多孔介質(zhì)流體動(dòng)力學(xué)

多孔介質(zhì)流體力學(xué)安全學(xué)院雷文杰多孔介質(zhì)流體力學(xué)應(yīng)用范圍

流體通過(guò)多孔介質(zhì)的流動(dòng)是多種工程及學(xué)科的分支，例如，地下水水文學(xué)、采油工程學(xué)、土坡學(xué)、土力學(xué)及化學(xué)工程學(xué)等等經(jīng)常遇到的一個(gè)課題。地下水水文工作者所研究的含水層以及采油工程師所研究的儲(chǔ)油層部用于多孔介質(zhì)的范疇。下面對(duì)含水層、儲(chǔ)油層及存在于它們之中的流體做一簡(jiǎn)要說(shuō)明。巖石孔隙的幾種類型地下水的分布潛水層、含水層潛水層：含有潛水面（浸潤(rùn)線、存在水壓力為零的面）、毛細(xì)管帶、中間帶和土壤水帶。含水層：含水層內(nèi)部水壓力大于零。大多數(shù)含水層由非固結(jié)或部分固結(jié)的砂礫石組成。石灰?guī)r地層為主要含水層。火成巖可以構(gòu)成含水層，玄武巖是較好的含水層。以巖脈、巖床和巖頸等形式出現(xiàn)的許多淺層浸入巖，不透水，可以作為地下水流的阻隔邊界。含水層結(jié)晶巖和變質(zhì)巖屬于相對(duì)不透水層，出露地表時(shí)，由于破碎和分化，滲透性能增大。粘土及粘土與粗粒物質(zhì)的混合物，孔隙率高，但由于孔隙小，為相對(duì)不透水層。含水層的類型含水層的性質(zhì)導(dǎo)水：水力傳導(dǎo)系數(shù)表示在水力梯度作用下含水層傳導(dǎo)地下水的能力。導(dǎo)水系數(shù)T：在基本水平的滲流中，水力梯度為一個(gè)單位時(shí)，通過(guò)含水層厚度的單寬流量，計(jì)算方法為含水層的平均水力傳導(dǎo)系數(shù)與含水層厚度之間的關(guān)系。含水層的性質(zhì)貯水系數(shù)含水層的貯水系數(shù)表示存貯在含水層中的水量變化和相應(yīng)的測(cè)壓面(或無(wú)壓含水層的潛水面)高度變化之間的關(guān)系。給水給水度是農(nóng)田徘水和地下水水文學(xué)研究非飽和流動(dòng)中經(jīng)常使用的另一個(gè)概念。它定義為當(dāng)潛水位下降一個(gè)單位時(shí)，從潛水面延至地面的單位水平面積的土拄中所排出的水量。持水潛水位下降比由于抵抗重力作用而保持在土體中的對(duì)應(yīng)水量稱為持水率。儲(chǔ)油層儲(chǔ)油層或儲(chǔ)氣層是一種在其孔隙中除含水以外至少還合有一種液相或氣相碳?xì)浠衔锸突蛱烊粴?的多孔地層。石油儲(chǔ)層特征

絕大多數(shù)可采油層是由砂巖、石灰?guī)r和白云巖地層組成的。但實(shí)踐表明，其它類型的巖石有時(shí)也能構(gòu)成可采油層。在儲(chǔ)油層內(nèi)部，重力使比重較小的流體處于儲(chǔ)泊構(gòu)造的較高部位而毛細(xì)力則總是使?jié)駶?rùn)流體向含有非濕潤(rùn)流體的空隙中上升，其結(jié)果是抵消重力對(duì)流體分離的作用。一般說(shuō)來(lái)，水相對(duì)于油和氣是濕潤(rùn)流體，而油相對(duì)于氣是濕潤(rùn)流體。多孔介質(zhì)定義多孔介質(zhì)占據(jù)一部分空間。多相中至少有一項(xiàng)不是固體，可以是氣相或液相。固體是骨架。在多孔介質(zhì)范圍內(nèi)沒(méi)有骨架的那部分空間叫做空隙空間或孔隙空間。多孔介質(zhì)所占據(jù)的范圍內(nèi)，固體相應(yīng)遍及多孔介質(zhì)。每個(gè)單元體內(nèi)必須存在固體顆粒。多孔介質(zhì)的一個(gè)基本特點(diǎn)是固體骨架的比面較大，這決定流體在多孔介質(zhì)的性狀；多孔介質(zhì)的另一個(gè)特點(diǎn)是構(gòu)成孔隙空間的空隙比較狹窄。構(gòu)成孔隙空間的某些孔洞必須連通。有效連通的孔隙空間為有效孔隙空間，不連通的孔隙可以視為固體骨架部分。定義多孔介質(zhì)另一方法就是要求有效孔隙空間內(nèi)的任意兩點(diǎn)可以用完全位于其中的曲線連接起來(lái)。而且，除特殊情形外，任意兩點(diǎn)都可以用很多曲線連接起來(lái)，其中任何兩條曲線之間都有一個(gè)最大距離。多孔介質(zhì)定義多孔介質(zhì)的連續(xù)介質(zhì)方法分子水平與微觀水平把流體處理為連續(xù)介質(zhì)的基礎(chǔ)乃是質(zhì)點(diǎn)的概念。一個(gè)質(zhì)點(diǎn)是包含在一個(gè)小體積中的許多分子的集合體。質(zhì)點(diǎn)要比單個(gè)分子的平均自由程大得多，但和所考慮的流體的范圍相比又足夠小。這樣，通過(guò)在質(zhì)點(diǎn)中所包含的分子上取流體和流動(dòng)的平均性質(zhì)就能得到一些有意義的數(shù)值，即描寫整體流體性質(zhì)的數(shù)值；然后把這些數(shù)值與質(zhì)點(diǎn)的某種質(zhì)心聯(lián)系起來(lái)。這樣一來(lái)，在流體所占區(qū)域里的每一點(diǎn)上都存在著一個(gè)具有一定動(dòng)力和運(yùn)動(dòng)性質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)?？紫堵拭婵紫堵屎途€孔隙率流速與比流量總流量Vj——流速比流量流體的性質(zhì)和多孔骨架的性質(zhì)流體的密度p—T曲線的終點(diǎn)C稱為體系的臨界點(diǎn)。對(duì)于單組分體系，臨界點(diǎn)定義為流體的兩相(即液體和氣體或蒸氣)尚能共存的最大壓力和溫度。虛線圍成的區(qū)域是兩相共存區(qū)。實(shí)線表示等溫線。始沸點(diǎn)及露點(diǎn)的定義。對(duì)于單組分體系，始沸點(diǎn)定義為這樣一種狀么：在此狀態(tài)下物質(zhì)完全處于液相，但在溫度固定的條件下，壓力的任何微小下降或體積的任何微小增加都會(huì)產(chǎn)生蒸氣相，或者類似地，在壓力和體積固定的條件下，溫度的任何微小上升即產(chǎn)生蒸氣相。對(duì)于單組分體系，露點(diǎn)定義為這樣的狀態(tài)：即在此狀態(tài)下物質(zhì)完全處于蒸氣相，但當(dāng)溫度不變時(shí)，壓力的任何微小增加或體積的任何微小減小均產(chǎn)生液相；或者類似地，在固定壓力和體積的情況下，溫度的任何微小下降即產(chǎn)生液相。流體的性質(zhì)和多孔骨架的性質(zhì)流體混合物流體的性質(zhì)和多孔骨架的性質(zhì)式中w為總重量，wi為混合物中第j種組分的重量，xi為第x種組分的克分子數(shù)，Mi足同一種組分的分子量?；旌衔镏幸环N組分的體積(Ui)等于該組分的重量與其在常溫常壓下比容(vi)的乘積。所以，混合物的總體積(U)和重率分別為流體的粘滯性粘滯性：阻止流體變形的性質(zhì)牛頓流體、牛頓粘滯定律牛頓粘滯定律：表示穿過(guò)y為常數(shù)的任一平面的x-動(dòng)量流，即分子沿+y方向穿過(guò)該平面所攜帶的動(dòng)量牛頓流體：服從牛頓粘滯定律的流體即為牛頓流體。所有氣體及最簡(jiǎn)單的液體都是牛頓流體。非牛頓流體不服從牛頓粘滯定律的流體，即μ變化。Bingham塑性流體。切應(yīng)力與切應(yīng)變之間為直線關(guān)系，但是切應(yīng)變?yōu)榱銜r(shí)有屈服應(yīng)力，即切應(yīng)力必須超過(guò)屈服應(yīng)力才發(fā)生流動(dòng)。假塑性流體：切應(yīng)力與切應(yīng)變之間斜率逐漸減小，即μ隨切應(yīng)變?cè)黾佣鴾p小。漲流性流體：粘滯度隨切應(yīng)變?cè)黾佣黾?。非牛頓流體觸變性流體。視鉆度取決于剪切的時(shí)間和切變率。當(dāng)流體自靜止?fàn)顟B(tài)受剪時(shí)，從分子觀點(diǎn)看它受到了破壞，但隨著時(shí)間的增加，其結(jié)構(gòu)格逐漸改善。倘若使其繼續(xù)靜止，流體就會(huì)慢慢集結(jié)起來(lái)，井最終恢復(fù)其原始稠度。流變性流體。在這種流體小，分子結(jié)構(gòu)由剪切形成，其性狀與觸變性流體相反。壓力和溫度對(duì)動(dòng)力粘度的影響流體的粘度隨壓力和溫度而變化。對(duì)于絕大多數(shù)流體，溫度對(duì)粘度的影響十分明顯。但是在沒(méi)有達(dá)到很高的壓力之前，壓力對(duì)粘度的影響卻很小。對(duì)于溫度為兩倍臨界溫度的氣體，當(dāng)壓力沒(méi)有達(dá)到臨界壓力的數(shù)量級(jí)時(shí)，粘度隨溫度的變化十分微小。在溫度不變的條什下，液體的粘度通常隨壓力的增大而增大。但水不遵循這條規(guī)則，當(dāng)溫度不變時(shí)，其粘度隨壓力的增大而減小。在大部分實(shí)際應(yīng)用中，壓力對(duì)液體粘度的影響可以忽略不計(jì)。流體的壓縮系數(shù)壓縮系數(shù)：當(dāng)物質(zhì)承受的法向應(yīng)力或法向張力變化時(shí)其體積（和密度）變化的度量。等溫條件下，壓縮系數(shù)定義：流體的膨脹系數(shù)忽略溶質(zhì)濃度的變化，流體密度依賴于壓力和溫度，等溫條件下壓縮系數(shù)的定義：多孔介質(zhì)的統(tǒng)計(jì)方法粒徑分布粒徑的測(cè)量及其分布，測(cè)量方法有篩分法、重計(jì)分析法，前者適用粒徑大于0.06mm，后者適用于小顆粒。有效粒徑（Hazen粒徑，d10）按重量計(jì)土中小于某一粒徑者占土壤總量10％的那種顆粒直徑。有效粒徑系數(shù)（Cu）

