高中數(shù)學(xué)人教A版第二章數(shù)列【市一等獎】

第二課時等比數(shù)列的前項和的應(yīng)用一、課前準(zhǔn)備1.課時目標(biāo)：搞清等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，能夠利用等比數(shù)列求和公式解決實際問題，用等比數(shù)列和的性質(zhì)解決問題，熟練掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，遇到等比數(shù)列求和問題首先考慮應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)去解，培養(yǎng)學(xué)生分析問題解決問題的能力.2.基礎(chǔ)預(yù)探（1）等比數(shù)列，前項和為，則仍成（2）若是公比為的等比數(shù)列，則.（3）在等比數(shù)列中，若項數(shù)為，分別為偶數(shù)項和奇數(shù)項的和，則.，（4）一般等比數(shù)列的前項和可以變形為的形式，設(shè)，則上式可以寫為，由此可以看出，對于數(shù)列的前項的和，當(dāng)且僅當(dāng)滿足時，該數(shù)列是等比數(shù)列，否則不是.二、基本知識習(xí)題化1.已知等比數(shù)列的前項和為,,，則此等比數(shù)列的公比等于（）A．2B．C．D．2、在等比數(shù)列中，已知，，則等于（）A、B、C、或D、3.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，則，，，成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列的前項積為，則，，，成等比數(shù)列．4.已知等差數(shù)列中，，前10項和；（1）求通項；（2）若從數(shù)列中依次取第2項、第4項、第8項、…、第項、……按原來的順序組成一個新的數(shù)列，求數(shù)列的前項和；三、學(xué)習(xí)引領(lǐng)①等比數(shù)列的前項和的公式可以求數(shù)列的和，在求數(shù)列的和時注意應(yīng)用等比數(shù)列和的性質(zhì)來解題，這樣簡化解題的步驟，注意確定首項，公比與項數(shù)來解題.②利用等比數(shù)列的前等比數(shù)列前項和可以解決應(yīng)用問題，首先審清題意，搞清已知量與未知量的關(guān)系，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，試題中常見的數(shù)列模型有構(gòu)造等差或等比數(shù)列再求解；再就是先求出聯(lián)系的前幾項，再歸納推理出，再用數(shù)學(xué)知識解題③遇到數(shù)列的前項和與通項之間的關(guān)系一般要把轉(zhuǎn)化為求解，不是等差與等比數(shù)列的問題，可以轉(zhuǎn)化為等差與等比數(shù)列求和.四、典例導(dǎo)析變式練習(xí)題型一已知數(shù)列中，構(gòu)成一個新數(shù)列：此數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列.求數(shù)列的通項；求數(shù)列的前項和.思路導(dǎo)析：觀察新數(shù)列的各項不難發(fā)現(xiàn)這樣一個事實，新數(shù)列的前項和恰為，這樣既可將問題轉(zhuǎn)化為首項為1，公比為的等比數(shù)列的前項和，數(shù)列的通項公式求出以后，計算其前項和，就容易多了.解：（1）（2）.規(guī)律總結(jié)：本題思路新穎，方法獨特，注意思路的靈活性.變式訓(xùn)練1成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15，并且這三個數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列中的、、．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列的前n項和為，求證：數(shù)列是等比數(shù)列．題型二等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用設(shè)數(shù)列的前項和為，數(shù)列為等差數(shù)列，且.求數(shù)列和的通項公式；設(shè)，求數(shù)列的前項和.思路導(dǎo)析：對于等差與等比數(shù)列的綜合問題，可以轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列求解.解：（1）數(shù)列的前項和為，，又，也適合上式，，數(shù)列為等差數(shù)列，.（2）設(shè)，，①，②②-①，得，.規(guī)律總結(jié)：遇到等差與等比綜合問題，要先求數(shù)列的通項，等差與等比數(shù)列積的問題求和可以應(yīng)用錯位相減求和.變式訓(xùn)練2等比數(shù)列中前n項和為,,,求的值.題型3應(yīng)用問題例3某商場今年銷售計算機(jī)5000臺，如果平均每年的銷售量比上一年的銷售量增加10%，那么從今年起，大約幾年可使總銷售量達(dá)到30000臺？（結(jié)果保留到個位）思路導(dǎo)析：根據(jù)題意，從中發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系，從中抽象出等比數(shù)列的模型，并明確這是一個已知求的問題.