數(shù)變化時，系統(tǒng)性能的變化難以直接判斷，而需重新求解系統(tǒng)的時間響應(yīng)，才能得到結(jié)果；（4）系統(tǒng)的性能不滿足技術(shù)要求時，無法方便地確定應(yīng)如何調(diào)整系統(tǒng)的參數(shù)來獲得預(yù)期的結(jié)果；（5）必須由閉環(huán)傳遞函數(shù)求系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

根軌跡法根據(jù)圖形的變化趨勢即可得到系統(tǒng)性能隨某一參數(shù)變化的全部信息，從而可以獲得應(yīng)如何調(diào)整系統(tǒng)的參數(shù)來獲得預(yù)期效果，是一種非常實用的求取閉環(huán)特征方程式根和定性分析系統(tǒng)性能的圖解法，特別適用于高階系統(tǒng)的分析求解。但對于高頻噪聲問題、難以建立數(shù)學(xué)模型等問題仍然無能為力。

§5.1引言頻域分析方法的優(yōu)點：(1)頻域分析法可以根據(jù)開環(huán)頻率特性去分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能，并能較方便地分析系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響，從而進一步提出改善系統(tǒng)性能的途徑。(2)除了一些超低頻的熱工系統(tǒng)，頻率特性都可以方便地由實驗確定。(3)頻率特性主要適用于線性定常系統(tǒng)。在線性定常系統(tǒng)中，頻率特性與輸入正弦信號的幅值和相位無關(guān)。(4)這種方法也可以有條件地推廣應(yīng)用到非線性系統(tǒng)中。利用頻率特性進行控制系統(tǒng)分析和設(shè)計的圖解法，可方便地用于工程中的系統(tǒng)分析和設(shè)計?！?.2頻率特性的基本概念6.2.1頻率響應(yīng)與頻率特性的定義RC網(wǎng)絡(luò)圖示電路的傳遞函數(shù)為設(shè)輸入電壓Ruiu0CRuC令T=RC，則可得電容兩端的輸出電壓為對上式兩端取拉氏反變換得式中：當(dāng)t→∞時，于是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解為可見，電路的穩(wěn)態(tài)輸出仍然是正弦電壓，其頻率和輸入電壓的頻率相同，幅值是輸入幅值的倍，相角比輸入遲后。其中：，3.系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解的幅值之比A(ω)是ω的函數(shù)，其比值為4.為輸出穩(wěn)態(tài)解與輸入信號的相位差，也是ω的函數(shù)，其值為6.2.2頻率特性的物理意義

線性定常系統(tǒng)（或元件）在正弦輸入信號作用下，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的復(fù)數(shù)比叫做系統(tǒng)（或元件）的頻率特性，記為G(jω)。

記輸入信號為

輸出信號為

則其中RC電路的頻率特性在復(fù)平面上構(gòu)成一個完整的向量。用G(jω)表示這一向量，則

根據(jù)復(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)定義，有稱為電路的頻率特性。是的幅值,是的相角，和都是輸入信號頻率故它們分別被稱為電路的頻率特性的物理意義是：當(dāng)一頻率為它表示在穩(wěn)態(tài)時，電路的輸出與輸入的幅值之比。它表示在穩(wěn)態(tài)時，輸出信號與輸入信號的相位差。由于的函數(shù),幅頻特性和相頻特性。在穩(wěn)態(tài)時，電路的輸出與輸入之比；或者說輸出與輸入的幅值之比和相位之差。

的正弦信號加到電路的輸入端后，§6.3頻率特性圖示法幅相頻率特性（極坐標圖、奈氏圖）G(jω)隨ω從0變至+∞時在復(fù)平面上連續(xù)變化而形成的一條曲線。對數(shù)頻率特性（Bode圖）由采用對數(shù)分度作圖的對數(shù)幅頻特性和采用線性分度作圖的對數(shù)相拼特性兩條曲線組成。對數(shù)幅相特性（尼氏圖）

橫坐標為相位，縱坐標為對數(shù)幅值，且縱、橫坐標均為線性分度。幅相頻率特性可以表示成：代數(shù)形式、極坐標形式6.3.1幅相頻率特性（奈氏圖）1）代數(shù)形式設(shè)系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為令s=jω，可得系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的頻率特性這就是系統(tǒng)頻率特性的代數(shù)形式，其中P(ω)是頻率特性的實部，稱為實頻特性，Q(ω)為頻率特性的虛部，稱為虛頻特性。

