高中數(shù)學(xué)蘇教版1第2章圓錐曲線(xiàn)與方程2．3雙曲線(xiàn) 第2章

雙曲線(xiàn)2.3.1雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程1．了解雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程．(難點(diǎn))2．理解雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，能求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3．橢圓與雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的區(qū)別與聯(lián)系．(易混點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程閱讀教材P39～P40例1以上部分，完成下列問(wèn)題.標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c之間的關(guān)系c2＝a2＋b2判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)在雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1中，a＞0，b＞0且a≠b.()(2)在雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程中，a，b和焦點(diǎn)F2(c,0)滿(mǎn)足a2＝b2＋c2.()(3)雙曲線(xiàn)y2－x2＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)在y軸上．()(4)在雙曲線(xiàn)eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1中，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±5,0)．()【解析】(1)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1中，a>0，b>0.a＝b時(shí)也是雙曲線(xiàn)，故不正確；(2)在雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有a2＋b2＝c2.故不正確．(3)根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程特點(diǎn)，正確．(4)在eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1中，c＝eq\r(9＋4)＝eq\r(13)，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±eq\r(13))．【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×[質(zhì)疑·手記](méi)預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1：解惑：疑問(wèn)2：解惑：疑問(wèn)3：解惑：[小組合作型]求雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)下列條件，求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(15,4)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,3)，5))；(2)c＝eq\r(6)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－5,2)，焦點(diǎn)在x軸上．【精彩點(diǎn)撥】解答(1)可分情況設(shè)出雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，再構(gòu)造關(guān)于a，b，c的方程組求解，從而得出雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．也可以設(shè)雙曲線(xiàn)方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式，將兩點(diǎn)代入，簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程．解答(2)利用待定系數(shù)法．【自主解答】(1)法一：若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，∴點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(15,4)))和Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,3)，5))在雙曲線(xiàn)上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,a2)－\f(225,16b2)＝1，,\f(256,9a2)－\f(25,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝－16，,b2＝－9.))(舍去)若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，將P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(225,16a2)－\f(9,b2)＝1，,\f(25,a2)－\f(256,9b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝9，,b2＝16，))∴雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1.法二：設(shè)雙曲線(xiàn)方程為eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(mn<0)．∵P，Q兩點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,m)＋\f(225,16n)＝1，,\f(256,9m)＋\f(25,n)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－16，,n＝9.))∴所求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1.(2)法一：依題意可設(shè)雙曲線(xiàn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．依題設(shè)有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝6，,\f(25,a2)－\f(4,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝5，,b2＝1，))∴所求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,5)－y2＝1.