第二章數(shù)學模型與數(shù)值分析方法

計算機在材料科學與工程中的應用王建剛第1章數(shù)學模型與數(shù)值分析方法1.1數(shù)學模型基礎1.2建模步驟和原則1.3建模方法第一部分數(shù)學模型第1章數(shù)學模型與數(shù)值分析方法計算機在材料科學與工程中的應用第二章材料數(shù)據(jù)分析與模型建立

對于一個客觀實際，為了一個特定目的，根據(jù)其本身屬性及內在規(guī)律，作出必要的抽象、簡化假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具（數(shù)學公式、數(shù)學符號、程序及圖表等），得到的一個數(shù)學結構?；靖拍?1現(xiàn)實世界數(shù)學世界建立數(shù)學模型翻譯為實際解答始于現(xiàn)實世界并終于現(xiàn)實世界1.1數(shù)學模型基礎計算機在材料科學與工程中的應用第三章材料數(shù)據(jù)分析與模型建立2數(shù)學模型分類

2按照建立模型數(shù)學方法初等模型、圖論模型、規(guī)劃論模型、微分方程模型、最優(yōu)控制模型、隨機模型、模擬模型等。初等模型--為采用簡單而且初等的方法建立問題的數(shù)學模型。微分方程模型--指的是在所研究的現(xiàn)象或過程中取一局部或一瞬間，然后找出有關變量和未知變量的微分（或差分）之間的關系式，從而獲得系統(tǒng)的數(shù)學模型。1.1數(shù)學模型基礎按照對實體的認識過程描述性模型、解釋性數(shù)學模型。描述性模型—從特殊到一般，從分析具體客觀事物及其狀態(tài)開始，最終得到一個數(shù)學模型。解釋性模型—由一般到特殊，從一般的公理系統(tǒng)出發(fā)，借助于數(shù)學殼體，對公理系統(tǒng)給出正確解釋。計算機在材料科學與工程中的應用第三章材料數(shù)據(jù)分析與模型建立1.1數(shù)學模型基礎按照模型的應用領域人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、水資源模型、再生資源利用模型等。按照模型的特征靜態(tài)模型和動態(tài)模型、確定性模型和隨機、離散模型和連續(xù)性模型、線性模型和非線性模型等。按照模型的了解程度白箱模型、灰箱模型和黑箱模型。計算機在材料科學與工程中的應用第三章材料數(shù)據(jù)分析與模型建立數(shù)學模型的根本作用在于它將客觀原型進行抽象和簡化，便于人們采用定量的方法去分析和解決實際問題。材料科學從最早的試錯法的手工操作到作為當代重要科學支柱，數(shù)學的應用起著非常重要的作用，利用數(shù)學這一有效工具，可以深刻認識客觀現(xiàn)象的本質規(guī)律，促進學科發(fā)展。在材料研究和應用中，要對有關問題進行計算，就必須先建立該問題的數(shù)學模型。（材料設計，生產(chǎn)過程（極端條件，納米槍））1.1數(shù)學模型基礎2數(shù)學模型的作用

3計算機在材料科學與工程中的應用第三章材料數(shù)據(jù)分析與模型建立3.1數(shù)學模型和數(shù)學建模模型準備模型假設模型構成模型求解模型分析模型檢驗模型應用模型準備了解實際背景明確建模目的搜集有關信息掌握對象特征形成一個比較清晰的‘問題’1.2建立數(shù)學模型的一般步驟和原則計算機在材料科學與工程中的應用第三章材料數(shù)據(jù)分析與模型建立3.1數(shù)學模型和數(shù)學建模建模一般步驟：模型假設目的性原則、簡明性原則、真實性原則、全面性原則在合理與簡化之間作出折中模型構成用數(shù)學的語言、符號描述問題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學工具1.2建立數(shù)學模型的一般步驟和原則計算機在材料科學與工程中的應用第三章材料數(shù)據(jù)分析與模型建立3.1數(shù)學模型和數(shù)學建模模型求解各種數(shù)學方法、軟件和計算機技術。模型分析如結果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析。模型檢驗與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗模型的合理性、適用性。模型應用1.2建立數(shù)學模型的一般步驟和原則計算機在材料科學與工程中的應用第三章材料數(shù)據(jù)分析與模型建立3.1數(shù)學模型和數(shù)學建模建模的全過程現(xiàn)實對象的信息數(shù)學模型現(xiàn)實對象的解答數(shù)學模型的解答表述求解解釋驗證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗證根據(jù)建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數(shù)學問題選擇適當?shù)臄?shù)學方法求得數(shù)學模型的解答將數(shù)學語言表述的解答“翻譯”回實際對象用現(xiàn)實對象的信息檢驗得到的解答實踐現(xiàn)實世界數(shù)學世界理論實踐1.2建立數(shù)學模型的一般步驟和原則計算機在材料科學與工程中的應用第三章材料數(shù)據(jù)分析與模型建立實例：激光沖擊殘余應力的估算

