第二章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)時(shí)域分析

第二章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析2.1引言2.2微分方程式的建立與求解2.3起始點(diǎn)的跳變—從0-到0+狀態(tài)的轉(zhuǎn)換2.4零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)2.5沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)2.6卷積2.7卷積的性質(zhì)2.8用算子符號(hào)表示微分方程2.9以“分配函數(shù)”的概念認(rèn)識(shí)沖激函數(shù)δ（t）2.1

引言系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的時(shí)域表示時(shí)域分析方法:不涉及任何變換，直接求解系統(tǒng)的微分、積分方程式，這種方法比較直觀，物理概念比較清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域方法的基礎(chǔ)。本章中我們主要討論輸入、輸出描述法。2.2微分方程式的建立與求解主要內(nèi)容物理系統(tǒng)的模型微分方程的列寫n階線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法復(fù)習(xí)求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法許多實(shí)際系統(tǒng)可以用線性系統(tǒng)來模擬。若系統(tǒng)的參數(shù)不隨時(shí)間而改變，則該系統(tǒng)可以用線性常系數(shù)微分方程來描述。輸入激勵(lì)輸出響應(yīng)對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)，在時(shí)間域通常使用線性常系數(shù)微分方程來表示輸入輸出之間的關(guān)系。一、物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型二．微分方程的建立根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的物理特性建立系統(tǒng)的微分方程。對(duì)于電路系統(tǒng)，主要是按照元件的約束特性及系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的約束特性網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束來建立對(duì)應(yīng)的微分方程。元件的約束特性：表征元件特性的關(guān)系式。例如二端元件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關(guān)系等。網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束：由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定的電壓電流約束關(guān)系,KCL（基爾霍夫電流定律），KVL（基爾霍夫電壓定律）

。例2-2-1電感電阻電容根據(jù)KCL代入上面元件伏安關(guān)系，并化簡(jiǎn)有這是一個(gè)代表RLC并聯(lián)電路系統(tǒng)的二階微分方程。求RLC并聯(lián)電路的端電壓與激勵(lì)源間的關(guān)系。解：()tisRRiLLiCciab+-()tv彈簧的另一端固定在壁上。剛體與地面間的摩擦力為，外加牽引力為，其外加牽引力與剛體運(yùn)動(dòng)速度間的關(guān)系可以根據(jù)達(dá)朗貝爾定律推導(dǎo)出為這是一個(gè)代表機(jī)械位移系統(tǒng)的二階微分方程。教材P43-44

兩個(gè)不同性質(zhì)的系統(tǒng)具有相同的數(shù)學(xué)模型（二階微分方程），都是線性常系數(shù)微分方程，只是系數(shù)不同。對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)，則可以用高階微分方程表示。例2-2-2kmsF機(jī)械位移系統(tǒng)，質(zhì)量為m的剛體一端由彈簧牽引，三．n階線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述一個(gè)線性系統(tǒng)，其激勵(lì)信號(hào)與響應(yīng)信號(hào)之間的關(guān)系，可以用下列形式的高階微分方程式來描述若系統(tǒng)為時(shí)不變的，則C，E均為常數(shù)，此方程為常系數(shù)的n階線性常微分方程。四．求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法分析系統(tǒng)的方法：建立方程，求解方程。

求解方程時(shí)域經(jīng)典法就是：齊次解+特解。

解系統(tǒng)微分方程，也就是在已知輸入激勵(lì)的條件下求系統(tǒng)的響應(yīng)r(t)。齊次解：由特征方程→求出特征根→寫出齊次解形式注意重根情況處理方法。（例2-2-3）特解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設(shè)含待定系數(shù)的特解函數(shù)式→代入原方程，比較系數(shù)定出特解。

（例2-2-4）經(jīng)典法全解：齊次解+特解，由初始條件定出齊次解。例2-2-3

系統(tǒng)的特征方程為特征根因而對(duì)應(yīng)的齊次解為解：例2-2-4如果已知：分別求兩種情況下此方程的特解。給定微分方程式為使等式兩端平衡，試選特解函數(shù)式將此式代入方程得到

