第2章軸向拉伸與壓縮(彭小平)

第2章軸向拉伸和壓縮§2.1

軸向拉伸和壓縮的概念與實例§2.2軸力及軸力圖§2.5拉壓桿的強度計算§2.6拉壓桿的變形§2.3軸向拉壓桿橫截面上的應力§2.4材料的力學性質和基本試驗§2.8應力集中的概念§2.7拉壓變形的超靜定問題

一、軸向拉壓的工程實例工程桁架§2.1軸向拉伸和壓縮的概念與實例héng二、軸向拉壓的概念（2）變形特點：桿沿軸線方向伸長或縮短。（1）受力特點：FN1FN1FN2FN2外力合力作用線與桿軸線重合。以軸向拉壓為主要變形的桿件，稱為拉壓桿或軸向承載桿。ABCF軸向壓縮：軸向縮短，橫向變粗。軸向拉伸：軸向伸長，橫向縮短。§2.2

軸力及軸力圖1.內力一、軸向拉壓桿橫截面的內力——

軸力（用FN

表示）例：已知外力F，求：1－1截面的內力FN

。解：FF1—1∑X=0,FN-F=0,

FFN（截面法確定）①截開②代替，F(xiàn)N

代替③平衡FN=F。FNF以1－1截面的右段為研究對象：內力FN沿軸線方向，所以稱為軸力。2、軸力的符號規(guī)定：壓縮—壓力，其軸力為負值。方向指向所在截面。拉伸—拉力，其軸力為正值。方向背離所在截面。FNFFFN（＋）FNFFFN（－）

同一位置處左、右側截面上內力分量(軸力)必須具有相同的正負號。二、軸力圖1、定義：表示軸力沿桿件軸線變化規(guī)律的圖形FFFNx+

橫坐標代表橫截面位置，縱軸代表軸力大小。標出軸力值及正負號。2、軸力圖的意義①直觀反映軸力與截面位置變化關系；②確定出最大軸力的數(shù)值及其所在位置，即確定危險截面位置，為強度計算提供依據(jù)。例圖示桿的A、B、C、D點分別作用著大小為FA=5F、FB=8F、FC=4F、FD=F

的力，方向如圖，試求各段內力并畫出桿的軸力圖。解：求OA段內力FN1：設截面如圖ABCDFAFBFCFDOFN1ABCDFAFBFCFD求CD段內力：

求BC段內力：

求AB段內力：FN3=5F，F(xiàn)N4=FFN2=–3F，BCDFBFCFDFN2=–3F，F(xiàn)N3=5F，F(xiàn)N4=FFN2FN3CDFCFDDFDFN4ABCDFAFBFCFDO軸力圖如下圖：FNx2F3F5FFABCDFAFBFCFDOFN3=5F，F(xiàn)N4=FFN2=–3F，++-總結上面例子得到以下結論：軸力只與外力有關，截面形狀變化不會改變軸力大??；集中外力多于兩個時，軸力以分段函數(shù)表示，以集中力作用點、分布載荷起止點為界點；軸力等于脫離體上所有軸向外力的代數(shù)和；求軸力時外力的符號法則：

法則1：外力“左左右右為正”(即左段外力向左為正)

法則2：外力“離開截面為正，指向截面為負”研究方法：實驗觀察作出假設實驗驗證理論分析§2.3軸向拉壓桿橫截面上的應力推導思路：實驗→變形規(guī)律→應力的分布規(guī)律→應力的計算公式1、實驗：受力前：受力后：FF受力前：受力后：FF2、變形規(guī)律：橫向線——仍為平行的直線，但間距增大，長度減小；縱向線——仍為平行的直線，但間距減小，長度增加。3、平面假設：由表及里進行推斷——變形前為平面的橫截面，變形后仍保持為平面——平面假設；各橫截面沿軸向作相對平移，兩截面間各縱向線絕對變形相同，應變ε也相同；橫向線與縱向線始終保持垂直，切應變γ為零。4、應力的分布規(guī)律——F從平面假設可以判斷：（1）各縱向纖維應變相等——各點處正應力相等，為常量。即正應力在截面上均勻分布；沿橫截面均勻分布（2）切應變γ為零，故截面上無切應力。5、應力的計算公式：——軸向拉壓桿橫截面上正應力的計算公式7、正應力的符號規(guī)定——同內力拉應力為正值，方向背離所在截面；壓應力為負值，方向指向所在截面。6、拉壓桿內最大的正應力等直桿：變直桿：8、公式的使用條件(1)軸向拉壓桿(即桿端處外力合力的作用線與軸線重合)；(2)桿橫截面沿軸線變化不是很劇烈；(3)只適用于桿件離力系作用位置稍遠的區(qū)域。例試求圖示結構AB桿橫截面上的正應力。

