第五章 線性系統(tǒng)頻率分析法

頻率響應(yīng)法是以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)的一種控制系統(tǒng)分析方法，與上一章介紹的根軌跡法一樣，它也是一種工程方法。能根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性圖形直觀地分析系統(tǒng)的閉環(huán)響應(yīng)；還能判別某些環(huán)節(jié)或參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響。可以對基于物理模型的系統(tǒng)性能進行分析；還可以對來自于實驗數(shù)據(jù)的系統(tǒng)進行有效分析。不僅適用于線性定常系統(tǒng)，而且還適用于傳遞函數(shù)不是有理數(shù)的純滯后系統(tǒng)和部分非線性系統(tǒng)的分析。研究的主要手段有極坐標(biāo)圖(Nyquist圖)和伯德圖(Bode圖)法。第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法5.1頻率特性5.2典型環(huán)節(jié)和開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性5.3頻率穩(wěn)定判據(jù)5.4穩(wěn)定裕度5.5閉環(huán)系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)本章重點：了解頻率特性基本特性和相關(guān)概念；掌握開環(huán)極坐標(biāo)圖和bode圖的繪制方法；掌握頻域穩(wěn)定判據(jù)，奈奎斯特判據(jù)，對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)掌握穩(wěn)定裕度的概念及求解了解閉環(huán)頻率特性及繪制方法了解頻域指標(biāo)和時域指標(biāo)之間的關(guān)系5.1頻率特性1、頻率特性的基本概念頻率特性的概念設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖，由勞斯判據(jù)知系統(tǒng)穩(wěn)定。給系統(tǒng)輸入一個幅值不變頻率不斷增大的正弦，Ar=1ω=0.5ω=1ω=2ω=2.5ω=4曲線如下:結(jié)論給穩(wěn)定的系統(tǒng)輸入一個正弦，其穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入同頻率的正弦，幅值隨ω而變，相角也是ω的函數(shù)。設(shè)傳遞函數(shù)G(s)可表示成極點形式系統(tǒng)輸出C(s)為系統(tǒng)輸入信號為：r(t)=Rsinωt，其拉氏變換為若系統(tǒng)穩(wěn)定，系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值為:其中有穩(wěn)態(tài)輸出與輸入信號的幅值比穩(wěn)態(tài)輸出與輸入信號的相角差定義線性定常系統(tǒng)在正弦信號作用下，穩(wěn)態(tài)輸出的復(fù)變量與輸入的復(fù)變量之比稱為系統(tǒng)的頻率特性，記為G(jω)有：例5-1

已知某RC網(wǎng)絡(luò)如圖所示，試?yán)妙l率特性的物理意義求解其在正弦輸入ui(t)=sint下的穩(wěn)態(tài)輸出。2、頻率特性、微分方程、傳遞函數(shù)之間的關(guān)系3、頻率特性的幾何表示方法1）幅相頻率特性曲線(極坐標(biāo)圖或幅相曲線)

頻率特性用一向量表示某一頻率下的向量的長度，向量極坐標(biāo)角為，的正方向取為逆時針方向，選極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)重合，極坐標(biāo)的頂點在坐標(biāo)原點。例5-2繪制RC網(wǎng)絡(luò)的幅相頻率特性曲線。為ω的偶函數(shù)為ω的奇函數(shù)注意：曲線對稱與實軸2）對數(shù)頻率特性曲線(Bode圖)Bode圖由對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性兩張圖組成。半對數(shù)坐標(biāo)：橫坐標(biāo)采用對數(shù)坐標(biāo)，縱坐標(biāo)采用線性坐標(biāo)。在Bode圖中，ω軸采用對數(shù)坐標(biāo)，在坐標(biāo)上標(biāo)明的是ω的實際值，但在坐標(biāo)軸上的距離卻是按ω值的常用對數(shù)lgω的大小來刻度的。任意兩點之間的距離為十倍頻程：頻率變化10倍，記作dec。每個dec沿橫坐標(biāo)走過一個單位長度。對數(shù)幅頻特性：對數(shù)幅頻特性：縱坐標(biāo)：單位：dB（分貝），為線性刻度縱坐標(biāo)：單位：度（°），為線性刻度變化十倍，變化20dB采用對數(shù)坐標(biāo)的優(yōu)點：1）擴展了低頻段，壓縮了高頻段。2）用對數(shù)可將乘除運算變成加減運算。4）由實驗所得的數(shù)據(jù)可用分段直線畫出對數(shù)頻率特性，可以得到實驗對象的數(shù)學(xué)模型。3）在對數(shù)坐標(biāo)圖上，所有典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性可用分段直線近似表示。例5-3繪制RC網(wǎng)絡(luò)的對數(shù)頻率特性曲線。3）對數(shù)幅相曲線(Nichols圖、尼科爾斯圖)由對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性合并而成的曲線，橫坐標(biāo)為相頻，縱坐標(biāo)為對數(shù)幅值，均采用線性刻度。5.2典型環(huán)節(jié)與開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性1、典型環(huán)節(jié)頻率特性曲線典型環(huán)節(jié)：與之對應(yīng)的非最小相位環(huán)節(jié)：若系統(tǒng)由n個典型環(huán)節(jié)串聯(lián)而成：極坐標(biāo)圖：Bode圖：1）比例環(huán)節(jié)（G(s)=K或-K，K>0）頻率特性幅相頻率特性：對數(shù)頻率特性：對數(shù)頻率特性曲線2）積分與純微分環(huán)節(jié)（G(s)=1/s或s）頻率特性幅相頻率特性：對數(shù)頻率特性：傳遞函數(shù)互為倒數(shù),Bode圖對稱于橫坐標(biāo)3)慣性環(huán)節(jié)和一階微分環(huán)節(jié)及對應(yīng)的非最小相位環(huán)節(jié)【G(s)=1/(Ts+1)、Ts+1