Cu=d60/d10級(jí)配系數(shù)（Cg）

Cg=（d30）2/d60d10多孔介質(zhì)的統(tǒng)計(jì)方法基本土質(zhì)分類的土壤三角形孔徑分布粒徑不可確定，孔徑分布非常重要。表示“孔隙大小”的一種方法是把多孔介質(zhì)孔隙空間內(nèi)一點(diǎn)處的孔隙直徑定義為包含該點(diǎn)且完全位于其中的最大圓球的直徑。這樣，如果考慮孔隙空間每一點(diǎn)的孔隙直徑，則孔隙分布可以通過(guò)確定因數(shù)來(lái)定義：孔隙直徑δ包含該點(diǎn)且完全位于其中的最大圓球的直徑；D（δ）為分布函數(shù)，Uv為孔隙體積，U為注入的非濕潤(rùn)流體的體積。多孔介質(zhì)的統(tǒng)計(jì)方法一般說(shuō)來(lái)，至少對(duì)于非固結(jié)物質(zhì)，確定一給定試樣的粒徑分布要比確定其孔徑分布容易。因此已經(jīng)提出了幾種根據(jù)粒徑分布求孔徑分布的方法。這些方法大都是基于顆粒的排列方式或?qū)探Y(jié)多孔介質(zhì)的切片進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。其他分析方法：在引進(jìn)多孔介質(zhì)的線性隨機(jī)函數(shù)的基礎(chǔ)上?？紫堵?、有效孔隙率孔隙率是多孔介質(zhì)一種宏觀性質(zhì)?？偪紫堵剩ń^對(duì)孔隙率）為所有孔隙的占的比例有效孔隙率ne定義為介質(zhì)中相互連通的孔隙(即有效孔隙)的體積(Uv)θ與介質(zhì)總體積之比，（Uv）ne為無(wú)效體積，即互不連通孔隙的體積?？紫侗龋╡）孔隙的體積與固體的體積之比。細(xì)小顆粒的數(shù)量對(duì)孔隙率有明顯影響。固結(jié)物質(zhì)的孔隙率主要取決于膠結(jié)程度，而非固結(jié)物質(zhì)的孔隙率則依賴于顆粒的形狀、粒徑分布和顆粒的排列方式?？紫堵省⒔Y(jié)構(gòu)和排列粒徑分布對(duì)最終的孔隙率有明顯地影響，因?yàn)樾☆w?？梢哉紦?jù)大顆粒之間的孔隙，從而使孔隙率減小。所以，當(dāng)其它參數(shù)相同時(shí)，分選差的沉積物的孔隙率明顯地小于分選好的沉積物的孔隙率。影響孔隙率的其它因素是壓縮、固結(jié)和膠結(jié)?？紫堵士紫堵实臏y(cè)試方法測(cè)量固體骨架的體積并由求孔隙體積水銀注入法觀測(cè)比重瓶裝滿水銀時(shí)以及裝滿水銀和試驗(yàn)樣品置換的水銀的體積觀測(cè)樣品浸入流體時(shí)的失重壓縮室測(cè)量孔隙體積的Washburn—Bunting孔隙計(jì)法氣體膨脹法統(tǒng)計(jì)方法第三章壓力與測(cè)壓水頭

在本章中，我們主要討論壓力、應(yīng)力和測(cè)壓水頭等概念。討論首先要涉及到流體連續(xù)介質(zhì)。多孔介質(zhì)表征體元上的宏觀平均值是通過(guò)平均其孔隙空間由流體的點(diǎn)值得到的，而這種平均值又被賦予了表征體元的質(zhì)心。在流體連續(xù)介質(zhì)的研究中，我們應(yīng)當(dāng)區(qū)分體力和面力。一點(diǎn)處的應(yīng)力

體力能在沒(méi)有任何直接接觸的條件下達(dá)到介質(zhì)并作用于介質(zhì)的整個(gè)體積，例如重力和離心力。面力包括周圍的物體通過(guò)直接接觸而作用于介質(zhì)邊界面的各種力。作用在流體任一體積上的外力是產(chǎn)生內(nèi)應(yīng)力（單位面積上的力）的條件。一點(diǎn)處的應(yīng)力為了研究面力，考察物體界面上圍繞P點(diǎn)的一個(gè)微小有限部分。如圖示：把P點(diǎn)的法向應(yīng)力和切應(yīng)力定義如下：

一點(diǎn)處的應(yīng)力在下文中，將采用Z軸鉛直向上的笛卡爾右手坐標(biāo)系。為了區(qū)別各種應(yīng)力，采用雙下表格式。雙下標(biāo)的第一個(gè)下標(biāo)代表應(yīng)力所在平面的法線方向，第二個(gè)下標(biāo)代表應(yīng)力本身的方向。例如，表示作用方向與方向平行而作用面的外法線方向與方向平行的切應(yīng)力的值。一點(diǎn)處的應(yīng)力如圖示，是法向應(yīng)力，是切應(yīng)力。一點(diǎn)處的應(yīng)力考慮靜止流體或流體作均勻運(yùn)動(dòng)時(shí)的情況。因?yàn)榱黧w不能承受切應(yīng)力，故靜止流體一定完全不存在切應(yīng)力。在均勻流體中，速度處處相等，因此根據(jù)牛頓粘滯定律，所有的切應(yīng)力都必須等于零。如果假設(shè)體力僅為重力，則可以對(duì)一個(gè)微小的棱柱形的流體單元按三個(gè)方向?qū)嵭辛Φ钠胶?，然后逐步使該單元的尺寸縮小到零，得到此公式說(shuō)明，對(duì)于靜止的流體或均勻運(yùn)動(dòng)的流體，一點(diǎn)處的應(yīng)力與方向無(wú)關(guān)，因而它是一個(gè)標(biāo)量。一點(diǎn)處的應(yīng)力在運(yùn)動(dòng)的粘滯流體中，要確定以給定點(diǎn)的應(yīng)力，常采用圖3.1.3所示的微小流體四面體。

一點(diǎn)處的應(yīng)力因?yàn)樵趫D3.1.3中，平面ABC的傾角是任意的，所以可以利用正交參照平面上的九個(gè)分量求出所有平面上的應(yīng)力。這意味著上式可以看成是把坐標(biāo)系中一點(diǎn)的九個(gè)應(yīng)力分量變換為其他任一個(gè)坐標(biāo)系中的應(yīng)力分量的一個(gè)表達(dá)式。能夠以此種方式變換的物理量叫做二秩張量。因此，一點(diǎn)上的應(yīng)力是二秩張量。一點(diǎn)處的應(yīng)力習(xí)慣上把應(yīng)力張量的九個(gè)分量寫成如下形式：

這些應(yīng)力分量中具有相同下標(biāo)的分量代表法向應(yīng)力，而下標(biāo)不相同的分量代表切向應(yīng)力。一點(diǎn)處的應(yīng)力在一般流體中，應(yīng)力張量是對(duì)稱的，即：二秩張量的一個(gè)特點(diǎn)是，對(duì)角線上分量的和與坐標(biāo)軸定向無(wú)關(guān)。就這里所考慮的應(yīng)力張量而言，張量的三分之一通常稱為體應(yīng)力：一點(diǎn)處的應(yīng)力對(duì)于非粘滯性流體，一點(diǎn)上的所有法向應(yīng)力都是相等的。因而，其中每一個(gè)法向應(yīng)力都等于體應(yīng)力。而且，對(duì)于此種流體，體應(yīng)力的負(fù)值就等于熱動(dòng)力壓力：應(yīng)力張量總能寫成一個(gè)和式：式中是Kronrcker符號(hào)，叫粘滯應(yīng)力張量。因此，三個(gè)法向應(yīng)力的平均值可表示為：一點(diǎn)處的應(yīng)力上述所做的討論僅適用于流體連續(xù)介質(zhì)。在流體充滿多孔介質(zhì)的孔隙空間的情況下，上述各個(gè)量（如壓力和應(yīng)力）都必須在多孔介質(zhì)的表征體元上進(jìn)行平均，因?yàn)橹挥羞@種平均量才是可測(cè)量的。因此，平均壓力定義為：流體靜壓力的分布對(duì)于靜止的流體連續(xù)介質(zhì)或重力場(chǎng)中的均勻流動(dòng)，壓力的變化滿足:在均質(zhì)流體中，對(duì)于高度為和的兩點(diǎn)，如果，則流體靜壓力分布方程為：流體靜壓力的分布圖3.2.1表示潛水位（其上壓力為零）以下均質(zhì)流體的靜壓力分布。流體靜壓力的分布在單組分可壓縮流體中，密度（）隨壓力和溫度變化。對(duì)于等溫條件下的理想氣體來(lái)說(shuō)，，為一常數(shù)，則有，測(cè)壓水頭商叫做壓力水頭。它代表單位重量流體的壓力能，或單位重量不可壓縮流體克服其流動(dòng)方向的壓力差所做的凈功，又稱為流動(dòng)功。對(duì)于等溫條件下的可壓縮流體，壓力水頭定義為：測(cè)壓水頭壓力水頭和高程水頭之和成為測(cè)壓水頭：流體內(nèi)每一點(diǎn)的或作為飽和多孔介質(zhì)區(qū)域里每一點(diǎn)的平均都是用管子里流體的高程來(lái)表示的。測(cè)量時(shí)，為避免管中的毛細(xì)作用，管子的直徑應(yīng)當(dāng)足夠大，但又不能擾動(dòng)流體的流動(dòng)。這樣的管子叫做測(cè)壓管。（圖3.2.2）測(cè)壓水頭在靜止的流體中，測(cè)壓水頭處處相同。如果有潛水面存在，潛水面的高程即代表測(cè)壓水頭。在運(yùn)動(dòng)的流體中，測(cè)壓水頭是作為空間和時(shí)間的函數(shù)面變化的。圖3.2.2表示水平承壓含水層中的壓力水頭、高程水頭和測(cè)壓水頭。第四章多孔介質(zhì)中流體輸運(yùn)的基本方程在本章中，我們將導(dǎo)出多孔介質(zhì)中流體輸運(yùn)的基本方程。這是一些偏微分方程，它們描述流動(dòng)區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)處的流體參數(shù)、介質(zhì)參數(shù)和流動(dòng)參數(shù)之間的關(guān)系。在推導(dǎo)方程時(shí)，我們把流體和多孔骨架都看成是連續(xù)介質(zhì)，并且認(rèn)為每一種都充滿著整個(gè)空間。速度的定義流體連續(xù)介質(zhì)中任意一點(diǎn)的速度向量可以寫成推定極限的形式，即質(zhì)點(diǎn)沿其路徑的位移向量與相應(yīng)的時(shí)間間隔之比，當(dāng)后者趨于零時(shí)的極限：質(zhì)點(diǎn)的定義流體質(zhì)點(diǎn)定義為包含在一定體積中的分子集合體。流體質(zhì)點(diǎn)的尺寸應(yīng)當(dāng)比單個(gè)分子的平均自由程大得多，但又必須足夠小，以至于用它來(lái)確定密度時(shí)能夠得到一個(gè)有意義的點(diǎn)值。只有這樣，才能把這個(gè)值和質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)心聯(lián)系起來(lái)。流體的各個(gè)分子都處于連續(xù)不斷的自然運(yùn)動(dòng)中。如果標(biāo)記出一群最初靠攏在一起的分子，那么在一定的時(shí)間間隔后，這些分子也會(huì)擴(kuò)散開，圍繞最初那群分子的質(zhì)心占據(jù)一個(gè)較大的體積。在此情況下，被標(biāo)記的分子的通量受分子擴(kuò)散的控制。這意味著在一定的時(shí)間間隔后必須對(duì)同一質(zhì)心定義一個(gè)“新的質(zhì)點(diǎn)”，且使它與最初的質(zhì)點(diǎn)具有相同的分子數(shù)目，即相同的質(zhì)量。按照這種方法能得到一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的連續(xù)路徑。均質(zhì)的單組分流體非均質(zhì)的多組分流體討論由N種化學(xué)組分混合而成的流體體系中的某一組分。在多組分流體體系占據(jù)的空間中取一體積，假定和分別是這體積內(nèi)組分和流體體系的瞬時(shí)質(zhì)量。把組分的質(zhì)量密度定義為流體單位體積內(nèi)組分的質(zhì)量：