2）極坐標形式將上式表示成指數(shù)形式:式中A(ω)－復(fù)數(shù)頻率特性的模，即幅頻特性

(ω)－復(fù)數(shù)頻率特性的幅角或相位移，即相頻特性奈氏圖6.3.2對數(shù)頻率特性（Bode圖）對數(shù)頻率特性是將頻率特性表示在對數(shù)坐標中。對上式兩邊取對數(shù)，得

上面就是對數(shù)頻率特性的表達式。習(xí)慣上，一般不考慮0.434這個系數(shù)，而只用相角位移本身。

Bode圖6.3.3對數(shù)幅相特性（尼氏圖）將對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性繪在一個平面上，以對數(shù)幅值作縱坐標（單位為分貝）、以相位移作橫坐標（單位為度）、以頻率為參變量。這種圖稱為對數(shù)幅—相頻率特性，也稱為尼柯爾斯圖，或尼氏圖。

一般用于閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性分析。微分方程頻率特性傳遞函數(shù)系統(tǒng)6.3.4頻率特性、傳遞函數(shù)和微分方程三種數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系比較頻率特性與傳遞函數(shù)具有十分相的形式

§6.4

典型環(huán)節(jié)的頻率特性6.4.1控制系統(tǒng)中常見的典型環(huán)節(jié)—積分環(huán)節(jié)其中—比例環(huán)節(jié)—振蕩環(huán)節(jié)—慣性環(huán)節(jié)—微分環(huán)節(jié)6.4.2典型環(huán)節(jié)的極坐標及頻率特性1、比例環(huán)節(jié)1）傳遞函數(shù)2）頻率特性實頻特性虛頻特性幅頻特性相頻特性對數(shù)幅頻特性奈氏圖Bode圖2、積分環(huán)節(jié)1）傳遞函數(shù)2）頻率特性實頻特性虛頻特性幅頻特性相頻特性對數(shù)幅頻特性奈氏圖Bode圖3、慣性環(huán)節(jié)1）傳遞函數(shù)2）頻率特性實頻特性虛頻特性幅頻特性相頻特性對數(shù)幅頻特性奈氏圖Bode圖4、振蕩環(huán)節(jié)1）傳遞函數(shù)2）頻率特性實頻特性虛頻特性幅頻特性相頻特性對數(shù)幅頻特性奈氏圖Bode圖見書P136、1375、微分環(huán)節(jié)（以一階微分為例）1）傳遞函數(shù)2）頻率特性實頻特性虛頻特性幅頻特性相頻特性對數(shù)幅頻特性奈氏圖Bode圖6、延遲環(huán)節(jié)1）傳遞函數(shù)2）頻率特性實頻特性虛頻特性幅頻特性相頻特性對數(shù)幅頻特性奈氏圖§5.3系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性的繪制及奈氏判據(jù)5.3.1開環(huán)幅相頻率特性（奈氏圖）的繪制開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的一般形式為

開環(huán)系統(tǒng)的幅頻、相頻特性表示為：用不同的ω值分別代入以上各式，就可以逐點描繪系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性?？捎脧?fù)數(shù)運算求得它的實頻和虛頻特性。,繪制開環(huán)奈氏圖的基本步驟：1、確定開環(huán)極坐標曲線的起點()；2、確定開環(huán)極坐標曲線的終點()；3、確定開環(huán)極坐標曲線與負虛軸與負實軸的交點；4、分析開環(huán)極坐標曲線的變化范圍及特點；5、綜上，概略地繪出系統(tǒng)的開環(huán)極坐標曲線。1、起點：起點與系統(tǒng)的類型有關(guān)，即與系統(tǒng)的積分個數(shù)有關(guān)。結(jié)論：若系統(tǒng)有v個積分環(huán)節(jié)，則開環(huán)幅相特性開始于相位為，幅值為的地方。注意：實際的起點可能在坐標軸的任意一邊，這要用求漸近線的方法來確定。即特性總是以順時針方向趨于原點，并以的角度終止于原點，如下圖所示。