、1/(-Ts+1)、-Ts+1

】a）最小相位環(huán)節(jié)頻率特性幅相頻率特性：對數(shù)頻率特性：ω=1/T轉(zhuǎn)折頻率ω=1/T轉(zhuǎn)折頻率慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性漸進性的誤差修正曲線為：b）非最小相位環(huán)節(jié)頻率特性幅相頻率特性：對數(shù)頻率特性：ω=1/T轉(zhuǎn)折頻率ω=1/T轉(zhuǎn)折頻率傳遞函數(shù)互為倒數(shù)傳遞函數(shù)互為倒數(shù)最小相位和對應(yīng)的非最小相位環(huán)節(jié)4)振蕩環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)及對應(yīng)的非最小相位環(huán)節(jié)a）振蕩環(huán)節(jié)幅相頻率特性曲線：同負(fù)虛軸的交點：終點：起點：有諧振頻率：或有諧振峰值：或漸近線：準(zhǔn)確值：振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性同ζ之間的關(guān)系為：振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性漸近線的誤差修正曲線為：振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)相頻特性同ζ之間的關(guān)系為：b）二階微分環(huán)節(jié)同虛軸的交點：終點：起點：幅相頻率特性曲線：2、開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線結(jié)論：由典型環(huán)節(jié)串聯(lián)而成的開環(huán)系統(tǒng)的Bode圖由典型環(huán)節(jié)的Bode疊加而成！a）開環(huán)傳遞函數(shù)按典型環(huán)節(jié)分解1）繪制Bode圖的步驟及其對應(yīng)的非最小相位環(huán)節(jié)b）確定各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，按從小到大順序標(biāo)在對數(shù)坐標(biāo)ω軸上。c）繪制低頻段漸近線d）繪制中頻段及高頻段漸近線e）采用描點法繪制對數(shù)相頻特性曲線K<0，起點：終點：K>0，K>0，K<0，各轉(zhuǎn)折頻率處：由φ(ω)計算出。例5-3

某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性。40dB20dB0.1121020-20dB當(dāng)ω=0當(dāng)ω=1當(dāng)ω=2當(dāng)ω=20當(dāng)ω=∞例5-4

某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性。若系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，m2=0，n2=0例5-5

已知某最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻率特性漸近線如圖所示，試確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。3、開環(huán)幅相頻率特性曲線a）曲線的起點和終點1）繪制概略開環(huán)幅相曲線的三要素：c）曲線的變化范圍（象限、單調(diào)性）。b）曲線與坐標(biāo)軸的交點：例5-6

設(shè)某０型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

試概略繪制系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性。例5-7

設(shè)某I型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

試概略繪制系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性。2）繪制開環(huán)幅相曲線的規(guī)律：a）低頻段的起點：K>0K<0b）高頻段的終點：K>0K<0n>mn=m5.3頻率域穩(wěn)定判據(jù)1、奈氏判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1）復(fù)變函數(shù)F(s)的構(gòu)造特點：1）其零、極點，分別為系統(tǒng)的閉環(huán)極點和開環(huán)極點；2）零極點個數(shù)相同，都為n個；3）復(fù)平面上F(s)曲線和G(s)H(s)存在一個平移的關(guān)系。E(s)G(s)C(s)H(s)R(s)B(s)(-)2）幅角原理由復(fù)變函數(shù)理論可知，對于s平面上的任意一條不過F(s)任何奇異點（零、極點）的封閉曲線，則可通過映射關(guān)系在F(s)平面上找到一條與它相對應(yīng)的封閉曲線。當(dāng)s沿著曲線順時針旋轉(zhuǎn)一周時，則在F平面上對應(yīng)封閉曲線將以逆時針方向繞原點旋轉(zhuǎn)R周，且N=P-Z，其中Z和P分別為包圍的F(s)零點和極點的個數(shù)。幅角原理：R=P