目前，人們對殘余應力的測試一般采用的是一種破壞性的測試方法，而這種方法極大的防礙了激光沖擊強化技術在工程中的應用，造成大量人力物力的浪費，增加了生產(chǎn)的成本，限制了人們對被加工性能的有效控制。激光沖擊的基本力學模型：１.假設：1)假設在微秒時間內結構在厚度方向上所有質量都受到波及，而結構塑性動力響應通常需要經(jīng)歷毫秒以至更長時間才會達到結構的最大形變；2)假設被沖擊的工件材料為理想的剛塑性材料；3)激光沖擊壓力為GPa;彈性形變塑性形變Shockwave1.2建立數(shù)學模型的一般步驟和原則計算機在材料科學與工程中的應用第三章材料數(shù)據(jù)分析與模型建立

激光沖擊應力為一維平面波，在激光沖擊區(qū)取一個微體積元，僅在x方向考慮被壓縮，即沖擊波沿X方向傳播，考慮應力和應變的關系，為保持x的單軸應變條件而假設y=z,形變側面Y、Z方向尺寸不變，X方向有彈塑性變形，激光沖擊后彈性變形恢復不完全，導致了殘余應力的產(chǎn)生。1.2建立數(shù)學模型的一般步驟和原則計算機在材料科學與工程中的應用第三章材料數(shù)據(jù)分析與模型建立2.根據(jù)Mises屈服準則有：x-y|b在彈性范圍內，應力與應變的關系為：x=+2xy=+2yz=+2z式中：＝x＋y＋z，因為是單軸變形，側面受到介質約束，x＝（V0-V)/V,y=z=0,V是體積，＝／2(+u)，和u是材料的拉梅常數(shù)，是泊松比。(1)xyxyxX01.2建立數(shù)學模型的一般步驟和原則計算機在材料科學與工程中的應用第三章材料數(shù)據(jù)分析與模型建立

在塑性變形狀態(tài)，應變增量是彈性和塑性增量之和。因而在X方向有：

dx=dxe+dxp因為不存在塑性膨脹，所以有dxp＋dyp+dzp=0微元體中的殘余應力是彈性和塑性應變引起的，dx=d+2(dxe+dxp)dy=d+2（dye+dyp）dz=d+2(dze+dzp）(2)1.2建立數(shù)學模型的一般步驟和原則計算機在材料科學與工程中的應用第三章材料數(shù)據(jù)分析與模型建立激光沖擊應力作用后，在沖擊強化區(qū)的y，z方向上由彈性應力引起的彈性變形難以完全恢復，所以，在激光沖擊區(qū)形成殘余應力，于是可得簡單算式：y=1-x實際上x是隨沖擊應力波的衰減而變化，故殘余應力y也是隨x的變化而變化，設：xe-x有x=maxe-bx(3)(4)其中b為參量；1.2建立數(shù)學模型的一般步驟和原則在玻璃(K9)的約束層的條件下，激光沖擊產(chǎn)生的峰壓可以估算為：Pmax=0.2871/3(A.q0)2/3如果有max=pmax代入公式(４)x=pmaxe-bxy=pmaxe-bx1-(5)計算機在材料科學與工程中的應用第三章材料數(shù)據(jù)分析與模型建立

顯然該式(5)所表達的是Pmax未卸載時殘余應力的情形。令x=0，取Pmax＝2.8GPa，＝0.29，則b不論取何值，y=-1.12GPa，這顯然與實際測量值y=-400MPa相去甚遠，因此必須對式（５）加以修正。首先，由彈性力學原理可知：＝／E.因此，材料的彈塑性形變與彈性模量關系較大，材料受到相同外力作用時，彈性模量大的材料，彈塑性形變小；因此有：yE