2、終點：一般實際系統(tǒng)3、幅相特性與負實軸和虛軸的交點。特性與虛軸的交點的頻率由下式求出

特性與負實軸的交點的頻率由下式求出如果在傳遞函數(shù)的分子中沒有時間常數(shù)，則當(dāng)ω由0增大到∞過程中，特性的相位角連續(xù)減小，特性平滑地變化。如果在分子中有時間常數(shù)，則視這些時間常數(shù)的數(shù)值大小不同，特性的相位角可能不是以同一方向連續(xù)地變化，這時，特性可能出現(xiàn)凹部。例5-1已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試繪出系統(tǒng)的極坐標圖。解：分母有理化并整理得實頻特性虛頻特性幅頻特性相頻特性1、起點當(dāng)時，，，，。2、終點當(dāng)時，，，，。3、與虛軸的交點令，即，得，取時的若干點，結(jié)果如下表所示：0136…104.40.101.6…00-5.4-3.0-1.9-1.1…0代入中得在G（s）平面上繪出極坐標圖如下圖所示：例5-2設(shè)開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，系統(tǒng)的開環(huán)奈氏曲線。試繪出解：分母有理化并整理得實頻特性虛頻特性1、起點當(dāng)時，，。2、終點當(dāng)時，，。3、與負虛軸的交點令，得，代入中得在G(s)平面上繪出開環(huán)奈氏曲線如下圖所示：例5-3設(shè)開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,試繪出開環(huán)奈氏曲線。解：經(jīng)分母有理化可得幅頻特性和相頻特性為這是Ⅰ型系統(tǒng)。解:1、起點

當(dāng)ω＝0時，可計算出，，,顯然當(dāng)ω→0時，G(jω)的漸近線是一條過實軸上點，且平行于虛軸的直線，即幅相曲線起始于負虛軸方向的無窮遠處，它的漸近線是

2.終點

當(dāng)ω→∞時，，，，。該系統(tǒng)m=0，n=3，故特性曲線的高頻部分沿正虛軸方向趨于原點。3.幅相曲線與實軸的交點

令，可得，將此ω1值代入式P(ω)表達式中，可得幅相曲線與實軸的交點為，交點對應(yīng)的頻率為?？梢宰C明

開環(huán)奈氏曲線如下圖所示。w＝0w→∞P(ω)jQ(ω)5.3.2Nyquist穩(wěn)定判據(jù)Φ(s)零點極點相同F(xiàn)(s)零點極點相同GK(s)零點極點F(s)有如下特點：(1)其零點和極點分別是閉環(huán)和開環(huán)特征根；(2)零點和極點的個數(shù)相同（均為N個）；(3)F(s)和G(s)H(s)只差常數(shù)1，相當(dāng)于在坐標平面上平移一個單位。FReIm[F(s)]BG(b)jwGSA.ZiGSA.Zis(a)FReIm[F(s)]BG(b)jwGSA.ZiGSA.Zis(a)奈氏判據(jù)：反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是奈氏曲線反時針包圍臨界點(-1,j0)的圈數(shù)R等于開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面的極點數(shù)P，即N＝P，Z＝0；否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，Z≠0，存在閉環(huán)正實部的特征根，閉環(huán)正實部特征根的個數(shù)Z可按下式確定Z＝P－R例5-6

已知單位反饋系統(tǒng)，開環(huán)極點均在s平面的左半平面，開環(huán)頻率特性極坐標圖如圖所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解:

系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，即P=0。從圖中看到：ω由-∞→+∞變化時，G(jω)H(jω)曲線不包圍(-1，j0)點，即R=0，Z=P-R=0，所以，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例5-8系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為沒有極點位于右半s平面，P=0。試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：實頻特性虛頻特性

開環(huán)系統(tǒng)右半s平面的極點數(shù)為0。當(dāng)ω從－∞～＋∞時，奈氏曲線不包圍(－1，0)點，即R＝0。Z＝P－R＝0－0＝0，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，在右半s平面沒有根。。概略繪制開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的極坐標如右圖所示。與負虛軸的交點：令P(ω)=0，可解得

。代入Q(ω)中可解得例5-9系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為沒有極點位于右半s平面，P=0。試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。實頻特性虛頻特性

開環(huán)系統(tǒng)右半s平面的極點數(shù)為0。當(dāng)ω從－∞～＋∞時，奈氏曲線以順時針包圍(－1，0)點2圈，即N＝－2。Z＝P－N＝0－(－2)＝2，Z≠0，故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，在右半s平面有2個根。解：。概略繪制開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的極坐標如右圖所示。與負實軸的交點：令Q(ω)=0，可解得

