理論力學(xué),動(dòng)力學(xué),第八章剛體平面運(yùn)動(dòng)-r

剛體的平面運(yùn)動(dòng)第八章

平面運(yùn)動(dòng)：剛體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其上各點(diǎn)都始終保持在與某一固定平面相平行的平面內(nèi)。一、運(yùn)動(dòng)特征§8-1剛體平面運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程平面圖形：剛體上任一個(gè)與固定平面平行的截面。顯然，只需確定平面圖形的位置，即可確定整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)注意：平面圖形的形狀和尺寸并不重要，需要的話，可以擴(kuò)展為整個(gè)平面。一、運(yùn)動(dòng)特征O1xySO1xyS討論：1.為常數(shù)二、運(yùn)動(dòng)方程剛體隨基點(diǎn)平移2.(xO,yO)為常數(shù)剛體繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)O點(diǎn)位置和

均變化剛體平面運(yùn)動(dòng)由此看出，平面運(yùn)動(dòng)可以分解為“平移”和“轉(zhuǎn)動(dòng)”O(jiān)Px0y0剛體平面運(yùn)動(dòng)方程稱O為基點(diǎn)xy(隨同動(dòng)系平移)(相對(duì)動(dòng)系轉(zhuǎn)動(dòng))平面運(yùn)動(dòng)=隨基點(diǎn)的平移繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)+平面圖形隨基點(diǎn)平移的速度和加速度與基點(diǎn)的選擇有關(guān)。平面運(yùn)動(dòng)剛體繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度與基點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)！O1xySOPx0y0xy例1:

已知曲柄－滑塊機(jī)構(gòu)中OA=r,AB=l;曲柄OA以勻角速度繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。求連桿AB的運(yùn)動(dòng)方程。解：xy建立圖示參考坐標(biāo)系，由幾何關(guān)系，得：

AB桿做平面運(yùn)動(dòng)，獨(dú)立的方程運(yùn)動(dòng)有三個(gè)，可取桿上A點(diǎn)為基點(diǎn)，建立運(yùn)動(dòng)方程。則連桿的運(yùn)動(dòng)方程：§8-2平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的速度速度瞬心一、速度基點(diǎn)法根據(jù)前面的分析，下面應(yīng)用點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)方法來(lái)導(dǎo)出平面運(yùn)動(dòng)剛體上任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)公式OxyABωxy1.

A點(diǎn)為基點(diǎn)，可以是該剛體上任意一個(gè)點(diǎn)，一般我們選擇速度已知的點(diǎn)。2.

B點(diǎn)為剛體上任意一點(diǎn)，此公式給出了剛體上任意兩點(diǎn)間的速度關(guān)系。二、速度投影定理如將上式投影到A、B兩點(diǎn)的連線上，并注意到vBA垂直于AB連線，在連線上的投影為零，可得平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在這兩點(diǎn)連線上的投影相等，這稱為速度投影定理。問(wèn)：此定理直觀的力學(xué)意義是什么？OxyABωxy例2：曲柄滑塊機(jī)構(gòu)如圖所示，曲柄OA以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)。已知曲柄OA長(zhǎng)為R，連桿AB長(zhǎng)為l。當(dāng)曲柄在任意位置

=ωt時(shí)，求滑塊B的速度。vAvAvBvBA解：因?yàn)锳點(diǎn)速度vA已知，故選A為基點(diǎn)其中vA的大小

vA=Rω一、基點(diǎn)法由速度合成矢量圖可得應(yīng)用速度投影定理，有同樣可得例2：曲柄滑塊機(jī)構(gòu)如圖所示，曲柄OA以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)。已知曲柄OA長(zhǎng)為R，連桿AB長(zhǎng)為l。當(dāng)曲柄在任意位置

=ωt時(shí)，求滑塊B的速度。解：二、速度投影法vAvB900--解：三：點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)以B為動(dòng)點(diǎn)，OA桿為動(dòng)系vevBvr例2：曲柄滑塊機(jī)構(gòu)如圖所示，曲柄OA以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)。已知曲柄OA長(zhǎng)為R，連桿AB長(zhǎng)為l。當(dāng)曲柄在任意位置

=ωt時(shí)，求滑塊B的速度。解：四、直角坐標(biāo)表示法xB點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程：例2：曲柄滑塊機(jī)構(gòu)如圖所示，曲柄OA以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)。已知曲柄OA長(zhǎng)為R，連桿AB長(zhǎng)為l。當(dāng)曲柄在任意位置

=ωt時(shí)，求滑塊B的速度?！?-2平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的速度速度瞬心一、速度基點(diǎn)法根據(jù)前面的分析，下面應(yīng)用點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)方法來(lái)導(dǎo)出平面運(yùn)動(dòng)剛體上任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)公式OxyABωxy1.

