第3章 理想不可壓縮流體平面流

第3章理想不可壓縮流體平面位流3．1理想不可壓縮流體平面位流的基本方程3．2幾種簡(jiǎn)單的二維位流3．2．1直勻流3．2．2點(diǎn)源3．2．3偶極子3．2．4點(diǎn)渦3．3一些簡(jiǎn)單的流動(dòng)迭加舉例3．3．1直勻流加點(diǎn)源3．3．2直勻流加偶極子3．3．3直勻流加偶極子加點(diǎn)渦3．4二維對(duì)稱物體繞流的數(shù)值解本章討論怎樣求解不可壓理想流體無旋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。在理想不可壓條件下歐拉方程和連續(xù)方程包括四個(gè)方程和四個(gè)未知函數(shù)（u,v,w,p），理論上是可解的由于飛行器的外形都比較復(fù)雜，要在滿足如此復(fù)雜的邊界條件下求該偏微分方程組的解析解是非常困難的，原因在于方程包含非線性項(xiàng)，而且方程中速度與壓強(qiáng)相互耦合，需要一并求出人們發(fā)現(xiàn)在無旋條件下問題可以得到大大簡(jiǎn)化，尤其是可以將速度和壓強(qiáng)分開求解，這是因?yàn)闊o旋條件可使關(guān)于速度位的方程化為線性方程，從而便于單獨(dú)求得速度位即求出速度，而壓強(qiáng)可利用伯努利方程求解本章的思路是，先針對(duì)理想不可壓無旋流求得一些典型的速度位基本解，將這些基本解進(jìn)行疊加得到滿足非常簡(jiǎn)單邊界條件的流動(dòng)。對(duì)復(fù)雜外形的繞流，介紹用基本解進(jìn)行疊加的數(shù)值解法大意§3．1平面不可壓位流的基本方程

有無旋條件，就有位函數(shù)φ

存在，并且位函數(shù)與速度分量之間滿足：平面流動(dòng)的連續(xù)方程是：結(jié)合兩式，得平面不可壓位流必須滿足的方程：該方程稱為拉普拉斯方程，是個(gè)只與速度有關(guān)的線性方程，給定適當(dāng)邊界條件方程是容易求解的。1.位函數(shù)φ

及流函數(shù)ψ

所滿足的方程對(duì)于二維不可壓縮流動(dòng)，微分形式的質(zhì)量方程可以寫為：

數(shù)學(xué)上這是使成為某個(gè)函數(shù)ψ的全微分的充要條件，即

或：代入無旋條件：也滿足拉普拉斯方程：這也是只與速度有關(guān)的線性方程，給定邊條容易求解。位函數(shù)與流函數(shù)的關(guān)系稱為柯西－黎曼條件：2.疊加原理拉普拉斯方程可用算子▽2

