第1章數(shù)字信號處理

1第1章離散時間信號與系統(tǒng)的時域分析1中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院1.1引言本書研究的對象是數(shù)字信號的分析和處理。信號通常分為：連續(xù)時間信號、離散時間信號、數(shù)字信號。通常把時間連續(xù)、幅度也連續(xù)的信號稱為模擬信號或稱為連續(xù)時間信號。時間離散、幅度連續(xù)的信號被稱為離散時間信號。時間離散、幅度也離散的信號被稱為數(shù)字信號。2中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院系統(tǒng)的作用是把信號變換成某種更合乎要求的形式。輸入和輸出都是模擬信號的系統(tǒng)被稱為模擬系統(tǒng)；輸入和輸出都是離散時間信號的系統(tǒng)被稱為離散時間系統(tǒng)；輸入和輸出都是數(shù)字信號的系統(tǒng)被稱為數(shù)字系統(tǒng)。3中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院模擬信號數(shù)字處理方法;時域離散信號的表示方法；典型信號、線性時不變系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性;系統(tǒng)的輸入輸出描述法，線性常系數(shù)差分方程的解法。本章主要學習4中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院51.1模擬信號數(shù)字處理方法前置預濾波器A/D變換器數(shù)字信號處理器D/A變換器模擬濾波器模擬xa(t)PrFADCDSPDACPoF模擬ya(t)采樣采樣恢復5中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院6一、采樣的基本概念所謂“采樣”，就是利用采樣脈沖序列從連續(xù)時間信號中抽取一系列的離散樣值，由此得到的離散時間信號通常稱為采樣信號，以表示。圖1-1采樣的原理框圖采樣器連續(xù)信號采樣脈沖采樣信號6中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院7（a）實際采樣（b）理想采樣圖1-2兩種采樣方式7中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院8二、理想采樣及其頻譜

1.時域分析數(shù)學模型采樣脈沖：理想采樣輸出:8中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院92.頻域分析

傅里葉（Fourier，1768～1830）生子法國中部歐塞爾一個裁縫家庭，八歲時淪為孤兒，就讀于地方軍校，1795年任巴黎綜合工科大學助教，1798年隨拿破侖軍隊遠征埃及，受到拿破侖器重，回國后被任命為格倫諾布爾省省長，由于對熱傳導理論的貢獻于1817年當選為巴黎科學院院士，1822年成為科學院終身秘書。9中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院10

傅里葉早在1807年就寫成關于熱傳導的基本論文，但經(jīng)拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德審閱后被科學院拒絕，1811年又提交了經(jīng)修改的論文，該文獲科學院大獎，卻未正式發(fā)表。1822年，傅里葉終于出版了專著《熱的解析理論》。這部經(jīng)典著作將歐拉、伯努利等人在一些特殊情形下應用的三角級數(shù)方法發(fā)展成內(nèi)容豐富的一般理論，三角級數(shù)后來就以傅里葉名字命名。10中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院11傅里葉發(fā)現(xiàn)，任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)成的無窮級數(shù)來表示（選擇正弦函數(shù)與余弦函數(shù)作為基函數(shù)是因為它們是正交的），后世稱為傅里葉級數(shù)。11中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院12映射時域相乘頻域卷積（模擬系統(tǒng)）1)沖激函數(shù)序列δT(t)的頻譜考慮到周期信號可以用傅里葉級數(shù)展開，因此，沖激函數(shù)序列δT(t)可用傅里葉級數(shù)表示為:其中12中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院因此，上式表明沖激函數(shù)序列具有梳狀譜的結(jié)構(gòu)，即它的各次諧波都具有相等的幅度1/T。

兩種方法求13中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院2）理想采樣信號的頻譜方法1：14中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院上式表明：

（1）頻譜產(chǎn)生周期延拓。即采樣信號的頻譜是頻率的周期函數(shù)，其周期為Ωs。

（2）頻譜的幅度是Xa(jΩ)的1/T倍。方法2：15中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院三、時域采樣定理如果信號xa(t)是帶限信號，且最高頻率不超過Ωs/2，即那么采樣頻譜中，基帶頻譜以及各次諧波頻譜彼此是不重疊的。