。代入P(ω)中可解得由奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種簡易方法用奈氏判據(jù)判斷反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，一般只需繪制ω從0到＋∞時的開環(huán)幅相曲線，再加上正實軸后形成封閉曲線，然后按其包圍(-1,j0)點的圈數(shù)N(反時針方向包圍時為正，順時針方向包圍時為負)和開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面上的極點數(shù)P，再根據(jù)公式Z＝P－2R確定閉環(huán)特征方程在右半s平面上的根的個數(shù)。如果Z＝0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。如果開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)包含v個積分環(huán)節(jié)，則繪制開環(huán)幅相曲線后應(yīng)從ω＝0＋對應(yīng)的點開始，反時針方向補畫v/4個半徑為無窮大的圓。但圓隨ω增大的方向是順時針的。例5-10設(shè)Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖(a)所示，開環(huán)系統(tǒng)在右半s平面上沒有極點，試用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：由于系統(tǒng)是Ⅰ型系統(tǒng)，需要從幅相曲線ω＝0＋對應(yīng)的點反時針補畫1/4個半徑趨于無窮大的圓，如下圖(b)中虛線部分。由幅相曲線看到曲線沒有包圍(-1,j0)點，故R＝0。又因為開環(huán)系統(tǒng)在右半s平面上沒有極點，即P＝0，因此閉環(huán)特征方程位于右半s平面上的根的個數(shù)Z=P-2R=0-2×0＝0故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。(a)Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線(b)補畫后的系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線例5-11一單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為,試用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：這是一個Ⅱ型系統(tǒng)，開環(huán)幅相曲線如下圖(a)所示。圖中虛線是按v＝2從幅相曲線ω＝0＋對應(yīng)的點反時針方向補畫的半徑趨于無窮的半圓。由幅相曲線看到，曲線順時針包圍(-1,j0)點一圈，即R＝－1，而開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面上的極點數(shù)為0，即P＝0，因此閉環(huán)特征方程在右半s平面上的根的個數(shù)Z=P-2R=0-2×(-1)＝2故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。例5-12系統(tǒng),解：繪制奈圖如下：P=0,R=-1,Z=P-2R=0-2×（－1）＝2≠0系統(tǒng)一定不穩(wěn)定，并有兩個閉環(huán)極點在s平面的右半部。試由奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。5.4.1Bode圖的繪制例：一系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為求得頻率特性為§5.4系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性的繪制

及對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)對數(shù)幅頻特性具有如下特征：1、對數(shù)幅頻特性是下降的，表明系統(tǒng)具有低通濾波性能；2、對數(shù)幅頻特性的漸近線的斜率都是的整數(shù)倍，“—”對應(yīng)慣性環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)，“+”對應(yīng)一階和二階微分環(huán)節(jié)；3、最小相位系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性與相頻特性是一一對應(yīng)，且唯一確定的；4、曲線低頻段的高度和斜率取決于比例環(huán)節(jié)K的大小和積分環(huán)節(jié)的數(shù)目ν;5、只要過(1,20lgK)做斜率為，即可得到低頻段的漸近線；6、轉(zhuǎn)折頻率處，漸近線的斜率發(fā)生變化，改變多少取決于典型環(huán)節(jié)的種類。繪制步驟：1、將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成典型環(huán)節(jié)乘積的形式，并將這些典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)化成如下所示的標準形式，即各典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的常數(shù)項為1。2、確定K值、ν值和各環(huán)節(jié)的交接頻率

并將交接頻率從小到大標注在角頻率ω軸上。3、繪制對數(shù)幅頻特性的低頻漸近線。

把ω→0時的對數(shù)幅頻特性稱為對數(shù)幅頻特性的低頻漸近線低頻漸近線的方程為

當(dāng)ω＝1時，L(1)=20logK(dB)。由此可繪出過ω＝1，L(1)=20logK(dB)點的斜率為－20νdB的一條直線，即為低頻漸近線。4、以低頻漸近線作為分段直線的第一段，從低頻端開始沿頻率增大的方向，每遇到一個交接頻率改變一次分段直線的斜率

當(dāng)遇到一階微分環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率時，斜率增加＋20dB/dec；當(dāng)遇到一階微分環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率時，斜率增加＋40dB/dec；當(dāng)遇到慣性環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率時，斜率增加－20dB/dec；當(dāng)遇到振蕩環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率時，斜率增加－40dB/dec；5、高頻漸近線，其斜率為n為極點數(shù)，m為零點數(shù)

6、相頻特性按描點的方法繪制。--必要時可利用漸近線和精確曲線的誤差表,對交接頻率附近的曲線進行修正,以求得更精確的曲線。系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性L(ω)通過0dB線，即

時的頻率稱為穿越頻率。穿越頻率是開環(huán)對數(shù)相頻特性的一個很重要的參量。繪制開環(huán)系統(tǒng)對數(shù)相頻特性時，可分環(huán)節(jié)繪出各分量的對數(shù)相頻特性，然后將各分量的縱坐標相加，就可以得到系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)相頻特性。

-也可以利用相頻特性函數(shù)φ(ω)直接計算。不同類型的系統(tǒng)，低頻段的對數(shù)幅頻特性顯著不同。5.4.2系統(tǒng)類型與開環(huán)對數(shù)頻率特性1、0型系統(tǒng)

