第二章 第九節(jié) 函數(shù)應(yīng)用

函數(shù)的應(yīng)用能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．二、解答函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟1．審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；2．建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；3．求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；4．還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題的意義．以上過(guò)程用框圖表示如下：提示：對(duì)實(shí)際應(yīng)用中的函數(shù)，除了函數(shù)解析式本身的定義域之外，還應(yīng)須使每個(gè)變量有實(shí)際意義．[究疑點(diǎn)]對(duì)于實(shí)際應(yīng)用中的函數(shù)，其定義域應(yīng)注意什么？[題組自測(cè)]1．一等腰三角形的周長(zhǎng)是20，底邊y是關(guān)于腰長(zhǎng)x的函數(shù)，它的解析式為 (

)A．y＝20－2x(x≤10)B．y＝20－2x(x<10)C．y＝20－2x(5≤x≤10)D．y＝20－2x(5<x<10)答案：D2．一根蠟燭長(zhǎng)20cm，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5cm，燃燒時(shí)剩下的高度h(cm)與燃燒時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為圖中的 (

)解析：由題意h＝20－5t,0≤t≤4.結(jié)合圖象知應(yīng)選B.答案：B3．國(guó)家規(guī)定個(gè)人稿費(fèi)納稅辦法為：不超過(guò)800元的不納稅；超過(guò)800元不超過(guò)4000元的按超過(guò)800元的14%納稅，超過(guò)4000元的按全稿費(fèi)的11%納稅．某人出了一本書(shū)，共納稅420元，這個(gè)人稿費(fèi)為(

)A．3600元B．3800元C．4000元

D．4200元答案：B4．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，某商品在最近40天內(nèi)的價(jià)格P與時(shí)間t的關(guān)系用圖(1)中的一條折線表示，銷售量Q與時(shí)間t的關(guān)系用圖(2)中的線段表示(t∈N*)．(1)分別寫(xiě)出圖(1)表示的價(jià)格與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系P＝f(t)，圖(2)表示的銷售量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系Q＝g(t)；(2)求這種商品的銷售額S(銷售量與價(jià)格之積)的最大值及此時(shí)的時(shí)間．[歸納領(lǐng)悟]1．實(shí)際問(wèn)題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成．如出租車票價(jià)與路程之間的關(guān)系，構(gòu)建分段函數(shù)模型求解．2．分段函數(shù)每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，在應(yīng)用時(shí)，可以先將其當(dāng)作幾個(gè)問(wèn)題，將各段的變化規(guī)律分別找出來(lái)，再將其合到一起．要注意各段變量的范圍，特別是端點(diǎn)值．[題組自測(cè)]1．某種商品進(jìn)價(jià)為每件100元，按進(jìn)價(jià)增加25%出售，后因庫(kù)存積壓降價(jià)，按九折出售，每件還獲利(

)A．25元B．20.5元C．15元

D．12.5元解析：九折出售時(shí)價(jià)格為100×(1＋25%)×90%＝112.5元，此時(shí)每件還獲利112.5－100＝12.5元．答案：D2．一塊形狀為直角三角形的鐵皮，直角邊長(zhǎng)分別為40cm與60cm，現(xiàn)將它剪成一個(gè)矩形，并以此三角形的直角為矩形的一個(gè)角．問(wèn)怎樣剪，才能使剩下的殘料最少？3．某加工廠需定期購(gòu)買材料，已知每公斤原材料的價(jià)格為1.5元，每次購(gòu)買原材料需支付運(yùn)費(fèi)600元，每公斤原材料每天的保管費(fèi)用為0.03元，該廠每天需要消耗原材料400公斤，每次購(gòu)買的原材料當(dāng)天即開(kāi)始使用(即有400公斤不需要保管)．(1)設(shè)該廠每x天購(gòu)買一次原材料，試寫(xiě)出每次購(gòu)買的原材料在x天內(nèi)總的保管費(fèi)用y1關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求該廠多少天購(gòu)買一次原材料才能使平均每天支付的總費(fèi)用y最少，并求出這個(gè)最少值．解：(1)每次購(gòu)買原材料后，當(dāng)天用掉的400公斤原材料不需要保管，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公斤原材料需要保管3天，…，第x天(也就是下次購(gòu)買原材料的前一天)用掉最后的400公斤原材料需保管(x－1)天．∴每次購(gòu)買的原材料在x天內(nèi)的保管費(fèi)用：y1＝400×0.03×[1＋2＋3＋…＋(x－1)]＝6x2－6x.不改變本題的條件下，材料廠家有如下優(yōu)惠條件：若一次購(gòu)買不少于4800公斤，每公斤按9折優(yōu)惠，問(wèn)該工廠是否可接受此條件？[歸納領(lǐng)悟]1．有些問(wèn)題的兩變量之間是二次函數(shù)關(guān)系，如面積問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題、產(chǎn)量問(wèn)題等．構(gòu)建二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)圖象與單調(diào)性解決．注意：在解決二次函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，一定要注意定義域．[題組自測(cè)]1．某林場(chǎng)計(jì)劃第一年造林10000畝，以后每年比前一年多造林20%，則第四年造林 (

)A．14400畝B．172800畝C．17280畝

D．20736畝答案：C答案：300[歸納領(lǐng)悟]增長(zhǎng)率問(wèn)題，在實(shí)際問(wèn)題中?？梢杂弥笖?shù)函數(shù)模型y＝N(1＋p)x(其中N是基礎(chǔ)數(shù)，p為增長(zhǎng)率，x為時(shí)間)和冪函數(shù)模型y＝a(1＋x)n(其中a為基礎(chǔ)數(shù)，x為增長(zhǎng)率，n為時(shí)間)的形式．解題時(shí)，往往用到對(duì)數(shù)運(yùn)算和開(kāi)方運(yùn)算，要注意用已知表格中給定的值對(duì)應(yīng)求解．一、把脈考情通過(guò)對(duì)近三年高考試題的統(tǒng)計(jì)分析可以看出，對(duì)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的考查，這類題目更多地以社會(huì)實(shí)際生活為背景，設(shè)問(wèn)新穎、靈活．題型主要以解答題為主，難度中等偏高，常與導(dǎo)數(shù)、最值交匯，主要考查建模能力，同時(shí)考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．預(yù)測(cè)2012年高考仍將以函數(shù)建模為主要考點(diǎn)，同時(shí)考查利用導(dǎo)數(shù)求最值問(wèn)題．二、考題診斷1．(2010·陜西高考)某學(xué)校要召開(kāi)學(xué)生代表大會(huì)，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表．那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y＝[x]([x]表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為(

)答案：B解析：當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表，可以看作先用該班人數(shù)除以10再用這個(gè)余數(shù)與3相加，若和大于等于10就增選一名代表，將二者合并便得到推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系，用取整函數(shù)y＝[x]([x]表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為y＝

．2．(2010·湖北高考)為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)＝