高中數(shù)學(xué)人教A版第二章數(shù)列 一等獎(jiǎng)

2023學(xué)年江西省南昌市重點(diǎn)中學(xué)高一（下）4月月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：共12小題，每小題5分，共60分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．?dāng)?shù)列{an}的前幾項(xiàng)為，則此數(shù)列的通項(xiàng)可能是（）A． B． C． D．2．若函數(shù)f（x）=cos（2x+φ）是奇函數(shù)，則φ可取一個(gè)值為（）A．﹣π B．﹣ C． D．2π3．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=2n﹣1（n∈N+），則a2023的值為（）A．2 B．3 C．2023 D．30334．已知△ABC的邊BC上有一點(diǎn)D滿足=3，則可表示為（）A．=﹣2+3 B．=+ C．=+ D．=+5．已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，a1+a2=2，a5+a6=8，則S10=（）A．16 B．32 C．40 D．626．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足sinA=2sinBcosC，則△ABC的形狀為（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形7．設(shè)向量，，若向量λ與向量垂直，則λ+μ=（）A． B． C．0 D．18．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，cos2A=sinA，bc=2，則△ABC的面積為（）A． B． C．1 D．29．《九章算術(shù)》中有一個(gè)“兩鼠穿墻”問題：今有垣（墻，讀音）厚五尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日穿（第一天挖）一尺，小鼠也日穿一尺．大鼠日自倍（以后每天加倍），小鼠日自半（以后每天減半）．問何日（第幾天）兩鼠相逢（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知△ABC中，滿足b=2，B=60°的三角形有兩解，則邊長(zhǎng)a的取值范圍是（）A．＜a＜2 B．＜a＜2 C．2＜a＜ D．2＜a＜211．已知O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足4=+2，則△AOB與△AOC面積之比為（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．2：112．定義min{a，b}=，若函數(shù)f（x）=min{sin（2x+），cos2x}，且f（x）在區(qū)間[s，t]上的值域?yàn)閇﹣1，]，則區(qū)間[s．t]長(zhǎng)度的最大值為（）A． B． C． D．π二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．若cos（﹣α）=，則cos（+α）=．14．已知單位向量的夾角為，，則在上的投影是．15．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，2a7﹣a8=5，則S11=．16．已知函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分圖象如圖所示，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于P點(diǎn)，其一條對(duì)稱軸與x軸交于C點(diǎn)，且PA=PC=2，PB=BC．則ω=．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，S3+S4=S5．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n．18．已知渡船在靜水中速度的大小為m/s，河水流速的大小為2m/s．如圖渡船船頭方向與水流方向成夾角，且河面垂直寬度為．（Ⅰ）求渡船的實(shí)際速度與水流速度的夾角；（Ⅱ）求渡船過河所需要的時(shí)間．[提示：4+2]．19．設(shè)△ABC的三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且b（sinB﹣sinC）+（c﹣a）（sinA+sinC）=0（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=，sinC=sinB，求△ABC的面積．20．已知，，函數(shù)f（x）=cos＜，＞．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）零點(diǎn)；（Ⅱ）若△ABC的三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且f（A）=1，求的取值范圍．21．已知平行四邊形ABCD中，，，對(duì)角線AC交BD于點(diǎn)O，AB上一點(diǎn)E滿足，F(xiàn)為AC上任意一點(diǎn)．（Ⅰ）求值；（Ⅱ）若，求的最小值．22．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足2Sn=3an﹣3（n∈N+），等差數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，且b5+b13=34，T3=9．（Ⅰ）求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn=anbn，問是否存在互不相等的正整數(shù)m，k，r使得m，k，r成等差數(shù)列，且cm，ck，cr成等比數(shù)列？若存在，求出m，k，r；若不存在，說明理由．

