塑性應(yīng)力-第三章屈服準(zhǔn)則

第三章屈服準(zhǔn)則

(yieldcriteria)塑性模型三要素屈服條件流動法則硬化規(guī)律判斷何時達(dá)到屈服屈服后塑性應(yīng)變增量的方向，也即各分量的比值決定給定的應(yīng)力增量引起的塑性應(yīng)變增量大小彈塑性計算分析的首要條件判斷何時達(dá)到屈服第三章屈服條件

第一、二章介紹的是應(yīng)力和應(yīng)變的概念,接下來就應(yīng)該介紹應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系.在彈性力學(xué)中,應(yīng)力應(yīng)變是線性關(guān)系（或非線性）,是一一對應(yīng)的簡單關(guān)系,但在塑性力學(xué)中,沒有這種簡單的關(guān)系.緒論中曾經(jīng)指出材料在屈服以后要有不能恢復(fù)的塑性變形.問題就出在這個地方,那么材料在什么時候屈服,屈服以后又服從什么規(guī)則.這就是這一章和下一章要解決的問題.這一章研究材料的屈服.我們已經(jīng)知道,對于單向拉伸情況比較簡單,只有一個應(yīng)力,實驗可以得到應(yīng)力應(yīng)變的曲線,應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是一目了然.但對于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài),材料在什么情況下屈服這就不太好說了.這章的Tresca屈服條件和Mises屈服條件就是解決這個問題的.這一章我們先介紹屈服相關(guān)的概念，然后從簡單拉伸談起,目的是從單向應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系中得到啟發(fā)來解決復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)情況下的問題.

下一章來解決材料屈服后的應(yīng)力應(yīng)變的本構(gòu)關(guān)系.第三章

屈服條件(yieldcriteria)3.1.屈服條件的概念3.1.屈服條件的概念1.屈服2.屈服條件3.屈服函數(shù)4.屈服曲面5.子午線與π平面上屈服線1.屈服

物體受到荷載作用后，隨著荷載增大，由彈性狀態(tài)到塑性狀態(tài)的這種過渡，叫做屈服。

物體內(nèi)某一點開始產(chǎn)生塑性應(yīng)變時，應(yīng)力或應(yīng)變所必需滿足的條件，叫做屈服條件。2.屈服條件Twistandextension

onlytwist屈服點著名的Taylor和Quinney銅管拉扭屈服試驗(1931)3.屈服函數(shù)在不考慮應(yīng)力主軸旋轉(zhuǎn)情況下，可以用三個主應(yīng)力分量或應(yīng)力不變量表示：一般情況下，屈服條件與應(yīng)力、應(yīng)變、時間、溫度等有關(guān)，而且是它們的函數(shù)，這個函數(shù)F稱為屈服函數(shù)。在不考慮時間效應(yīng)(如應(yīng)變率)和溫度的條件下：4.屈服面在應(yīng)力空間內(nèi)屈服函數(shù)表示為屈服面。各向等壓屈服軌跡根據(jù)不同的應(yīng)力路徑實驗，在應(yīng)力空間將這些屈服點連接起來，就形成一個區(qū)分彈性和塑性的屈服面。5.子午線與π平面上的屈服線屈服面在π平面上的跡線一般稱為π平面上的屈服曲線；而屈服面與子午平面的交線稱為子午平面上的屈服曲線。子午面與π平面上的屈服線不同屈服條件下π平面上的屈服曲線子午平面上二次式屈服曲線的三種形式：(a)雙曲線(b)拋物線

(c)橢圓屈服條件屈服函數(shù)屈服曲面屈服曲線以應(yīng)力(應(yīng)變)函數(shù)形式表達(dá)在應(yīng)力空間內(nèi)的表示在π平面或子午面上的投影屈服彈性塑性的過渡應(yīng)力(應(yīng)變)滿足條件3.1.基本概念小結(jié)3-2簡單拉伸時的塑性現(xiàn)象強(qiáng)度極限屈服極限彈性極限比例極限初始屈服點初始彈性階段應(yīng)變硬化硬化階段開始頸縮應(yīng)變軟化不加區(qū)別卸載加載,D點開始后繼屈服,成為后繼屈服點反向屈服點被稱為Bauschinger效應(yīng)后繼彈性階段,服從增量Hooke定律服從

塑性變形規(guī)律的幾個重要特點

(1)要有一個判別材料是否處于彈性階段還是塑性階段的判斷式,即屈服條件:初始屈服條件和后繼屈服條件

(2)應(yīng)力應(yīng)變是非線性關(guān)系

(3)應(yīng)力應(yīng)變之間不存在單值關(guān)系

塑性力學(xué)考慮的材料的簡化的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系有理想彈塑性體理想剛塑性體線性硬化彈塑性體線性硬化剛塑性體3-3初始屈服條件和屈服曲面

初始屈服條件.對于單向拉伸時拉伸應(yīng)力等于材料的屈服應(yīng)力時開始屈服,但是在一般情況下一點的應(yīng)力狀態(tài)時六個應(yīng)力分量,我們不能簡單地說哪一個分量達(dá)到屈服應(yīng)力,這一點開始屈服.但有一點可以肯定,屈服條件應(yīng)該和這六個分量有關(guān),把它寫成函數(shù)關(guān)系,該函數(shù)就稱為初始屈服條件.