(6)1.2建立數(shù)學模型的一般步驟和原則其次，由沖擊動力學原理可知，當材料的沖擊變形深度相同時，材料本身的彈性模量大，屈服極限高，沖擊波對材料產(chǎn)生的殘余應力的影響就深。如果材料本身彈性模量小，局部極限低，沖擊波對材料產(chǎn)生的殘余應力深度就淺。因此有：ye-bx/E

(7)結合(４)(５)(６)(７)1-(8)xEPmaxe-bx/EyEPmaxe-bx/E計算機在材料科學與工程中的應用第三章材料數(shù)據(jù)分析與模型建立然而此時，還需使公式(８)滿足邊界條件X=0時，解決y與實際殘余應力值相差太遠的問題，因此還必須在公式(８)中加入一個系數(shù)K,即：x=EkPmaxe-bx/Ey=EkPmaxe-bx/E1-(9)利用45鋼試樣的一組殘余應力數(shù)據(jù)對式（9)進行擬合，從而求得K=2.3x10-6(MPa)-1;b=2.16x108(MPa/m)，將所得的k,b數(shù)據(jù)代入公式（9）得到激光沖擊強化殘余應力的一般估算經(jīng)驗公式：

x=2.3x10-6EPmaxe-2.16x108x/Ey=2.3x10-6Pmaxe-2.16x108

x/EE-11.2建立數(shù)學模型的一般步驟和原則計算機在材料科學與工程中的應用第三章材料數(shù)據(jù)分析與模型建立21應用自然科學中已被證明是正確的理論、原理和定律，對被研究系統(tǒng)的有關因素進行分析、演繹、歸納，從而建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。Eg.在滲碳工藝過程中通過平衡理論找出控制參量與爐氣碳勢之間的理論關系式。1.3常用的數(shù)學建模方法理論分析法結構及性質已經(jīng)了解，但其數(shù)量描述及求解都相當困難。如構造出結構和性質與其相同，可以把后一種模型看成是原來模型的模擬。Eg.鋼鐵材料中裂紋在外載荷作用下尖端的應力、應變分布，采用環(huán)氧樹脂制備成具有同樣結構的模型，并根據(jù)鋼鐵材料中裂紋形式在環(huán)氧樹脂模型加工出裂紋；借助實驗光測力學的手段來完成分析。22模擬方法計算機在材料科學與工程中的應用第三章材料數(shù)據(jù)分析與模型建立2類比分析法

3若兩個不同的系統(tǒng)，可以用同一形式的數(shù)學模型來描述，則此兩個系統(tǒng)就可以互相類比。類比分析法是根據(jù)兩個（或兩類）系統(tǒng)某些屬性或關系的相似，去猜想兩者的其它屬性或關系也可能相似的一種方法。Eg.在聚合物的結晶過程中，結晶度隨時間的延續(xù)不斷增加，最后趨于該結晶條件下的極限結晶度，現(xiàn)期望在理論上描述這一動力學過程（即推導Avrami方程）。聚合物的結晶過程包括成核和晶體生長兩個階段，這與下雨時雨滴落在水面上生成一個個圓形水波并向外擴展的情形相類似，因此可通過水波擴散模型來推導聚合物結晶時的結晶度與時間的關系。1.3常用的數(shù)學建模方法計算機在材料科學與工程中的應用第三章材料數(shù)據(jù)分析與模型建立2數(shù)據(jù)分析法

4若在系統(tǒng)的結構性質不大清楚，但有若干能表征系統(tǒng)規(guī)律，描述系統(tǒng)狀態(tài)的數(shù)據(jù)可利用時，回歸分析是處理這類問題的有利工具。Eg.經(jīng)實驗獲得低碳鋼的屈服點s

與晶粒直徑d對應關系如表1-3中的數(shù)據(jù)所示，用最小二乘法建立起d與s之間關系的數(shù)學模型（即霍爾-配奇Hall-Petch公式）。1.3常用的數(shù)學建模方法計算機在材料科學與工程中的應用第三章材料數(shù)據(jù)分析與模型建立2數(shù)據(jù)分析法