法二：∵焦點(diǎn)在x軸上，c＝eq\r(6)，∴設(shè)所求雙曲線(xiàn)方程為eq\f(x2,λ)－eq\f(y2,6－λ)＝1(其中0<λ<6)．∵雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－5,2)，∴eq\f(25,λ)－eq\f(4,6－λ)＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(x2,5)－y2＝1.1．用待定系數(shù)法求雙曲線(xiàn)方程的一般步驟2．求雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)定位：“定位”是指確定與坐標(biāo)系的相對(duì)位置，在“標(biāo)準(zhǔn)方程”的前提下，確定焦點(diǎn)位于哪條坐標(biāo)軸上，以判斷方程的形式；(2)定量：“定量”是指確定a2，b2的具體數(shù)值，常根據(jù)條件列方程求解．[再練一題]1．已知雙曲線(xiàn)與橢圓eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1有共同的焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(eq\r(15)，4)，求雙曲線(xiàn)的方程.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：09390030】【解】橢圓eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(0，－3)，F(xiàn)2(0，3)，故可設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1.由題意，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝9，,\f(42,a2)－\f(\r(15)2,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝5，))故雙曲線(xiàn)的方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1.雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的討論(1)如果方程eq\f(x2,m＋2)＋eq\f(y2,m＋1)＝1表示雙曲線(xiàn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．(2)“ab<0”是“方程ax2＋by2＝c表示雙曲線(xiàn)”的________條件(填“必要不充分”、“充分不必要”、“充要”和“既不充分也不必要”)．(3)若方程eq\f(x2,5－m)＋eq\f(y2,m2－2m－3)＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的特征常列不等式組求解．【自主解答】(1)由題意知(2＋m)(1＋m)＜0，解得－2＜m＜－1.故m的取值范圍是(－2，－1)．(2)若ax2＋by2＝c表示雙曲線(xiàn)，即eq\f(x2,\f(c,a))＋eq\f(y2,\f(c,b))＝1表示雙曲線(xiàn)，則eq\f(c2,ab)<0，這就是說(shuō)“ab<0”是必要條件，然而若ab<0，c等于0時(shí)不表示雙曲線(xiàn)，即“ab<0”不是充分條件．【答案】(1)(－2，－1)(2)必要不充分(3)由方程eq\f(x2,5－m)＋eq\f(y2,m2－2m－3)＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－m<0，,m2－2m－3>0，))解得m>5.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(5，＋∞)．方程表示雙曲線(xiàn)的條件及參數(shù)范圍求法1．對(duì)于方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1，當(dāng)mn＜0時(shí)表示雙曲線(xiàn)．進(jìn)一步，當(dāng)m＞0，n＜0時(shí)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)；當(dāng)m＜0，n＞0時(shí)表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)．2．對(duì)于方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1，則當(dāng)mn＞0時(shí)表示雙曲線(xiàn)．且當(dāng)m＞0，n＞0時(shí)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)；當(dāng)m＜0，n＜0時(shí)表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)．3．已知方程所代表的曲線(xiàn)，求參數(shù)的取值范圍時(shí)，應(yīng)先將方程轉(zhuǎn)化為所對(duì)應(yīng)曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，再根據(jù)方程中參數(shù)取值的要求，建立不等式(組)求解參數(shù)的取值范圍．[再練一題]2．討論eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,9－k)＝1表示何種圓錐曲線(xiàn)？它們有何共同特征？【解】由于k≠9，k≠25，則k的取值范圍為k<9,9<k<25，k>25，分別進(jìn)行討論．(1)當(dāng)k<9時(shí)，25－k>0,9－k>0，所給方程表示橢圓，此時(shí)，a2＝25－k，b2＝9－k，a2－b2＝16，這些橢圓有共同的焦點(diǎn)(－4,0)，(4,0)．(2)當(dāng)9<k<25時(shí)，25－k>0,9－k<0，所給方程表示雙曲線(xiàn)，此時(shí)，a2＝25－k，b2＝k－9，c2＝a2＋b2＝16，這些雙曲線(xiàn)也有共同的焦點(diǎn)(－4,0)，(4,0)．(3)當(dāng)k>25時(shí)，所給方程沒(méi)有軌跡．[探究共研型]雙曲線(xiàn)中的焦點(diǎn)三角形探究1雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)M與雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的三角形稱(chēng)為焦點(diǎn)三角形，其中MF1，MF2，F(xiàn)1F2為三角形的三邊，在焦點(diǎn)三角形中，常用的關(guān)系式有哪些？【提示】焦點(diǎn)三角形中，常用的關(guān)系式有：(1)MF1－MF2＝±2a(2)S△F1MF2＝eq\f(1,2)MF1·MF2·sin∠F1MF2；(3)F1Feq\o\al(2,2)＝MFeq\o\al(2,1)＋MFeq\o\al(2,2)－2MF1·MF2·cos∠F1MF2.