0型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性有如下形式：

對數(shù)幅頻特性的低頻部分如下圖所示

這一特性的特點：在低頻段，斜率為0dB/十倍頻；低頻段的幅值為20lgK，由之可以確定穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)KP。2、1型系統(tǒng)

1型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性有如下形式

對數(shù)幅頻特性的低頻部分如下圖所示

這一特性的特點：

在低頻段的漸進線斜率為-20dB/十倍頻；低頻漸進線（或其延長線）與0分貝的交點為ωc=K，由之可以確定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)kv=K；低頻漸進線（或其延長線）在ω=1時的幅值為20lgKdB。3、2型系統(tǒng)

2型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性有如下形式

對數(shù)幅頻特性的低頻部分如下圖所示

這一特性的特點：

低頻漸進線的斜率為-40dB/十倍頻；低頻漸進線（或其延長線）與0分貝的交點為，由之可以確定加速度誤差系數(shù)；低頻漸進線（或其延長線）在ω=1時的幅值為20lgKdB。例5-14繪制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為的系統(tǒng)Bode圖。解：2、K＝10，ν＝1，交接頻率。3、低頻漸近線的斜率為－20νdB/dec=-20dB/dec。當(dāng)ω＝1時，L(ω)=20logK＝20dB。即低頻漸近線的斜率為-20，且過點(1，20)。當(dāng)ω＝1時，斜率變?yōu)椋?0dB/dec；當(dāng)ω＝2時，斜率變?yōu)椋?0dB/dec；φ1、將G(s)中的各因式寫成典型環(huán)節(jié)的標準形式，即當(dāng)ω＝20時，斜率變?yōu)椋?0dB/dec；4、ω→∞時，對數(shù)頻率特性的高頻漸近線的斜率為–(n-m)20dB/dec＝－40dB/dec。ω→0時，φ(0)=-90°；ω→∞時，φ(∞)=－180°φ則控制系統(tǒng)的Bode圖如下圖所示：例5-15設(shè)開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為試繪制用分段直線表示的對數(shù)幅頻特性。K＝10－３，v＝2，各個環(huán)節(jié)的交接頻率:ω1=1/100=0.01，

ω2=1/10=0.1，ω3=1/0.125=8，ω4=1/0.05=20。解：2.低頻漸近線的斜率為－20vdB/dec＝－40dB/dec。當(dāng)ω＝1時，低頻漸近線的坐標，L(1)＝20log10－3＝－60dB，即低頻漸近線過點(1，－60)。3.當(dāng)ω=ω1=0.01時，斜率變化為0dB/dec；當(dāng)ω=ω2=0.1時，斜率變化為－20dB/dec；當(dāng)ω=ω3=8時，斜率變化為－40dB/dec；當(dāng)ω=ω4=20時，斜率變化為－60dB/dec。這五段直線即是系統(tǒng)的近似對數(shù)幅頻特性。4.由于最小的交接頻率ω＝0.01，分段直線近似表示的第一段只包括ω＜0.01那一部分的低頻漸近線。所以，當(dāng)ω＝1時，分段直線的縱坐標值不等于20logK(但其延長線的縱坐標值在ω＝1時等于20logK)。ω→∞時，對數(shù)頻率特性的高頻漸近線的斜率為

–(n-m)20dB/dec

＝－60dB/dec。近似對數(shù)幅頻特性如圖所示。1、最小相位傳遞函數(shù)2、非最小相位傳遞函數(shù)在右半s平面內(nèi)既無極點也無零點的傳遞函數(shù)在右半s平面內(nèi)有極點和（或）零點的傳遞函數(shù)3、最小相位系統(tǒng)4、非最小相位系統(tǒng)具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)具有非最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)5.4.3最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)例如:最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為式中.則二者的零-極點分布如下圖所示。兩者幅頻特性相同而相頻特性卻不同，且參見下圖.非最小相位系統(tǒng)

最小相位系統(tǒng)

相同的幅值特性在具有相同幅值特性的系統(tǒng)中，最小相位傳遞函數(shù)（系統(tǒng)）的相角范圍，在所有這類系統(tǒng)中是最小的。任何非最小相位傳遞函數(shù)的相角范圍，都大于最小相位傳遞函數(shù)的相角范圍

最小相位系統(tǒng)，幅頻特性和相頻特性之間具有唯一的對應(yīng)關(guān)系。這意味著，如果系統(tǒng)的幅頻曲線在從零到無窮大的全部頻率范圍上給定，則相頻曲線被唯一確定這個結(jié)論對于非最小相位系統(tǒng)不成立。