式中為流體體系的密度。非均質(zhì)的多組分流體

組分的質(zhì)量百分?jǐn)?shù)定義為單位質(zhì)量的流體體系中所包含的組分的質(zhì)量：組分在一點(diǎn)P的速度就是內(nèi)組分的各個(gè)分子的統(tǒng)計(jì)平均速度，即各個(gè)分子的速度之和除以分子個(gè)數(shù)。此時(shí)，質(zhì)量平均速度定義為：非均質(zhì)的多組分流體多組分體系的體積平均速度定義為：

式中是部分比容，定義為：則有：擴(kuò)散速度與擴(kuò)散通量

組分的質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于體積平均速度和質(zhì)量平均速度的擴(kuò)散速度和分別為：，組分相對(duì)于質(zhì)量平均速度和體積平均速度的擴(kuò)散通量和分別為：Euler觀點(diǎn)與Lagrange觀點(diǎn)Euler觀點(diǎn)是研究某個(gè)確定的參考標(biāo)架下流場(chǎng)中任一固定空間點(diǎn)在一定時(shí)間內(nèi)各個(gè)物理量的情況。著眼于空間的各個(gè)固定點(diǎn)，從而了解流體在整個(gè)空間里的運(yùn)動(dòng)情況。Lagrange觀點(diǎn)是研究任一流體質(zhì)的各個(gè)物理量隨時(shí)間的變化情況。著眼于流場(chǎng)中各個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的歷史，從而進(jìn)一步了解整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)情況。實(shí)質(zhì)導(dǎo)數(shù)流體確定質(zhì)點(diǎn)的物理量對(duì)于時(shí)間的變化率稱為該物理量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)或?qū)嵸|(zhì)導(dǎo)數(shù)，記為。設(shè)質(zhì)點(diǎn)位置的變化用參數(shù)方程來(lái)表示，質(zhì)點(diǎn)的速度用下式表示：則有：實(shí)質(zhì)導(dǎo)數(shù)采用向量符號(hào)，上式可寫成：第一項(xiàng)稱為局部導(dǎo)數(shù)，在非穩(wěn)定流中，它表示在空間的固定點(diǎn)上隨時(shí)間的變化率；第二項(xiàng)稱為對(duì)流導(dǎo)數(shù)，它表示所考慮的質(zhì)點(diǎn)從一個(gè)地方對(duì)流到數(shù)值不同的另一個(gè)地方所造成的的變化。普通的守恒原理研究對(duì)象：多組分流體，并按照連續(xù)介質(zhì)方法，假定每種組分本身都是充滿整個(gè)空間的連續(xù)介質(zhì)?？疾炝黧w的某種外延量（如質(zhì)量），設(shè)它具有一定的初始數(shù)量，在時(shí)刻被包含在由曲面S所包圍的一部分空間體積U內(nèi)（圖4.2.1）。普通的守恒原理則有：在U內(nèi)不存在源和匯的情況下，的變化只能由通過(guò)曲面S的凈流量的變化而引起，因此：如果因內(nèi)部作用（如化學(xué)作用），所論外延量在U內(nèi)每單位體積以的速度不斷產(chǎn)生，則有：普通的守恒原理對(duì)上式中的曲面積分應(yīng)用高斯定理，得到：因?yàn)轶w積U是任意的，所以有：即為組分一種性質(zhì)的普遍的守恒原理。一種組分的質(zhì)量守恒方程對(duì)于多組分流體體系的組分來(lái)說(shuō)，將和帶入普通的守恒方程，得到質(zhì)量守恒方程：式中是在流體體系的單位體積中由于化學(xué)反應(yīng)而產(chǎn)生的組分的質(zhì)量速度。流體體系的質(zhì)量守恒將多組分流體體系的組分的質(zhì)量守恒方程對(duì)所有組分求和，得到流體體系的質(zhì)量守恒方程：對(duì)于不可壓縮的均質(zhì)流體，即質(zhì)量密度不變的流體，有：一種組分的線性動(dòng)量守恒把（每單位體積混合物中組分的動(dòng)量），和帶入普通的守恒方程，得到：式中是動(dòng)量密度產(chǎn)生的速率，是組分的動(dòng)量在流動(dòng)區(qū)域里傳播的速度，是雙積：流體體系的線性動(dòng)量守恒把，和（是作用在組分質(zhì)點(diǎn)上的、每單位質(zhì)量組分的外力）帶入普通的守恒方程，得到：令，則有：流體體系的線性動(dòng)量守恒由上式可得：動(dòng)量跟質(zhì)量一樣也是同時(shí)以兩種方式被輸運(yùn)的：一是由流體的總體運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的通量，二是由分子運(yùn)動(dòng)所引起的擴(kuò)散通量?？梢园褎?dòng)量守恒方程改寫為：本構(gòu)方程本構(gòu)方程是反映物質(zhì)宏觀性質(zhì)的數(shù)學(xué)模型，又稱本構(gòu)關(guān)系。通常本構(gòu)關(guān)系采取的形式是通量和驅(qū)動(dòng)力之間的關(guān)系式。本構(gòu)方程的例子有：彈性固體中應(yīng)力和應(yīng)變之間的線性關(guān)系、熱能的通量是溫度梯度的線性函數(shù)等。本構(gòu)方程規(guī)定的是理想連續(xù)介質(zhì)的假設(shè)性狀，而理想連續(xù)介質(zhì)就是自然界中一類特殊連續(xù)體的數(shù)學(xué)模型。得到本構(gòu)方程需要憑借實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，或許還得用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)予以驗(yàn)證。建立本構(gòu)方程應(yīng)采用的若干原理1.相容性原理：任何本構(gòu)方程都必須與質(zhì)量、動(dòng)量和能量平衡的一般原理相容。2.坐標(biāo)不變性原理：本構(gòu)方程須表示成在任何固定時(shí)刻、所有慣性坐標(biāo)系中都成立的方程。3.適當(dāng)配置原理：當(dāng)把本構(gòu)方程和包含有相同變量的平衡方程配置成相容的方程組時(shí)，對(duì)應(yīng)于物理上有意義的初始和邊界條件此方程組應(yīng)當(dāng)能給出唯一的和穩(wěn)定的解。建立本構(gòu)方程應(yīng)采用的若干原理4.量綱不變性原理：任何本構(gòu)方程在量綱上應(yīng)當(dāng)是統(tǒng)一的。5.物質(zhì)客觀性原理：這是建立本構(gòu)方程最重要的準(zhǔn)則。一種材料的內(nèi)在反應(yīng)和觀測(cè)者無(wú)關(guān)，即所有觀測(cè)者觀測(cè)到的反應(yīng)必須相同。6.物質(zhì)不變性原理：若本構(gòu)方程關(guān)于物質(zhì)坐標(biāo)的某一變換群是不變的，則本構(gòu)方程具有物質(zhì)對(duì)稱性。7.共存性原理：出現(xiàn)在一個(gè)本構(gòu)方程中的自變數(shù)也必須出現(xiàn)在其他的本構(gòu)方程中。多孔介質(zhì)模型在研究復(fù)雜系統(tǒng)中的現(xiàn)象時(shí)，最有效的工具之一是理想模型。理想模型方法，就是用某些假想的、能夠進(jìn)行數(shù)學(xué)處理的、比較簡(jiǎn)單的現(xiàn)象來(lái)代替實(shí)際上不可能進(jìn)行數(shù)學(xué)處理的復(fù)雜現(xiàn)象。理想模型方法的研究過(guò)程通常有三步：