已知：F=30KN，A=400mm2FDBCAaaa解：三、軸向拉壓桿任意斜面上應力的計算1、斜截面上應力確定(1)內力確定：(2)應力確定：①應力分布——均布②應力公式——FNa=FFFFFFNaFNa2、符號規(guī)定⑴a：斜截面外法線與x軸的夾角。由x軸逆時針轉到斜截面外法線——“a”為正值；由x軸順時針轉到斜截面外法線——“a”為負值⑵σa：同“σ”的符號規(guī)定。⑶τa：在保留段內任取一點，如果“τa”對該點之矩為順時針方向，則規(guī)定為正值，反之為負值。aF3、斜截面上最大應力值的確定橫截面上。450斜截面上。FFNa

力學性能：在外力作用下材料在變形和破壞方面所表現(xiàn)出的力學特性。

不同的材料具有不同的力學性能，材料的力學性能可通過實驗得到——常溫靜載下的拉伸、壓縮試驗?！?.4材料的力學性質和基本試驗拉伸標準試樣：§2.4.1低碳鋼和鑄鐵的軸向拉伸試驗試驗裝置：變形傳感器試驗原理與拉伸圖：

F-Dl

曲線

為了消除掉試件尺寸的影響，將試件拉伸圖轉變?yōu)椴牧系膽?應變圖。A

—原始橫截面面積

—名義應力l—原始標距—名義應變⑴彈性階段:oA

此階段試件變形完全是彈性的，且與成線性關系1、低碳鋼軸向拉伸時的力學性質

(四個階段)oA’為直線段；AA’為微彎曲線段。比例極限p

—對應點A’彈性極限e

—對應點A⑵屈服階段:B’C。

應力基本不變而應變顯著增加，材料暫時失去了抵抗變形的能力——屈服現(xiàn)象，曲線呈“鋸齒形”，產生的變形主要是塑性變形。屈服極限——對應點B（屈服段內最低的應力值）。拋光的試件表面上可見與軸線成45

的滑移線，內部材料通過滑移修復晶體中的錯位、缺位。⑶強化階段：CD

晶體結構經調整修復過后，晶粒排列整齊，承載能力提高，材料又恢復了抵抗變形的能力，此種現(xiàn)象稱為“強化”。曲線繼續(xù)上升，如要增加應變，必須增大應力，到達D點，應力最大。強度極限b

——對應點D

(拉伸強度，最大應力)⑷局部變形階段（頸縮階段）：DE。

試件的變形集中于某一最弱橫截面，縱向變形顯著增加，橫截面面積迅速減小,出現(xiàn)“頸縮”現(xiàn)象，直至試件斷裂，斷口呈“杯錐狀”?？s頸與斷裂試件斷裂過程圖低碳鋼拉伸破壞斷面——杯錐形斷口破壞原因：±450斜截面上切應力引起的屈服破壞（滑移即破壞標志）。卸載定律及冷作硬化：卸載定律：材料在卸載過程中，應力與應變呈線性關系。1、彈性范圍內卸載、再加載2、過彈性范圍卸載、再加載ep

—殘余應變（塑性）ee_—彈性應變

沿O1C直線上升至當初卸載位置，然后沿卸載前的曲線斷裂—冷作硬化現(xiàn)象。ep

—殘余應變（塑性）ee_—彈性應變冷作硬化：在常溫下將材料預拉至強化階段，使之出現(xiàn)塑性變形后卸載，短期內再重新加載，材料的比例極限、屈服極限提高，延伸率（塑性）降低的現(xiàn)象。時效鋼冷作硬化對材料力學性能的影響：比例極限p屈服極限s彈性模量E不變強度極限b不變殘余變形ep延伸率δ抗沖擊能力工程應用：冷拉鋼筋、冷拔鋼絲、冷軋鋼板可以提高材料在彈性階段的承載能力。但材料變脆，塑性降低，抗沖擊能力減弱，應力集中加劇。延伸率：l－試驗段原長（標距）Dl0－試驗段殘余變形塑性（延性）：

