高中數(shù)學(xué)人教A版3第二章隨機變量及其分布單元測試 獲獎作品

2.3第二課時離散型隨機變量的方差一、課前準備1．課時目標(1)理解離散型隨機變量的方差的定義；(2)能熟練應(yīng)用離散型隨機變量的方差公式求方差；(3)能熟練應(yīng)用二項分布、兩點分布、超幾何分布的方差公式求方差.2．基礎(chǔ)預(yù)探1．設(shè)離散型隨機變量X的分布列為X……P……則描述了相對于均值EX的偏離程度，而________。為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機變量X與其均值EX的平均偏離程度.我們稱DX為隨機變量X的方差.其算術(shù)平方根為隨機變量X的標準差，記作_______.2.兩點分布：若X服從兩點分布，則_______.3.二項分布：若，則__________.二、學(xué)習引領(lǐng)1.隨機變量方差的意義①隨機變量X的方差與標準差都反映了隨機變量ξ取值相對于它的均值EX的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度.②DX越小，穩(wěn)定性越高，波動越小.③顯然DX≥0，且標準差與隨機變量本身有相同單位.④由方差的定義可知，計算方差DX必須先求均值E(X)，并且由此定義進一步可得到公式..2.隨機變量的方差與樣本方差的關(guān)系隨機變量的方差即為總體方差，它是一個常數(shù)，不隨著抽樣樣本而客觀存在；樣本方差則是隨機變量，它是隨樣本不同而變化的.對于簡單隨機樣本，隨著樣本容易的增加，樣本方差越來越接近于總體方差.3.求隨機變量的方差的步驟①分析試驗的特點，若為兩點分布、二項分布，則直接套用公式；②否則，根據(jù)題意設(shè)出隨機變量，分析隨機變量的取值；③列出分布列；④利用離散型隨機變量的均值公式求得均值；⑤利用離散型隨機變量的方差公式求得方差。三、典例導(dǎo)析題型一一般離散型隨機變量方差的計算例1兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量X1和X2．根據(jù)市場分析，X1和X2的分布列分別為X15％10％P0.80.2X22％8％12％P0.20.50.3在兩個項目上各投資100萬元，Y1和Y2分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，求方差，.思路導(dǎo)析：根據(jù)分布列先求出兩個隨機變量的均值，在此基礎(chǔ)上再求得其方差。解：由題設(shè)可知和的分布列分別為Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3，，，．方法規(guī)律：求一般的離散型隨機變量的方差，需先列出分布列，求出期望，然后才能利用定義求方差．變式訓(xùn)練：已知隨機變量X的分布列為下表所示：X135P0.40.1則X的標準差為（）.A.3.56B.C.3.2D.題型二二項分布的方差例2某陶瓷廠準備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品，制作過程必須先后經(jīng)過兩次燒制，當?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M入第二次燒制，兩次燒制過程相互獨立．根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平，經(jīng)過第一次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為，，，經(jīng)過第二次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為，，，若經(jīng)過前后兩次燒制后，合格工藝品的個數(shù)為X，求隨機變量X的期望與方差．思路導(dǎo)析：本題中合格工藝品的個數(shù)為X顯然服從二項分布，因此，可套用相關(guān)公式求解。解：因為每件工藝品經(jīng)過兩次燒制后合格的概率均為，所以，故方法規(guī)律：若給出的問題為二項分布、二點分布的期望、方差的計算問題，可直接套用公式求解，從而回避復(fù)雜的運算．變式訓(xùn)練：甲、乙兩隊參加奧運知識競賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，答錯得零分．假設(shè)甲隊中每人答對的概率均為，乙隊中3人答對的概率分別為，且各人回答正確與否相互之間沒有影響．用X表示甲隊的總得分．求隨機變量X的數(shù)學(xué)期望和方差．