用一個帶寬為Ωs/2的理想低通濾波器，可以不失真的還原出原來的連續(xù)信號。

16中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院圖1-3采樣信號的頻譜圖但是，如果信號最高頻譜超過Ωs/2，那么在采樣頻譜中，各次調(diào)制頻譜就會相互交疊起來，這就是頻譜混疊現(xiàn)象。其中，Ωs/2或fs/2，稱作折疊頻率。17中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院1818中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院19圖1-26單音（余弦）信號采樣中的頻譜混疊情況示意圖

19中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院20設

√沒有混疊時，恢復出的輸出為

√有混疊時，則是結(jié)論：為使采樣后能不失真的還原出原信號，采樣頻率必須大于兩倍信號最高頻率，這就是奈奎斯特采樣定理。20中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院21四、采樣的恢復（內(nèi)插）

1.頻域分析21中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院222.時域分析

把輸出看成是與理想低通單位沖激響應g(t)的卷積理想低通G(jΩ)的沖激響應為22中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院23根據(jù)卷積公式，低通濾波器的輸出為：23中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院24其中：采樣內(nèi)插公式

內(nèi)插函數(shù)

內(nèi)插函數(shù)權(quán)內(nèi)插結(jié)果使得被恢復的信號在采樣點的值就等于xa(nT)，采樣點之間的信號則是由各采樣值內(nèi)插函數(shù)的波形延伸疊加而成的。

24中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院25

要完全恢復原來的連續(xù)信號xa(t)，需要以下條件：

①限帶信號；

②無限次的理想取樣（δ函數(shù)）；（N→∞）

③理想低通濾波器，即Sinc內(nèi)插函數(shù)（其截止頻率滿足fc≤f≤fs/2）但后兩條在物理上都是不可實現(xiàn)的，因此，原始信號在實際中不能由采樣真實的重建，而只能逼近原來的信號。采樣內(nèi)插公式說明，只要采樣頻率高于兩倍信號最高頻率，則整個連續(xù)信號就可以完全用它的采樣值來代表，而不會丟掉任何信息。這就是奈奎斯特定理的意義。25中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院1.2

離散時間信號——數(shù)字序列在離散時間系統(tǒng)中，信號要用離散時間的數(shù)字序列來表示。26中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院一、常用的典型序列1．單位脈沖(沖激)序列圖1-11單位脈沖序列和單位沖激信號(a)單位脈沖序列；(b)單位沖激信號27中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院2．單位階躍序列圖1-12單位階躍序列28中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院與之間的關系：29中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院3．矩形序列圖1-13矩形序列(N=4)30中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院4．實指數(shù)序列31中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院5．正弦型序列式中是正弦序列數(shù)字域的頻率。它反映了序列變化快慢的速率，或相鄰兩個樣點的弧度數(shù)。圖1-14正弦序列32中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院對連續(xù)信號中的正弦信號進行采樣，可得正弦序列。數(shù)字頻率ω與模擬角頻率Ω之間的關系為說明：（1）數(shù)字域頻率是模擬域頻率對采樣頻率的歸一化值

（2）模擬正弦中的角頻率單位是rad/s，而數(shù)字域頻率ω單位是rad。或33中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院6．復指數(shù)序列式中ω為數(shù)字域頻率。若，可得：歐拉恒等式稱為復正弦序列34中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院如果對所有n存在一個最小整數(shù)N，滿足則稱x(n)為周期序列，記為，最小周期為N。7.周期序列問題：模擬周期信號的采樣一定是周期序列嗎？？35中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院下面討論一般正弦序列的周期性。設

那么

（1）當為最小正整數(shù)（此時k=1），則正弦序列是周期序列，周期為N。（2）當為有理數(shù)時，P、Q為互素的整數(shù)，則正弦序列是以P為周期的周期序列，且周期。（3）當無理數(shù)，任何整數(shù)k都不能使N為正整數(shù)，因此，此時的正弦序列不是周期序列。滿足36中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院若（1）（2）（3）試判斷它們的周期性，畫出相應的波形。例1-237中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院結(jié)論：正弦序列或復指數(shù)序列不一定是周期序列，只有當數(shù)字頻率是的函數(shù)時，才一定是周期序列。38中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院二、序列運算1.乘法和加法

圖1-15序列的加法和乘法

39中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院2．移位及翻轉(zhuǎn)圖1-16序列的移位圖圖1-17序列的翻轉(zhuǎn)

表示序列右移（延時）；表示序列左移（超前）。是以n=0的縱軸為對稱軸左右翻轉(zhuǎn)而得到的．m為正整數(shù)40中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院3.尺度變換圖1-18序列的尺度變換