本來的解答應(yīng)先根據(jù)等比數(shù)列的前項的和公式列方程，再用對數(shù)的知識解方程.解：根據(jù)題意，每年的銷售量比上一年的銷售量增加的百分率相同，所以，從今年起，每年的銷售量組成一個等比數(shù)列，其中，于是得到，整理得，兩邊取對數(shù)，得，用計算器算得（年）答：大約5年可使總銷售量達(dá)到30000臺.規(guī)律總結(jié)：本例是一道關(guān)于等比數(shù)列模型的應(yīng)用題，需要從實際問題中抽象出等比數(shù)列模型.從時間背景的角度講，本例的設(shè)計一方面是想讓學(xué)生了解計算機(jī)日益普及，其銷量越來越大；另一方面，對于一個商場來講，為實現(xiàn)一定的商品銷售目標(biāo)而制定計劃也是一件自然的事情.變式訓(xùn)練3某市2023年有1萬輛燃油型公交車.有關(guān)部門計劃于2023年投入128輛電力型公交車，隨后電力型公交車每年的投入比上一年增加50%，試問：該市在2023年應(yīng)該投入多少輛電力型公交車？到哪一年底，電力型公交車的數(shù)量開始超過該市公交車總量的？五、隨堂練習(xí)1.設(shè)為等比數(shù)列的前項和，已知，則公比.2.已知數(shù)列的通項公式是，則.A.5B.53.已知方程的四個根組成一個首項為的等比數(shù)列，則（）A．1B．C．D．、4.在等比數(shù)列{an}中，若a9·a11=4，則數(shù)列｛｝前19項之和為______5.在等比數(shù)列中，，則______________，_____________.6.等比數(shù)列{}的前n項和為，已知,,成等差數(shù)列（1）求{}的公比q；（2）求－＝3，求六、課后作業(yè)1.已知是等比數(shù)列，，則=（）A.16（）B.16（）C.（）D.（）2.在等比數(shù)列中,,前項和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列,則等于()A.B.C.D.3.等比數(shù)列的公比為，前項的積為，并且滿足，給出下列結(jié)論=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③是中最大的；=4\*GB3④使得成立的最大的自然數(shù)是4018.其中正確結(jié)論的序號為（將你認(rèn)為正確的全部填上）.4.在等比數(shù)列中，，那么5.設(shè)數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．6.某教師購買安居工程集資房72，單價為1000元，一次性國家財政補(bǔ)貼28800元，學(xué)校補(bǔ)貼14400元，余款由個人負(fù)擔(dān).房地產(chǎn)開發(fā)公司對教師實行分期付款，每期為1年，等額付款.簽訂購房合同后，1年付款1次，再過1年又付款1次等等，共付10次，10年后還清.如果按年利率%，每年復(fù)利1次計算，那么每年應(yīng)付多少元？（計算結(jié)果精確到白元.下列數(shù)據(jù)供參考：）參考答案一、2.基礎(chǔ)預(yù)探（1）【等比數(shù)列】（2）【】（3）【】（4）二、基本知識習(xí)題化1.答案：A解：，選A.2.答案：C解析：由已知及等比數(shù)列性質(zhì)知解得或所以或，所以或，故選C.3.答案：4.解：（1）設(shè)公差為，有，解得，∴（2）∵∴四、典例導(dǎo)析變式練習(xí)1.解：（1）設(shè)成等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為依題意，得所以中的依次為依題意，有（舍去）故的第3項為5，公比為2．由所以是以為首項，2為以比的等比數(shù)列，其通項公式為-------------6分 （2）數(shù)列的前項和，即 所以 因此為首項，公比為2的等比數(shù)列．2.解：∵等比數(shù)列中,,,……仍成等比數(shù)列,∴,,,……也成等比數(shù)列,而則是這個等比數(shù)列中的第5項,由,得∴這個等比數(shù)列即是:2,4,8,16,32,……,∴.3.解：（1）該市逐年投入的電力型公交車的數(shù)量組成等比數(shù)列，其中，則在2023年應(yīng)該投入電力型公交車為（輛）.（2）記，依據(jù)題意，得.于是，則有，因此.所以，到2023年底，電力型公交車的數(shù)量開始超過該市公交車總量的.五、隨堂練習(xí)1.答案：B解析：①-②得.故選B.2.答案：C解析：，故選C.3.答案：B解析：不妨設(shè)這四個根為，其所有可能的值為，，，，由得，即則。當(dāng)時，四個根為，1，2，4，且，4為一組，1，2為一組，則＋4＝，，則；當(dāng)時，不存在任兩根使得，或，舍去。故選B。4.答案：-19解析：由題意an>0,且a1·a19=a2·a18=…=a9·a11=又a9·a11=4，故=故+…+=5.答案：-210解：聯(lián)立解得6.解：（Ⅰ）依題意有由于，故又，從而（Ⅱ）由已知可得故從而六、課后作業(yè)1.答案：C解析：，解得，數(shù)列仍是等比數(shù)列：其首項是公比為，所以．選C2.答案：C解：因數(shù)列為等比，則，因數(shù)列也是等比數(shù)列，則即，所以，故選擇答案C。3.答案：①②④解：因為，所以公比