A點(diǎn)為基點(diǎn)，可以是該剛體上任意一個(gè)點(diǎn)，一般我們選擇速度已知的點(diǎn)。2.

B點(diǎn)為剛體上任意一點(diǎn)，此公式給出了剛體上任意兩點(diǎn)間的速度關(guān)系。AId三、速度瞬心法一般情形下，剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)速度瞬心確實(shí)是存在的，并且唯一。我們稱某瞬時(shí)速度為零的點(diǎn)為平面圖形在此瞬時(shí)的速度中心，簡(jiǎn)稱“速度瞬心”，一般用I表示之。以I為基點(diǎn)，則有AIBC

注意：I點(diǎn)僅僅此時(shí)刻速度為零，一般情況下，速度瞬心的加速度不等于零，下一瞬時(shí)I的速度也就不再為零了。因此，速度瞬心在圖形本身上和在固定平面上的位置都是隨時(shí)間而變的，在不同的瞬時(shí)，圖形具有不同的速度瞬心。三、速度瞬心法四、瞬心的確定(１)已知圖形上任意兩點(diǎn)速度方位ABI例3：曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，已知曲柄角速度，求速度瞬心I。vAIABvBABOAB例3：曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，已知曲柄角速度，求速度瞬心I。vAIAB例3：曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，已知曲柄角速度，求速度瞬心I。vAvB瞬時(shí)平移例4：齒輪-齒桿機(jī)構(gòu)，已知C、D點(diǎn)的速度，求輪心O的速度。IvOIvO畫出圖示機(jī)構(gòu)中作平面運(yùn)動(dòng)的構(gòu)件在圖示瞬時(shí)的速度瞬心（輪A純滾動(dòng)）。IABvBvCIBCvDCD桿瞬時(shí)平移例5：曲柄滑塊機(jī)構(gòu)如圖所示，曲柄OA以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)。已知曲柄OA長(zhǎng)為R，連桿AB長(zhǎng)為l。當(dāng)曲柄在任意位置

=ωt時(shí)，求滑塊B的速度。解：三、速度瞬心法vAvB900--ABIA、B兩點(diǎn)的速度大小分別為：例6：車輪沿直線純滾動(dòng)，已知車輪半徑為R，中心O的速度為vO。求車輪上A,B,C,D點(diǎn)的速度。C解：一、先確定輪的角速度ω二、求各點(diǎn)速度OABDωAOBMBNωAO例7：曲柄OA長(zhǎng)為r，以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)。AB長(zhǎng)2r，輪B半徑為R，在地面作純滾動(dòng)。求圖示兩種狀態(tài)下，輪緣最右端點(diǎn)的速度。I解：（1）AB桿的瞬心在B點(diǎn)，說(shuō)明此時(shí)B點(diǎn)速度為零。輪B作純滾動(dòng)，I點(diǎn)速度必為零，所以此刻輪B的角速度為零。vM

=0BNωAOI（2）AB為瞬時(shí)平移vA

=vB

=ωrB例7：曲柄OA長(zhǎng)為r，以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)。AB長(zhǎng)2r，輪B半徑為R，在地面作純滾動(dòng)。求圖示兩種狀態(tài)下，輪緣最右端點(diǎn)的速度。ωAOBMI解：例8：橋由三部分組成，當(dāng)C支座有一水平微小位移。試確定D、E點(diǎn)的位移的方向及它們的大小與的SC比值。