表示序列每m點(或每隔m-1點)取一點，稱為序列的壓縮或抽取。表示把原序列兩相鄰值之間插入m-1個零值，稱為序列的伸展或內(nèi)插零值。41中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院三、任意序列的單位脈沖序列表示任意序列可表示成單位脈沖序列的移位加權(quán)和。

即這種任意序列的表示方法具有普遍意義，在分析線性時不變系統(tǒng)中是一個很有用的公式。42中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院圖1-19用單位采樣序列移位加權(quán)和表示序列

例如43中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院1.3離散時間系統(tǒng)圖1-21時域離散系統(tǒng)所謂系統(tǒng)，是將輸入序列變換成輸出序列的一種運算，以表示這種運算。44中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院一、

線性系統(tǒng)若滿足則此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。例1-3

判斷y(n)＝T[x(n)]=5x(n)+3所表示的系統(tǒng)是否線性系統(tǒng)？解：因為T[ax1(n)+bx2(n)]=5[ax1(n)+bx2(n)]+3，而ay1(n)+by2(n)＝5ax1(n)+5bx2(n)+3(a+b)系統(tǒng)滿足疊加性和均勻性?？梢姶讼到y(tǒng)不是線性系統(tǒng)。增量線性系統(tǒng)p1445中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院系統(tǒng)的響應與輸入信號施加于系統(tǒng)的時刻無關?；蛘哒f，系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間變化，即不管輸入信號作用的時間先后，輸出信號的形狀均相同，僅是出現(xiàn)的時間不同。二、時不變系統(tǒng)（又稱移不變系統(tǒng)）設對任意整數(shù)k，若

則稱該系統(tǒng)為時不變系統(tǒng)46中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院圖1-22系統(tǒng)時不變說明的示意圖

47中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院判別所代表的系統(tǒng)是否是時不變系統(tǒng)。解因為因此該系統(tǒng)不是時不變系統(tǒng)?？梢娎?-548中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院既滿足疊加原理，又滿足時不變條件的系統(tǒng)，被稱為線性時不變系統(tǒng)。1.單位脈沖(沖激)響應即：單位脈沖響應是指輸入為單位脈沖序列時的系統(tǒng)輸出。三、線性時不變系統(tǒng)由可以確定任意輸入時的系統(tǒng)輸出，從而推出線性時不變離散時間系統(tǒng)一個非常重要的描述關系式。49中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院2.任意輸入時的系統(tǒng)輸出因為系統(tǒng)是線性時不變的，所以稱為離散卷積或線性卷積。任意序列都可以表示成單位脈沖序列的移位加權(quán)和50中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院線性時不變系統(tǒng)卷積運算有明確的物理意義，就是在一般意義上描述了線性時不變離散時間系統(tǒng)對輸入序列的作用或處理作用。51中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院3.線性卷積的計算計算它們的卷積的步驟如下：

(1)折疊：先在啞變量坐標軸m上畫出x(m)和h(m)，將h(m)以縱坐標為對稱軸折疊成h(-m)。

(2)移位：將h(-m)移位n，得h(n-m)。當n為正數(shù)時，右移n；當n為負數(shù)時，左移n。

(3)相乘：將h(n-m)和x(m)的對應取樣值相乘。

(4)相加：把所有的乘積累加起來，即得y(n)。52中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院53例1-6設x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。解：采用圖解法。53中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院例1-7

