高二物理競賽自由電子的輸運(yùn)問題課件

§1、

自由電子的輸運(yùn)問題一、

Boltzmann方程平衡時，電子的分布遵從Fermi

－Dirac統(tǒng)計(jì)，

f

=f(E)

，E

=

E(k)。有外場（如電場、磁場或溫度梯度場）時，電子的能量E

=

E(r,

k,

t)

，分布函數(shù)：

f(r,

k,

t)

。f(r,

k,

t)的物理意義：在t時刻，電子位置處在r－r+dr體積元內(nèi)，狀態(tài)處在k－k+dk范圍內(nèi)的電子數(shù)為dN

2f

r,k,t

d

3kd

3r

dxdydz

d

3k

dkxdkydkz

vx

exp

dvx

exp

不同的金屬有不同的功函數(shù)，

由于熱膨脹，W是溫度的函數(shù)。

幾種金屬功函數(shù)的平均值（eV）LiNaKMgAlCuAgAuPt2.482.282.223.674.204.454.464.895.36金屬1：帶正電，V1

>

0

，電子的靜電勢能－eV1

<

0金屬2：帶負(fù)電，V2

<

0

，電子的靜電勢能－eV2

>

0接觸電勢差:

V12

V1

V2

W2

W1

EeV12W2W1

F

W1(EF)1(EF)2金屬1

接觸電勢金屬1金屬2金屬2W2穩(wěn)定時，分布函數(shù)的時間變化率來自兩方面：v漂移變化：電子在外場作用下的漂移運(yùn)動，引起分布函數(shù)的變化，是破壞平衡的因素。v碰撞變化：電子碰撞而引起分布函數(shù)的變化，

是建立或恢復(fù)平衡的因素。分布函數(shù)的變化率：df

f

f

f

dt

t

d

t

c

t

漂移項(xiàng)碰撞項(xiàng)

瞬變項(xiàng)穩(wěn)定時：

0

及0

0dddddddccd

t

r&,

k&

t

t

r,

k

r

r,

k

k

l

lim

f

r

r,

k

k,

t

t

f

r,

k,

t

t

dd

0mti漂移項(xiàng)

r&

r

f

k&

k

fddt

0

t1.

漂移項(xiàng)2.

碰撞項(xiàng)單位體積中，狀態(tài)處在k－k+dk中的電子數(shù)dn

f

k

d

3k單位時間內(nèi)，在單位體積中由于碰撞離開k態(tài)的電子數(shù)在單位體積中由于碰撞k－k+dk中電子數(shù)的增加率：

d

3k

b

a

d

3k

a

k

f

k

1

f

k

k,

k

ccccccccccccccccccccccccc

b

k

f

k

1

f

k

k

,

k

v

r

f

k&

k

f

b

a

——

Boltzmann方程

b

acc碰撞項(xiàng)二、

弛豫時間近似b

a

——

弛豫時間近似f0

：平衡Fermi

－Dirac分布函數(shù)，

t(k)：弛豫時間在t=

0時撤去外場t

=

0時,

f

=f0+Df(t=0)，弛豫時間近似的假設(shè)認(rèn)為，碰撞促使分布函數(shù)偏離平衡分布的部分以指數(shù)的形式消失。

f

f

f0

t

t弛豫時間t基本上是系統(tǒng)恢復(fù)平衡所用的時間。Boltzmann方程可簡化為v

r

f

k

f

通常采用逐步逼近法求解Boltzmann方程v

r

f

k

f

ˉf1ˉf2ˉˉ

fn+1-

f0

-

f1

--

fn××××××三、

電導(dǎo)和熱導(dǎo)只考慮各向同性的金屬（多晶或立方系單晶）電

場：

e

ei電流密度：

j

vx

fd3k熱流密度：

jq

vx

E

EF

fd

3k

Boltzmann方程

v

r

f

k

f

溫度梯度場：T

i1.

求分布函數(shù)f

r

f

T

k

f

k

E

hv

T

dk

edt

h

e

k

E

k

hv

v

T

e

v

e

用fo代左邊的f

：

f

f0

E

E

T

vx

e

vxe

f

f0

vxt

k

ee

T

2.

求電導(dǎo)sj

vx

fd3k

v

t

k

ee

T

4p

k2dk

x2

k2

2m

Edk

2m

E

dEv