表為▽2φ＝0。它是個(gè)線性方程，可以用疊加原理求復(fù)合的解。所謂疊加原理是說如果有分別滿足拉普拉斯方程，則這些函數(shù)的線性組合也必滿足拉普拉斯方程：此外，由于速度分量與位函數(shù)之間的關(guān)系是線性的因此也滿足疊加原理：而壓強(qiáng)與速度間關(guān)系為非線性故不滿足疊加原理3.邊界條件邊界條件是在流場(chǎng)邊界上規(guī)定的條件，邊界通常分為內(nèi)邊界和外邊界。對(duì)飛行器或物體而言，內(nèi)邊界即飛行器或物體表面，外邊界為無窮遠(yuǎn)。數(shù)學(xué)上滿足拉氏方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)。故要找一代表具體的定常不可壓理想位流運(yùn)動(dòng)，就是要找一個(gè)能符合具體流動(dòng)邊界條件的調(diào)和函數(shù)，求出位函數(shù)或流函數(shù)之后，即可求出速度分布，然后用伯努利方程求解壓強(qiáng)分布。按照在邊界上所給條件是針對(duì)位函數(shù)自身還是位函數(shù)的法向?qū)?shù)，邊界條件分為三種類型：（1）第一邊值問題（狄利希特問題）：給出邊界上位函數(shù)自身值（2）第二邊值問題（諾曼問題）：給出邊界上位函數(shù)的法向?qū)?shù)值（3）第三邊值問題（龐卡萊問題）：給出部分邊界上位函數(shù)自身值，部分邊界上位函數(shù)的法向?qū)?shù)值氣動(dòng)問題大多數(shù)屬于第二邊值問題將坐標(biāo)系與飛行器或物體固連，則外邊界在遠(yuǎn)離物體處，速度為V∞，內(nèi)邊界是物體表面，不允許流體穿過或表面法向速度為零外邊界內(nèi)邊界n為物面法向可以證明，拉普拉斯方程的解若在給定邊界上能滿足上述條件，則解是唯一的求不可壓理想無旋流繞物體的流動(dòng)問題就轉(zhuǎn)化為求解拉普拉斯方程的滿足給定邊條的特解這一數(shù)學(xué)問題位函數(shù)Φ的性質(zhì)小結(jié)速度位函數(shù)由無旋條件定義，位函數(shù)值可以差任意常數(shù)而不影響流動(dòng)。(2)速度位函數(shù)沿著某一方向的偏導(dǎo)數(shù)等于該方向的速度分量，速度位函數(shù)沿著流線方向增加。(3)對(duì)于理想不可壓縮無旋流動(dòng)，速度位函數(shù)滿足拉普拉斯方程，是調(diào)和函數(shù)，滿足解的線性迭加原理。(4)速度位函數(shù)相等的點(diǎn)連成的線稱為等位線，速度方向垂直于等位線。(5)連接任意兩點(diǎn)的速度線積分等于該兩點(diǎn)的速度位函數(shù)之差。速度線積分與路徑無關(guān)，僅決定于兩點(diǎn)的位置。對(duì)封閉曲線，速度環(huán)量為零。流函數(shù)Ψ的性質(zhì)小結(jié)(1)流函數(shù)由平面不可壓縮連續(xù)條件定義，流函數(shù)值可以差任意常數(shù)而不影響流動(dòng)。(2)等流函數(shù)線是流線。即等流函數(shù)線的切線方向與速度矢量方向重合。(3)對(duì)于理想不可壓縮無旋流動(dòng)，流函數(shù)滿足拉普拉斯方程，是調(diào)和函數(shù)，解也滿足疊加原理。(5)平面內(nèi)任兩點(diǎn)流函數(shù)的差等于通過此兩點(diǎn)連線的流量。(4)等流函數(shù)線與等位線正交。xyABdso位函數(shù)Φ和流函數(shù)Ψ之間滿足柯西-黎曼條件：速度分量與位函數(shù)和流函數(shù)之間的關(guān)系是：§3．2幾種簡(jiǎn)單的二維位流

§3．2．1直勻流直勻流是一種速度不變的最簡(jiǎn)單的平行流動(dòng)。其流速為流動(dòng)是無旋的，由速度位全微分積分可得位函數(shù)：又可求出流函數(shù)：

流線與等位線是正交的如圖

常用的是這樣的直勻流，它與x軸平行，從左面遠(yuǎn)方流來，流速為。

此時(shí)§3．2．2點(diǎn)源點(diǎn)源是從流場(chǎng)上某一點(diǎn)有一定的流量向四面八方流開去的一種流動(dòng)。源可以有正負(fù)。負(fù)源（又名匯）是一種與正源流向相反的向心流動(dòng)。如果把源放在坐標(biāo)原點(diǎn)上，那末這流動(dòng)便只有Vr，而沒有Vθ。xy位于原點(diǎn)的點(diǎn)源實(shí)驗(yàn)演示的點(diǎn)源設(shè)半徑為r處的流速是Vr，那末這個(gè)源的總流量是流量是常數(shù)，故流速Vr

與半徑成反比

x、y向的速度可分別寫為代入速度與位函數(shù)關(guān)系可積分求位函數(shù)。比較簡(jiǎn)便的是利用極座標(biāo)下位函數(shù)與速度的關(guān)系：由

