高等數(shù)學(xué)第六版(下冊)第十一章課后習(xí)題答案

高等數(shù)學(xué)第六版(下冊)第十一章課后習(xí)題答案習(xí)題1111寫出下列級數(shù)的前五項(1)解.解.(2)解.解.(3)解.解.(4)解.解.2寫出下列級數(shù)的一般項(1)解一般項為.(2)解一般項為.(3)解一般項為.(4)解一般項為.3根據(jù)級數(shù)收斂與發(fā)散的定義判定下列級數(shù)的收斂性(1)解因為所以級數(shù)發(fā)散(2)解因為所以級數(shù)收斂(3)解.因為不存在所以不存在因而該級數(shù)發(fā)散4判定下列級數(shù)的收斂性(1);解這是一個等比級數(shù)公比為于是所以此級數(shù)收斂(2);解此級數(shù)是發(fā)散的這是因為如此級數(shù)收斂則級數(shù)也收斂矛盾(3);解因為級數(shù)的一般項所以由級數(shù)收斂的必要條件可知此級數(shù)發(fā)散(4);解這是一個等比級數(shù)公比所以此級數(shù)發(fā)散(5).解因為和都是收斂的等比級數(shù)所以級數(shù)是收斂的習(xí)題1121用比較審斂法或極限形式的比較審斂法判定下列級數(shù)的收斂性(1)解因為而級數(shù)發(fā)散故所給級數(shù)發(fā)散(2)解因為而級數(shù)發(fā)散故所給級數(shù)發(fā)散(3)解因為而級數(shù)收斂故所給級數(shù)收斂(4)解因為而級數(shù)收斂故所給級數(shù)收斂(5)解因為而當(dāng)a1時級數(shù)收斂當(dāng)0a1時級數(shù)發(fā)散所以級數(shù)當(dāng)a1時收斂當(dāng)0a1時發(fā)散2用比值審斂法判定下列級數(shù)的收斂性(1)解級數(shù)的一般項為因為所以級數(shù)發(fā)散(2)解因為所以級數(shù)收斂(3)解因為所以級數(shù)收斂(3)解因為所以級數(shù)收斂3用根值審斂法判定下列級數(shù)的收斂性(1)解因為所以級數(shù)收斂(2)解因為所以級數(shù)收斂(3)解因為所以級數(shù)收斂(4)其中ana(n)anba均為正數(shù)解因為所以當(dāng)ba時級數(shù)收斂當(dāng)ba時級數(shù)發(fā)散4判定下列級數(shù)的收斂性(1)解這里因為所以級數(shù)收斂(2)解這里因為所以級數(shù)收斂(3)解因為而級數(shù)發(fā)散故所給級數(shù)發(fā)散(4)解因為所以級數(shù)收斂(5)解因為所以級數(shù)發(fā)散(6)解因為而級數(shù)發(fā)散故所給級數(shù)發(fā)散5判定下列級數(shù)是否收斂？如果是收斂的是絕對收斂還是條件收斂？(1)解這是一個交錯級數(shù)其中因為顯然unun+1并且所以此級數(shù)是收斂的又因為是p1的p級數(shù)是發(fā)散的所以原級數(shù)是條件收斂的(2)解因為所以級數(shù)是收斂的從而原級數(shù)收斂并且絕對收斂(3)解這是交錯級數(shù)并且因為級數(shù)是收斂的所以原級數(shù)也收斂并且絕對收斂(4)解這是交錯級數(shù)其中因為unun+1并且所以此級數(shù)是收斂的又因為而級數(shù)發(fā)散故級數(shù)發(fā)散從而原級數(shù)是條件收斂的(5)解級數(shù)的一般項為因為所以級數(shù)發(fā)散習(xí)題1131求下列冪級數(shù)的收斂域(1)x2x23x3nxn解故收斂半徑為R1因為當(dāng)x1時冪級數(shù)成為是發(fā)散的當(dāng)x1時冪級數(shù)成為也是發(fā)散的所以收斂域為(11)(2)解故收斂半徑為R1因為當(dāng)x1時冪級數(shù)成為是收斂的當(dāng)x1時冪級數(shù)成為也是收斂的所以收斂域為[11](3)解故收斂半徑為R收斂域為()(4)解故收斂半徑為R3因為當(dāng)x3時冪級數(shù)成為是發(fā)散的當(dāng)x3時冪級數(shù)成為也是收斂的所以收斂域為[33)(5)解故收斂半徑為因為當(dāng)時冪級數(shù)成為是收斂的當(dāng)x1時冪級數(shù)成為也是收斂的所以收斂域為(6)解這里級數(shù)的一般項為因為由比值審斂法當(dāng)x21即|x|1時冪級數(shù)絕對收斂當(dāng)x21即|x|1時冪級數(shù)發(fā)散故收斂半徑為R1因為當(dāng)x1時冪級數(shù)成為是收斂的當(dāng)x1時冪級數(shù)成為也是收斂的所以收斂域為[11](7)解這里級數(shù)的一般項為因為由比值審斂法當(dāng)即時冪級數(shù)絕對收斂當(dāng)即時冪級數(shù)發(fā)散故收斂半徑為因為當(dāng)時冪級數(shù)成為是發(fā)散的所以收斂域為(8)解故收斂半徑為R1即當(dāng)1x51時級數(shù)收斂當(dāng)|x5|1時級數(shù)發(fā)散因為當(dāng)x51即x4時冪級數(shù)成為是收斂的當(dāng)x51即x6時冪級數(shù)成為是發(fā)散的所以收斂域為[46)2利用逐項求導(dǎo)或逐項積分求下列級數(shù)的和函數(shù)(1)解設(shè)和函數(shù)為S(x)即則(2)解設(shè)和函數(shù)為S(x)即則提示由得(3)解設(shè)和函數(shù)為S(x)即則提示由得習(xí)題1141求函數(shù)f(x)cosx的泰勒級數(shù)并驗證它在整個數(shù)軸上收斂于這函數(shù)解(n12)(n12)從而得f(x)在x0處的泰勒公式因為(01)而級數(shù)總是收斂的故從而因此x()2將下列函數(shù)展開成x的冪級數(shù)并求展開式成立的區(qū)間(1)解因為x()所以x()故x()(2)ln(ax)(a0)解因為(1x1)所以(axa)(3)ax解因為x()所以x()(4)sin2x解因為x()所以x()(5)(1x)ln(1x)解因為(1x1)所以(1x1)(6)解因為(1x1)所以(1x1)3將下列函數(shù)展開成(x1)的冪級數(shù)并求展開式成立的區(qū)間(1)解因為所以即上術(shù)級數(shù)當(dāng)x0和x2時都是收斂的所以展開式成立的區(qū)間是[02](2)lgx解即4將函數(shù)f(x)cosx展開成的冪級數(shù)解5將函數(shù)展開成(x3)的冪級數(shù)解即6將函數(shù)展開成(x4)的冪級數(shù)解而即即因此習(xí)題1151利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式求下列各數(shù)的近似值(1)ln3(誤差不超過00001)解又故因而取n6此時(2)(誤差不超過0001)解由于故因此取n4得(3)(誤差不超過000001)解由于故(4)cos2(誤差不超過00001)解由于故2利用被積函數(shù)的冪級數(shù)展開式求下列定積分的近似值(1)(誤差不超過00001)解因為所以(2)(誤差不超過00001)解因為所以3將函數(shù)excosx展開成x的冪級數(shù)解因為所以因此習(xí)題1171下列周期函數(shù)f(x)的周期為2試將f(x)展開成傅里葉級數(shù)如果f(x)在[)上的表達式為(1)f(x)3x21(x)解因為(n12)(n12)所以f(x)的傅里葉級數(shù)展開式為(2)f(x)e2x(x)解因為(n12)(n12)所以f(x)的傅里葉級數(shù)展開式為(x(2n1)n012)(3)(ab為常數(shù)且ab0)解因為(n12)(n12)所以f(x)的傅里葉級數(shù)展開式為(x(2n1)n012)2將下列函數(shù)f(x)展開成傅里葉級數(shù)(1)(x)解將f(x)拓廣為周期函數(shù)F(x)則F(x)在()中連續(xù)在x間斷且故F(x)的傅里葉級數(shù)在()中收斂于f(x)而在x處F(x)的傅里葉級數(shù)不收斂于f(x)計算傅氏系數(shù)如下因為(x)是奇函數(shù)所以an0(n012)(n12)所以(x)(2)解將f(x)拓廣為周期函數(shù)F(x)則F(x)在()中連續(xù)在x間斷且故F(x)的傅里葉級數(shù)在()中收斂于f(x)而在x處F(x)的傅里葉級數(shù)不收斂于f(x)計算傅氏系數(shù)如下(n12)(n12)所以(x)3設(shè)周期函數(shù)f(x)的周期為2證明f(x)的傅里葉系數(shù)為(n012)(n12)證明我們知道若f(x)是以l為周期的連續(xù)函數(shù)則的值與a無關(guān)且因為f(x)cosnxsinnx均為以2為周期的函數(shù)所以f(x)cosnxf(x)sinnx均為以2為周期的函數(shù)從而(n12)同理(n12)4將函數(shù)(x)展開成傅里葉級數(shù)解因為為偶函數(shù)故bn0(n12)而(n12)由于在[]上連續(xù)所以(x)5設(shè)f(x)的周期為2的周期函數(shù)它在[)上的表達式這將f(x)展開成傅里葉級數(shù)解因為f(x)為奇函數(shù)故an0(n012)而(n12)又f(x)的間斷點為x(2n1)n012所以(x(2n1)n012)6將函數(shù)(0x)展開成正弦級數(shù)解作奇延拓得F(x)