解：等式兩端各對(duì)應(yīng)冪次的系數(shù)應(yīng)相等，于是有聯(lián)解得到所以，特解為這里，B是待定系數(shù)。代入方程后有：(2)幾種典型激勵(lì)函數(shù)相應(yīng)的特解激勵(lì)函數(shù)e(t)響應(yīng)函數(shù)r(t)的特解(特征根s1α)(特征根s=)α我們一般將激勵(lì)信號(hào)加入的時(shí)刻定義為t=0，將響應(yīng)定義為時(shí)對(duì)應(yīng)微分方程的解，初始條件定義為

初始條件的確定是重點(diǎn)要解決的問題。下一節(jié)將給出解微分方程的例題2.3起始點(diǎn)的跳變—從0-到0+狀態(tài)的轉(zhuǎn)換起始狀態(tài)初始狀態(tài)起始點(diǎn)的跳變響應(yīng)區(qū)間：激勵(lì)信號(hào)加入之后系統(tǒng)狀態(tài)變化區(qū)間一般在t=0時(shí)刻加入，響應(yīng)區(qū)間為當(dāng)系統(tǒng)用微分方程表示時(shí)，系統(tǒng)從到狀態(tài)有沒有跳變?nèi)Q于微分方程右端自由項(xiàng)是否包含及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。

說明一般情況下?lián)Q路期間電容兩端的電壓和流過電感中的電流不會(huì)發(fā)生突變。這就是在電路分析中的換路定則：對(duì)于一個(gè)具體的電網(wǎng)絡(luò)，系統(tǒng)的狀態(tài)就是系統(tǒng)中儲(chǔ)能元件的儲(chǔ)能情況;但是當(dāng)有沖激電流強(qiáng)迫作用于電容或有沖激電壓強(qiáng)迫作用于電感，狀態(tài)就會(huì)發(fā)生跳變。

例2-3-1根據(jù)電路形式，列回路方程列結(jié)點(diǎn)電流方程(1)（1）建立電路的微分方程解：(2)求系統(tǒng)的完全響應(yīng)系統(tǒng)的特征方程特征根齊次解代入式(1)方程右端自由項(xiàng)為要求系統(tǒng)的完全響應(yīng)為特解(3)換路前因而有由于電容兩端電壓和電感中的電流不會(huì)發(fā)生突變,(4)求得要求的完全響應(yīng)為當(dāng)系統(tǒng)已經(jīng)用微分方程表示時(shí)，系統(tǒng)的0-狀態(tài)到0+狀態(tài)有沒有跳變決定于微分方程右端自由項(xiàng)是否包含δ(t)及其各階導(dǎo)數(shù)。如果包含有δ(t)及其各階導(dǎo)數(shù)，說明相應(yīng)的0-到0+狀態(tài)發(fā)生了跳變，即r(0+)≠r(0-)或r′(0+)≠r′(0-)等等。這時(shí)為確定r(0+)、r′(0+)等0+狀態(tài)值，可以用沖激函數(shù)匹配法。沖激函數(shù)匹配法的原理是根據(jù)t=0時(shí)刻微分方程左右兩端的δ(t)及其各階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該平衡相等。例2-3-2如果描述系統(tǒng)的微分方程為給定0-狀態(tài)起始值為r(0-)，確定它的0+狀態(tài)r(0+)。解：方程右端存在，因而有必定含有由此推出而方程右端不含因此除含有以外，還必須包含以平衡由于解題思路數(shù)學(xué)方法描述例2-3-3（即例2-3-1）（1）將e(t)代入，得時(shí)的微分方程為解：()te24Ot()()()()。和用沖激函數(shù)匹配法求和如圖，已知輸入的微分方程為描述++--==0dd0,00dd540