1.用簡(jiǎn)化的理想模型代替復(fù)雜的系統(tǒng)；2.用現(xiàn)有的理論工具分析模型并導(dǎo)出描寫所研究現(xiàn)象的數(shù)學(xué)關(guān)系式；3.控制實(shí)驗(yàn)。一種平均化方法對(duì)于多孔介質(zhì)區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn)P而言，在表征體元的空隙空間上的平均值可表示為：空隙空間內(nèi)一點(diǎn)的值可表示為表征體元的平均值與局部偏差之和：體積守恒方程流體體積的局部守恒方程：不可壓縮流體的體積守恒方程：或?qū)τ诰|(zhì)介質(zhì)，有：溶液中一種組分的質(zhì)量守恒方程溶液中一種組分的局部質(zhì)量守恒方程：式中：通過(guò)在多孔介質(zhì)的表征體元上平均化而得到的組分的質(zhì)量守恒方程：質(zhì)量守恒方程通過(guò)在一根管子的橫截面上進(jìn)行平均而得出的流體的質(zhì)量守恒方程：通過(guò)在多孔介質(zhì)的表征體元上進(jìn)行平均而得到的不可壓縮非均質(zhì)流體的質(zhì)量守恒方程：運(yùn)動(dòng)方程多孔介質(zhì)中非均質(zhì)流體層流運(yùn)動(dòng)的平均方程：其中運(yùn)動(dòng)方程對(duì)于局部慣性力相對(duì)于粘滯阻力能夠忽略不計(jì)的流動(dòng)而言，有：這樣的運(yùn)動(dòng)稱為蠕動(dòng)，其特點(diǎn)是雷諾數(shù)小。雷諾數(shù)表示慣性力與粘滯阻力之比。彎曲率彎曲率是無(wú)量綱參數(shù)：它把孔隙空間一點(diǎn)上的一微小流體體積所受的任一外驅(qū)動(dòng)力的分量變換成這力在該點(diǎn)流線方向上投影的分量。第一步：將給定的力投影到流線方向第二步：求出投影的分量彎曲率若設(shè)分量和統(tǒng)計(jì)無(wú)關(guān)，則有：是多孔介質(zhì)的一個(gè)非隨機(jī)算子（參數(shù)），他把作用于多孔介質(zhì)一個(gè)物理點(diǎn)上的外力的平均分量變換成這力沿流線方向投影的分量。彎曲率在與共線的特殊情況下，變換只改變的大小：在多孔介質(zhì)中，上式能夠成立的方向叫做變換的主方向。與主方向?qū)?yīng)的和分別稱為變換的特征向量和特征值。如果在一給定點(diǎn)上上式對(duì)于的一切作用方向都成立，就說(shuō)該點(diǎn)的多孔介質(zhì)關(guān)于變換是各向同性的。此時(shí)空間的每個(gè)方向都是主方向。彎曲率和滲透率的關(guān)系系數(shù)叫做介質(zhì)的滲透率。它是介質(zhì)的一種平均性質(zhì)，表示多孔介質(zhì)傳導(dǎo)流體的能力。如果假定管軸上一點(diǎn)的傳導(dǎo)率和該點(diǎn)的流線方向之間不存在相關(guān)性，則與的主方向相同，即：其中（量綱）是介質(zhì)的平均傳導(dǎo)率。彎曲率和其他輸運(yùn)系數(shù)對(duì)于均質(zhì)流體（），有：對(duì)于靜止（）條件下均質(zhì)流體的分子擴(kuò)散：對(duì)于同樣的流體，每單位面積孔隙的平均分子擴(kuò)散通量：采油工程學(xué)中的地層因數(shù)和電阻率指數(shù)地層因數(shù)是（為一種電解溶液所飽和的）多孔介質(zhì)的電阻率（）（即每邊為一個(gè)單位長(zhǎng)度的均勻立方體對(duì)從其一面流入而從對(duì)面流出的一維電流的電阻）與同一種電解溶液的電阻率（）之比：設(shè)一外部尺寸相同的多孔巖石，假定固體部分不導(dǎo)電，則面積中只有一部分面積能通過(guò)電流，且電流流動(dòng)的平均長(zhǎng)度為，則有：采油工程學(xué)中的地層因數(shù)和電阻率指數(shù)如果空隙空間包含有不導(dǎo)電的碳?xì)浠衔锛八?，則能夠使電流通過(guò)的橫截面面積會(huì)更小，同時(shí)路徑的實(shí)際長(zhǎng)度會(huì)變得更大。因此一塊多孔介質(zhì)六面體的電阻為：電阻率指數(shù)定義為：多孔介質(zhì)理想模型模型一：孔隙通道的橫截面面積沿其長(zhǎng)度方向變化，但總面積保持不變，則有：如果碳?xì)浠衔锍涮盍瞬糠挚紫犊臻g，使水的飽和度變?yōu)?，則：多孔介質(zhì)理想模型模型二：該模型中的長(zhǎng)度大于?？紤]到實(shí)際的流動(dòng)方向不同于的方向，則有：當(dāng)介質(zhì)部分為不導(dǎo)電碳?xì)浠衔镲柡蜁r(shí)，有：多孔介質(zhì)理想模型模型三：該模型將會(huì)在第九章中詳細(xì)討論。對(duì)于該模型我們有：第五章均質(zhì)流體的運(yùn)動(dòng)方程本章從1856年Darcy的實(shí)驗(yàn)出發(fā)，在均質(zhì)流體情況下得到流體通過(guò)多孔介質(zhì)運(yùn)動(dòng)的基本方程。本章中的所有變數(shù)和參數(shù)僅對(duì)作為連續(xù)介質(zhì)的多孔介質(zhì)區(qū)域有意義。Darcy實(shí)驗(yàn)定律1956年，Darcy研究了水在直立均勻砂柱中的流。根據(jù)實(shí)驗(yàn)，得到：如果用表示水力梯度，而把比流量定義為與流動(dòng)方向垂直的每單位橫截面積的流量，則：Darcy實(shí)驗(yàn)定律右圖為將Darcy定律推廣到流體通過(guò)均質(zhì)傾斜砂柱的流動(dòng)情形。則有：上式表明，流動(dòng)是從高測(cè)壓水頭向低測(cè)壓水頭，而不是從高壓力向低壓力。上圖表示垂直向下流動(dòng)的幾種情形：

