第3章時(shí)變電磁場(chǎng)

第3章時(shí)變電磁場(chǎng)?在時(shí)變電磁場(chǎng)中，電場(chǎng)與磁場(chǎng)都是時(shí)間和空間的函數(shù)；變化的磁場(chǎng)會(huì)產(chǎn)生電場(chǎng)，變化的電場(chǎng)會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)，電場(chǎng)與磁場(chǎng)相互依存，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場(chǎng)。?英國(guó)科學(xué)家麥克斯韋將靜態(tài)場(chǎng)、恒定場(chǎng)、時(shí)變場(chǎng)的電磁基本特性用統(tǒng)一的電磁場(chǎng)基本方程組高度概括。電磁場(chǎng)基本方程組是研究宏觀電磁場(chǎng)現(xiàn)象的理論基礎(chǔ)。?本章要求：深刻理解電磁場(chǎng)基本方程組的物理意義，掌握電磁波的產(chǎn)生和傳播特性。圖3.0時(shí)變場(chǎng)知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖電磁感應(yīng)定律全電流定律Maxwell方程組分界面上銜接條件動(dòng)態(tài)位A

,φ達(dá)朗貝爾方程正弦電磁場(chǎng)坡印亭定理與坡印亭矢量電磁幅射(應(yīng)用)3.1麥克斯韋方程組3.1.1法拉第電磁感應(yīng)定律當(dāng)與回路交鏈的磁通發(fā)生變化時(shí)，回路中會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，這就是法拉弟電磁感應(yīng)定律（Faraday’sLawofElectromagneticInduction）。引起磁通變化的原因分為三類：稱為感生電動(dòng)勢(shì)，這是變壓器工作的原理，又稱為變壓器電勢(shì)。

回路不變，磁場(chǎng)隨時(shí)間變化圖3.2感生電動(dòng)勢(shì)負(fù)號(hào)表示感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)總是阻礙原磁場(chǎng)的變化圖3.1感生電動(dòng)勢(shì)的參考方向稱為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，這是發(fā)電機(jī)工作原理，又稱為發(fā)電機(jī)電勢(shì)。?

磁場(chǎng)隨時(shí)間變化，回路切割磁力線

實(shí)驗(yàn)表明：感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與構(gòu)成回路的材料性質(zhì)無(wú)關(guān)（甚至可以是假想回路），只要與回路交鏈的磁通發(fā)生變化，回路中就有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。當(dāng)回路是導(dǎo)體時(shí)，才有感應(yīng)電流產(chǎn)生。?

回路切割磁力線，磁場(chǎng)不變圖4.1.2動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)電荷為什么會(huì)運(yùn)動(dòng)呢？即為什么產(chǎn)生感應(yīng)電流呢？感應(yīng)電場(chǎng)（渦旋電場(chǎng)）麥克斯韋假設(shè)，變化的磁場(chǎng)在其周圍激發(fā)著一種電場(chǎng)，該電場(chǎng)對(duì)電荷有作用力（產(chǎn)生感應(yīng)電流），稱之為感應(yīng)電場(chǎng)（ElectricFieldofInduction)。感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與感應(yīng)電場(chǎng)的關(guān)系為感應(yīng)電場(chǎng)是非保守場(chǎng)，電力線呈閉合曲線，變化的磁場(chǎng)是產(chǎn)生的渦旋源。圖4.3b變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生感應(yīng)電場(chǎng)若空間同時(shí)存在庫(kù)侖電場(chǎng),即則有變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)在靜止媒質(zhì)中圖4.3a變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生感應(yīng)電場(chǎng)根據(jù)自然界的對(duì)偶關(guān)系，變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)，變化的電場(chǎng)是否會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)呢？作閉合曲線

l與導(dǎo)線交鏈，根據(jù)安培環(huán)路定律3.1.2

位移電流，全電流定律

恒定場(chǎng)時(shí)變場(chǎng)面積分，斯氏定理面積分，斯氏定理矢量恒等式矢量恒等式圖3.4交變電路用安培環(huán)路定律為什么相同的線積分結(jié)果不同？全電流定律

全電流定律揭示不僅傳導(dǎo)電流激發(fā)磁場(chǎng)，變化的電場(chǎng)也可以激發(fā)磁場(chǎng)。它與變化的磁場(chǎng)激發(fā)電場(chǎng)形成自然界的一個(gè)對(duì)偶關(guān)系。麥克斯韋由此預(yù)言電磁波的。其中，——位移電流密度(DisplacementCurrentDensity)解：忽略極板的邊緣效應(yīng)和感應(yīng)電場(chǎng)位移電流密度位移電流