)(LTIrtrrtrte(2)方程右端的沖激函數(shù)項(xiàng)最高階次是，因而有代入微分方程求得因而有經(jīng)典法不足之處若微分方程右邊激勵(lì)項(xiàng)較復(fù)雜，則難以處理。若激勵(lì)信號(hào)發(fā)生變化，則須全部重新求解。若初始條件發(fā)生變化，則須全部重新求解。這種方法是一種純數(shù)學(xué)方法，無法突出系統(tǒng)響應(yīng)的物理概念。*另一種方法是卷積法（將在2.6節(jié)討論）系統(tǒng)完全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)2.4零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)先看一個(gè)實(shí)例例2-4-1已知電容兩端起始電壓vc(0-)，激勵(lì)源為e(t),求t>0時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)vc(t)。微分方程為vc(0-)-R++-+-vc(t)e(t)解：KVL()()()teRCtvRCtvdtdcc11=++=()cRdCdtvt()vtc()et()it系統(tǒng)的完全響應(yīng)可以看作由外加激勵(lì)源和起始狀態(tài)共同作用的結(jié)果。系統(tǒng)的完全響應(yīng)=零狀態(tài)響應(yīng)+零輸入響應(yīng)

一般情況，設(shè)系統(tǒng)是線性時(shí)不變的，含起始狀態(tài)系統(tǒng)方框圖為：H[?]e(t){x(0-)}r(t)=H[e(t)]+H[{x(0-)}]零輸入響應(yīng)rzi(t)：H[{x(0-)}]沒有外加激勵(lì)信號(hào)的作用，只有起始狀態(tài)（起始時(shí)刻系統(tǒng)電容、電感儲(chǔ)能）所產(chǎn)生的響應(yīng)。

零狀態(tài)響應(yīng)rzs(t)：H[e(t)]

不考慮起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能的作用（起始狀態(tài)等于零），由系統(tǒng)的外加激勵(lì)信號(hào)產(chǎn)生的響應(yīng)。

（H[·]表示系統(tǒng)作用的結(jié)果）零輸入響應(yīng)滿足方程滿足方程零狀態(tài)響應(yīng)自由響應(yīng)齊次解強(qiáng)迫響應(yīng)特解零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)完全響應(yīng)例2-4-2解：解得例2-4-3把t<0電路看作起始狀態(tài)，分別求t>0時(shí)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。1、零輸入響應(yīng)t>0電路：+-e(t)R1CL+-vc(0-)iL(0-)R2i(t)解：R1=1ΩC=1FL=1/4H+-vc(0-)=6/5ViL(0-)=4/5AR2=3/2

Ωi(t)滿足微分方程：t>0零輸入等效電路：R1=1Ω+-vc(0-)=6/5ViL(0-)=4/5AR2=3/2

Ωizi(0+)iL(0+)作出t=0+時(shí)刻的等效電路求得：零輸入響應(yīng)的形式：將代入求出常數(shù)要求的零輸入響應(yīng)：2.零狀態(tài)響應(yīng)+-e(t)=4u(t)C=1FL=1/4HR2=3/2?izs(t)R1=1?等效電路：微分方程：由例2-3-1可求得把e(t)=4u(t)代入方程右端得自由項(xiàng)利用沖激函數(shù)匹配法：代入原方程：求得3.完全響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)t→∞時(shí)保留下來的那部分分量自由響應(yīng)齊次解強(qiáng)迫響應(yīng)特解H[?]e(t){x(0-)}r(t)=H[e(t)]+H[{x(0-)}]對(duì)外加激勵(lì)信號(hào)e(t)和它對(duì)應(yīng)的響應(yīng)rzs(t)=H[e(t)]的關(guān)系而言，若系統(tǒng)的起始狀態(tài)為零，{xi(0-)}=0，則零輸入響應(yīng)為零，那么用常系數(shù)微分方程描述的系統(tǒng)是線性的和時(shí)不變的。如果起始狀態(tài){xi(0-)}≠0，由于響應(yīng)中零輸入分量的存在，導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)對(duì)外加激勵(lì)e(t)不滿足疊加性和均勻性，也不滿足時(shí)不變性，因而是非線性時(shí)變系統(tǒng)。同時(shí)由于零輸入分量存在，使響應(yīng)的變化不可能只發(fā)生在激勵(lì)變化之后，因而系統(tǒng)也是非因果的。這樣可以說用常系數(shù)微分方程描述的系統(tǒng)只有在起始狀態(tài)為零的條件下，系統(tǒng)才是線性時(shí)不變的，而且是因果的。如果將起始狀態(tài)也看成是一種激勵(lì)，如電壓源vC(0-)和電流源iL(0-)，則對(duì)零輸入響應(yīng)rzi(t)而言也滿足疊加性和均勻性，因而可以把常系數(shù)微分方程描述的系統(tǒng)的線性加以擴(kuò)展：（1）響應(yīng)的可分解性：系統(tǒng)響應(yīng)可以分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。（2）零狀態(tài)線性：當(dāng)起始狀態(tài)為零時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)rzs(t)對(duì)于外加激勵(lì)信號(hào)e(t)呈現(xiàn)線性，稱為零狀態(tài)線性。（3）零輸入線性：當(dāng)外加激勵(lì)為零時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)rzi(t)對(duì)于各起始狀態(tài)呈線性關(guān)系，稱為零輸入線性。注意2.5沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)一．定義1．沖激響應(yīng)h(t)系統(tǒng)在單位沖激信號(hào)作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位沖激響應(yīng)，簡(jiǎn)稱沖激響應(yīng)，一般用h(t)表示。