位函數(shù)由上式積分得：（注：等位線Φ＝C是一系列同心圓）流函數(shù)由積分得：（注：流線ψ＝c1即θ＝c2

是一系列射線）此外注意上式中θ的值域?yàn)閇-2π,2π],但反正切函數(shù)的值域?yàn)閇-π/2,π/2]，故兩種表達(dá)有一定區(qū)別。xy如果源的位置不在坐標(biāo)原點(diǎn)，而在A（ξ,η）處，則相應(yīng)的速度分量為：除奇點(diǎn)處速度無定義之外，流場(chǎng)其他區(qū)域都是是無旋的。點(diǎn)源加1/2強(qiáng)度點(diǎn)匯點(diǎn)源加等強(qiáng)度點(diǎn)匯偶極子§3．2．3偶極子.

p§3．2．3偶極子等強(qiáng)度的一個(gè)源和一個(gè)匯，放在x軸線上，源放在（-h，0）處，匯放在（0，0）處。從源出來的流量都進(jìn)入?yún)R，流動(dòng)情況如圖:其中θ1、θ2

分別是點(diǎn)P與源和匯的連線與正x的夾角應(yīng)用疊加原理，位函數(shù)和流函數(shù)如下現(xiàn)在我們考慮一種極限情況，當(dāng)h→0但同時(shí)Q 增大，使保持不變的極限情況。這時(shí)位函數(shù)變成顯然等位線Φ=C是一系列圓心在x軸上的圓，且都過原點(diǎn)。除奇點(diǎn)處速度無定義之外，流場(chǎng)其他區(qū)域都是是無旋的。求流函數(shù)：上述位函數(shù)可寫為:利用極座標(biāo)下流函數(shù)與位函數(shù)的關(guān)系：對(duì)Ψ積分得：即：顯然流線ψ=C是一些圓心在y軸上的圓，且均過原點(diǎn)。兩個(gè)分速的表達(dá)式是合速要注意偶極子有軸線方向，上述布于x軸上的正負(fù)源形成的偶極子其軸線在－x方向，對(duì)于指向正x方向的偶極子，上述位函數(shù)、流函數(shù)和速度分布都要改變符號(hào)。如果偶極子軸線和x軸成θ角，正向指向第三象限如圖所示，在x’y’坐標(biāo)系中的位函數(shù)及流函數(shù)可寫為：y’x’xy根據(jù)二坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換關(guān)系：代入上述位函數(shù)和流函數(shù)表達(dá)，并注意到坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)時(shí)向徑不變：x’2+y’2=x2+y2，得到在(x,y)坐標(biāo)系中的偶極子：如果偶極子位于（ξ，η），軸線和x軸成θ角，正向指向第三象限，則

y’x’xyξηθ實(shí)際旋渦包含有旋的渦核和渦核外的被誘導(dǎo)的無旋流場(chǎng)。rVθ＝ωrVθ＝k/rr0p實(shí)際旋渦的渦核內(nèi)為有旋流渦核外為無旋流白色粉末顯示實(shí)際旋渦的周向誘導(dǎo)速度隨半徑增大而減小渦核誘導(dǎo)流場(chǎng)§3．2．4點(diǎn)渦§3．2．4點(diǎn)渦點(diǎn)渦可以看成實(shí)際旋渦的渦核直徑趨于零時(shí)的一種極限情況，除渦所在一點(diǎn)外，整個(gè)平面流場(chǎng)是無旋的，流體被點(diǎn)渦誘導(dǎo)繞點(diǎn)渦作圓周運(yùn)動(dòng)，流線是一些同心圓，流速只有周向速度，而沒有徑向速度。繞點(diǎn)渦的環(huán)量Γ是個(gè)確定的常數(shù)，例如繞半徑為r的圓環(huán)作環(huán)量計(jì)算，有：