Darcy實(shí)驗(yàn)定律Darcy實(shí)驗(yàn)定律如圖5.1.2所示，流體只能通過(guò)砂柱橫截面積的一部分流動(dòng)，其余部分為多孔介質(zhì)固體骨架所占據(jù)。因?yàn)槠骄婵紫堵实扔隗w孔隙率，所以通過(guò)砂柱的平均速度應(yīng)當(dāng)是：在一種均質(zhì)流體的流動(dòng)中，孔隙空間的部分流體有時(shí)是不動(dòng)的。此時(shí)可以定義一個(gè)關(guān)于通過(guò)介質(zhì)流動(dòng)的有效孔隙率使得：Darcy定律的推廣：各向同性介質(zhì)實(shí)驗(yàn)導(dǎo)出的、適用于均質(zhì)不可壓縮流體的Darcy定律僅限于一維流動(dòng)。對(duì)于三維流動(dòng)，Darcy定律在形式上可推廣為：式中為比流量向量，是水力梯度。當(dāng)流動(dòng)發(fā)生在均質(zhì)各向同性介質(zhì)中時(shí)，是一個(gè)不變的標(biāo)量，因此上式可以寫為三個(gè)方程：Darcy定律的推廣：各向異性介質(zhì)如果某種性質(zhì)與其在介質(zhì)內(nèi)部的位置無(wú)關(guān)，則介質(zhì)關(guān)于該性質(zhì)是均質(zhì)的；反之則說(shuō)介質(zhì)是非均質(zhì)的。如果某種性質(zhì)與其在介質(zhì)內(nèi)部的方向無(wú)關(guān)，則介質(zhì)關(guān)于該性質(zhì)是各向同性的；如果在介質(zhì)內(nèi)部一點(diǎn)上介質(zhì)的某種性質(zhì)，例如滲透性或?qū)嵝噪S方向變化，則在該點(diǎn)介質(zhì)關(guān)于這種性質(zhì)是各向異性的。本書中的各向同性或各向異性皆指滲透性而言。Darcy定律的推廣：各向異性介質(zhì)因?yàn)镈arcy定律表示為比流量分量和水力梯度分量之間的單一線性關(guān)系，因此通過(guò)寫出通量分量和水力梯度分量之間的最一般的線性關(guān)系就能將其推廣到各向異性介質(zhì)：式中是笛卡爾坐標(biāo)。偏離Darcy定律的情形：上限在通過(guò)管道的流動(dòng)中，區(qū)分層流和紊流所采用的準(zhǔn)則是雷諾數(shù)，它為一無(wú)量綱數(shù)，表示慣性力與粘滯力之比。管道中層流和紊流之間的臨界雷諾數(shù)約為2100。對(duì)于多孔介質(zhì)的流動(dòng)，可以將雷諾數(shù)定義為：式中是多孔介質(zhì)的某種長(zhǎng)度尺寸；是流體的運(yùn)動(dòng)粘度。偏離Darcy定律的情形：上限就一切實(shí)際情況而論，只要根據(jù)平均粒徑計(jì)算的雷諾數(shù)不超過(guò)1~10之間的某個(gè)值，Darcy定律就是適用的。通過(guò)進(jìn)一步同管流類比，可以把多孔介質(zhì)中的流動(dòng)表示為摩擦因數(shù)和雷諾數(shù)之間的關(guān)系。Fanning將摩擦因數(shù)定義為：式中為管子的水力半徑。如果將通過(guò)多孔介質(zhì)流動(dòng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果繪成Fanning摩擦系數(shù)和雷諾數(shù)之間的關(guān)系，則得圖5.3.1所示的一條曲線。偏離Darcy定律的情形：上限（a）層流區(qū)：這是低雷諾數(shù)時(shí)的流動(dòng)情形。在此區(qū)內(nèi)粘滯力起主要作用，線性Darcy定律成立。該區(qū)上限的雷諾數(shù)在1~10之間。（b）過(guò)渡區(qū)：在該區(qū)的下部，從粘滯力起主要作用的層流狀態(tài)逐漸變?yōu)閼T性力支配流動(dòng)的另一種層流狀態(tài)。而在該區(qū)的上部流動(dòng)則逐漸變?yōu)槲闪鳌T性力起主要作用的層流區(qū)一般稱為非線性層流區(qū)。（c）紊流區(qū)：當(dāng)很大時(shí)我們就觀測(cè)到紊流區(qū)。偏離Darcy定律的情形：下限某些作者就通過(guò)多孔介質(zhì)的飽和流動(dòng)可應(yīng)用Darcy定律的下限問(wèn)題作了討論。Irmay指出，存在一個(gè)最小梯度或稱初始梯度，如果實(shí)際水力梯度小于，則沒(méi)有流動(dòng)。引用最小梯度的概念，Darcy定律變?yōu)椋浩xDarcy定律的情形：下限Swartzendruber曾對(duì)以前某些研究流體飽和多孔介質(zhì)中非達(dá)西性狀的著作進(jìn)行過(guò)評(píng)論，他根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)提出了如下一維流動(dòng)方程：由上式知在處的斜率為零。他把方程歸因于粘土和水相互作用所招致的非牛頓液體的粘滯性?；鳜F(xiàn)象在以Darcy定律為基礎(chǔ)的層流理論中，我們?cè)俣?，由于流體內(nèi)切應(yīng)力的存在，固體壁面上流體的速度等于零，但在氣流中情況與此相反，因?yàn)闅怏w的分子與固體壁面沒(méi)有密切接觸，氣體在固體壁面上可以具有一定的非零速度。因此，當(dāng)氣體分子的平均自由程接近通道的尺寸時(shí)，界面上的各個(gè)分子都將處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，且貢獻(xiàn)一個(gè)附加通量。這種現(xiàn)象就叫做滑流現(xiàn)象。滑流現(xiàn)象Klinkenberg利用一根玻璃毛細(xì)管作為模型導(dǎo)出如下的氣體滲透率公式：式中是對(duì)氣體的滲透率；是對(duì)液體或高密度氣體的滲透率；是在測(cè)定的平均壓力下氣體分子的平均自由程；是比例系數(shù)；是Klinkenberg模型的毛細(xì)管半徑；是氣體-固體系統(tǒng)的一個(gè)常數(shù)，依賴于氣體分子的平均自由程和多孔介質(zhì)內(nèi)通道開口的尺寸。勢(shì)和偽勢(shì)通過(guò)觀測(cè)流場(chǎng)內(nèi)各點(diǎn)的（測(cè)壓水頭）值，我們可以設(shè)想空間中存在著一些等于常數(shù)的簡(jiǎn)單曲面。為了證實(shí)這些曲面的存在，現(xiàn)考察這樣一個(gè)曲面方程：上式表明這樣一個(gè)事實(shí)：即此曲面上的任何位移向量必定垂直于向量。勢(shì)和偽勢(shì)首先考慮以下述形式表示的曲面的方程：式中是某一向量場(chǎng)。在一定條件下上述方程是可積的。假設(shè)存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，使得：于是將所考慮的曲面方程積分就得到常數(shù)，并且通過(guò)改變常數(shù)的值可得一族這樣的曲面。勢(shì)和偽勢(shì)假設(shè)上面所定義的函數(shù)確實(shí)存在，考慮：如果向量存在，那么從方程可以看出，向量在每一點(diǎn)都與垂直。勢(shì)和偽勢(shì)所以可以求出以積分形式表示的法面方程。標(biāo)量函數(shù)叫做偽勢(shì)。在某些特殊條件下，為常數(shù)且可使其等于-1，此時(shí)的標(biāo)量函數(shù)就叫做向量場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)，而曲面則稱為等勢(shì)面。由此可見，與垂直的曲面的存在條件是。反之，如果方程成立，則垂直于的曲面存在。勢(shì)和偽勢(shì)鑒于上述討論，我們可以將當(dāng)作測(cè)壓水頭，并可以用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)偽勢(shì)來(lái)稱呼。如果用水力傳導(dǎo)系數(shù)代替，則即為比流量，于是：對(duì)于均勻介質(zhì)（），上述方程可寫為：受其控制的流動(dòng)叫做勢(shì)流。此時(shí)可以把看作，并可以用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)偽勢(shì)來(lái)稱呼。無(wú)旋流動(dòng)如果用比流量向量寫出方程，則應(yīng)寫為：式中無(wú)旋流動(dòng)向量叫做旋度向量，滿足方程的流動(dòng)則稱為無(wú)旋流動(dòng)。對(duì)于無(wú)旋流場(chǎng)，由方程得：上式對(duì)流動(dòng)區(qū)域內(nèi)的一切點(diǎn)都成立。值得注意：在二維流動(dòng)中，等勢(shì)面族一定存在，介質(zhì)盡管可能是非均質(zhì)各向同性的，但流線卻處處與等勢(shì)面垂直。無(wú)旋流動(dòng)無(wú)旋流動(dòng)有時(shí)也稱為無(wú)環(huán)量流動(dòng)。環(huán)流量用給定時(shí)刻的切向速度分量關(guān)于任一封閉圍道的線積分定義：式中的正方向相應(yīng)于包圍面積的圍線的逆時(shí)針?lè)较颉Ｈ绻?，則。無(wú)旋流動(dòng)從的事實(shí)得出一個(gè)重要的結(jié)論：在的流動(dòng)區(qū)域里，從一固定點(diǎn)到任意一點(diǎn)，的線積分與連接這些點(diǎn)的路徑無(wú)關(guān)。無(wú)旋向量場(chǎng)可用下述三個(gè)等價(jià)方程刻畫：是一個(gè)標(biāo)量點(diǎn)函數(shù)；，對(duì)于任一閉曲線不包括奇點(diǎn)；，對(duì)于一切點(diǎn)。各向同性介質(zhì)的水力傳導(dǎo)系數(shù)在各向同性介質(zhì)中，利用公式可將水力傳導(dǎo)系數(shù)定義為單位水力梯度的比流量。水力傳導(dǎo)系數(shù)是一個(gè)表示多孔介質(zhì)輸運(yùn)流體能力的標(biāo)量。所以它與流體及骨架的性質(zhì)有關(guān)。相應(yīng)的流體性質(zhì)為密度及粘度或它們的組合形式—運(yùn)動(dòng)粘度；而相應(yīng)的骨架性質(zhì)主要是粒徑（或孔徑）分布、顆粒（或孔隙）、形狀、比表面、彎曲率及孔隙率。各向同性介質(zhì)的水力傳導(dǎo)系數(shù)

從Darcy定律的理論推導(dǎo)或量綱分析可以看出，水力傳導(dǎo)系數(shù)可表示為：式中叫多孔骨架的滲透率或內(nèi)在滲透率，它僅與骨架性質(zhì)有關(guān)；表示流體性質(zhì)的作用。利用上式可將Darcy定律寫成：各向同性介質(zhì)的水力傳導(dǎo)系數(shù)由上式可得：如果，則有對(duì)于水平流動(dòng)，有各向同性介質(zhì)的水力傳導(dǎo)系數(shù)確定滲透率一般有三類公式：第一類公式是純經(jīng)驗(yàn)的。例如公式就是根據(jù)右圖所示的與平均粒徑的關(guān)系得出。第二類公式是從Darcy定律的理論推導(dǎo)得出的純理論公式。該公式中的滲透率與孔隙率、彎曲率及骨架主要通道的傳導(dǎo)率有關(guān)。各向同性介質(zhì)的水力傳導(dǎo)系數(shù)第三類公式是半經(jīng)驗(yàn)公式。它通常是利用某種理想模型進(jìn)行理論分析而導(dǎo)出的與骨架不同參數(shù)的關(guān)系式。但是，對(duì)于每種具體的多孔介質(zhì)或一類相似的多孔介質(zhì)都必須用實(shí)驗(yàn)確定數(shù)字系數(shù)。上述各種公式的普遍形式是其中是一個(gè)表示顆粒（或孔隙）形狀影響的無(wú)量綱參數(shù)；叫做形狀因數(shù)；叫做孔隙率因數(shù)；是顆粒的有效粒徑。各向同性介質(zhì)的水力傳導(dǎo)系數(shù)通常，乘積作為一個(gè)無(wú)量綱系數(shù)出現(xiàn)在和的關(guān)系式中，于是有：當(dāng)在空間上變化，即時(shí)，我們稱多孔介質(zhì)是非均質(zhì)介質(zhì)或非均勻介質(zhì)。如果在飽和流動(dòng)區(qū)域的某點(diǎn)上隨方向變化，我們說(shuō)介質(zhì)在該點(diǎn)是各向異性的。水力傳導(dǎo)系數(shù)的單位與例子實(shí)踐中所使用的水力傳導(dǎo)系數(shù)的單位是各式各樣的。在美國(guó)，水文工作者通常使用兩種單位。一種是實(shí)驗(yàn)室水力傳導(dǎo)系數(shù)單位或稱標(biāo)準(zhǔn)水力傳導(dǎo)系數(shù)單位，定義為：在的水力梯度作用下，華氏的水通過(guò)單位面積的流量即的單位為。另一種是野外水力傳導(dǎo)系數(shù)單位或稱含水層水力傳導(dǎo)系數(shù)單位，定義為：在的水力梯度水力傳導(dǎo)系數(shù)的單位與例子作用下，野外溫度下的水通過(guò)厚1英尺、寬1英里的一個(gè)含水層橫截面積的流量。這樣得到的野外水力傳導(dǎo)系數(shù)單位與實(shí)驗(yàn)室水力傳導(dǎo)系數(shù)單位相同。上述單位之間的換算如下：在米制中，滲透率的單位是或；在英制單位中，單位是。水力傳導(dǎo)系數(shù)的單位與例子采油工程師常用的滲透率單位是達(dá)西。可定義為：因此，如果完全充滿介質(zhì)空隙空間的、粘度為1厘泊的一種單相流體，在每厘米一個(gè)大氣壓力或與此相當(dāng)?shù)乃μ荻茸饔孟峦ㄟ^(guò)橫截面積為的流量為，則我們說(shuō)此介質(zhì)的滲透率為1達(dá)西。水力傳導(dǎo)系數(shù)的單位與例子在達(dá)西的定義式中，。由達(dá)西換算成面積單位的公式是：水力傳導(dǎo)系數(shù)的單位與例子下表列出了水力傳導(dǎo)系數(shù)和滲透率的一些典型數(shù)值：各向異性介質(zhì)的滲透率在各向異性介質(zhì)的一般情況下，比流量和梯度的關(guān)系可寫為如下形式：三維空間中的九個(gè)分量決定著水力傳導(dǎo)系數(shù)張量，通常寫成如下矩陣形式：各向異性介質(zhì)的滲透率因?yàn)槭菍?duì)稱張量，所以只有六個(gè)不同的分量。則方程可以寫成如下矩陣方程：混合分量可解釋為這樣一個(gè)系數(shù)：它乘以水力梯度的分量即為對(duì)方向的比流量的貢獻(xiàn)。而流量則等于所產(chǎn)生的比流量之和。各向異性介質(zhì)的滲透率現(xiàn)在了解一下二秩張量所具有的若干性質(zhì)（a）如果已知張量在坐標(biāo)系中的分量，則可利用坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)從坐標(biāo)系求出它在坐標(biāo)系中的分量式中是坐標(biāo)軸和之間的方向余弦：。事實(shí)上，要證明某個(gè)量是二秩張量，必須證明其分量變換服從上式。各向異性介質(zhì)的滲透率（b）證明某個(gè)量是二秩張量的另一種方法是證明它服從如下的商定律：即如果是九個(gè)量，而和是向量（分別具有分量和），滿足所有與諸完全無(wú)關(guān)的條件，且，則這些就是二秩張量的分量。（c）如果表示由二秩張量的九個(gè)分量所組成的階矩陣的行列式，那么當(dāng)時(shí)，可以利用下述公式來(lái)求的逆張量或各向異性介質(zhì)的滲透率共軛張量的分量：式中的余子式就是從中刪去第行和第列，并在此行列式之前冠以符號(hào)所得到的行列式。設(shè)空間中存在著張量及單位向量，它們的分量依次為和。如果伴隨向量與各向異性介質(zhì)的滲透率