2023學(xué)年江西省南昌市重點(diǎn)中學(xué)高一（下）4月月考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：共12小題，每小題5分，共60分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．?dāng)?shù)列{an}的前幾項(xiàng)為，則此數(shù)列的通項(xiàng)可能是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】歸納推理．【分析】由題意，各項(xiàng)的分母為2，分子分別為1，6，11，16，21，可得數(shù)列的通項(xiàng)．【解答】解：由題意，各項(xiàng)的分母為2，分子分別為1，6，11，16，21，此數(shù)列的通項(xiàng)可能是an=，故選A．2．若函數(shù)f（x）=cos（2x+φ）是奇函數(shù)，則φ可取一個(gè)值為（）A．﹣π B．﹣ C． D．2π【考點(diǎn)】余弦函數(shù)的圖象．【分析】利用誘導(dǎo)公式，三角函數(shù)的奇偶性，求得φ的值．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=cos（2x+φ）是奇函數(shù)，∴φ=kπ+，k∈Z，故當(dāng)k=﹣1時(shí)，φ=﹣，故選：B．3．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=2n﹣1（n∈N+），則a2023的值為（）A．2 B．3 C．2023 D．3033【考點(diǎn)】數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法．【分析】由a2023=S2023﹣S2023，代值計(jì)算即可．【解答】解：∵Sn=2n﹣1（n∈N+），∴a2023=S2023﹣S2023=2×2023﹣1﹣2×2023+1=2故選：A4．已知△ABC的邊BC上有一點(diǎn)D滿足=3，則可表示為（）A．=﹣2+3 B．=+ C．=+ D．=+【考點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義．【分析】根據(jù)向量的三角形法則和向量的幾何意義即可求出．【解答】解：由=3，則=+=+=+（﹣）=+，故選：B5．已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，a1+a2=2，a5+a6=8，則S10=（）A．16 B．32 C．40 D．62【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】先求出首項(xiàng)和公比，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即可【解答】解：設(shè)公比為q，由a1+a2=2，a5+a6=8，，解得a1=2﹣2，q=，或q=﹣（舍去），S10==62，故選：D．6．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足sinA=2sinBcosC，則△ABC的形狀為（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】通過三角形的內(nèi)角和，以及兩角和的正弦函數(shù)，化簡(jiǎn)方程，求出角的關(guān)系，即可判斷三角形的形狀．【解答】解：因?yàn)閟inA=2sinBcosc，所以sin（B+C）=2sinBcosC，所以sinBcosC﹣sinCcosB=0，即sin（B﹣C）=0，因?yàn)锳，B，C是三角形內(nèi)角，所以B=C．三角形為等腰三角形．故選：A．7．設(shè)向量，，若向量λ與向量垂直，則λ+μ=（）A． B． C．0 D．1【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)題意，由、的坐標(biāo)計(jì)算可得λ=（2λ+4μ，λ+3μ），進(jìn)而由向量λ與向量垂直，分析可得（λ）?=0，化簡(jiǎn)即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，向量，，則λ=（2λ+4μ，λ+3μ），若向量λ與向量垂直，則有（λ）?=（2λ+4μ）﹣（λ+3μ）=0，即λ+μ=0；故選：C．8．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，cos2A=sinA，bc=2，則△ABC的面積為（）A． B． C．1 D．2【考點(diǎn)】正弦定理；二倍角的余弦．【分析】由已知利用二倍角余弦函數(shù)公式可求sinA，利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．【解答】解：由cos2A=sinA，得：或﹣1（舍去），∴，故選：A．9．《九章算術(shù)》中有一個(gè)“兩鼠穿墻”問題：今有垣（墻，讀音）厚五尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日穿（第一天挖）一尺，小鼠也日穿一尺．大鼠日自倍（以后每天加倍），小鼠日自半（以后每天減半）．