式中的是個(gè)常數(shù)稱為點(diǎn)渦的強(qiáng)度，反時(shí)針方向?yàn)檎?。從而周向速度與離開中心點(diǎn)的距離r成反比：rVθ這與無限長(zhǎng)渦線產(chǎn)生的誘導(dǎo)速度一致。由幾何條件可立刻寫出u

、v

分量：xyuvVθθ位函數(shù)可由上式代入等后積分求出，但方便的還是利用極座標(biāo)關(guān)系：積分后得：顯然等位線Φ=C是一系列射線求流函數(shù)可由極座標(biāo)下流函數(shù)與位函數(shù)的柯西－黎曼關(guān)系：積分得：顯然流線ψ=C是一系列同心圓，可見點(diǎn)渦與點(diǎn)源的位函數(shù)與流函數(shù)只是對(duì)調(diào)了一下（上述負(fù)號(hào)只是代表渦轉(zhuǎn)向）。如果點(diǎn)渦的位置不在原點(diǎn)，而在（ξ，η），則點(diǎn)渦的位函數(shù)和流函數(shù)的式子分別是：

事實(shí)上沿任意形狀的圍線計(jì)算環(huán)量，值都是，只要這個(gè)圍線把點(diǎn)渦包圍在內(nèi)。但不包含點(diǎn)渦在內(nèi)的圍線，其環(huán)量卻是等于零的。點(diǎn)渦是實(shí)際旋渦的一種數(shù)學(xué)近似。點(diǎn)渦的速度在半徑r→0時(shí)將使Vθ→∞勢(shì)必使壓強(qiáng)p→－∞，這是不現(xiàn)實(shí)的，這時(shí)粘性必然要起作用，因此實(shí)際的旋渦存在一個(gè)渦核，核內(nèi)流體Vθ與半徑成正比為有旋流，核外為無旋流。實(shí)際渦核尺寸與粘性和渦強(qiáng)弱有關(guān)，一般不大，故數(shù)學(xué)上抽象為一個(gè)點(diǎn)，形成點(diǎn)渦模型。直勻流：xy基本解位函數(shù)、流函數(shù)小結(jié)：ab§3．3一些簡(jiǎn)單的二維位流迭加舉例

用基本的位流解可疊加成不同的流動(dòng)，例如用二點(diǎn)源可形成如下的模擬壁面的流動(dòng)：實(shí)驗(yàn)演示二等強(qiáng)度點(diǎn)源模擬固璧用固壁代替右端點(diǎn)源實(shí)驗(yàn)演示的直均流加點(diǎn)源用曲線固壁代替點(diǎn)源用直均流加點(diǎn)源可模擬如下半無限壁面的流動(dòng)：在一個(gè)平行于x軸由左向右流去的直勻流里，加一個(gè)強(qiáng)度為Q的源會(huì)產(chǎn)生如圖的流動(dòng)把坐標(biāo)原點(diǎn)放在源所在的地方，迭加得到的位函數(shù)是：§3．3．1直勻流加點(diǎn)源在x軸上有一個(gè)合速度為零的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)A，令即得駐點(diǎn)xA坐標(biāo)為：兩個(gè)分速是此處速度為零是因?yàn)辄c(diǎn)源速度恰好與直勻流速度相互抵消。該速度分布的特點(diǎn)之一是x~±∞時(shí)，u~V∞，v~0。我們可以把外部流動(dòng)看作是在直勻流中放了一個(gè)BAB′那樣形狀的物體所造成的流動(dòng)，反過來也可認(rèn)為繞該物體的流動(dòng)可以用直勻流加點(diǎn)源來構(gòu)造。該半無限體在+x無限遠(yuǎn)處，其寬度（y向尺寸）趨向一個(gè)漸近值D。過駐點(diǎn)A的流線BAB′是一條特殊的流線，把流場(chǎng)劃分成為兩部分。外面的是直勻流繞此圍墻的流動(dòng)，里面的是源流在此圍墻限制之內(nèi)的流動(dòng)。流線BAB′的形狀可以根據(jù)流函數(shù)ψ=c畫出來，也可以從流量關(guān)系推算出來。由流函數(shù)表達(dá)：