材料能經受較大塑性變形而不破壞的能力。斷面收縮率：塑性材料：d

≥5%例如結構鋼與硬鋁等脆性材料：d

<5%例如灰口鑄鐵與陶瓷等A

－試驗段橫截面原面積A1－斷口的橫截面面積塑性材料與脆性材料：低碳鋼：典型塑性材料共有的特點：斷裂時具有較大的殘余變形，均屬塑性材料。

有些材料沒有明顯的屈服階段。其它工程塑性材料的拉伸時的力學性能：硬鋁50鋼30鉻錳硅鋼

對于沒有明顯屈服階段的材料用名義屈服應力表示——

卸載后產生0.2%的塑性應變時所對應的應力值。e

s0.2s0.2%

名義屈服極限——σεo0.2%b確定的方法是:

在ε軸上取0.2％的點,對此點作平行于σ－ε曲線的直線段的直線（斜率亦為E）,與σ－ε曲線相交點對應的應力即為σ0.2。2、鑄鐵軸向拉伸時的力學性質

灰口鑄鐵在拉伸時的s—e

曲線特點：1、無明顯直線階段，σ-ε曲線從很低應力水平開始就是曲線；采用割線斜率作為彈性模量E；2、無屈服、強化、頸縮現(xiàn)象，只有唯一強度指標σbt(約140MPa)；3、延伸率非常小，斷裂時的應變僅為0.4%-0.5%，拉伸強度σb基本上就是試件拉斷時橫截面上的真實應力。典型的脆性材料鑄鐵的拉伸破壞：破壞原因：斷口晶粒明顯，是橫截面上的正應力造成的斷裂破壞。低碳鋼的壓縮試樣：1、低碳鋼在軸向壓縮時的力學性質§2.4.2低碳鋼和鑄鐵的軸向壓縮試驗低碳鋼的壓縮試驗特點：1、彈性階段，屈服階段均與拉伸時大致相同。比例極限彈性極限屈服極限E—彈性模量2、材料延展性很好，不會被壓壞，故沒有強度極限。

超過屈服階段后，外力增加，面積同時增加，應力始終達不到材料的極限應力，無破裂現(xiàn)象產生。低碳鋼的壓縮試驗seOsbL灰鑄鐵的拉伸曲線sby灰鑄鐵的壓縮曲線2、鑄鐵在軸向壓縮時的力學性質特點：

1、壓縮時的sb和d均比拉伸時大得多，;抗壓能力遠強于抗拉能力，宜做受壓構件；2、即使在較低應力下其σ-ε曲線也只近似符合胡克定律;3、最終沿著與軸線大致成45°－50的斜截面發(fā)生錯動而破壞。鑄鐵壓縮實驗破壞時斷裂面與軸線大致成45o