例3.1已知平板電容器的面積為S,相距為d,介質(zhì)的介電常數(shù)，極板間電壓為u(t)。試求位移電流iD；傳導(dǎo)電流iC與iD

的關(guān)系是什么?電場(chǎng)微分形式積分形式圖3.5傳導(dǎo)電流與位移電流3.1.3電磁場(chǎng)基本方程組-Maxwell方程組

全電流定律電磁感應(yīng)定律磁通連續(xù)性原理?全電流定律——麥克斯韋第一方程,表明傳導(dǎo)電流和變化的電場(chǎng)都能產(chǎn)生磁場(chǎng)；?電磁感應(yīng)定律——麥克斯韋第二方程,表明電荷和變化的磁場(chǎng)都能產(chǎn)生電場(chǎng)；?磁通連續(xù)性原理——表明磁場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng),磁力線總是閉合曲線；?高斯定律——表明電荷以發(fā)散的方式產(chǎn)生電場(chǎng)(變化的磁場(chǎng)以渦旋的形式產(chǎn)生電場(chǎng))。?麥克斯韋第一、二方程是獨(dú)立方程，后面兩個(gè)方程可以從中推得。?

靜態(tài)場(chǎng)和恒定場(chǎng)是時(shí)變場(chǎng)的兩種特殊形式。高斯定律四個(gè)方程所反映的物理意義3.2

邊界條件3.2.1邊界條件的一般形式

(1)

H的邊界條件(2)E的邊界條件

E在分界面上，其切向分量總是連續(xù)的。（3）B的邊界條件

B在分界面上的法向分量總是連續(xù)的。（4）D的邊界條件若分界面上不存在源面電荷，

分界面上存在源和分界面上無(wú)源分布或折射定律理想介質(zhì)與理想導(dǎo)體的分界面理想導(dǎo)體的如果不考慮導(dǎo)體中恒定磁場(chǎng)的存在，則理想導(dǎo)體中磁場(chǎng)也處處為零。因此，可認(rèn)為理想導(dǎo)體內(nèi)部電磁場(chǎng)都為零?；蚴街惺菍?dǎo)體表面法線方向的單位矢量。

3.3坡印廷定理（PoyntingTheorem）

—能量守恒和轉(zhuǎn)化定律在時(shí)變場(chǎng)中，電、磁能量相互依存取體積分，得

物理意義：體積V內(nèi)電源提供的功率，減去電阻消耗的熱功率，減去電磁能量的增加率，等于穿出閉合面S的電磁功率。在恒定場(chǎng)中，場(chǎng)量是動(dòng)態(tài)平衡下的恒定量，能量守恒定律為

表示單位時(shí)間內(nèi)流過與電磁波傳播方向相垂直單位面積上的電磁能量，亦稱為功率流密度，S的方向代表波傳播的方向，也是電磁能量流動(dòng)的方向。恒定場(chǎng)中的坡印廷定理注：磁鐵與靜電荷產(chǎn)生的磁、電場(chǎng)不構(gòu)成能量的流動(dòng)。坡印亭定理定義坡印廷矢量（PoyntingVector）

W/m2例3.3用坡印亭矢量分析直流電源沿同軸電纜向負(fù)載傳送能量的過程。設(shè)電纜為理想導(dǎo)體，內(nèi)外半徑分別為a和b。解：理想導(dǎo)體內(nèi)部電磁場(chǎng)為零。電磁場(chǎng)分布如圖所示。電場(chǎng)強(qiáng)度?穿出任一橫截面的能量相等，電源提供的能量全部被負(fù)載吸收。?電磁能量是通過導(dǎo)體周圍的介質(zhì)傳播的，導(dǎo)線只起導(dǎo)向作用。這表明：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流入內(nèi)外導(dǎo)體間的橫截面A的總能量為磁場(chǎng)強(qiáng)度坡印亭矢量圖3.7同軸電纜中的電磁能流以導(dǎo)體表面為閉合面，則導(dǎo)體吸收的功率為表明，導(dǎo)體電阻所消耗的能量是由外部傳遞的。例3.4導(dǎo)線半徑為a，長(zhǎng)為，電導(dǎo)率為，試用坡印亭矢量計(jì)算導(dǎo)線損耗的能量。電場(chǎng)強(qiáng)度磁場(chǎng)強(qiáng)度電源提供的能量一部分用于導(dǎo)線損耗另一部分傳遞給負(fù)載導(dǎo)體內(nèi)解：思路：圖3.8計(jì)算導(dǎo)線損耗的量圖3.9導(dǎo)體有電阻時(shí)同軸電纜中的E、H