由駐點(diǎn)坐標(biāo)（y=0,θ=π)定常數(shù)c，得c＝Q/2，從而得流線BAB′的方程為：用直角坐標(biāo)表達(dá)，注意到反正切的值域?yàn)閇-π/2,π/2]：

該流線與y軸交于處，當(dāng)即流線在無窮遠(yuǎn)處趨于寬度為的直線。

從物理上這個(gè)結(jié)果很好理解，從源流出的流量只能限制在圍線中，由速度分布知：而源的流量為Q，以速度V∞流過時(shí)將占據(jù)寬度D=Q/V∞

另一方面，流線BAB′的方程：可寫為：左邊是直勻流V∞流過高y=rsinθ的寬度的流量，右邊則是從中心角為（π－θ）中流出的流量，二者相抵消，從而得流線方程的極座標(biāo)表達(dá)為：通常將壓強(qiáng)表為無量綱的壓強(qiáng)系數(shù)，其定義是當(dāng)?shù)仂o壓減去來流靜壓再除以來流的動(dòng)壓頭（這樣得到的結(jié)果與來流參數(shù)具體值p∞、V∞

無關(guān)，具有通用性）：

流場(chǎng)上的壓強(qiáng)可以用伯努利公式表達(dá)出來：得到表面壓強(qiáng)系數(shù)的表達(dá)為：將速度分布和表面流線幾何關(guān)系代入上式得到表面壓強(qiáng)系數(shù)的結(jié)果為：Cp

沿x軸分布的曲線特點(diǎn)如圖：直均流加變強(qiáng)度點(diǎn)源直均流加等強(qiáng)度點(diǎn)源、點(diǎn)匯用分布的點(diǎn)源、點(diǎn)匯構(gòu)造物面直均流加偶極子實(shí)驗(yàn)演示的直均流加點(diǎn)源和點(diǎn)匯的其他例子§3．3．2直勻流加偶極子設(shè)直勻流平行于x軸，由左向右流。再把一個(gè)軸線指向負(fù)x的偶極子放在坐標(biāo)原點(diǎn)處。這時(shí)，將產(chǎn)生如圖繞圓的流動(dòng)：

流函數(shù)是：

流動(dòng)的位函數(shù)是：圓的半徑可從駐點(diǎn)A的坐標(biāo)定出，令：解得：從而位函數(shù)和流函數(shù)分別寫為：

Ψ=0是一條特殊的流線，這時(shí)sinθ=0，即或，這就是x軸線，還有圓表面：r=a。兩個(gè)分速的式子是：用在的圓上時(shí)，有：將上述速度分布代入壓強(qiáng)系數(shù)可得：該壓強(qiáng)系數(shù)的分布特點(diǎn)如圖：繞圓流動(dòng)在表面上只有周向速度，沒有徑向速度：可見在θ＝π/2處速度達(dá)到最大為2V∞。

達(dá)朗培爾疑題達(dá)朗培爾（D’Alembert，18世紀(jì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家）提出，在理想不可壓流中，任何一個(gè)封閉物體的繞流，其阻力都是零。這個(gè)結(jié)論不符合事實(shí)。這個(gè)矛盾多少耽誤了一點(diǎn)流體力學(xué)的發(fā)展，那時(shí)人們以為用無粘的位流去處理實(shí)際流動(dòng)是沒有什么價(jià)值的。后來才知道，這樣撇開粘性來處理問題，是一種很有價(jià)值的合乎邏輯的抽象，它能使我們把影響流動(dòng)的各種因素分開來看清楚。譬如，早期由經(jīng)驗(yàn)得出來的良好翼型，最大的升阻比不過是幾十比一，后來在位流理論指導(dǎo)下，設(shè)計(jì)出來的翼型的最大升阻比竟達(dá)三百比一。這就是無粘抽象的指導(dǎo)意義。粘性流體繞圓柱的流動(dòng)顯示實(shí)驗(yàn)粘性流體繞圓柱的數(shù)值模擬xy§3．3．3直勻流加偶極子加點(diǎn)渦在直勻流加偶極子的流動(dòng)之上再在圓心處加一個(gè)強(qiáng)度為（–）的點(diǎn)渦（順時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)），將形成如下圖的流動(dòng)這時(shí)位函數(shù)和流函數(shù)分別是：在極坐標(biāo)下，兩個(gè)分速是：