我們已經(jīng)知道,靜水應(yīng)力不引起塑性變形,那么屈服條件只和應(yīng)力偏量有關(guān),屈服條件可以寫為我們又知道,材料的本構(gòu)行為應(yīng)該與坐標(biāo)變換無關(guān),那么屈服準(zhǔn)則就必然僅僅依賴于偏應(yīng)力中的不變量,即

這個初始屈服條件在應(yīng)力空間表示為一個曲面被稱為初始屈服曲面,在平面上是一條曲線被稱為初始屈服曲線.下面來進(jìn)一步分析它們的一般形狀.(1)我們知道偏應(yīng)力向量是在平面上,并且因此在平面上屈服條件表示為一條包圍原點的封閉曲線.這條曲線如圖所示的紅色曲線.如果一個應(yīng)力狀態(tài)在這條曲線上,表示這個應(yīng)力狀態(tài)滿足屈服條件.現(xiàn)在在這個應(yīng)力狀態(tài)上再加上一個靜水壓力,這時在三維主應(yīng)力空間中,它相當(dāng)于沿直線L的平行線上移動,而應(yīng)力點仍應(yīng)滿足屈服條件,因而在三維主應(yīng)力空間中,屈服面是一個等截面柱體,它的母線與L直線平行(圖中深黃色線).(2)現(xiàn)在我們來進(jìn)一步研究在平面上的屈服曲線.首先因為材料是均勻各向同性的,則互換時也會屈服,所以這條屈服曲線應(yīng)對稱于直線1,2,3.另外可以假設(shè)拉伸和壓縮時的屈服極限相等(沒有Bauschinger效應(yīng)),因此當(dāng)應(yīng)力符號改變時,屈服條件仍不變.這就是說,這條屈服曲線應(yīng)關(guān)于原點對稱.又考慮到這條屈服曲線對稱于直線1,2,3,所以它要對稱于直線1,2,3的三條垂線4,5,6.總之,它有六條對稱線,.因此,我們只需用實驗確定平面上30度范圍的屈服曲線,然后利用對稱性,就可以確定整個屈服曲線.在前一章知道:在純拉屈服時,它對應(yīng)平面的A點.在純剪切屈服時它對應(yīng)平面的B點.這樣AB之間的屈服曲線可以通過雙向應(yīng)力實驗來決定.例如可以通過薄壁圓筒同時受拉和扭作用來得到.于是通過對稱性就得到整個屈服曲線.3-4Tresca條件和Mises條件.這是兩個常用的屈服條件.1.Tresca屈服條件(1864).基于實驗觀測,Tresca假設(shè)材料在某處出現(xiàn)屈服是由于該點的最大剪應(yīng)力達(dá)到最大許可值,或者說達(dá)到單軸加載下的彈性極限值.在多軸應(yīng)力狀態(tài)下,按照Tresca的論點,屈服條件可以寫為其中(單向時屈服應(yīng)力).當(dāng)已知可以寫成為在一般情況下,不知主應(yīng)力的排序,可以寫成在平面上,Tresca屈服條件是一個正六邊形,這一點可以證明.在前面我們知道偏應(yīng)力矢在平面上的X軸的投影為所以在范圍內(nèi)這是一條直線,將其對稱開拓成正六邊形(如下圖).在主應(yīng)力空間屈服面是正六面柱體.（可以自己推一下）圖中紅色就是Tresca條件.2.Mises屈服條件(1913).Tresca條件不考慮中間應(yīng)力的影響;另外當(dāng)應(yīng)力處在兩個屈服面的交線上時,數(shù)學(xué)處理有些困難;在主應(yīng)力方向不知時,屈服條件又很復(fù)雜,因此Mises在1913年提出了用外接圓柱體來代替正六面柱體的想法.根據(jù)這個想法屈服曲線就是六邊形的外接圓,方程為:整理得從上面的第一式我們可以看到屈服條件的另一種表達(dá)式是應(yīng)力強(qiáng)度等于,即.也就是說應(yīng)力強(qiáng)度達(dá)到一定值時,材料開始進(jìn)入塑性狀態(tài).