2．階躍響應(yīng)g(t)系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)激勵(lì)下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位階躍響應(yīng)，簡(jiǎn)稱階躍響應(yīng)，一般用g(t)表示。

3．h(t)與g(t)的關(guān)系沖激信號(hào)與單位階躍信號(hào)之間存在微分與積分關(guān)系，因而對(duì)于LTI系統(tǒng)，h(t)與g(t)間也同樣存在微分積分關(guān)系，即由于系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)要求系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，且輸入激勵(lì)為單位沖激信號(hào)δ(t)，因而沖激響應(yīng)h(t)僅取決于系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)及其元件參數(shù)。也就是說，不同結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)的系統(tǒng)，將具有不同的沖激響應(yīng)。因此，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)可以表征系統(tǒng)本身的特性。換句話說，不同的系統(tǒng)就會(huì)有不同的沖激響應(yīng)h(t)。二．h(t)表示系統(tǒng)特性任意信號(hào)都可以用沖激信號(hào)的組合來表示：若將e(t)作用到?jīng)_激響應(yīng)為h(t)的線性時(shí)不變系統(tǒng)，則系統(tǒng)的響應(yīng)為：由于h(t)是在零狀態(tài)下定義的，因而上式表示的響應(yīng)是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)rzs(t)。（卷積積分的計(jì)算及性質(zhì)將在2.6、2.7節(jié)介紹）卷積（H[·]表示系統(tǒng)作用的結(jié)果）系統(tǒng)的時(shí)域、頻域、S域模型沖激響應(yīng)h(t)與系統(tǒng)函數(shù)H(ω)、H(s)從時(shí)域和變換域兩方面表征了同一系統(tǒng)的本性。響應(yīng)及其各階導(dǎo)數(shù)(最高階為n次)三.沖激響應(yīng)求解(1)沖激響應(yīng)的數(shù)學(xué)模型對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng),可以用一高階常系數(shù)微分方程表示

激勵(lì)及其各階導(dǎo)數(shù)(最高階為m次)令e(t)=(t)則r(t)=h(t) （式一）起始狀態(tài)(2)h(t)解的形式由于δ（t）及其各階導(dǎo)數(shù)在t≥0+時(shí)都為零，因而方程式右端的自由項(xiàng)恒等于零，這樣原系統(tǒng)的沖激響應(yīng)形式與齊次解的形式相同。在n>m時(shí)，h(t)可以表示為（式二）式中待定系數(shù)Ak(k=1,2,…,n)可以采用沖激函數(shù)匹配法確定，即將式二代入式一中，為保持系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)方程式恒等，方程式兩邊所具有的沖激信號(hào)及其高階導(dǎo)數(shù)必須相等，根據(jù)此規(guī)則即可求得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)中的待定系數(shù)。當(dāng)n≤m時(shí),要使方程式兩邊所具有的沖激信號(hào)及其高階導(dǎo)數(shù)相等，則h(t)表示式中還應(yīng)含有δ(t)及其相應(yīng)階的導(dǎo)數(shù)δ(m-n)(t),δ(m-n-1)(t),…δ′(t)等項(xiàng)。此時(shí)可設(shè)沖激響應(yīng)h(t)中是否含有沖激信號(hào)δ(t)及其高階導(dǎo)數(shù)，是通過觀察動(dòng)態(tài)方程右邊的δ(t)的最高次與左邊h(t)的導(dǎo)數(shù)最高次來決定。對(duì)于h(t)中的含u(t)項(xiàng)，其形式由特征方程的特征根來決定，其設(shè)定形式與零輸入響應(yīng)的設(shè)定方式相同，即將特征根分為不等根、重根、共軛根等幾種情況分別設(shè)定。例2-5-1