問何日（第幾天）兩鼠相逢（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．【解答】解：由題意可知：大老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，前n天打洞之和為=2n﹣1，同理，小老鼠每天打洞的距離=2﹣，∴2n﹣1+2﹣=5，即2n﹣=4，解得n∈（2，3），取n=3即兩鼠在第3天相逢．故選：C．10．已知△ABC中，滿足b=2，B=60°的三角形有兩解，則邊長(zhǎng)a的取值范圍是（）A．＜a＜2 B．＜a＜2 C．2＜a＜ D．2＜a＜2【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】由正弦定理可知：三角形有兩個(gè)解，則滿足，代入即可求得邊長(zhǎng)a的取值范圍．【解答】解：由三角形有兩解，則滿足，∴，解得：2＜a＜，邊長(zhǎng)a的取值范圍（2，），故選C．11．已知O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足4=+2，則△AOB與△AOC面積之比為（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．2：1【考點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義．【分析】利用向量的運(yùn)算法則：平行四邊形法則得到O為中線CD的中點(diǎn)，得到三角形面積的關(guān)系．【解答】解：設(shè)AB的中點(diǎn)為D，∵O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足4=+2，∴﹣4=﹣+2﹣2，∴+=﹣2，∴O為中線CD的中點(diǎn)，∴△AOD，△BOD，△AOC的面積相等，∴△AOB與△AOC的面積之比為2：1，故選：D．12．定義min{a，b}=，若函數(shù)f（x）=min{sin（2x+），cos2x}，且f（x）在區(qū)間[s，t]上的值域?yàn)閇﹣1，]，則區(qū)間[s．t]長(zhǎng)度的最大值為（）A． B． C． D．π【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】作出函數(shù)的圖象，利用特殊角的三角函數(shù)值，即可得出結(jié)論．【解答】解：在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)f（x）=min{sin（2x+），cos2x}的圖象，由cos2x=，x取，sin（2x+）=﹣1，x取π，π﹣=，即f（x）在區(qū)間[s，t]上的值域?yàn)閇﹣1，]，則區(qū)間[s．t]長(zhǎng)度的最大值為，故選B．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．若cos（﹣α）=，則cos（+α）=﹣．【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【分析】利用誘導(dǎo)公式化解可得答案．【解答】解：∵cos（﹣α）=，則cos（+α）=cos[π﹣（）]=﹣cos（）=﹣．故答案為：．14．已知單位向量的夾角為，，則在上的投影是．【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)平面向量投影的定義，利用數(shù)量積的運(yùn)算求出對(duì)應(yīng)的值即可．【解答】解：?jiǎn)挝幌蛄康膴A角為，，則在上的投影是：||cos＜，＞==?=（2﹣）?=2﹣?=2﹣1×1×1×cos=．故答案為：．15．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，2a7﹣a8=5，則S11=55．【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】設(shè)等差數(shù)列公差為d，根據(jù)a7+d=a8帶入2a7﹣a8=5，可得a6=5，S11=可得答案．【解答】解：{an}為等差數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列公差為d，a7+d=a8帶入2a7﹣a8=5，可得a6=5，那么S11==55．故答案為：55．16．已知函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分圖象如圖所示，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于P點(diǎn)，其一條對(duì)稱軸與x軸交于C點(diǎn)，且PA=PC=2，PB=BC．則ω=．【考點(diǎn)】余弦函數(shù)的圖象．【分析】由題意利用正弦定理求得∠BCP=∠BPC=θ的值，可得∠PBA=2θ的值，判斷△PAB為直角三角形，利用直角三角形中的邊角關(guān)系求得AB的值，可得半個(gè)周期的值，從而求得ω的值．【解答】解：由題意PA=PC=2，可得△PAC為等腰三角形，∴∠PAB=∠PCB=θ，由PB=BC，可得∠BCP=∠BPC=θ，∴∠PBA=2θ．令PB=BC=x，則AB=2x，△PAB中，由正弦定理可得=，即=，∴=，∴sinθ=，∴θ=，∠PBA=2θ=，∴∠APB=．由PA=PC=2，∴PB=BC=，∴AB==4=，∴ω=，故答案為：．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，S3+S4=S5．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n．