列表法表1-1例1-7列表法或?qū)懗桑?4中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院

在Matlab中，卷積可通過調(diào)用函數(shù)y=conv(x,h)來實現(xiàn)。注意：兩個長度分別為N和M的序列，線性卷積后的序列長度為N+M-1。MATLAB實現(xiàn)：n=[0:5-1];x=3*impseq(0,0,2)+2*impseq(1,0,2)+impseq(2,0,2);h=2*impseq(0,0,2)+impseq(1,0,2)+impseq(2,0,2);y=conv(x,h);stem(n,y,'.');ylabel('y(n)');axis([-1,5,0,8]);text(6.1,0.3,'n')圖1-18例1-7的MATLAB實現(xiàn)運行結(jié)果為：y=6773155中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院線性卷積服從交換律、結(jié)合律和分配律結(jié)合律分配律56中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院-----輸出的變化不領先于輸入的變化的系統(tǒng)。即n=n0的輸出y(n0)只取決于n≤n0的輸入。在數(shù)學上因果系統(tǒng)滿足如下方程：y(n)=f[x(n)，x(n-1)，x(n-2)，……]一個線性時不變系統(tǒng)為因果系統(tǒng)的充分必要條件:1.因果系統(tǒng)四、系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性57中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院非因果系統(tǒng)的延時實現(xiàn)在實際中，利用數(shù)字信號處理系統(tǒng)作非實時處理時，可以用具有很大延時的因果系統(tǒng)去逼近非因果系統(tǒng)。58中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院-----指對于每個有界輸入x(n)，都產(chǎn)生有界輸出y(n)的系統(tǒng)。即如果|x(n)|≤M(M為正常數(shù))，有|y(n)|<+∞，則該系統(tǒng)被稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。一個線性時不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是其單位脈沖響應h(n)絕對可和，即2.穩(wěn)定系統(tǒng)59中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院一個線性時不變系統(tǒng)為因果、穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件：60中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院設線性時不變系統(tǒng)的單位取樣響應，式中a是實常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。例1-8解由于n<0時，，系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。因此系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是:時，61中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院判別系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。解因果性：因為只與的當前值有關，而與，……等未來值無關，故系統(tǒng)是因果的。

穩(wěn)定性：當時，有，由于是有界的，所以也是有界的，故系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例1-962中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院1.4

離散時間系統(tǒng)的時域描述––––差分方程一、常系數(shù)線性差分方程的一般表達式其中ak，br都是常數(shù)。或者：63中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院該式說明，系統(tǒng)在某時刻n的輸出值y(n)不僅與該時刻的輸入x(n)、過去時刻的輸入x(n-1)，x(n-2)等有關，還與該時刻以前的輸出值y(n-1)，y(n-2)等有關。說明1)差分方程的階數(shù)是用方程項中的取值最大與最小之差確定的。2)64中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院差分方程的特點采用差分方程描述系統(tǒng)簡便、直觀、易于計算機實現(xiàn)。2.容易得到系統(tǒng)的運算結(jié)構(gòu)。3.便于求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應。但差分方程不能直接反應系統(tǒng)的頻率特性和穩(wěn)定性等。實際上用來描述系統(tǒng)多數(shù)還是由系統(tǒng)函數(shù)。65中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院常系數(shù)差分方程的求解方法有迭代法，時域經(jīng)典法，卷積法和變換域法。

時域經(jīng)典法類似于解微分方程，過程繁瑣，應用很少，但物理概念比較清楚。

迭代法(遞推法)比較簡單，且適合于計算機求解，但不能直接給出一個完整的解析式作為解答（也稱閉合形式解答）。

卷積法適用于系統(tǒng)起始狀態(tài)為零時的求解。

變換域方法類似于連續(xù)時間系統(tǒng)的拉普拉斯變換，這里采用Z變換法來求解差分方程，這在實際使用上是最簡單有效的方法。二、差分方程的求解66中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院設系統(tǒng)用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，輸入序列x(n)=δ(n)，求輸出序列y(n)。解：該系統(tǒng)差分方程是一階差分方程，需要一個初始條件。(1)設初始條件y(-1)=0y(n)=ay(n-1)+x(n)n=0時，y(0)=ay(-1)+δ(0)=1n=1時，y(1)=ay(0)+δ(1)=an=2時，y(2)=ay(1)+δ(2)=a2…n=n時，y(n)=any(n)=anu(n)以迭代法為例例1-10

67中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院n=0時，y(0)=ay(-1)+δ(0)=1+an=1時，y(1)=ay(0)+δ(1)=(1+a)an=2時，y(2)=ay(1)+δ(2)=(1+a)a2…n=n時，y(n)=(1+a)any(n)=(1+a)anu(n)(2)設初始條件y(-1)=168中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院

y(n-1)=a-1[y(n)-δ(n)]y(n)=a-1[y(n+1)-δ(n+1)]

y(0)=a-1[y(1)-δ(1)]=0

y(-1)=a-1[y(0)-δ(0)]=-a-1

y(-2)=a-1[y(-1)-δ(-1)]=-a-2…

y(n)=-ay(n-1)=-a

n得到

h(n)=y(n)=-anu(-n-1)(3)設初始條件69中國礦業(yè)大學信息與電氣工程學院（1）一個常系數(shù)線性差分方程不一定代表一個因果系統(tǒng)。（2）一個常系數(shù)線性差分方程，如果沒有附加的起始條件，不能唯一的確定一個系統(tǒng)的輸入