設(shè)系統(tǒng)微分方程為求其沖激響應(yīng)。（方法一）解:n=2>m=1方程的特征根為a1=-2,a2=-3,可以設(shè)而方程右端為將上述結(jié)果代入后對(duì)比可得最后解出A1=3，A2=-2沖激響應(yīng)為為了保證等式兩邊系數(shù)相平衡，顯然當(dāng)m=n時(shí)，h(t)的表達(dá)式中應(yīng)包含δ(t)項(xiàng)；當(dāng)m>n時(shí),h(t)中還應(yīng)包含δ(t)的相應(yīng)階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。此時(shí)可設(shè)δ(t)的篩選特性：δ(t)f(t)=f(0)δ(t)無須求h(0+)和例2-5-2對(duì)例2-3-1所示電路，求電流i(t)對(duì)激勵(lì)e(t)=δ(t)的沖激響應(yīng)。（方法二）解：沖激響應(yīng)系統(tǒng)的微分方程將e(t)→(t)， i(t)→h(t)下面利用沖激函數(shù)匹配法求h(0+)和由于方程右端自由項(xiàng)(t)的最高階導(dǎo)數(shù)為″(t)，所以須求h(0+)和代入方程進(jìn)一步求參數(shù)A1、A2響應(yīng)及其各階導(dǎo)數(shù)(最高階為n次)四.階躍響應(yīng)求解(1)階躍響應(yīng)的數(shù)學(xué)模型對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng),可以用一高階常系數(shù)微分方程表示

激勵(lì)及其各階導(dǎo)數(shù)(最高階為m次)令e(t)=u(t)則r(t)=g(t) （式一）起始狀態(tài)(2)g(t)解的形式與沖激響應(yīng)方程右端恒為零不同，階躍響應(yīng)方程右端的自由項(xiàng)含有δ(t)及其各階導(dǎo)數(shù)，同時(shí)還包含階躍函數(shù)u(t)，因而階躍響應(yīng)表示式中，除去含齊次解形式之外，還應(yīng)含有特解項(xiàng)。（式二）例2-5-3求電流i(t)對(duì)激勵(lì)e(t)=u(t)的階躍響應(yīng)g(t)階躍響應(yīng)g(t)滿足方程求特解B，對(duì)t≥0+代入方程10B=4故B=2/5解：B為常數(shù)，因?yàn)榧?lì)為階躍信號(hào)，即時(shí)，其為常數(shù)1，由P46表2-2有，激勵(lì)函數(shù)為常數(shù)時(shí)，響應(yīng)函數(shù)的特解也為常數(shù)。利用沖激函數(shù)匹配法求常數(shù)A1、A2，由于方程右端自由項(xiàng)(t)的最高階導(dǎo)數(shù)為′

(t)，所以注意：該題也可以直接利用例2-5-2的結(jié)果以及h(t)與g(t)的微、積分的關(guān)系求得。代入方程一．卷積（Convolution）卷積積分的結(jié)果為另一個(gè)新的時(shí)間信號(hào)。