剛才說了,Misese條件一開始是個設(shè)想,后來發(fā)現(xiàn)它比Tresca條件更接近于實驗得出的結(jié)果.實際上,根據(jù)彈性理論,形狀比能為這樣就有它可以解釋為材料的形狀比能達(dá)到某一極限值時,材料開始屈服.(3)討論這兩個屈服條件:a)常數(shù)的確定.因為這些屈服條件對各種情況一般都適用,所以可以通過簡單拉伸或純剪切等實驗來確定.對于簡單拉伸來說,這兩個屈服條件都有對于純剪切來說,Tresca條件有,進(jìn)而Mises條件有,進(jìn)而實驗表明,對于一般工程材料,,因此Mises條件比Tresca條件更接近實際.但如果事先知道主應(yīng)力的大小,用Tresca條件比較方便.b)簡單說明兩個條件的差別.設(shè)取,那么Tresca條件有:Mises條件有:考慮到,所以也就是說這兩個條件事實上差別不大.如果取內(nèi)接圓作為屈服曲線,則差別更小.

這兩個條件主要適用于延性金屬材料.而用于土壤,混凝土和巖石等非金屬是不理想的.因為它們忽略了平均應(yīng)力的影響.[例3-1]平面應(yīng)力狀態(tài)的屈服條件.[解]因為對平面應(yīng)力狀態(tài),.此時Tresca條件為它表示在平面上的屈服曲線為一個六邊形(如圖深黃色所示).Mises條件為:它表示在平面上的屈服曲線為上述六邊形的外接橢圓(如圖紅色所示).[例3-2]試寫出圓桿在拉伸和扭轉(zhuǎn)聯(lián)合作用下的屈服條件.[解]桿內(nèi)的各點的應(yīng)力為其它不為零.將這些代入Mises條件得到由第一章已知應(yīng)力狀態(tài)求主應(yīng)力的方法得到主應(yīng)力為:得根據(jù)Tresca條件有:[例3-3]一內(nèi)半徑為,外半徑為的球形殼,在其內(nèi)表面上作用均勻的壓力.試寫出其屈服條件.[解]由于殼體幾何形狀和受力都是對稱于球心,是球?qū)ΨQ問題.這樣殼體內(nèi)剪應(yīng)力分量必為零,否則就不是球?qū)ΨQ了.各點只有正應(yīng)力分量,并且有主應(yīng)力排序為最大剪應(yīng)力為代入Tresca和Mises條件發(fā)現(xiàn)它們有一樣的屈服條件:3-4Tresca條件和Mises條件的實驗驗證前面已經(jīng)提到這兩個屈服條件是建立在假設(shè)基礎(chǔ)上的,需要通過實驗來驗證.這里介紹兩個有名的實驗.1.Lode實驗1926年W.Lode在軟鋼,銅和鎳的薄壁筒上做實驗,薄壁筒受軸向力和內(nèi)壓的作用.Tresca條件有:Mises條件有:Tresca條件Mises條件應(yīng)力狀態(tài)為:實驗表明Mises條件較符合.封閉筒2.Taylor和Quinney實驗1931年他們做薄壁筒的拉扭聯(lián)合實驗.拉力為,扭矩為,這是平面應(yīng)力問題.應(yīng)力狀態(tài)見圖.有主應(yīng)力為按Tresca條件有:即按Mises條件有:Mises條件Tresca條件軟鋼鋼Mises條件比較好.塑性模型三要素屈服條件流動法則硬化規(guī)律判斷何時達(dá)到屈服屈服后塑性應(yīng)變增量的方向，也即各分量的比值決定給定的應(yīng)力增量引起的塑性應(yīng)變增量大小本章內(nèi)容3-5后繼屈服條件及加,卸載準(zhǔn)則1.后繼屈服條件的概念從單向應(yīng)力談起,如圖所示我們曾經(jīng)提到過初始屈服點和后繼屈服點的概念.