-Z3）s平面Γ曲線的選擇R=P

-ZrΓR為ΓF曲線逆時針包圍坐標(biāo)原點的圈數(shù)，P和Z是F(s)被Γ路徑包圍的極點和零點的個數(shù)，也即閉環(huán)不穩(wěn)定極點和開環(huán)不穩(wěn)定極點個數(shù)。0型系統(tǒng)的映射關(guān)系：rAn>mn:G(s)H(s)極點個數(shù)m：G(s)H(s)零點個數(shù)S平面G(s)H(s)平面頻率特性R=2NxΓBC<<xxΓGH曲線：a）開環(huán)極坐標(biāo)圖當(dāng)-∞到0-和0+到+∞；b）坐標(biāo)原點；c）

Γ曲線不能通過F(s)的零極點GH(j0-)到GH(j0+)I型及以上型別系統(tǒng)的映射關(guān)系：R=2N2、奈氏判據(jù)由構(gòu)造的Γ路徑，畫開環(huán)幅相曲線(ω從-∞到∞變化)，其逆時針包圍(-1,j0)點圈數(shù)為R=P-Z，其中P和Z是F(s)被Γ路徑包圍的極點和零點的個數(shù)，也即閉環(huán)不穩(wěn)定極點和開環(huán)不穩(wěn)定極點個數(shù)，有：Z=P-R=0系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定若開環(huán)頻率特性曲線通過(-1,j0)點，則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。由構(gòu)造的Γ路徑，畫一半開環(huán)幅相曲線(ω從0到∞變化)，其逆時針包圍(-1,j0)點圈數(shù)為N，有：Z=P-R=P-2N=0系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定1）判據(jù)2）一半ΓGH曲線逆時針包圍(-1,j0)點圈數(shù)N的計算正穿越：隨著ω的增大，幅相曲線從上到下穿越負(fù)實軸的(-∞,-1)段，伴隨著相角的增加。負(fù)穿越：隨著ω的增大，幅相曲線從下到上穿越負(fù)實軸的(-∞,-1)段，伴隨著相角的減小。注意：若正(負(fù))穿越起于負(fù)實軸，則記為半次正(負(fù))穿越，次數(shù)為0.5次。例5-8設(shè)某I型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

試用奈氏判據(jù)討論其閉環(huán)穩(wěn)定性。例5-9已知某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線（K=10,P=0,v=1)如圖所示，試確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時的K值的范圍。3、對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)例5-10已知某三型開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)相頻曲線如圖所示，圖中ω<ωc時，L(ω)>L(ωc),試確定閉環(huán)不穩(wěn)定極點的個數(shù)。5.4穩(wěn)定裕度用幅相曲線同(-1,j0)點的靠近程度來表示系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，分別為相角裕度和幅值裕度。記開環(huán)頻率特性為：1、相角裕度2、幅值裕度hh幅值裕度：h=結(jié)論：對于一個穩(wěn)定的系統(tǒng)，同時要求h>0dB,γ>0工程上相角裕度在450～700，幅值裕度>6dB相角裕度的求法：幅值裕度的求法：例5-11某單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試分別求1）K=1時的相角裕度和幅值裕度；2）要求通過調(diào)整增益K，使系統(tǒng)的幅值裕度h=20dB，相位裕度γ≥40°。即可完全滿足要求！例5-12試分析單位負(fù)反饋二階系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度同快速性指標(biāo)之間的關(guān)系。相角裕度同超調(diào)量之間的關(guān)系:截止頻率同調(diào)節(jié)時間之間的關(guān)系:而有引申：高階系統(tǒng)的快速性指標(biāo)和穩(wěn)定裕度之間的關(guān)系例5-13試定性分析頻域穩(wěn)定裕度指標(biāo)同開環(huán)增益以及時域指標(biāo)之間的關(guān)系！例5-14設(shè)一單位負(fù)反饋系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性如圖所示(最小相位系統(tǒng))。1）寫出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)；2）判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性；3）若系統(tǒng)穩(wěn)定，求單位斜坡信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。1、Generallyspeaking,Forastableminimumphasesystem，whentheopen-loopgainKincreasesits

willincrease.essB)phasemarginC)ts

D)percentovershoot2、Forastablenegativefeedbacksystemthegreater

is,thelesstswouldbe.A)P.O%.B)ωcC)tr