高中數(shù)學(xué)北師大版第一章數(shù)列單元測試 學(xué)業(yè)分層測評10

學(xué)業(yè)分層測評(十)(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．某工廠2023年底制定生產(chǎn)計(jì)劃，要使工廠的年產(chǎn)值到2025年在原有基礎(chǔ)上翻兩番，則年總產(chǎn)值的平均增長率為()A．4eq\f(1,10)－1 B．5eq\f(1,10)－1C．3eq\f(1,10)－1 D．4eq\f(1,11)－1【解析】設(shè)生產(chǎn)計(jì)劃為a，(a＞0)，設(shè)年平均增長率為x，則到2025年底的總產(chǎn)值為a(1＋x)10，由題意可得a(1＋x)10＝4a，解之得x＝4eq\f(1,10)－1.【答案】A2．(2023·蚌埠高二檢測)某林廠年初有森林木材存量S立方米，木材以每年25%的增長率生長，而每年末都砍伐固定的木材量x立方米，為實(shí)現(xiàn)經(jīng)過兩次砍伐后的木材的存量增加50%，則x的值是()\f(S,32) B．eq\f(S,34)\f(S,36) D．eq\f(S,38)【解析】一次砍伐后木材的存量為S(1＋25%)－x；二次砍伐后木材存量為[S(1＋25%)－x](1＋25%)－x＝eq\f(25,16)S－eq\f(5,4)x－x＝S(1＋50%)，解得x＝eq\f(S,36).【答案】C3．某企業(yè)在今年年初貸款a萬元，年利率為r，從今年年末開始償還一定金額，預(yù)計(jì)n年還清，則每年應(yīng)償還()\f(ar1＋r,1＋rn－1)萬元 B．eq\f(ar1＋rn,1＋rn－1)萬元\f(ar1＋rn,1＋rn－1－1)萬元 D． eq\f(ar,1＋rn)萬元【解析】設(shè)每年應(yīng)償還x萬元，則x[(1＋r)n－1＋(1＋r)n－2＋…＋1]＝a(1＋r)n，x·eq\f(1－1＋rn,1－1＋r)＝a(1＋r)n，x＝eq\f(ar1＋rn,1＋rn－1)萬元．【答案】B4．某儲蓄所計(jì)劃從2023年起，每年儲蓄量比前一年增長8%，則2023年的儲蓄量比2023年的儲蓄量增長的百分比約為()A．24% B．32%C．26% D．36%【解析】設(shè)2023年的儲蓄量為a，則2023年的儲蓄量b＝a(1＋8%)3，所以增長率p＝eq\f(b－a,a)×100%＝－1)×100%≈26%.【答案】C5．(2023·南昌高二檢測)某商場出售甲、乙兩種不同價格的筆記本電腦，其中甲商品因供不應(yīng)求，連續(xù)兩次提價10%，而乙商品由于外觀過時而滯銷，只得連續(xù)兩次降價10%，最后甲、乙兩種電腦均以9801元售出．若商場同時售出甲、乙電腦各一臺，與價格不升不降比較，商場贏利情況是()A．少賺598元 B．前后相同C．多賺元 D．多賺元【解析】設(shè)甲、乙兩種電腦的原價分別為m，n，則m(1＋10%)2＝9801?m＝eq\f(9801,，n(1－10%)2＝9801?n＝eq\f(9801,，(m＋n)－2×9801＝9801×eq\f,×－19602＝20200－19602＝598.故選A.【答案】A二、填空題6．一條信息，若一人得知后，一小時內(nèi)將信息傳給兩人，這兩人又在一小時內(nèi)傳給未知信息的另外兩人．如此下去，要傳遍55人的班級所需時間大約為________小時．【解析】由題意，第n小時內(nèi)有2n人得知消息，此時得知消息的總?cè)藬?shù)為1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－1≥55，即2n＋1≥56，所以n＋1≥6，所以n≥5.【答案】57．(2023·上饒高二檢測)一個工廠的生產(chǎn)總值月平均增長率是p，那么年平均增長率為________．【解析】一年12個月，故1月至12月產(chǎn)值構(gòu)成公比為1＋p的等比數(shù)列，設(shè)去年年底產(chǎn)值為a，∴a12＝a(1＋p)12，∴年平均增長率為eq\f(a1＋p12－a,a)＝(1＋p)12－1.【答案】(1＋p)12－18．今年，某公司投入資金500萬元，由于堅(jiān)持改革、大膽創(chuàng)新，以后每年投入資金比上一年增加30%，那么7年后該公司共投入資金________萬元．【解析】設(shè)第n年投入的資金為an萬元，則an＋1＝an＋an×30%＝，則eq\f(an＋1,an)＝，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為500，公比為的等比數(shù)列，所以7年后該公司共投入資金S7＝eq\f(a11－q7,1－q)＝eq\f(500×1－,1－＝eq\f(5000,3)－1)(萬元)．【答案】eq\f(5000,3)－1)三、解答題9．用分期付款的方式購買價格為25萬元的住房一套，如果購買時先付5萬元，以后每年付2萬元加上欠款利息．簽訂購房合同后1年付款一次，再過1年又付款一次，直到還完為止，商定年利率為10%，則第5年該付多少元？購房款全部付清后實(shí)際共付多少元？【導(dǎo)學(xué)號：67940027】【解】購買時先付5萬元，余款20萬元按題意分10次分期還清，每次付款數(shù)組成數(shù)列{an}，則a1＝2＋(25－5)·10%＝4(萬元)；a2＝2＋(25－5－2)·10%＝(萬元)；a3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝(萬元)，…，an＝2＋[25－5－(n－1)·2]·10%＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(n－1,5)))(萬元)(n＝1,2，…，10)．因而數(shù)列{an}是首項(xiàng)為4，公差為－eq\f(1,5)的等差數(shù)列．a(chǎn)5＝4－eq\f(5－1,5)＝(萬元)．