－50o。鑄鐵的壓縮試驗：破壞原因：斷口粗糙，晶粒不明顯，是斜截面上的切應力導致的破壞。其它脆性材料壓縮時的力學性質大致同鑄鐵，工程上一般作為抗壓構件。溫度對力學性能的影響：材料強度、彈性常數(shù)隨溫度變化的關系中炭鋼硬鋁塑性材料與脆性材料綜合性能比較：變形：塑性材料變形能力大，破壞前變形明顯，而脆性材料在沒有發(fā)生明顯塑性變形前就已經發(fā)生斷裂。強度：塑性材料抗拉和抗壓能力都很強，脆性材料抗壓能力遠強于抗拉能力?？箾_擊能力：塑性材料抗沖擊能力強，而脆性材料易碎易破。應力集中：常溫靜載時，應力集中對塑性材料強度的影響可以不考慮，但應力集中會嚴重降低脆性材料的強度；變載下，兩類材料都會受應力集中的影響。材料性能：材料的塑性、脆性隨受力條件和溫度條件變化而變化。思考題：用這三種材料制成同尺寸拉桿，請回答如下問題：哪種強度最好？哪種剛度最好？哪種塑性最好？請說明理論依據(jù)？三種材料的應力應變曲線如圖：123se極限應力：桿件中的應力隨著外力的增加而加大，當其達到某一極限時，材料將因變形過大或斷裂而不能再使用，此極限值稱為極限應力，以“σjx”（σu、σ0）表示。1、極限應力（危險應力、失效應力）§2.5拉壓桿的強度計算所以，要使構件安全工作，工作應力不能超過極限應力，即但是滿足以上條件時構件仍有可能失效，因為：（1）載荷分析計算的精確性。作用在構件上的外力常常難以準確估計；（2）計算模型的簡化具有近似性。構件的外形及受力極其復雜，需進行簡化建模計算，模型與實際結構不可能完全相符；（3）材料缺陷。材料均勻、連續(xù)、各向同性假設與實際構件有出入，且小試樣還不能真實地反映所用材料的性質；（4）實際構件的重要性。必須引入安全系數(shù)工作應力：極限應力：塑性材料：脆性材料：塑性材料的許用應力：脆性材料的許用應力：——許用應力:構件安全工作時的最大應力。n——安全系數(shù)（大于1）2、安全系數(shù)、許用應力安全系數(shù)取值考慮的因素：載荷分析計算的精確性;計算模型簡化的近似性;材料的不均勻性;構件的重要性。一般ns

=1.4~1.7；nb=2~53、強度條件：要使拉壓桿有足夠的強度，能夠安全可靠地工作，要求桿內的最大工作應力不超過材料的許用應力，即強度條件為：等直桿：變直桿：（3）確定外荷載——已知：[σ]、A。求：F。FNmax≤[σ]A?！鶩（2）設計截面尺寸——已知：F、[σ]。求：A解：A≥FNmax／[σ]。4、強度條件的應用：（解決三類強度問題）（1）校核強度——已知：F、A、[σ]。求：解：？≤？解：例已知一圓桿受拉力F=25kN，直徑d=14mm，許用應力

[]=170MPa，試校核此桿是否滿足強度要求(校核強度)。解：1、軸力FN

=F

=25kN2、應力：3、強度校核：此桿滿足強度要求，能夠正常工作。FF25KNXFN例油缸蓋與缸體采用6個螺栓連接。已知油缸內徑D=350mm，油壓p=1MPa。螺栓許用應力[σ]=40MPa，求螺栓的內徑。每個螺栓承受軸力為總壓力的1/6解：

油缸蓋受到的力根據(jù)強度條件即螺栓的軸力為得即螺栓的直徑為例

已知簡單構架：桿1、2截面積A1=A2=100mm2，材料的許用拉應力[st]=200MPa，許用壓應力[sc]=150MPa

試求：載荷F的許用值[F]解：1.軸力分析2.利用強度條件確定[F]（A1=A2=100mm2，許用拉應力[st]=200MPa，許用壓應力[sc]=150MPa）§2.6軸向拉壓桿的變形軸向變形：軸向尺寸的伸長或縮短。橫向變形：橫向尺寸的縮小或擴大。1、軸向變形：ΔL=L1-L，{（虎克定律的另一種表達方式）EA－抗拉（壓）剛度(構件抵抗彈性變形的能力)Dl－伸長為正，縮短為負