對應(yīng)于復(fù)雜應(yīng)力,就有初始屈服面(比如我們前面提到的屈服條件)和后繼屈服面.后繼屈服點初始屈服點初始屈服面后繼屈服面如右圖所示,一點應(yīng)力狀態(tài)O,隨加載達(dá)到初始屈服面A點,再加載到達(dá)后繼屈服面B點,此時卸載再加載再到達(dá)后繼屈服面C點,然后再加載到達(dá)后繼屈服面D點.很顯然,對于硬化材料,后繼屈服面是不斷變化的.所以后繼屈服面又稱為硬化面或加載面,它是后繼彈性階段的界限面.確定材料是處于后繼彈性狀態(tài)還是塑性狀態(tài)的準(zhǔn)則就是后繼屈服條件或稱硬化條件.表示這個條件的函數(shù)關(guān)系稱為后繼屈服函數(shù)或硬化函數(shù),或加載函數(shù).后繼屈服不僅和當(dāng)時的應(yīng)力狀態(tài)有關(guān),而且和塑性變形的大小及歷史(即加載路徑)有關(guān),表示為其中稱為硬化參數(shù),表示塑性變形的大小及歷史.后繼屈服面就是以為硬化參數(shù)的一族曲面,我們要研究后繼屈服面的形狀以及隨塑性變形的發(fā)展的變化規(guī)律.對于理想塑性材料后繼屈服面是不變化的,與初始屈服面重合.2.加,卸載準(zhǔn)則對于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài),六個應(yīng)力分量都可增可減,如何判別加載和卸載,有必要提出一些準(zhǔn)則.(1)理想塑性材料的加載和卸載準(zhǔn)則.理論塑性材料是無硬化的,屈服條件與加載歷史無關(guān),,初始屈服面和后繼屈服面是重合的.即屈服面法線方向加載卸載的梯度方向如圖所示彈性狀態(tài);加載;卸載.(2)硬化材料的加,卸載準(zhǔn)則.中性變載加載卸載后繼屈服面對于硬化材料,后繼屈服面和初始屈服面不同,與塑性變形的大小和歷史有關(guān).加,卸載準(zhǔn)則為:加載;中性變載;卸載.中性變載是指不產(chǎn)生新的塑性變形.3-6幾種硬化模型加載曲面是怎樣變化的?這個變化是復(fù)雜的,主要是因為材料塑性變形后各向異性效應(yīng)顯著.為了便于應(yīng)用不得不對它進(jìn)行簡化.1.單一曲線假定.單一曲線假設(shè)認(rèn)為,對于塑性變形中保持各向同性的材料,在各應(yīng)力分量成比例增加的情況下,硬化塑性可以用應(yīng)力強(qiáng)度和應(yīng)變強(qiáng)度的確定關(guān)系來表示這個關(guān)系的確定可以用簡單的拉伸實驗來定.材料硬化條件要求切線模量為正.另外還要求2.等向硬化模型.這個模型認(rèn)為加載面在應(yīng)力空間中作相似的擴(kuò)大.仍然保持各向同性.硬化條件可以表示為其中為初始屈服面.K表示所經(jīng)歷的塑性變形的函數(shù).一種假設(shè)是硬化程度只是總塑性功的函數(shù),而與應(yīng)變路徑無關(guān),即.另一種假設(shè)是定義一個度量塑性變形的量,用它來度量硬化程度.

對于Mises屈服條件.初始屈服條件為它的等向硬化加載條件變成F可由單向?qū)嶒瀬矶?它們是一系列同心圓.3.隨動硬化模型.假定在塑性變形過程中,屈服曲面的大小和形狀不變,只是應(yīng)力空間內(nèi)作剛體平移.隨動強(qiáng)化加載曲面可表示為叫移動張量,它有賴于塑性變形量.有文獻(xiàn)指出加載曲面沿應(yīng)力點的外法線方向移動,加載曲面可寫成

對于Mises屈服條件有可由簡單拉伸實驗來定.屈服曲線的變化如圖.4.組合硬化模型3-7Drucker公設(shè)在這一節(jié)我們介紹一個關(guān)于材料硬化的假設(shè)—Drucker公設(shè);在這個公設(shè)的基礎(chǔ)上可以得到兩個重要的結(jié)論:(1)屈服面必定是外突的;(2)建立塑性本構(gòu)關(guān)系.1.穩(wěn)定材料和不穩(wěn)定材料.材料的拉伸應(yīng)力應(yīng)變曲線可能有:所示的材料,隨加載應(yīng)力,應(yīng)變都增加,材料是硬化的.在這一變形過程中,附加應(yīng)力在應(yīng)變增量上作正功,這種特性的材料被稱為穩(wěn)定材料或硬化材料.所示,應(yīng)力應(yīng)變曲線在過D點以后,應(yīng)變增加,應(yīng)力減小,此時應(yīng)力增量作負(fù)功,這種特性的材料被稱為材料不穩(wěn)定或軟化材料.（c）所示,與能量守恒矛盾,所以不可能.2.Drucker公設(shè)從右邊的單向拉伸應(yīng)力應(yīng)變曲線看,對于穩(wěn)定材料,如果從開始加載到再到,然后卸載,此時彈性應(yīng)變可以