題型三方差的實際應(yīng)用問題例3甲、乙兩個建材廠，都想投標參加某重點建設(shè)，為了對重點建設(shè)負責，政府到兩建材廠抽樣檢查，他們從中各取等量的樣品檢查，得到它們的抗拉強度指數(shù)如下：X1101201251301350.10.20.40.10.2Y1001151251301450.10.20.40.10.2其中X和Y分別表示甲、乙兩廠材料的抗拉強度，在使用時要求抗拉強度不低于120的條件下，問甲、乙兩廠的材料哪一種穩(wěn)定性較好？思路導(dǎo)析：通過分布列分別求出兩個隨機變量的期望和方差，從而可以比較他們的平均水平及材料關(guān)于平均水平的穩(wěn)定性。解：首先看兩廠材料的抗拉強度的期望，然后再比較它們的方差．因為，又因為，，由可知，甲、乙兩廠材料的平均抗拉強度是相等的，且不低于120，但，即乙廠材料的抗拉強度指標與其均值偏差較大．故甲廠的材料穩(wěn)定性好．方法規(guī)律：方差反映了離散型隨機變量取值的集中與離散、波動與穩(wěn)定的程度，在實際問題中有非常重要的比較價值，若兩個隨機變量的期望相同，難以判斷產(chǎn)品質(zhì)量或技術(shù)水平的高低等問題時，可考慮再用方差值來進一步判斷．四、隨堂練習1.任意確定四個日期，設(shè)X表示取到四個日期中星期天的個數(shù)，則D(X)等于（）．A．B．C．D．2．設(shè)一隨機試驗的結(jié)果只有兩種：發(fā)生和不發(fā)生，其發(fā)生的概率為，令隨機變量，則的方差等于（）．A．B．2(1-)C．(-1)D．（1-）3．已知的分布列為-101P則在下列式子中：①，②，③，正確的有（）．A．0個B．1個C．2個D．3個4．設(shè)隨機變量服從二項分布，即；=．5.從1，2，3，4，5中任取2個不同數(shù)作和，如果和為偶數(shù)得2分，和為奇數(shù)得1分，若表示取出后的得分，則．6．編號為1，2，3的3位同學(xué)隨意入座編號為1，2，3的三個座位，每位同學(xué)坐一個座位，設(shè)與座位編號相同的學(xué)生個數(shù)是，求，．五、課后作業(yè)1.已知，且，則等于（）．A．3B．10C．D．202．甲、乙兩名作者，在同樣的條件下向某報社投稿，假設(shè)他們每周投稿的數(shù)目相等，稿件被采用的篇數(shù)X、Y及其概率P的分布列如下：甲X012P0.60.10.3乙Y012P0.50.30.2則下列關(guān)于兩人寫作水平穩(wěn)定性的判斷正確的是().A．甲較穩(wěn)定B．乙較穩(wěn)定C．甲、乙穩(wěn)定性相同D．無法判定3.已知隨機變量的分布列為01Pa則．4．為了檢驗?zāi)骋环N新合成物體的強度，需要進行多次試驗，設(shè)進行一次試驗成功的概率為p，若某科研機構(gòu)進行了100次獨立重復(fù)試驗，當p=時，成功次數(shù)的標準差最大，最大值為．5.某校組織科普知識競賽．已知學(xué)生答對第一題的概率是0.6，答對第二題的概率是0.5，并且他們回答問題相互之間沒有影響．（=1\*ROMANI）求一名學(xué)生至少答對第一、二兩題中一題的概率；（Ⅱ）記為三名學(xué)生中至少答對第一、二兩題中一題的人數(shù)，求的期望與方差．6.某選手進行n次射擊訓(xùn)練，每次擊中目標的概率都為P，且每次擊中目標與否是相互獨立的，X記為擊中目標的次數(shù)，若隨機變量X的數(shù)學(xué)期望EX=3，方差（I）求n，P的值；（II）若這n次射擊有3次或3次以上未擊中目標，則需繼續(xù)訓(xùn)練，求該選手需要繼續(xù)訓(xùn)練的概率．參考答案2.3第二課時離散型隨機變量的方差2．基礎(chǔ)預(yù)探1.2.3.三、典例導(dǎo)析例1變式訓(xùn)練答案：Ｂ解析：由題意，根據(jù)隨機變量分布列的性質(zhì)知：0.4＋0.1＋＝1，所以＝0.5.，，所以標準差.例2變式訓(xùn)練解：根據(jù)題設(shè)可知，，所以．例3變式訓(xùn)練解：四、隨堂練習1.答案：B解析：因為，所以．2．答案：D解析：根據(jù)題意，隨機變量服從兩點分布，所以=(1-）．3．答案：C解析：，，故①③是正確的．4．答案：21；解析：，所以；．5.答案：解析：和所有可能取值為3，4，5，6，7，8，9，其中和為5，6，7時都有兩種情況所以．6．解析：所以的分布列為013P所以．五、課后作業(yè)1.答案：C解析：因為，所以，則，所以，故．2．答案：B解析：因為，；.由，可知乙的寫作水平比較穩(wěn)定．故選B．3.答案：解析：由分布列的性質(zhì)得所以，所以．4．答案：解析：因為，所以，所以，當時