【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】（Ⅰ）由S3+S4=S5可得：a1+a2+a3=a5，3（1+d）=1+4d，解得d=2，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）．T2n=1﹣3+5﹣7+…+?（2n﹣3）﹣（2n﹣1）=﹣2n．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由S3+S4=S5可得：a1+a2+a3=a5，即3a2=a5，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴3（1+d）=1+4d，解得d=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n﹣1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：．∴T2n=1﹣3+5﹣7+…+?（2n﹣3）﹣（2n﹣1），=（﹣2）×n，=﹣2n，數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n=﹣2n．﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．已知渡船在靜水中速度的大小為m/s，河水流速的大小為2m/s．如圖渡船船頭方向與水流方向成夾角，且河面垂直寬度為．（Ⅰ）求渡船的實(shí)際速度與水流速度的夾角；（Ⅱ）求渡船過河所需要的時(shí)間．[提示：4+2]．【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】（Ⅰ）方法一：（向量坐標(biāo)法）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的模以及夾角公式即可求出，方法二：（正、余弦定理），根據(jù)平行四邊形法則和正弦定理和余弦定理即可求出，（Ⅱ）先求出所走的路程，即可求出所需要的時(shí)間【解答】解：（Ⅰ）方法一：（向量坐標(biāo)法）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系由條件，，知，，由，即所以所以，即所以渡船的實(shí)際速度與水流速度的夾角；（Ⅱ）由（Ⅰ）知船垂直方向速度為所以渡船過河所需要的時(shí)間s．…方法二：（正、余弦定理）（Ⅰ）如圖所示，，設(shè)渡船的合速度，則由條件，，根據(jù)向量的平行四邊形法則有：，，在△OAC中，由余弦定理得=，在△OAC中，由正弦定理得，得所以渡船的實(shí)際速度與水流速度的夾角；（Ⅱ）由（Ⅰ）知船所走過路程為所以渡船過河所需要的時(shí)間s．19．設(shè)△ABC的三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且b（sinB﹣sinC）+（c﹣a）（sinA+sinC）=0（Ⅰ）求角A的大?。唬á颍┤鬭=，sinC=sinB，求△ABC的面積．【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算．【分析】（Ⅰ）由正弦定理得b2+c2﹣a2=bc，由由余弦定理求角A的大??；（Ⅱ）若a=，sinC=sinB，利用三角形的面積公式，即可求△ABC的面積．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)閎（sinB﹣sinC）+（c﹣a）（sinA+sinC）=0，由正弦定理得b（b﹣a）+（c﹣a）（a+c）=0，∴b2+c2﹣a2=bc，…∴由余弦定理得，∴在△ABC中，．…（Ⅱ）方法一：因?yàn)椋?，∴∴，∴tanB=1，在△ABC中，又在△ABC中，由正弦定理得，∴∴△ABC的面積…方法二：因?yàn)?，由正弦定理得而，，由余弦定理得b2+c2﹣bc=a2，∴∴b2=2，即，∴△ABC的面積S==…20．已知，，函數(shù)f（x）=cos＜，＞．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）零點(diǎn)；（Ⅱ）若△ABC的三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且f（A）=1，求的取值范圍．【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】（Ⅰ）先化簡(jiǎn)函數(shù)，再求函數(shù)f（x）零點(diǎn)；（Ⅱ）求出A，C，利用正弦定理，邊化角，利用三角函數(shù)知識(shí)求的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）由條件可知：===…∴…所以函數(shù)f（x）零點(diǎn)滿足，得，k∈Z．…（Ⅱ）由正弦定理得由（Ⅰ），而f（A）=2，得∴，又A∈（0，π），得…∵A+B+C=π，∴代入上式化簡(jiǎn)得：…又在△ABC中，有，∴，則有即：…21．已知平行四邊形ABCD中，，，對(duì)角線AC交BD于點(diǎn)O，AB上一點(diǎn)E滿足，F(xiàn)為AC上任意一點(diǎn)．（Ⅰ）求值；（Ⅱ）若，求的最小值．【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】（I）表示出，代入平面向量的數(shù)量積公式運(yùn)算即可；（II）利用余弦定理求出cos∠BAD，根據(jù)（I）得出，設(shè)，得出關(guān)于y的二次函數(shù)，從而得出最小值．【解答】解：（Ⅰ）由平行四邊形ABCD知OA=OC，OB=OD，∴，，∵，∴，而，，，∴．（Ⅱ）∵，∴，∴，∴，，設(shè)，由（Ⅰ），解得，即，