4按照上述最小二乘法原理，誤差平方和為最小的直線是最佳直線。求最小值的條件是40050105286121180242345低碳鋼屈服極限與晶粒直徑以d-1/2作為x，s作為y，取y=a+by，為一直線。設實驗數(shù)據(jù)點為（Xi，Yi），一般來說，直線并不通過其中任一實驗數(shù)據(jù)點，因此，每點均有偶然誤差ei，ei=(a+bXi)-Yi1.3常用的數(shù)學建模方法計算機在材料科學與工程中的應用第三章材料數(shù)據(jù)分析與模型建立1.有限差分法2.有限元法第二部分數(shù)值分析方法第1章數(shù)學模型與數(shù)值分析方法計算機在材料科學與工程中的應用第三章材料數(shù)據(jù)分析與模型建立2.1有限差分法2概述

1有限差分方法使是以有限差分代替無限微分、以差分代數(shù)方程代替微分方程、以數(shù)值計算代替數(shù)學推導的過程，從而將連續(xù)函數(shù)離散化，以有限的、離散的數(shù)值代替連續(xù)的函數(shù)分布。主要步驟：1）構成差分格式。首先選擇網(wǎng)格布局、差分形式和步長；其次，以有限差分代替無限微分。2）求解差分方程。精確法，又稱直接法，即消元法；近似法，又稱間接法，即迭代法。3）對所得的數(shù)值解進行精度與收斂性分析和檢驗。計算機在材料科學與工程中的應用第三章材料數(shù)據(jù)分析與模型建立2差分方程的建立22.1有限差分法△y△xxyi，j+1i+1，ji，ji-1，ji，j-1O1.合理選擇網(wǎng)格布局及步長將求解區(qū)域內連續(xù)變化的自變量離散化，形成離散化網(wǎng)格。網(wǎng)格交點稱為結點，區(qū)域內函數(shù)被離散化。將離散化后各相鄰離散點之間的距離，或離散化單元的長度稱為步長。2.將微分方程轉化為差分方程差分某物理量的有限增量，分向前差分、向后差分和中心差分三種。差商差商為函數(shù)的差分與自變量差分之比。計算機在材料科學與工程中的應用第三章材料數(shù)據(jù)分析與模型建立2差分方程的求解方法32.1有限差分法直接法：矩陣法、Gauss消元法、主元素消元法間接法：Jocobi迭代法、Seidel迭代法和超松弛(SOR)迭代法計算機在材料科學與工程中的應用第三章材料數(shù)據(jù)分析與模型建立2.2有限元法有限元法的要點：將一個表示結構或連續(xù)體的求解域離散為若干個子域（單元），并通過他們邊界上的結點相互聯(lián)結成為組合體。用每個單元內所假設的近似函數(shù)來分片地表示全求解域內待求的未知場變量。通過和原問題數(shù)學模型（基本方程、邊界條件）等效的變分原理或加權余量法，建立求解基本未知量(場函數(shù)的結點值)的代數(shù)方程組或常微分方程組。計算機在材料科學與工程中的應用第三章材料數(shù)據(jù)分析與模型建立有限元分析的基本思想:

把連續(xù)的幾何結構離散成有限個單元的集合體，并在每一個單元中設定有限個節(jié)點，從而將連續(xù)體看作僅在節(jié)點處相連接的一組單元的集合體；同時選定場函數(shù)的節(jié)點值作為基本未知量，并在每一單元中假設一近似插值函數(shù)以表示單元中場函數(shù)的分布規(guī)律，再建立用于求解節(jié)點未知量的有限元方程組，從而將一個連續(xù)域中的無限自由度問題化為離散域中的有限自由度問題，求解得到節(jié)點值后就可以通過設定的插值函數(shù)確定單元上以致整個集合體上的場函數(shù)。運用有限元法可以模擬和逼近復雜的求解域。