反之亦然

表5-1最小相位系統(tǒng)幅頻、相頻對應(yīng)關(guān)系環(huán)節(jié)幅頻相頻-20dB/dec→-20dB/dec→0dB/dec→-20dB/dec→0dB/dec→-40dB/dec→0dB/dec→20dB/dec→………………0dB/dec→n·(-20)dB/dec→0dB/dec→m·(+20)dB/dec→根據(jù)系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性漸進曲線確定最小相位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的基本步驟：1、確定系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中積分或微分環(huán)節(jié)的個數(shù)ν和開環(huán)放大倍數(shù)K。特性低頻段的斜率為-20νdB/dec，低頻段或其延長線在ω=1時對應(yīng)的對數(shù)幅值L(ω)=20lgK。2、確定系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式。從低頻到高頻對數(shù)幅頻特性漸近線的斜率變化和轉(zhuǎn)折頻率的大小為所含環(huán)節(jié)的類型和參數(shù)(斜率變化-20dB/dec，對應(yīng)慣性環(huán)節(jié)；斜率變化-40dB/dec對應(yīng)二階振蕩環(huán)節(jié)；斜率變化20dB/dec，對應(yīng)比例微分環(huán)節(jié)；斜率變化40dB/dec對應(yīng)二階微分環(huán)節(jié)。轉(zhuǎn)折頻率ω的倒數(shù)即為時間常數(shù))。

3、由給定條件確定傳遞函數(shù)的參數(shù)。

例5-17已知開環(huán)系統(tǒng)的近似對數(shù)幅頻曲線如圖所示。試寫出該系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)H(s)。解：(1)曲線的低頻段的漸近線的斜率為0，故由特性斜率=-20v=0知，v=0,系統(tǒng)不含一個積分環(huán)節(jié)，為0型系統(tǒng)。又ω為1時最左端直線的縱坐標為20dB，由式(2)轉(zhuǎn)折頻率：從圖中可見各轉(zhuǎn)折頻率為ω1=1，ω2=2，ω3=4，ω4=10，

當(dāng)ω=ω1=1時，近似特性從0變?yōu)椋?0dB/dec，故1是慣性環(huán)節(jié)的交接頻率。當(dāng)ω=ω2=2時，近似特性從－20dB/dec變?yōu)椋?0dB/dec，故2也是慣性環(huán)節(jié)的交接頻率。可求得比例環(huán)節(jié)K＝10。當(dāng)ω=ω3=4時，近似特性從－40dB/dec變?yōu)椋?0dB/dec，故4是一階微分環(huán)節(jié)交接頻率。當(dāng)ω=ω4=10時，近似特性從－20dB/dec變?yōu)椋?0dB/dec，故10也是慣性環(huán)節(jié)交接頻率。綜上可得系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為例5-18已知某最小相位系統(tǒng)的近似對數(shù)幅頻曲線如圖所示，試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)H(s)。解：(1)曲線的低頻段的漸近線的斜率為-20，故由特性斜率=-20v=-20知，v=1,系統(tǒng)含積分環(huán)節(jié)，為Ⅰ型系統(tǒng)。(2)轉(zhuǎn)折頻率：從圖中可見各轉(zhuǎn)折頻率為

當(dāng)ω=ω1=5時，近似特性從-20變?yōu)椋?0dB/dec，故5是慣性環(huán)節(jié)的交接頻率。當(dāng)ω=ω2=10時，近似特性從－40dB/dec變?yōu)椋?0dB/dec，故10是比例微分環(huán)節(jié)的交接頻率。當(dāng)ω=ω3=120時，近似特性又從－20dB/dec變?yōu)椋?0dB/dec，故120也是慣性環(huán)節(jié)的交接頻率。ω1=5，ω2=10，ω3=120。綜上可得系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為且對數(shù)頻率特性在時穿越零分貝線，即，精確求得K=106.4，近似取K=100。故系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為5.4.4對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)例：例5-20一反饋控制系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為，試用對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線如下圖所示。GK(s)有兩個積分環(huán)節(jié)，故在對數(shù)相頻曲線ω為0＋處，補畫了0°到－180°的虛線，作為對數(shù)相頻曲線的一部分。顯見N＋＝0，N－＝1。N＝N＋－N－＝－1根據(jù)GK(s)表達式知道，P＝0。由于Z＝P－2N＝2，故系統(tǒng)不穩(wěn)定，閉環(huán)特征方程在右半s平面的根數(shù)為2。