信號(hào)的脈沖分量分解之實(shí)質(zhì)是將信號(hào)表示為其本身與單位脈沖函數(shù)的卷積，換句話說，即任意信號(hào)可以用沖激信號(hào)的組合表示。線性時(shí)不變系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：2.６卷積由上式知卷積的物理意義：卷積的原理就是將信號(hào)分解為沖激信號(hào)之和，借助系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，求解系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)信號(hào)的零狀態(tài)響應(yīng)。二．卷積的計(jì)算信號(hào)存在時(shí)間的局限性（如分段信號(hào)），卷積的積分限會(huì)有所變化。卷積積分中積分限的確定是非常關(guān)鍵的。(1)利用圖解說明確定積分限(2)借助于階躍函數(shù)u(t)確定積分限卷積的圖解步驟方法一：利用圖解確定積分限例2-6-1Ot()tf1111-Ot()t1f111-()tf2Ot323Ot231-1浮動(dòng)坐標(biāo)浮動(dòng)坐標(biāo)：下限上限t-3t-0t：移動(dòng)的距離t=0未移動(dòng)f2(t-)t>0右移f2(t-)t<0左移f2(t-)-11t>0右移f2(t-)t-1兩波形沒有重合處，二者乘積為0，即積分為0-1t1時(shí)兩波形有重合部分，積分開始不為0，積分下限-1，上限t，t為移動(dòng)時(shí)間;1t2即1t21t2范圍內(nèi)兩波形有重合部分，積分不為0，積分下限-1，上限1;2t4即2

t4Ot()t1f111-2t4范圍內(nèi)兩波形有重合部分，積分不為0，積分下限t-3，上限1;t4Ot()t1f111-兩波形沒有重合處，二者乘積為0，即積分為0即t4t-310)(2)(12=--tttfttf，而有非零值1)(1=tf而時(shí))(2-ttf為零卷積結(jié)果Ot()tf1111-)(tgtO2421-1用圖解法直觀，尤其是函數(shù)式復(fù)雜時(shí)，用圖形分段求出定積分限尤為方便準(zhǔn)確，但比較繁瑣。用解析式做容易出錯(cuò)，最好將兩種方法結(jié)合起來。

方法二：借助于階躍函數(shù)u(t)確定積分限例2-6-2定積分限（關(guān)鍵）波形Ot()rt2Ot()te12Ot()th1例2-6-3tA)(t-thOttA)(thOt)(teOa0w202wa+一．代數(shù)性質(zhì)1．交換律2．分配律3．結(jié)合律2.7卷積的性質(zhì)二．位移性證明交換律卷積結(jié)果與交換兩函數(shù)的次序無關(guān)。因?yàn)榉瘩夼c反褶的積分面積與t無關(guān)。一般選簡(jiǎn)單函數(shù)為移動(dòng)函數(shù)。如矩形脈沖或(t)。分配律、結(jié)合律在系統(tǒng)分析中的應(yīng)用：分配律用于系統(tǒng)分析，相當(dāng)于并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，等于組成并聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。

?()th1()th2++()te()tr（a）并聯(lián)系統(tǒng)的結(jié)合律用于系統(tǒng)分析，相當(dāng)于串聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，等于組成串聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。

（b）串聯(lián)系統(tǒng)的()th1()th2()te()tr微分性積分性三．微分、積分性質(zhì)推廣：微分性質(zhì)積分性質(zhì)聯(lián)合使用n>0微分,n<0積分微分n次，積分m次m=n,微分次數(shù)＝積分次數(shù)微分性質(zhì)的證明兩端對(duì)t求導(dǎo)

同理已知即四.與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積推廣：信號(hào)的脈沖分量分解之實(shí)質(zhì)是將信號(hào)表示為其本身與單位脈沖函數(shù)的卷積。延時(shí)微積分例2-7-111111-)(tf)(thtt2OO1tO11t2())(1tf-)(th￠O)1(-O12O1211-tt)(tg)()1(t-f)(t-￠th1-tt3()1-011t-1/2e(t)012th(t)01t-1/2(-1)012t011t-1例2-7-23t（a）（b）（c）（d）由圖c、d，可以看出如果對(duì)某一信號(hào)微分后出現(xiàn)沖激信號(hào)，則卷積最終結(jié)果是另一信號(hào)對(duì)應(yīng)積分后平移疊加的結(jié)果。需要注意：因常數(shù)信號(hào)經(jīng)微分變成零，此時(shí)需要特殊處理。013僅用來表示定義域不對(duì)它們進(jìn)行積分計(jì)算2例2-7-3圖(a)系統(tǒng)由三個(gè)子系統(tǒng)構(gòu)成，已知各子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)如圖(b)所示。求復(fù)合系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，并畫出它的波形。(a)(b)解：如下圖所示