仍是一條流線。在這個(gè)圓上：

可見由于引入環(huán)量－Г，在θ＝π/2處的最大速度將大于2V∞?；?qū)懗鲴v點(diǎn)的直角坐標(biāo)表達(dá)：∵

駐點(diǎn)的位置現(xiàn)在不在θ=π和θ=0處了，其位置可從定出來：∴xy

θs在第三和第四象限內(nèi)，前后駐點(diǎn)對(duì)y軸是對(duì)稱的。這個(gè)角度離開π和0的多少?zèng)Q定于環(huán)量Γ對(duì)4πaV∞之比值；Γ越大，駐點(diǎn)越往下移。當(dāng)點(diǎn)渦強(qiáng)度變大到Γ=4πaV∞

時(shí)，θs

=－π/2，二個(gè)駐點(diǎn)在－π/2處重合。當(dāng)點(diǎn)渦強(qiáng)度進(jìn)一步增大使Γ﹥4πaV∞

時(shí)，駐點(diǎn)將離開圓柱表面，且位于圓柱之下。xy下圖給出幾種不同點(diǎn)渦強(qiáng)度下駐點(diǎn)位置圖畫：顯然，有環(huán)量的繞圓流動(dòng)其左右仍是對(duì)稱的，但上下已不對(duì)稱了，因此在垂直于來流的y方向合力就不會(huì)為零。垂直于來流方向的空氣動(dòng)力分力稱為升力，可以通過沿圓柱表面壓強(qiáng)積分（利用伯努利方程將壓強(qiáng)表為速度分布后積分求得），或者利用動(dòng)量方程求出合力。§3．3．4庫塔-儒可夫斯基定理下面從動(dòng)量定理出發(fā)計(jì)算繞圓柱的有環(huán)量流動(dòng)的升力。以原點(diǎn)為中心，畫一個(gè)半徑為r1很大的控制面S，整個(gè)控制面還包括圓的表面S1以及連接S和S1的兩條割線(第二類控制體)。注意這兩條割線上的壓力和動(dòng)量進(jìn)出都對(duì)消了。S1上的壓力積分是物體所受的合力。受力情況左右對(duì)稱，不會(huì)有X方向合力。僅計(jì)算Y方向合力L即可。設(shè)徹體力略去不計(jì)、流動(dòng)定常，根據(jù)動(dòng)量方程圓柱所受到的升力L可表為：第一個(gè)積分中的p按伯努利公式用速度來表達(dá)，結(jié)果得：

在r1大圓上，，∴第二個(gè)積分得：結(jié)果與r1大小無關(guān)，總之合力L等于來流的密度ρ乘速度V∞

再乘以環(huán)量Γ。方向等于把直勻流的指向逆著環(huán)流轉(zhuǎn)π/2，稱為升力，該結(jié)果稱為庫塔-儒可夫斯基升力定理。所以:

考慮到速度、環(huán)量和升力之間的向量關(guān)系，升力定理可寫為：只要是封閉物體，代表其作用的正負(fù)源強(qiáng)度總和必須等于零，在遠(yuǎn)離物體的地方其作用和一個(gè)偶極子沒有什么區(qū)別,說明物形對(duì)升力沒有直接的關(guān)系，關(guān)鍵在于必須有繞物體的環(huán)量存在。有了環(huán)量又有一個(gè)直勻流，便有了升力。環(huán)量之所以能產(chǎn)生一個(gè)Y向的合力，也可以從圓柱體上的壓力分布直接看到。其中有環(huán)量和無環(huán)量繞流情況作了對(duì)比。無環(huán)量時(shí)，上半圓（θ由π至0）上的壓力分布和下半圓（θ由π至2π）上的壓力分布對(duì)稱，結(jié)果是合力為零。有環(huán)量時(shí)，上半圓上的負(fù)壓遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過下半圓上的負(fù)壓，所以有一個(gè)向上的合力，即升力。這個(gè)力的來源主要靠上半圓上的吸力。足球中的弧線球現(xiàn)象就是環(huán)量產(chǎn)生升力的例子之一：機(jī)翼的特殊形狀使它不用旋轉(zhuǎn)就能產(chǎn)生環(huán)量，上部流速加快形成吸力，下部流速減慢形成壓力。§3．4二維對(duì)稱物體繞流的數(shù)值解下面用解二維對(duì)稱物體繞流的例子來說明奇點(diǎn)疊加數(shù)值解法的應(yīng)用。無迎角的對(duì)稱物體沒有升力，根據(jù)上述分析和演示，提示我們把直勻流和分布的偶極子（或總強(qiáng)度為零的分布的點(diǎn)源和點(diǎn)匯，無環(huán)量）疊加起來，得到組合流動(dòng)——對(duì)稱封閉物體繞流。

設(shè)直勻流速度為V∞，在x軸上(a,b)范圍內(nèi)，連續(xù)分布單位長(zhǎng)度內(nèi)強(qiáng)度設(shè)為m（x）的偶極子。稱為偶極子密度。該組合流動(dòng)對(duì)任一空間點(diǎn)p(x,y)處的流函數(shù)為：對(duì)這種無升力物體的外形可以用零流線來表示，改變不同的偶極子密度分布，可以獲得不同形狀的封閉物體。由流函數(shù)與速度的關(guān)系確定速度分布，由速度與壓強(qiáng)的關(guān)系即伯努利方程確定壓強(qiáng)分布。對(duì)于實(shí)際問題，往往是給定物體的外形來確定其流動(dòng)的特性。待求方程是一個(gè)積分方程，求它的解是比較困難的，但是隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，可以用數(shù)值方法比較迅速地獲得這種方程的有一定準(zhǔn)確度的數(shù)值解。二維對(duì)稱物體繞流數(shù)值解法步驟首先，我們把偶極子分布區(qū)域分成等寬度的n段，設(shè)每段的寬度為△ξ，段數(shù)n可根據(jù)計(jì)算機(jī)容量及結(jié)果的準(zhǔn)確度要求而確定。某一定點(diǎn)P(x,y)處流函數(shù)為：

式中為第j段的中點(diǎn)離原點(diǎn)的距離；為第j段內(nèi)偶極子密度的平均值；表示第j段內(nèi)偶極子的強(qiáng)度。用物面邊界條件來確定待求的偶極子密度（現(xiàn)在即物面為零流線，滿足Ψ＝0），對(duì)于給定物體外形上的n

個(gè)已知點(diǎn)（xi，yi），就可以得到一個(gè)對(duì)未知函數(shù)的n

元一次聯(lián)立代數(shù)方程組： 其中Cij

為影響系數(shù)，表示處的單位偶極子密度對(duì)物體表面某點(diǎn)Pi(xi，yi)

處的流函數(shù)的貢獻(xiàn)。展開上式，即

利用解一次方程組的各種計(jì)算方法，求解上面方程組，確定偶極子密度mj。

一旦解得所給定物體外形的偶極子密度分布，則可確定流場(chǎng)內(nèi)任意點(diǎn)處的流函數(shù)，此后可由流函數(shù)與速度的關(guān)系及伯努利方程，確定流場(chǎng)內(nèi)各點(diǎn)處的速度及壓強(qiáng)值。在上述過程中，我們實(shí)際上是把第j段中分布的偶極子用集中在該段中點(diǎn)處的等強(qiáng)度的偶極子來代替了。顯然，如果分段數(shù)量較多，這種近似表示才有一定的準(zhǔn)確性。理論上，當(dāng)段數(shù)n趨于無限大時(shí)，偶極子密度分布的數(shù)