2、橫向變形：橫向線應變：橫向變形系數(shù)（泊松比）：在彈性范圍內：鋼材的E約為200GPa，μ約為0.25—0.33

a.等直桿受圖示載荷作用，計算總變形。（各段EA均相同）

b.階梯桿，各段EA不同，計算總變形。

c.軸向變形的一般公式例試分析桿AC的軸向變形

Dl分段求解:F2FaaABCFNxF3F例：已知桿件的E、A、F、a。求：△LAC、δB（B截面位移）εAB

（AB段的線應變）。解：1)畫FN

圖：2)計算：負值表示位移向下§2-7拉壓變形的超靜定問題靜定：結構或桿件的未知力個數(shù)等于有效靜力方程的個數(shù)，

利用靜力平衡方程就可以求出所有的未知力——靜定問題

超靜定：結構或桿件的未知力個數(shù)多于有效靜力方程的個數(shù)，利用靜力方程不能求出所有的未知力——超靜定問題

工程上常采用增加約束或構件的措施來提高結構的強度和剛度，由此增加了未知內力個數(shù)，形成超靜定系統(tǒng)。aaABC12D3多余約束超靜定的次數(shù)=未知力個數(shù)–平衡方程個數(shù)。超靜定問題的求解步驟：2、根據(jù)變形協(xié)調條件列出幾何方程(畫變形位移圖)。3、根據(jù)物理方程(變形與內力關系)寫出補充方程。4、聯(lián)立靜力平衡方程與補充方程求出所有的未知力。1、根據(jù)平衡條件列平衡方程（確定超靜定的次數(shù)）?！?.7.1超靜定問題及其解法

例求圖中所示等直桿AB上,下端的約束力，并求C截面的位移。桿的拉壓剛度為EA。

解:FA+FB-F=0，故為一次超靜定問題。去掉多余約束，代之以約束反力和位移限制條件。2.位移限制條件：3.補充方程：由此求得：

所得FB為正值，表示FB的指向與假設指向相符，即向上。4.由平衡方程：5.利用相當系統(tǒng)(圖b)求得法二：由連續(xù)條件：幾何方程——變形協(xié)調方程：物理方程－變形與受力關系解：平衡方程:聯(lián)立方程(1)、(2)、(3)可得:ABDC213aa例1：圖示桿系結構，，求：各桿的內力。FN2AaaFN3FN1特征：載荷按照剛度分配，體現(xiàn)能者多勞的分配原則ABDC213aa溫度應力：因溫度變化而引起的桿件應力變化值。這是超靜定結構與靜定結構的區(qū)別之一。1、靜定問題無溫度應力。

在靜定結構中，桿件能自由伸縮，由溫度變化而引起的變形不會在桿中引起應力；2、超靜定問題存在溫度應力。

在超靜定結構中，由溫度變化而引起的變形受到約束或其它構件的限制，桿件不能自由伸縮，桿件內將產生應力。溫度引起的變形量————α為線膨脹系數(shù)桿件的變形——由溫度變化引起的變形溫度內力引起的彈性變形§2.7.2溫度應力例題：已知：材料的線脹系數(shù)溫度變化（升高）1、解除B端約束，桿件因溫度升高產生變形而自由伸長2、桿端作用產生的縮短3、變形條件4、求解未知力即溫度應力為求：桿內溫度應力例

已知兩桿面積、長度、彈性模量相同，A、L、E，求：當1桿溫度升高時，兩桿的內力及約束反力。桿溫度膨脹系數(shù)BC12BC121、平衡方程:2、幾何方程：解：解除1桿約束，使其自由膨脹，A點移至A”；在約束作用下，剛性橫梁AB最終停留在A’B’位置。3、物理方程：例如圖，1、2號桿的尺寸及材料都相同，當結構溫度由T1上升到T2時,求各桿的溫度內力(不考慮載荷作用)。

（各桿的線膨脹系數(shù)分別為i;△T=T2-T1)CABD123解(1)平衡方程:FAFN1FN3FN2CABD123A1(2)幾何方程(3)物理方程：(4)補充方程：(5)解平衡方程和補充方程，得:工程中常采用適當措施來避免或降低溫度應力：在鐵軌接頭之間留空隙；混凝土路面或大橋面留伸縮縫；蒸汽管道預留伸縮節(jié)；橋梁、桁架一端采用輥軸支座；大橋在春末夏初合龍；合理選材；采用隔熱保溫層。防止溫度應力的措施蒸汽管道預留伸縮節(jié)

大型熱加工構件，由于內外冷卻速度不一致，從而在內部產生很大的殘余應力：經過熱鍛的大型軋輥，在無載荷作用下自動爆裂；西漢“透光鏡”能在屏幕上映射出銅鏡背面的紋飾圖案，其根本原因就是古銅鏡在鑄造時留下的殘余應力。即“鑄造成型、研磨透光