例5-21一反饋控制系統(tǒng)，其開環(huán)頻率特性如圖所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,P=0。解：因為ν＝2，故如圖中虛線所示在對數(shù)相頻特性的低頻段曲線上補作0°到－180°的虛線，作為對數(shù)相頻曲線的一部分。當(dāng)ω＜ωc

時有L（ω）＞0，且在此頻率范圍內(nèi)，φ（ω）穿越－180°線一次，且為自上向下穿越。顯見N＋＝0，N－＝1。N＝N＋－N－＝－1已知P＝0，Z＝P－2N＝2，故系統(tǒng)不穩(wěn)定，閉環(huán)特征方程在右半s平面的根數(shù)為2。5.4.5非單位反饋系統(tǒng)和多回路系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析如下圖a所示的非單位反饋系統(tǒng)，可將其閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)寫為：式中，GK(s)＝G(s)H(s)為開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。非單位反饋系統(tǒng)可以看成是傳遞函數(shù)為的環(huán)節(jié)和開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)的單位反饋閉環(huán)系統(tǒng)所組成。如圖b所示。當(dāng)環(huán)節(jié)和單位反饋閉環(huán)系統(tǒng)都是穩(wěn)定時，圖a所示的非單位反饋閉環(huán)系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。的穩(wěn)定性可由奈氏判據(jù)判別。判別多回路系統(tǒng)穩(wěn)定性時，首先應(yīng)判別其局部反饋部分(即內(nèi)環(huán))的穩(wěn)定性。如上圖所示，內(nèi)環(huán)為非單位反饋時應(yīng)按上述方法分析。然后根據(jù)內(nèi)環(huán)部分在右半s平面的極點數(shù)和整個控制系統(tǒng)其余開環(huán)部分在右半s平面的極點數(shù)判別整個控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。多環(huán)控制系統(tǒng)需多次利用奈氏判據(jù)才能最后確定整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性。奈氏判據(jù)是根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性來判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對于實際系統(tǒng)，應(yīng)將其化為可應(yīng)用奈氏判據(jù)的形式，然后再進行判別。給定輸入作用下的系統(tǒng)和擾動輸入作用下的系統(tǒng)，均可應(yīng)用奈氏判據(jù)。對于復(fù)合控制系統(tǒng)，只有當(dāng)開環(huán)部分和閉環(huán)部分都是穩(wěn)定的，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。開環(huán)部分的穩(wěn)定性容易判別，閉環(huán)部分的穩(wěn)定性則應(yīng)用奈氏判據(jù)進行判別。1.已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試繪出開環(huán)幅相曲線（奈氏曲線）并判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2.P188－5－17（3）習(xí)題與作業(yè)§5.5控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性5.5.1控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性從Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可知，若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)沒有右半平面的極點且閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。開環(huán)系統(tǒng)的Nyquist曲線離(-1,j0)點越遠，則閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越高；開環(huán)系統(tǒng)的Nyquist曲線離(-1,j0)點越近，則其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越低。這就是通常所說的相對穩(wěn)定性，通過乃氏曲線對點(-1,j0)的靠近程度來度量，其定量表示為相角裕量和增益裕量Kg。5.5.2增益(幅值)裕量

G(jω)H(jω)曲線與負實軸交于g點時，g點的頻率ωg稱為相位穿越頻率，此時ωg處的相角為-180°，幅值為|G(jωg)H(jωg)|。定義：開環(huán)頻率特性曲線上，相角等于-180°時所對應(yīng)的幅值A(chǔ)(ωg)=|G(jωg)H(jωg)|的倒數(shù)稱為增益(或幅值)裕量，用Kg表示。意義：增益裕量用于表示G(jω)H(jω)曲線在負實軸上相對于(-1,j0)點的靠近程度。表示：

式中ωg滿足∠G(jωg)H(jωg)=-180°增益裕度用分貝數(shù)來表示:

Kg=-20lg|G(jωg)H(jωg)|dB（a）最小相位系統(tǒng)的Nyquist圖（b）對數(shù)頻率特性應(yīng)用對于最小相位系統(tǒng)當(dāng)|G(jωg)H(jωg)|<1或20lg|G(jωg)H(jωg)|<0時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)|G(jωg)H(jωg)|>1或20lg|G(jωg)H(jωg)|>0時，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；當(dāng)|G(jωg)H(jωg)|=1或20lg|G(jωg)H(jωg)|=0時，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。結(jié)論增益裕度Kg表示系統(tǒng)到達臨界狀態(tài)時，系統(tǒng)增益所允許增大的倍數(shù)。