CBADE△SCI△SD△SEaaaa當(dāng)C有微小水平位移時(shí)，系統(tǒng)各部分的位置都將有微小改變。根據(jù)所受的約束，可知ACD、BE均發(fā)生微小轉(zhuǎn)動(dòng)。解：DE作平面運(yùn)動(dòng)，其速度瞬心在I，αABωxy§8-3平面運(yùn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)加速度強(qiáng)調(diào)：1.速度瞬心的加速度一般不為零；計(jì)算加速度時(shí)，通常只用基點(diǎn)法。2.剛體平面運(yùn)動(dòng)中，轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω和角加速度α與基點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)。平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的加速度，等于基點(diǎn)的加速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的加速度的矢量和。例9：車輪沿直線滾動(dòng)，已知車輪半徑為R，中心O的速度為vO，加速度為aO。設(shè)車輪與地面接觸無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。求車輪上速度瞬心的加速度。IO解：一、先確定輪的角加速度ωnaO二、求I點(diǎn)加速度取中心O為基點(diǎn)式中向x方向投影向y方向投影xyMBrOA例10：長(zhǎng)度2r的桿，A端在半徑為r的半圓形軌道上以勻速率vA運(yùn)動(dòng)。試求A到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，AB桿的角速度和角加速度。BrOAvBIaBaBaA以B為基點(diǎn)，分析A點(diǎn)加速度：x解：1.AB桿的角速度2.AB桿的角加速度四桿機(jī)構(gòu)：lABCD450450lω例11：圖示四桿機(jī)構(gòu)中已知曲柄AB以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，試計(jì)算圖示瞬時(shí)BC、DC桿的角速度和角加速度。解：1.計(jì)算BC、DC桿的角速度IvBvCCBCD２.計(jì)算BC、DC桿的角加速度（基點(diǎn)法）lABCD450450lω解：CD考察BC桿，以B為基點(diǎn)，分析C點(diǎn)加速度：例11：圖示四桿機(jī)構(gòu)中已知曲柄AB以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，試計(jì)算圖示瞬時(shí)BC、DC桿的角速度和角加速度。曲柄OA長(zhǎng)r，以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)。AB桿長(zhǎng)2r，輪B半徑R，在地面作純滾動(dòng)。求圖示瞬時(shí)輪緣最右端點(diǎn)的加速度。解：AB為瞬時(shí)平動(dòng)vA

=vB

=ωrBNωAOIB練習(xí)：ⅠⅡ

練習(xí)

如圖所示的行星系中，固定齒輪Ⅰ半徑為R；行星齒輪Ⅱ沿輪Ⅰ只滾而不滑動(dòng)，半徑為r。曲柄OA勻角速度ω。試求輪Ⅱ的角速度及M點(diǎn)（AMAO）的速度,及輪Ⅱ的角加速度和M點(diǎn)的加速度。vAωⅡⅠⅡaAaAanMA運(yùn)動(dòng)學(xué)課外題是非題：設(shè)A為平面運(yùn)動(dòng)剛體上任意一點(diǎn)，I為剛體在該瞬時(shí)的速度瞬心，則點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡在此處的曲率半徑等于A、I間的距離。剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，若某瞬時(shí)其上有兩點(diǎn)加速度相同，則此瞬時(shí)剛體上各點(diǎn)的速度都相同。平面圖形瞬時(shí)平移時(shí)，其上任意兩點(diǎn)的加速度在這兩點(diǎn)連線上的投影相等。判斷速度瞬心：DEOABOA=AB=BC=AD=BE=DEABECDC題1：曲柄滑塊機(jī)構(gòu)如圖所示，曲柄OA以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)。已知曲柄OA長(zhǎng)為R，連桿AB長(zhǎng)為l。當(dāng)曲柄在任意位置

=ωt時(shí)，求滑塊B的速度。vAvAvBvBA解：因?yàn)锳點(diǎn)速度vA已知，故選A為基點(diǎn)其中vA的大小

vA=Rω一、基點(diǎn)法解：二、點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)以B為動(dòng)點(diǎn)，OA桿為動(dòng)系vevBvr題1：曲柄滑塊機(jī)構(gòu)如圖所示，曲柄OA以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)。已知曲柄OA長(zhǎng)為R，連桿AB長(zhǎng)為l。當(dāng)曲柄在任意位置

=ωt時(shí)，求滑塊B的速度。解：三、直角坐標(biāo)表示法xB點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程：題1：曲柄滑塊機(jī)構(gòu)如圖所示，曲柄OA以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)。已知曲柄OA長(zhǎng)為R，連桿AB長(zhǎng)為l。當(dāng)曲柄在任意位置

=ωt時(shí)，求滑塊B的速度。題2：在圖示機(jī)構(gòu)中，已知AA=BB=r，且AB=AB；連桿AA以勻角速度ω繞A轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)=600時(shí)，桿OC位置水平，OD=2r。求此時(shí)OC的角速度及角加速度。OCDAABB逆時(shí)針順時(shí)針題3：直線AB、CD夾角為

，直線AB以速度v1沿垂直于AB的方向朝下運(yùn)動(dòng)，而直線CD以速度v2沿垂直于CD的方向朝右下運(yùn)動(dòng)。求套在這兩條直線交點(diǎn)處的小環(huán)M的速度大小。MCDABv2v1題4：如圖所示機(jī)構(gòu)中，各桿長(zhǎng)均為0.4m，已知桿OA及CD作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度分別為OA=3rad/s及CD=5rad/s，且tan=4/3。試求圖示瞬時(shí)桿AB和桿BD的角速度以及角加速度。OABOACDDC題5：輪O半徑R=0.5m，在水平面上純滾動(dòng)，輪心以勻速vO=0.