平行，則單位向量的方向稱為張量的主方向。而且，對(duì)于對(duì)稱張量的主方向，有關(guān)系式或上述關(guān)系式代表由三個(gè)線性齊次方程構(gòu)成的方程組，其中的未知數(shù)是單位向量的分量。由于平凡解與條件不相容，故方各向異性介質(zhì)的滲透率程的系數(shù)行列式必為零。如果用典型元素表示此行列式，則。展開得到一個(gè)關(guān)于的三次方程：此方程稱為對(duì)稱張量的特征方程。方程中的是與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)的標(biāo)量，稱為對(duì)稱張量的基本不變量：矩陣的主對(duì)角線元素之和的跡；這些元素的余子式之和；各向異性介質(zhì)的滲透率

矩陣的行列式。特征方程的根稱為對(duì)稱張量的主值（特征值或本征值）。我們可以使它們中的每一個(gè)分別聯(lián)系著單位向量中的一個(gè)。只要是相異根，這些單位向量就是相互正交的。它們分別表示與主值對(duì)應(yīng)的三個(gè)主方向。具有三個(gè)不同的主值和對(duì)各向異性介質(zhì)的滲透率應(yīng)的三個(gè)相互正交的主方向的張量其分量能寫成如下形式：如果利用作為正交坐標(biāo)系的基向量，而在此坐標(biāo)系中張量的分量為則得因此張量矩陣具有對(duì)角線形式：各向異性介質(zhì)的滲透率用這種形式表示的張量叫做對(duì)角線張量。反過(guò)來(lái)，如果對(duì)于三個(gè)相互正交的坐標(biāo)軸，張量的矩陣具有對(duì)角線形式，則這三個(gè)坐標(biāo)軸就稱為二秩對(duì)稱張量的主軸。如果，則矩陣具有上述對(duì)角線形式，且。然而，一旦軸被給定在方向，此種對(duì)角線形式就與及軸的選擇無(wú)關(guān)。各向異性介質(zhì)的滲透率如果所有的三個(gè)主值都相等，則由的線性組合所得出的任何單位向量均表示主方向。換句話說(shuō)，空間的任何方向都是主方向，任何直角坐標(biāo)系都是主軸坐標(biāo)系。因此，當(dāng)時(shí)，張量變?yōu)楦飨虍愋越橘|(zhì)的滲透率（d）如果給定張量在坐標(biāo)系中的分量，則總能找到三個(gè)主方向使得張量（分量為）在此坐標(biāo)系中，具有對(duì)角線形式，即當(dāng)時(shí)，。事實(shí)上，利用此條件及性質(zhì)（a），能夠得出與的關(guān)系式。對(duì)于二維情況，有：各向異性介質(zhì)的滲透率式中是軸與的夾角。易證，存在著兩個(gè)彼此相差的角，使得。這兩個(gè)角是方程的解。通過(guò)微分即可看出，在這兩個(gè)方向中，一個(gè)方向的具有最大值，另一個(gè)方向的具有最小值。根據(jù)定義，這兩個(gè)方向就是主方向，而這兩個(gè)方向的和即為張量的主值：各向異性介質(zhì)的滲透率（e）如果給定上式所定義的張量的主軸則該張量在另一個(gè)與坐標(biāo)系成角的坐標(biāo)系中的分量可表示為：各向異性介質(zhì)的滲透率（f）圖解表示這些關(guān)系式的最簡(jiǎn)便方法是利用Mohr（莫爾）圓（圖5.6.1）顯然，作上述簡(jiǎn)單說(shuō)明的目的在于將整個(gè)討論應(yīng)用于二秩張量及。和之間的關(guān)系也可以用水力阻率張量來(lái)表示。水力阻率張量是二秩對(duì)稱張量，它是的共軛張量，一般記為。因?yàn)?，故利用性質(zhì)（c）可以從的九個(gè)分量求出水各向異性介質(zhì)的滲透率力阻率的九個(gè)分量，即為：當(dāng)為主方向時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，從而如果采用，則和之間的關(guān)系式變?yōu)椋焊飨虍愋越橘|(zhì)的滲透率因?yàn)樗鲗?dǎo)系數(shù)是二秩張量，故性質(zhì)（a）表示把一個(gè)坐標(biāo)系（）中的變換成另一個(gè)坐標(biāo)系（）中的。如果坐標(biāo)軸與水力傳導(dǎo)系數(shù)的主軸一致，則：對(duì)于二維情形（如），有各向異性介質(zhì)的滲透率方向和以及角示于圖5.6.1a中。如果和是水力傳導(dǎo)系數(shù)的正交主方向，因而，此時(shí)有：如果是主方向，則有：各向異性介質(zhì)的滲透率圖5.6.1b表示，已知分量，且為主方向時(shí)，怎么利用Mohr圓求任一坐標(biāo)系中的水力傳導(dǎo)系數(shù)。圖5.6.1c表示，已知任一坐標(biāo)系中的水力傳導(dǎo)系數(shù)時(shí)，怎么利用Mohr圓求主方向及主方向水力傳導(dǎo)系數(shù)。圖5.6.1d表示，怎么把一個(gè)坐標(biāo)系中的變換到與之成角的另一個(gè)坐標(biāo)系中。各向異性介質(zhì)的滲透率在某些多孔介質(zhì)中，兩個(gè)主方向的導(dǎo)水系數(shù)是相等的，例如，這里用一個(gè)下標(biāo)表示是主方向。此時(shí)，平面上的任一方向均為主方向。這種介質(zhì)稱為橫向各向異性，也可稱軸對(duì)稱各向異性介質(zhì)。由滲透率不同的許多薄層所組成的介質(zhì)顯示此種性質(zhì)。一旦確定了主值和主軸（如）向量和的分量之間的關(guān)系即可表示為：方向滲透率由公式可以看出，在各向異性介質(zhì)中，除了主軸方向以外，向量和是不共線的。這意味著流線的方向與等勢(shì)線的法線方向并不一致。向量和之間的角度可表示為：當(dāng)為水力傳導(dǎo)系數(shù)的主方向時(shí)，有：方向滲透率現(xiàn)考慮下述兩種情形：第一種情形沿流動(dòng)方向的方向水力傳導(dǎo)系數(shù)。按照Darcy定律定義各向同性介質(zhì)水力傳導(dǎo)系數(shù)的方法，把各向異性介質(zhì)中一點(diǎn)的水力傳導(dǎo)系數(shù)定義為該點(diǎn)的比流量和梯度沿方向的分量之間的比值。這樣定義的導(dǎo)水系數(shù)稱為沿流動(dòng)方向的方向水力傳導(dǎo)系數(shù)。如果只考慮介質(zhì)的性質(zhì)，則定義的是方向滲透率。若用表示方向水力傳導(dǎo)系數(shù)，則可方向滲透率以寫成（圖5.6.2a）：假定分別表示的方向和三個(gè)主軸之間的角度，則有：綜上，得到：方向滲透率在坐標(biāo)系中，與共線的向徑具有分量。因此，上式可變?yōu)椋貉刂姆较虍嬕婚L(zhǎng)度為的線段，則有：這是在坐標(biāo)系中橢球的標(biāo)準(zhǔn)方程（圖5.6.2b）方向滲透率沿著方向該橢圓的半軸分別為在二維情況下，得到如圖5.6.2c所示的橢圓：。因此，橢球（在二維情況下為橢圓）能給出沿流動(dòng)方向的方向滲透率。第二種情形沿梯度方向的方向水力傳導(dǎo)系數(shù)。假定已知水力梯度的方向?？蓪⑺鲗?dǎo)系數(shù)定義為比流量沿梯度方向的分量與梯度本身之比。這樣定義的水力傳導(dǎo)系數(shù)叫做沿著梯度方向的水力傳導(dǎo)系數(shù)（）。方向滲透率因此，有：且式中分別是的方向和坐標(biāo)軸之間的角度。綜上，得到：當(dāng)向徑具有分量時(shí)，上式變?yōu)椋悍较驖B透率沿的方向畫一長(zhǎng)度為的線段，就得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的橢球方程：在二維空間里，方程為因此有圖5.6.2d所示的橢圓。方向滲透率因此，關(guān)于方向?qū)禂?shù)我們有兩個(gè)定義。它們彼此不同，且不能互換。在已知的介質(zhì)中，當(dāng)給定了比流量的方向時(shí)，沿該方向的方向傳導(dǎo)系數(shù)用第一種情形的公式確定；如果給定了，則沿著方向的方向水力傳導(dǎo)系數(shù)用第二種情形的公式確定。上面所考慮的兩種情形可以用下述方法合并起來(lái)。考慮方向，與坐標(biāo)軸的夾角為。和的方向分別由夾角方向滲透率和所定義。對(duì)于二維流動(dòng)，此情況示于圖5.6.2e。此時(shí)有：