5.5.3相角裕量意義：為了表示系統(tǒng)相角變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，引入相角裕量的概念引入ωc：ωc稱增益穿越頻率，也稱剪切頻率或截止頻率，在（a）圖中G(jω)H(jω)與單位圓相交于c點，c點處的頻率為ωc。此時|G(jωc)H(jωc)|=1定義：使系統(tǒng)達到臨界穩(wěn)定狀態(tài)，尚可增加的滯后相角，稱為系統(tǒng)的相角裕度或相角裕量，表示為應(yīng)用：相角裕量γ為增益穿越頻率ωc處相角與-180°線之距離。對于最小相位系統(tǒng)當(dāng)γ＞0時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定當(dāng)γ＜0時，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定增益裕度和相角裕度通常作為設(shè)計和分析控制系統(tǒng)的頻域指標，如果僅用其中之一都不足以說明系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。結(jié)論：欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，需滿足例：某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為求相角裕度和幅值裕度，并判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性如圖所示：由曲線2和3可知，K＝2時，相角裕度和幅值裕度分別是因為γ＞0，Lg＞0，故對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。K＝20時，由曲線1和3看到因為γ＜0，Kg＜0，故對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。求ωc和相角裕度γ的另一種方法由已知的開環(huán)傳遞函數(shù)得按定義由A(ω)＝1就可以求出ωc來，但系統(tǒng)階數(shù)高時，由A(ω)＝1求ωc是很麻煩的?？梢圆捎媒铺幚淼霓k法求ωc。由圖可知因1＜ωc＜5，故可取，。則。當(dāng)K＝20時，。當(dāng)K＝2時，。知道了ωc后，便可利用如下公式求相角裕度。

當(dāng)K＝20，時，當(dāng)K＝2，時，。這種求法有一定的誤差，但此方法在要求不太高的情況下，還是很實用的。為了獲得滿意的過渡過程，通常要求系統(tǒng)有45°－70°的相角裕度。這可以通過減小開環(huán)增益K的辦法來達到。但是，減小K一般會使斜坡輸入時穩(wěn)態(tài)誤差變大。因此有必要應(yīng)用校正技術(shù)，使系統(tǒng)兼顧穩(wěn)態(tài)誤差和過渡過程的要求?！?.6

閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性5.6.1閉環(huán)頻率特性和開環(huán)頻率特性的關(guān)系在單位負反饋系統(tǒng)中，開環(huán)和閉環(huán)頻率特性有如下固定的關(guān)系，即：如果單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線如下圖所示，則由圖可知ω＝ω１時，開環(huán)頻率特性而即

，可用圖解計算法逐點求得不同頻率對應(yīng)的閉環(huán)幅值和相角，就可求得閉環(huán)頻率特性。但此方法比較麻煩，在工程上常用等M圓和等N圓圖或尼柯爾斯圖線，直接由單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線繪制閉環(huán)頻率特性曲線。5.6.2等M圓圖和等N圓圖如果將函數(shù)G(jω)和Φ(jω)表示成下列形式

式中M(ω)和α(ω)分別為閉環(huán)系統(tǒng)的幅頻和相頻特性，由式可得將方程兩邊平方，經(jīng)變換得若令M為常數(shù)，上式在G(jω)平面上表示一個圓。圓心為〔M

2/(1－M2

)，0〕，半徑為｜M

/(1－M

2)｜。在G(jω)平面上，等M軌跡是一簇圓.對于給定的M值，很容易算出它的圓心和半徑。如下圖所示。等M圓圖由圖可見，M＞1時，等M圓在P＝－直線的左邊，隨著M的增大，M圓愈來愈小，最后收斂于(－1，j0)。當(dāng)M

＜1時，等M圓在P＝－直線的右邊，隨著M的減少，M圓愈來愈小，最后收斂于原點。下面求G(jω)平面的等N圓圖因為設(shè)即依三角函數(shù)公式得整理得令N為常數(shù)，上述方程表示半徑，圓心為(-0.5，)的圓。無論N等于多少，P＝Q＝0和P＝－1，Q＝0時，方程總成立，故每個圓都過原點和(－1，j0)點。下圖是將α作為參變量的等N圓圖。圖上α

＝60°和α

＝－120°，對應(yīng)同一等N圓圖，這是因為tan60°＝tan(－120°)的原因。

利用等M圖和等N圖，由開環(huán)幅相曲線與等M圓和等N圓交點，可得相應(yīng)頻率的M值和N值，即可得在交點頻率處閉環(huán)頻率特性的幅值和相角。如下圖所示，a和b是畫在等M圓圖和等N圓圖上的開環(huán)幅相曲線，c是求得的閉環(huán)頻率特