與S3.4波動(dòng)方程靜態(tài)場(chǎng)的特點(diǎn)是場(chǎng)對(duì)源具有即時(shí)性，即源出現(xiàn)則場(chǎng)出現(xiàn)，源撤消則場(chǎng)撤消。在時(shí)變電磁場(chǎng)中，變化的電場(chǎng)將激勵(lì)起磁場(chǎng)，變化的磁場(chǎng)將激勵(lì)起電場(chǎng)，于是，這種電磁場(chǎng)的相互激勵(lì)可使場(chǎng)脫離源，形成向遠(yuǎn)方傳播的電磁波。

若無(wú)源空間，中充滿線性、均勻媒質(zhì)，則麥克斯韋方程組三維空間中的矢量齊次波動(dòng)方程對(duì)式同理于是即兩端取旋度波動(dòng)方程是電磁波理論的最基本的方程。是研究電磁波傳播規(guī)律的理論依據(jù)。

例3.5在一維空間中，波動(dòng)方程式退化為

若函數(shù)是二階連續(xù)可微的，可證明3.5.1正弦電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示3.5時(shí)諧電磁場(chǎng)正弦電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)形式與正弦穩(wěn)態(tài)電路中的相量法類同，后者有三要素：振幅(標(biāo)量，常數(shù))、頻率和相位。前者也有三要素：振幅（矢量、空間坐標(biāo)的函數(shù)）,頻率和相位。在直角坐標(biāo)系中，正弦電磁場(chǎng)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量可以寫成其中

分別稱為各分量振幅的相量，它的模和相角都是空間坐標(biāo)的函數(shù)，因此

稱為電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量，它含有各分量的振幅和初相兩大要素。電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量是一個(gè)為簡(jiǎn)化正弦場(chǎng)計(jì)算的表示符號(hào)，一般不能用三維空間中一個(gè)矢量來表示，也不能寫成指數(shù)形式。其中

電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量對(duì)時(shí)間的微分和積分可表示為

電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量的散度和旋度可表示為

同樣，其它的正弦場(chǎng)矢量可用相應(yīng)的復(fù)矢量表示，正弦源和ρ也可表為

例.

將下列場(chǎng)矢量的瞬時(shí)值改寫為復(fù)數(shù)；將場(chǎng)的復(fù)矢量寫為瞬時(shí)值。

解：（1）因?yàn)槭桥己瘮?shù)，則

(1)(2)而故

（2）因?yàn)?/p>

故3.5.2復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程組在正弦穩(wěn)態(tài)電磁場(chǎng)中，如果場(chǎng)和源都用相應(yīng)的復(fù)矢量和復(fù)數(shù)表示，則麥克斯韋方程組可表為去掉時(shí)間因子ejωt，再考慮到取實(shí)部的運(yùn)算和對(duì)空間坐標(biāo)的運(yùn)算可交換秩序，因此，麥克斯韋方程組可簡(jiǎn)化為通常我們將場(chǎng)的復(fù)矢量上面的點(diǎn)去掉，于是麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式可簡(jiǎn)寫成麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式對(duì)求解正弦電磁場(chǎng)具有十分重要的意義。對(duì)于正弦電磁場(chǎng)的求解，我們可根據(jù)給出的源寫出其復(fù)矢量和復(fù)數(shù)，然后利用麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式求出場(chǎng)的復(fù)矢量，再由電磁場(chǎng)的復(fù)矢量寫出電磁場(chǎng)的正弦表達(dá)式。例.在真空中，已知正弦電磁波的電場(chǎng)分量為

求波的磁場(chǎng)分量

解：先將波的電場(chǎng)分量寫成復(fù)矢量，即，將其代入復(fù)矢量的麥克斯韋方程：可得將上式展開取實(shí)部得

代入上式可得

場(chǎng)與動(dòng)態(tài)位的關(guān)系亥姆霍茲方程

3.5.2平均能流密度矢量在正弦電磁場(chǎng)中，坡印亭矢量的瞬時(shí)形式為稱之為平均功率流密度。同理

例3.6平板電容器如圖所示，當(dāng)兩極板間加正弦工頻交流電壓u（t）時(shí)，試分析電容器中儲(chǔ)存的電磁能量。解：忽略邊緣效應(yīng)及感應(yīng)電場(chǎng),則電場(chǎng)滿足無(wú)旋性質(zhì)，可表示為根據(jù)全電流定律，由位移電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)為顯然，電容器中儲(chǔ)存電場(chǎng)能量，磁場(chǎng)能量忽略不計(jì),電磁場(chǎng)近似為EQS場(chǎng)。整理得復(fù)坡印亭矢量電容器吸收