式中是和之間的角度。因?yàn)楣?/p>

這是用以及和的方向表示的沿方向滲透率流動(dòng)方向的。在二維流動(dòng)中（圖5.6.2e）有上面的第一種情形相當(dāng)于；而第二種情形相當(dāng)于。由于，此處是的方向和的方向之間的角度，所以有：這是用以及和的方向表示的。水力傳導(dǎo)系數(shù)的測(cè)量方法事實(shí)上，Darcy定律和描述物理現(xiàn)象的其他任何定律一樣，倘若不能測(cè)量出現(xiàn)在其中的系數(shù)的數(shù)值，這些定律就毫無(wú)意義。在Darcy定律中，要測(cè)量的系數(shù)是多孔介質(zhì)的水力傳導(dǎo)系數(shù)或滲透率。在野外或在實(shí)驗(yàn)室里，實(shí)驗(yàn)測(cè)量這些宏觀參數(shù)的基本步驟如下：（a）首先假定一種流動(dòng)模式（包括幾何形狀、邊界條件等），該流動(dòng)模式的解析解能夠?qū)鲗?dǎo)系數(shù)的測(cè)量方法出，并且能在野外或室內(nèi)試驗(yàn)中構(gòu)造此種流動(dòng)模式。所建立的數(shù)學(xué)解應(yīng)當(dāng)表示出因變數(shù)（通常是水頭，壓力、速度、流量等），自變數(shù)（時(shí)間和空間位置）及各種系數(shù)（流體的和介質(zhì)的）的關(guān)系。（b）進(jìn)行試驗(yàn)，重現(xiàn)所選擇的流動(dòng)模式，并測(cè)量包含在解析解中全部可測(cè)的量。（c）將測(cè)得的量帶入解析解計(jì)算各種系數(shù)。水力傳導(dǎo)系數(shù)的測(cè)量方法利用野外方法和實(shí)驗(yàn)室方法均能測(cè)量水力傳導(dǎo)系數(shù)。在野外常用井孔抽水試驗(yàn)確定含水層的貯水系數(shù)及導(dǎo)水系數(shù)（KD）。當(dāng)含水層的厚度（D）已知時(shí)，從這些實(shí)驗(yàn)還能得到水力傳導(dǎo)系數(shù)K。在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)，采用一種稱為滲透儀的儀器測(cè)量水力傳導(dǎo)系數(shù)或滲透率。在滲透儀中，經(jīng)過(guò)圓柱狀多孔介質(zhì)試樣的流動(dòng)是穩(wěn)定的一維流動(dòng)或非穩(wěn)定的一維流動(dòng)。除了使用特殊技術(shù)及專門儀器才能獲得水力傳導(dǎo)系數(shù)的測(cè)量方法原試樣外，試樣一般是擾動(dòng)的。對(duì)于未固結(jié)的多孔介質(zhì)采集原狀試樣極為困難。為了避免堵塞，應(yīng)將試樣脫氣消毒（例如加入甲醛），并在隔離空氣進(jìn)入試樣的條件下，用無(wú)細(xì)菌生長(zhǎng)的過(guò)濾水（特別是在長(zhǎng)時(shí)間的試驗(yàn)中）或清潔的過(guò)濾水進(jìn)行試驗(yàn)。定水頭滲透儀測(cè)量水力傳導(dǎo)系數(shù)最常用的儀器是定水頭滲透儀。此種儀器中的流動(dòng)是穩(wěn)定一維流動(dòng)。一般是將長(zhǎng)度為、橫截面面積為的圓柱狀多孔介質(zhì)試樣放置在兩多孔薄板之間（圖5.7.1）。多孔薄板對(duì)流動(dòng)幾乎不產(chǎn)生阻力。由于施加在試樣兩端的水頭差保持不變，故形成的是流量為的穩(wěn)定流動(dòng)。定水頭滲透儀如果采用不可壓縮液體，則可用Darcy定律計(jì)算水力傳導(dǎo)系數(shù)和滲透率：為了獲得較為可靠的結(jié)果，應(yīng)在不同的值下進(jìn)行幾次試驗(yàn)。如果采用氣體測(cè)定滲透率，則必須考慮氣體的壓縮性和Klinkenberg效應(yīng)。利用一維氣體流動(dòng)方程或一維運(yùn)動(dòng)方程：的解可以確定理想氣體的氣體滲透率。定水頭滲透儀上式中是沿方向氣體的質(zhì)量通量；為氣體的粘度，是試樣的橫截面面積。將上式從到進(jìn)行積分，得到：式中。若要根據(jù)求液體的滲透率，可將和與對(duì)應(yīng)的代入方程：降水頭滲透儀在希望采用高水頭的情況下可以使用此種儀器。該儀器在試驗(yàn)期間的水頭和流量都是變化的。用圖5.7.2所示的符號(hào)，則有：降水頭滲透儀另一種變水頭滲透儀如圖5.7.3所示。此種儀器稱為無(wú)流量滲透儀，它特別適用于低水頭下的非固結(jié)介質(zhì)。水力傳導(dǎo)系數(shù)根據(jù)以下公式計(jì)算：各向異性介質(zhì)水力傳導(dǎo)系數(shù)的測(cè)量方法水力傳導(dǎo)系數(shù)張量包含六個(gè)不同的分量。所以，需要進(jìn)行六次獨(dú)立的實(shí)驗(yàn)才能確定它們。如果已知三個(gè)主軸，則只需要三次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)。在軸對(duì)稱各向異性及給定了主方向的情況下只需要進(jìn)行兩次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)就能測(cè)得兩個(gè)主水力傳導(dǎo)系數(shù)。例如，在后一種情況下，可以沿著巖芯軸線（假定是主軸方向）截取幾個(gè)小的圓柱狀試樣，并用一維流動(dòng)實(shí)驗(yàn)測(cè)量它們的滲透率。各向異性介質(zhì)水力傳導(dǎo)系數(shù)的測(cè)量方法然后在試樣的斷面上采用橫向流動(dòng)進(jìn)行另一次實(shí)驗(yàn)。一種能夠形成與試樣軸線垂直的穩(wěn)定平面氣流的裝置如圖5.7.4所示。實(shí)驗(yàn)中采用壓縮空氣是為了防止在試樣周圍產(chǎn)生旁流。層狀多孔介質(zhì)：垂直和平行介

質(zhì)層面的流動(dòng)構(gòu)成含水層和儲(chǔ)油層的多孔介質(zhì)，滲透性幾乎都是不均勻的。然而，當(dāng)?shù)貙佑蓾B透率不同的若干薄層組成時(shí)，對(duì)于某些簡(jiǎn)單的流動(dòng)情形可以計(jì)算這種地層的平均滲透率。在本節(jié)中，只考慮均質(zhì)液體的流動(dòng)，所以采用地層的水力傳導(dǎo)系數(shù)，而不用滲透率?，F(xiàn)考慮均質(zhì)流體（）平行于個(gè)地層的流動(dòng)（圖5.8.1）。層狀多孔介質(zhì)：垂直和平行介

質(zhì)層面的流動(dòng)當(dāng)流動(dòng)區(qū)域的邊界上（譬如說(shuō)點(diǎn)（1）及點(diǎn)（2））存在著與地層相垂直的等勢(shì)邊界條件時(shí)，地層中發(fā)生的是平行于層面的流動(dòng)。假設(shè)分別表示第層的水力傳導(dǎo)系數(shù)、厚度和單寬流量。如果用Darcy定律寫出每一層的流量，則總流量應(yīng)層狀多孔介質(zhì)：垂直和平行介

質(zhì)層面的流動(dòng)當(dāng)?shù)扔诟鲗恿髁恐停阂驗(yàn)樘荻仍诟鲗又斜３譃槌?shù)（即等勢(shì)面處處與層面垂直），所以有：式中是第層的導(dǎo)水系數(shù)。層狀多孔介質(zhì)：垂直和平行介

質(zhì)層面的流動(dòng)如果假定存在一個(gè)等效的水力傳導(dǎo)系數(shù)（這里上標(biāo)表示該系數(shù)是與層面平行流動(dòng)的等效水力傳導(dǎo)系數(shù)），使得在同樣的水力梯度（）作用下，通過(guò)相同厚度的含水層（）傳導(dǎo)相同的流量（），那么比較上述兩個(gè)方程，得到：層狀多孔介質(zhì)：垂直和平行介

質(zhì)層面的流動(dòng)如果用一種水力傳導(dǎo)系數(shù)沿垂直方向連續(xù)變化的地層代替上面的地層，則通過(guò)厚度為，且與層面平行流動(dòng)的總流量應(yīng)當(dāng)是：因此，層狀多孔介質(zhì)：垂直和平行介

質(zhì)層面的流動(dòng)作為第二種簡(jiǎn)單情況，考慮垂直于層面方向的流動(dòng)（圖5.8.2）。此時(shí)流量保持不變，而水頭的總降落等于各層水頭降落之和：因此層狀多孔介質(zhì)：垂直和平行介

質(zhì)層面的流動(dòng)此外，如果假定存在一個(gè)等效的水力傳導(dǎo)系數(shù)，使得通過(guò)長(zhǎng)度為的地層傳導(dǎo)相同的流量，那么：因此應(yīng)該注意的是，如果有一個(gè)為零，則也就是說(shuō)整個(gè)地層系統(tǒng)將變成不透水的。然而，由上述方程能夠不用各層的和而用各層的阻力或最大一層的阻力來(lái)確定流動(dòng)。層狀多孔介質(zhì)：垂直和平行介

質(zhì)層面的流動(dòng)如果用一種水力傳導(dǎo)系數(shù)水平方向連續(xù)變化的地層代替上面的地層系統(tǒng)，則容易證明：假如將Darcy定律寫成如下形式：則對(duì)于平行于層面的流動(dòng)，有層狀多孔介質(zhì)：垂直和平行介