2.2有限元法計算機在材料科學與工程中的應用第三章材料數(shù)據(jù)分析與模型建立ANSYS有限元分析的典型步驟：

1）利用前處理模塊，建立有限元模型，包括（1）定義單元類型，（3）定義實常數(shù)，（4）定義材料屬性，（5）建立幾何模型，（6）對幾何模型劃分網(wǎng)格；2）利用求解模塊進行加載和計算；3）利用后處理模塊查看結果，對結果圖形顯示和輸出。2.2有限元法計算機在材料科學與工程中的應用第三章材料數(shù)據(jù)分析與模型建立2有限元法的基本概念-直接剛度法12.2有限元法通過一個例子來介紹直接剛度法，說明有限元法求解的一般步驟。例：考慮一個變截面桿，如圖示。桿的一端固定，另一端承受P=1000N的載荷，桿的頂部寬w1=2cm，桿的底部寬w2=1cm，桿的厚度t=0.125cm，長度L=10cm，桿的彈性模量E=10.4×105MPa。試分析該桿沿長度方向不同位置的變形情況，質量忽略不計。1.前處理過程(1)求解區(qū)域離散化將求解的問題分解為結點和單元計算機在材料科學與工程中的應用第三章材料數(shù)據(jù)分析與模型建立3.2數(shù)學建模軟件簡介2.2有限元法(2)建立單元位移方程先考慮一截均一長度為l、截面為A的固體單元受外力F的變形情況。以彈簧的變形來模擬固體單元的變形，等價剛度為：keq=AE/l前面問題可近似將桿模型化為不同截面的等截面桿的串聯(lián)。桿在頂端固定，靜態(tài)平衡時，可獲得如下方程：10000-k1

k1+k2-k2000-k2

k2+k3-k3000-k3

k3+k4-k4000-k4

k4u1u2u3u4u50000P=計算機在材料科學與工程中的應用第三章材料數(shù)據(jù)分析與模型建立2.2有限元法(3)建立單元剛度方程每個單元有兩個結點，每個結點可建立兩個方程。方程包含結點位移和單元的剛度。結點i和i+1處可有方程：(4)單元集成將上式用于所有單元，進行集成，得到總體剛度矩陣：keq-keq

-keq

keqfifi+1uiui+1=k1

-k1000-k1

k1+k2-k2000-k2

k2+k3-k3000-k3

k3+k4-k4000-k4

k4=K(G)

(5)施加邊界條件和載荷2.求解階段3.后處理階段計算機在材料科學與工程中的應用第三章材料數(shù)據(jù)分析與模型建立(一)加權余量法工程或物理學中的許多問題，通常是以未知場函數(shù)應滿足的微分方程和邊界條件的形式提出來的，可以一般地表示為未知函數(shù)u應滿足微分方程組：2.2有限元法2有限元法的基本理論2域Ω可以是體積域，面積域等，如圖示，同時未知函數(shù)u還應滿足邊界條件：Υ是域Ω的邊界(2-1)(2-2)計算機在材料科學與工程中的應用第三章材料數(shù)據(jù)分析與模型建立2.2有限元法要求解得未知函數(shù)u可以是標量場（如溫度場），也可是幾個變量組成的向量場（如位移、應變、應力等）。A、B是對于獨立變量的微分算子。微分方程組是（2-1）在域Ω中每一點都必須為零，因此：(2-3)其中V是函數(shù)向量，它是和微分方程個數(shù)相等的任意函數(shù)。同理，假如邊界條件式（2-2）也同時在邊界上的每一點都得到滿足，對于一組任意函數(shù)V應有：(2-4)因此若積分形式對于所有的V和V都成立，式（2-5）稱為微分方程的等效積分形式。(2-5)計算機在材料科學與工程中的應用第三章材料數(shù)據(jù)分析與模型建立2.2有限元法對于微分方程式（2-1）和邊界條件式（2-2）所表達的物理問題，未知函數(shù)u可以用近似函數(shù)來表示。近似函數(shù)是一族帶有待定參數(shù)的已知函數(shù)，一般形式是：(2-6)式中，ai是待定參數(shù)，Ni是稱為試探函數(shù)的已知函數(shù)。在式（2-5）中，用n個規(guī)定函數(shù)來代替任意函數(shù)V和V，即：(2-7)可以得到近似的等效積分形式：權函數(shù)采用使余量的加權積分為零的方法來求微分方程的近似解的方法稱為加權余量法。(2-8)計算機在材料科學與工程中的應用第三章材料數(shù)據(jù)分析與模型建立