探究2在雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)三角形中，如何確定它的面積？隨著∠F1PF2的變化，△F1PF2的面積將怎樣變化？【提示】由公式S△PF1F2＝eq\f(1,2)PF1·PF2sin∠F1PF2，cos∠F1PF2＝eq\f(PF\o\al(2,1)＋PF\o\al(2,2)－F1F\o\al(2,2),2PF1·PF2)＝eq\f(PF1－PF22－F1F\o\al(2,2)＋2PF1·PF2,2PF1·PF2)＝eq\f(4a2－4c2＋2PF1·PF2,2PF1·PF2)＝eq\f(－4b2＋2PF1·PF2,2PF1·PF2)＝eq\f(－2b2,PF1·PF2)＋1，∴PF1·PF2＝eq\f(2b2,1－cos∠F1PF2).從而得S△PF1F2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))(θ＝∠F1PF2)．∵0<θ<π，∴0<eq\f(θ,2)<eq\f(π,2)，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))內(nèi)，eq\f(1,tan\f(θ,2))是單調(diào)遞減的，∴當(dāng)θ增大時(shí)，S△F1MF2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))減?。O(shè)F1，F(xiàn)2為雙曲線(xiàn)eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上且滿(mǎn)足∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的周長(zhǎng)及△F1PF2的面積．【精彩點(diǎn)撥】由雙曲線(xiàn)定義、勾股定理建立方程組，求出PF1與PF2的長(zhǎng)，或利用整體代入法先求PF1＋PF2與PF1·PF2，再求周長(zhǎng)與面積．【自主解答】法一：∵點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1上，∴|PF1－PF2|＝4，F(xiàn)1F2＝4eq\r(2).又∵∠F1PF2＝90°，∴△F1PF2為直角三角形，∴PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝F1Feq\o\al(2,2)＝32.列方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1－PF2|＝4，,PF\o\al(2,1)＋PF\o\al(2,2)＝32，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PF1＝2\r(3)＋2，,PF2＝2\r(3)－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PF1＝2\r(3)－2，,PF2＝2\r(3)＋2.))∴△F1PF2的周長(zhǎng)為PF1＋PF2＋F1F2＝4eq\r(3)＋4eq\r(2)，△F1PF2的面積為eq\f(1,2)PF1·PF2＝eq\f(1,2)(2eq\r(3)＋2)(2eq\r(3)－2)＝4.法二：同解法一得|PF1－PF2|＝4，F(xiàn)1F2＝4eq\r(2)，PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝32.∴(|PF1－PF2)2＝PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)－2PF1·PF2，即16＝32－2PF1·PF2，∴PF1·PF2＝8.∴(PF1＋PF2)2＝PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＋2PF1·PF2＝32＋16＝48，∴PF1＋PF2＝4eq\r(3).∴△F1PF2的周長(zhǎng)為PF1＋PF2＋F1F2＝4eq\r(3)＋4eq\r(2)，△F1PF2的面積為eq\f(1,2)PF1·PF2＝eq\f(1,2)×8＝4.在雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)三角形中，正弦定理、余弦定理、雙曲線(xiàn)的定義等是經(jīng)常使用的知識(shí)點(diǎn)，另外，還經(jīng)常結(jié)合MF1－MF2＝±2a，運(yùn)用平方的方法，建立它與MF1·MF2的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的一種整體思想.[再練一題]3．已知F1，F(xiàn)2為雙曲線(xiàn)C：x2－y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，PF1＝2PF2，則cos∠F1PF2＝________.【解析】由雙曲線(xiàn)方程得a＝eq\r(2)，b＝eq\r(2)，則c＝eq\r(a2＋b2)＝2.因?yàn)镻F1－PF2＝2eq\r(2)，且PF1＝2PF2，所以PF1＝4eq\r(2)，PF2＝2eq\r(2)，而F1F2＝4，在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝eq\f(PF\o\al(2,1)＋PF\o\al(2,2)－F1F\o\al(2,2),2PF1·PF2)＝eq\f(3,4).【答案】eq\f(3,4)[構(gòu)建·體系]1．若k∈R，方程eq\f(x2,k＋3)＋eq\f(y2,k＋2)＝1表示雙曲線(xiàn)，則k的取值范圍是________．【解析】據(jù)題意知(k＋3)(k＋2)＜0，解得－3＜k＜－2.【答案】(－3，－2)2．平面內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)F1(－5,0)和F2(5,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PF1－PF2|＝6，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是________．【解析】由條件可知，雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)在x軸上，且a＝3，c＝5，則b2＝c2－a2＝16，∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.【答案】eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝13．已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,a2)＝1與雙曲線(xiàn)eq\f(x2,a)－eq\f(y2,2)＝1有相同的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a＝________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：09390031】【解析】由條件可得4－a2＝a＋2，解得a＝1.【答案】14．雙曲線(xiàn)8kx2－ky2＝8的一