質(zhì)層面的流動(dòng)對(duì)于垂直于層面的流動(dòng)，有在上述方程中，是長(zhǎng)度為（沿著流動(dòng)方向）橫截面面積為的多孔介質(zhì)塊對(duì)流動(dòng)的阻力。有時(shí)候，當(dāng)流體從一層進(jìn)入滲透性較大的另一層時(shí)，會(huì)形成一個(gè)負(fù)壓力區(qū)（圖5.8.2c）。如果負(fù)壓力不是太高且沒(méi)有空氣進(jìn)入多孔介質(zhì)，則流動(dòng)仍然可以是飽和流動(dòng)。任意定向流動(dòng)的等效水力傳導(dǎo)系數(shù)本節(jié)的分析是基于第七章關(guān)于流線在水力傳導(dǎo)系數(shù)不連續(xù)平面上折射的討論。如圖5.8.3所示，現(xiàn)考察水力傳導(dǎo)系數(shù)為，厚度為的一系列平行均質(zhì)各向同性地層。在不同水力傳導(dǎo)系數(shù)的每個(gè)界面上，有：該公式不要求各層厚度相等。由上圖可以看出任意定向流動(dòng)的等效水力傳導(dǎo)系數(shù)在第層中兩條流線之間的流量可表示為綜上得因此通過(guò)層的水頭總損失是：任意定向流動(dòng)的等效水力傳導(dǎo)系數(shù)對(duì)于等效水力傳導(dǎo)系數(shù)為的系統(tǒng)，有：將上兩式進(jìn)行比較，得到：任意定向流動(dòng)的等效水力傳導(dǎo)系數(shù)上述方程就是所要尋找的等效水力傳導(dǎo)系數(shù)的表達(dá)式。因?yàn)榍夜蕩氲刃鲗?dǎo)系數(shù)的表達(dá)式中，消去未知角，得到：作為等效各向異性介質(zhì)的層狀介質(zhì)按照Vreedenbnrgh和Maasland對(duì)兩層系統(tǒng)的研究，Marcus和Evenson推導(dǎo)了等效水力傳導(dǎo)系數(shù)之間的關(guān)系式。由圖5.8.3以及上述方程可得：即：作為等效各向異性介質(zhì)的層狀介質(zhì)已知所以即有：作為等效各向異性介質(zhì)的層狀介質(zhì)假如使，則最后這個(gè)方程在形式上與對(duì)二維流動(dòng)寫出的方程完全相同，不過(guò)在這里它表示沿著角所給定的比流量方向的方向水力傳導(dǎo)系數(shù)。這說(shuō)明層狀土的宏觀性狀即平均性狀相當(dāng)于主水力傳導(dǎo)系數(shù)為和的各向異性土壤。但是，為使此結(jié)論成立，必須要求各層的厚度較之流動(dòng)區(qū)域的整體尺寸小得多。否則，一點(diǎn)的平均的或等價(jià)的水力傳導(dǎo)系數(shù)的概念就毫無(wú)意義。作為等效各向異性介質(zhì)的層狀介質(zhì)所以，如果考慮圖5.8.3所示的一般情形（即底層的任意組合），則在介質(zhì)的各點(diǎn)不同，因而對(duì)于給定方向的在介質(zhì)的各點(diǎn)上也將變化。此時(shí)所得到的是一種等效的非均質(zhì)各向異性介質(zhì)。當(dāng)?shù)貙右缘男问浇惶娼M合時(shí)，所得到的介質(zhì)就其宏觀性狀而言屬于均質(zhì)各向異性介質(zhì)。（圖5.8.4）Girinskii勢(shì)前面曾指出，只有對(duì)于均質(zhì)各向同性介質(zhì)才能應(yīng)用比流量勢(shì)，使得。Girinskii曾引用另一個(gè)所謂的Girinskii勢(shì)它 僅適用于的水平層狀地層，且通過(guò)取它的導(dǎo)數(shù)可得比流量。Girinskii定義潛水含水層的勢(shì)為：Girinskii勢(shì)利用Leibnitz微分規(guī)則，得到：類似地可得。因此上述方程所定義的Girinskii勢(shì)是當(dāng)流動(dòng)基本上是水平流動(dòng)時(shí)對(duì)于層狀潛水含水層的一種比流量勢(shì)。Girinskii勢(shì)對(duì)于的特殊情況（即均質(zhì)含水層），應(yīng)當(dāng)是。在此情況下的連續(xù)性方程是，這意味著在平面上是關(guān)于位置的調(diào)和函數(shù)。Girinskii還將他的勢(shì)推廣到厚度保持不變，且流動(dòng)為水平流動(dòng)的水平層狀承壓含水層，有可壓縮流體在前面的章節(jié)中，均質(zhì)不可壓縮流體的運(yùn)動(dòng)方程是用測(cè)壓水頭（每單位重量液體的壓能和勢(shì)能之和）來(lái)表示的。Hubbert通過(guò)引入勢(shì)將測(cè)壓水頭的概念推廣到包括的可壓縮流體。這樣，對(duì)應(yīng)于各向同性介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)方程即變?yōu)椋嚎蓧嚎s流體Hubbert首先將流體的勢(shì)定義為單位質(zhì)量的機(jī)械能，然后根據(jù)下述事實(shí)導(dǎo)出勢(shì)的定義方程：即機(jī)械能是一個(gè)相對(duì)量，其大小可以用單位質(zhì)量流體從壓力為，標(biāo)高為，密度為，速度為的某個(gè)初始（參考）狀態(tài)變化為某個(gè)最終狀態(tài)所作功的大小來(lái)度量。所以，在一給定點(diǎn)上，流體的勢(shì)就等于把單位質(zhì)量流體從一個(gè)任意選定的參考狀態(tài)變化為所考慮的最終狀態(tài)所作的功?？蓧嚎s流體在取作為初始狀態(tài)的情況下，Hubbert計(jì)算了單位質(zhì)量流體從這個(gè)參考狀態(tài)變到任一個(gè)用表示的狀態(tài)所做功的大小，得到的結(jié)果是：對(duì)于不可壓縮流體有：對(duì)于可壓縮流體有：可壓縮流體對(duì)于可壓縮流體得到的方程乃是勢(shì)的最普遍形式。要是此方程所定義的勢(shì)唯一，必須規(guī)定流體的密度僅為壓力的函數(shù)這個(gè)條件。一般來(lái)說(shuō)，液體滿足這個(gè)條件，而氣體僅在等溫和絕熱情況下才滿足此條件。可壓縮流體的勢(shì)和不可壓縮流體的勢(shì)的主要區(qū)別在于，對(duì)可壓縮流體必須另外作功才能把流體從初始狀態(tài)的體積壓縮為最終狀態(tài)的體積。可壓縮流體Hubbert還考慮了作用在多孔介質(zhì)中單位質(zhì)量流體液體上的驅(qū)動(dòng)力。總驅(qū)動(dòng)力作用于包括在多孔介質(zhì)區(qū)域中的流體體積元素上，它等于壓力所產(chǎn)生的凈力與重力所產(chǎn)生的體積力之和。圖5.9.1表示在流動(dòng)區(qū)域的點(diǎn)上作用于密度為的流體質(zhì)點(diǎn)的那些力：其中代表壓力所產(chǎn)生的每單位質(zhì)量的力；（向量，正方向向下）代表由重力所產(chǎn)生的每單位質(zhì)量的力?？蓧嚎s流體將這兩種力相加，得到：如果假定比流量與上式所表示的力成正比，且指向的方向，則有：一個(gè)問(wèn)題是這樣的流場(chǎng)是否為一勢(shì)場(chǎng)，如果是勢(shì)場(chǎng)，則通過(guò)求某個(gè)標(biāo)量的勢(shì)函數(shù)的梯度就可以得到比流量。判斷上式中的是否具有勢(shì)的準(zhǔn)則就是要判別流場(chǎng)是否為無(wú)旋場(chǎng)。可壓縮流體這意味著需要。即：這是兩個(gè)向量的叉積。因此，要使，必須（a），這是壓力不變的情況；（b），這相當(dāng)于的情況；（c）兩向量共線，即等密度與等壓面重合的情況。第三種情況對(duì)應(yīng)的是僅為的函數(shù)這種情況。由此可斷定，僅當(dāng)時(shí)才有勢(shì)場(chǎng)，即無(wú)旋流場(chǎng)。Darcy定律的推導(dǎo)在前面，我們已經(jīng)根據(jù)直立均質(zhì)砂柱中的穩(wěn)定流動(dòng)實(shí)驗(yàn)介紹了Darcy實(shí)驗(yàn)定律。此定定律的各種推廣最初是直接從形式上得到的，后來(lái)通過(guò)大量有計(jì)劃的實(shí)驗(yàn)及在預(yù)測(cè)各種實(shí)際流動(dòng)問(wèn)題中的成功應(yīng)用而得到證實(shí)。雖然如此，人們還是試圖從流體動(dòng)力學(xué)的基本原理出發(fā)來(lái)推導(dǎo)Darcy定律。本節(jié)簡(jiǎn)要介紹利用理想模型推導(dǎo)飽和流動(dòng)Darcy定律的幾個(gè)例子。毛細(xì)管模型推導(dǎo)Darcy定律最簡(jiǎn)單的模型是用毛細(xì)管按照這種或那種方式排列而成的模型。所有這樣的模型都是以控制穩(wěn)定流動(dòng)的Hagen-Poisseuille定律為依據(jù)的。假設(shè)有一根直徑為、定向?yàn)榈闹眻A形毛細(xì)管，則Hagen-Poisseuille定律可表示為：，式中是沿著毛細(xì)管測(cè)量的長(zhǎng)度，是總流量，是管中平均速度。毛細(xì)管模型在上述方程中，類似于介質(zhì)的滲透率。顯然，基于Hagen-Poisseuille定律的任何推導(dǎo)方法最終都將導(dǎo)致速度和測(cè)壓水頭梯度之間的線性關(guān)系。各種模型之間的差別僅在于它們所得到的表示和介質(zhì)性質(zhì)的關(guān)系式不同而已。圖5.10.1a表示一組埋置于固體之中的，直徑均為的平行毛細(xì)管。如果與流動(dòng)方向相垂直的每單位橫截面面積上有根這樣的毛毛細(xì)管模型細(xì)管，則通過(guò)該多孔介質(zhì)塊的比流量是：毛細(xì)管模型由于該模型的孔隙率（）可表示為所以有上式可得：此式也類似于Darcy定律，其中與及二者有關(guān)。顯然，在這里像在所有其他模型中一樣，就實(shí)際多孔介質(zhì)而言，數(shù)字系數(shù)沒(méi)有什么意義，一般可以用某個(gè)必須用實(shí)驗(yàn)方法才能確定的系數(shù)來(lái)代替。一些作者建議用另一個(gè)表示彎曲度的系數(shù)代替該系數(shù)。毛細(xì)管模型為了使模型更加接近實(shí)際多孔介質(zhì)，假設(shè)毛細(xì)管具有不均一的直徑。此時(shí)有：式中是介質(zhì)的每單位橫截面面積上直徑為的毛細(xì)管個(gè)數(shù)。毛細(xì)管模型上述兩種