?()th1()th1()th2++()tf()tyt()th1O11t()th2O112t()thO1123021h1(t)+h2(t)t此題如果直接利用卷積微分與積分性質(zhì)計(jì)算，則將得出錯(cuò)誤的結(jié)果。例2-7-4解：ot()tf1121ot()tf211-()()11++-tuet教材P85習(xí)題2-19（b）此題若將f1(t)看成兩個(gè)信號(hào)的疊加，則也可以利用該性質(zhì)計(jì)算：o12t)()(21tftf*微分算子和積分算子

微分算子定義

(2.3-1)

積分算子定義

(2.3-2)

定義表明,微分和積分算子分別是微分和積分運(yùn)算符號(hào)的另一種簡(jiǎn)化表示.例如性質(zhì):性質(zhì)1以p的正冪多項(xiàng)式出現(xiàn)的運(yùn)算式,在形式上可以象代數(shù)多項(xiàng)式那樣進(jìn)行展開和因式分解.例如:

性質(zhì)2設(shè)A(p)和B(p)是p的正冪多項(xiàng)式,則

A(p)B(p)f(t)=B(p)A(p)f(t)(2.3-3)性質(zhì)3微分算子方程等號(hào)兩邊p的公因式不能隨便消去.例如,方程

py(t)=pf(t)不能隨意消去公因子p而得到y(tǒng)(t)=f(t)的結(jié)果.因?yàn)樗麄冎g可以相差一個(gè)常數(shù)c.正確結(jié)果應(yīng)寫為:y(t)=f(t)+c性質(zhì)4

設(shè)A(p),B(p),D(p)均為p的正冪多項(xiàng)式,則:(2.3-4)但是:(2.3-5)可見,對(duì)函數(shù)進(jìn)行先除后乘算子p的運(yùn)算時(shí),公式的分子與分母中共有p算子允許消去.而對(duì)函數(shù)進(jìn)行先乘后除運(yùn)算時(shí),則不能相消.也就是說,對(duì)函數(shù)乘除算子p的順序不能隨意顛倒.LTI系統(tǒng)的微分算子方程

微分算子方程

對(duì)于n階LIT連續(xù)系統(tǒng),其輸入輸出方程是n階線性常系數(shù)微分方程.若設(shè)系統(tǒng)輸入為f(t),輸出為y(t),則可表示為

(2.3-6)

利用微分算子將上式表示成

(2.3-7a)

或縮寫成

(2.3-7b)

或進(jìn)一步簡(jiǎn)記為

(2.3-7c)

式中

上面諸式中

和

均為常數(shù),且

。式(2.3-7)稱為系統(tǒng)的微分算子方程,簡(jiǎn)稱算子方程.系統(tǒng)傳輸算子

將微分算子方程(2.3-7c)在形式上改寫為

(2.3-8)

式中

(2.3-9)

它代表了系統(tǒng)對(duì)輸入的傳輸作用,故稱為響應(yīng)對(duì)激勵(lì)的傳輸算子,或系統(tǒng)的傳輸算子.

圖2.3-1給出了用傳輸算子H(p)表示的LIT連續(xù)系統(tǒng)的輸入輸出模型.

例2.3-1設(shè)某連續(xù)系統(tǒng)的傳輸算子為

試寫出系統(tǒng)的輸入輸出微分方程。解：令系統(tǒng)輸入為

，輸出為

。由給定的傳輸算子

寫出系統(tǒng)算子方程

該方程所代表的

與

之間的真正關(guān)系是

故系統(tǒng)的輸入輸出微分方程為

電路系統(tǒng)算子方程一.算子電路模型

將各基本元件

上的電壓,電流關(guān)系(

)用微積分算子形式表示,得到的模型稱為元件的算子模型,如表2.2所示.

表2.2電路元件的算子模型元件名稱電路符號(hào)u~i關(guān)系（VAR）VAR的算子形式算子模型電阻

電感

電容