S10＝10×4＋eq\f(10×10－1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5))),2)＝31(萬元)．因此第5年該付萬元，購房款全部付清后實(shí)際共付36萬元．10．家用電器一件，現(xiàn)價2000元，實(shí)行分期付款，每期付款數(shù)相同，每期為一月，購買后一個月付款一次，每月付款一次，共付12次，購買后一年還清，月利率為%，按復(fù)利計(jì)算，那么每期應(yīng)付款多少？＝．【解】設(shè)每期應(yīng)付款x元．第1期付款與到最后一次付款所生利息之和為x(1＋11(元)．第2期付款與到最后一次付款所生利息之和為x(1＋10(元)，…第12期付款沒有利息．所以各期付款連同利息之和為x(1＋＋…＋＝eq\f－1,－1)x，又所購電器的現(xiàn)價及其利息之和為2000×，于是有eq\f－1,－1)x＝2000×，解得x＝eq\f(16×,－1)＝176(元)．即每期應(yīng)付款176元．[能力提升]1．一群羊中，每只羊的質(zhì)量數(shù)均為整千克數(shù)，其總質(zhì)量為65千克，已知最輕的一只羊質(zhì)量為7千克，除去一只10千克的羊外，其余各只羊的千克數(shù)恰能構(gòu)成一等差數(shù)列，則這群羊共有()A．6只 B．5只C．8只 D．7只【解析】依題意除去一只羊外，其余n－1只羊的質(zhì)量從小到大依次排列構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)a1＝7，d＞0，Sn－1＝65－10＝55，所以有(n－1)a1＋eq\f(n－1n－2,2)·d＝55，即7(n－1)＋eq\f(n－1n－2,2)d＝55，所以(n－1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(7＋\f(n－2,2)d))＝55.因?yàn)?5＝11×5且(n－1)為正整數(shù)，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(7＋\f(n－2,2)d))為正整數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n－1＝5，,7＋\f(n－2,2)·d＝11，))解得n＝6.【答案】A2．(2023·西安高二檢測)根據(jù)市場調(diào)查結(jié)果，預(yù)測某種家用商品從年初開始的n個月內(nèi)累積的需求量Sn(萬件)近似地滿足Sn＝eq\f(n,90)(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)．按此預(yù)測，在本年度內(nèi)，需求量超過萬件的月份是()A．5月、6月 B．6月、7月C．7月、8月 D．8月、9月【解析】∵n個月累積的需求量為Sn，∴第n個月的需求量為an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n,90)(21n－n2－5)－eq\f(n－1,90)[21(n－1)－(n－1)2－5]＝eq\f(1,30)(－n2＋15n－9)．a(chǎn)n＞，即滿足條件，∴eq\f(1,30)(－n2＋15n－9)＞，6＜n＜9(n＝1,2,3，…，12)，所以n＝7或8.【答案】C3．(2023·寶雞高二檢測)商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷售價格，即根據(jù)商品的最低銷售限價a，最高銷售限價b(b＞a)以及實(shí)數(shù)x(0＜x＜1)，確定實(shí)際銷售價格c＝a＋x(b－a)．這里，x被稱為樂觀系數(shù)．經(jīng)驗(yàn)表明，最佳樂觀系數(shù)x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中項(xiàng)．據(jù)此可得，最佳樂觀系數(shù)x的值等于________．【解析】由已知，有(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中項(xiàng)，即(c－a)2＝(b－c)(b－a)，把c＝a＋x(b－a)代入上式，得x2(b－a)2＝[b－a－x(b－a)](b－a)，即x2(b－a)2＝(1－x)(b－a)2，∵b＞a，b－a≠0，∴x2＝1－x，即x2＋x－1＝0，解得x＝eq\f(－1±\r(5),2)，因?yàn)?＜x＜1，所以最佳樂觀系數(shù)x的值等于eq\f(－1＋\r(5),2).【答案】eq\f(－1＋\r(5),2)4．某企業(yè)投資1000萬元用于一個高科技項(xiàng)目，每年可獲利25%，由于企業(yè)間競爭激烈，每年年底需要從利潤中取出資金200萬元進(jìn)行科研、技術(shù)改造與廣告投入方能保持原有的利潤增長率，問經(jīng)過多少年后，該項(xiàng)目的資金可以達(dá)到或超過翻兩番(4倍)的目標(biāo)？(取lg2＝【解】設(shè)該項(xiàng)目逐年的項(xiàng)目資金數(shù)依次為a1，a2，a3，…，an.則由已知an＋1＝an(1＋25%)－200(n∈N＋)，即an＋1＝eq\f(5,4)an－200.令an＋1－x＝eq\f(5,4)(an－x)，即an＋1＝eq\f(5,4)an－eq\f(x,4)，由eq\f(x,4)＝200，∴x＝800.∴an＋1－800＝eq\f(5,4)(an－800)(n∈N＋)故數(shù)列{an－800}是以a1－800為首項(xiàng)，eq\f(5,4)為公比的等比數(shù)列．∵a1＝1000(1＋25%)－200＝1050，∴a1－800＝250，∴an－800＝250eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))n－1，∴an＝800＋250eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al