2017-2018版高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.1.1函數(shù)的平均變化率學(xué)案2-2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE10學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE1．1.1函數(shù)的平均變化率明目標(biāo)、知重點1.理解并掌握平均變化率的概念.2.會求函數(shù)在指定區(qū)間上的平均變化率.3.能利用平均變化率解決或說明生活中的一些實際問題．1．函數(shù)的平均變化率已知函數(shù)y＝f(x)，x0，x1是其定義域內(nèi)不同的兩點，記Δx＝x1－x0，Δy＝y(tǒng)1－y0＝f(x1）－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f（x0)，則當(dāng)Δx≠0時,商eq\f（fx0＋Δx－fx0，Δx）＝eq\f（Δy，Δx）叫做函數(shù)y＝f(x)在x0到x0＋Δx（或[x0＋Δx,x0］)之間的平均變化率．2．函數(shù)y＝f（x）的平均變化率的幾何意義eq\f（Δy,Δx)＝eq\f（fx2－fx1,x2－x1）表示函數(shù)y＝f(x）圖象上過兩點（x1，f(x1)），(x2，f（x2）)的割線的斜率．［情境導(dǎo)學(xué)］某市2013年5月30日最高氣溫是33.4℃，而此前的兩天5月29日和5月28日最高氣溫分別是24.4℃和18。6℃，短短兩天時間，氣溫“陡增”14.8℃，悶熱中的人們無不感嘆:“天氣熱得太快了！”但是，如果我們將該市2013年4月28日最高氣溫3.5℃和5月28日最高氣溫18.6℃進(jìn)行比較，可以發(fā)現(xiàn)二者溫差為15.1℃,甚至超過了14。8℃，而人們卻不會發(fā)出上述感慨，這是什么原因呢?顯然原因是前者變化得“太快”，而后者變化得“緩慢”，那么在數(shù)學(xué)中怎樣來刻畫變量變化得快與慢呢?探究點一函數(shù)的平均變化率思考1如何用數(shù)學(xué)反映曲線的“陡峭”程度？答如圖，表示A、B之間的曲線和B、C之間的曲線的陡峭程度,可以近似地用直線的斜率來量化．如用比值eq\f（yC－yB，xC－xB）近似量化B、C這一段曲線的陡峭程度，并稱該比值是曲線在［xB，xC］上的平均變化率．思考2什么是平均變化率，平均變化率有何作用？答如果問題中的函數(shù)關(guān)系用y＝f(x)表示，那么問題中的變化率可用式子eq\f（fx2－fx1，x2－x1)表示,我們把這個式子稱為函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的平均變化率,平均變化率可以描述一個函數(shù)在某個范圍內(nèi)變化的快慢．思考3平均變化率有什么幾何意義?答設(shè)A（x1，f（x1)），B（x2，f（x2）)是曲線y＝f(x）上任意不同的兩點，函數(shù)y＝f（x)的平均變化率eq\f（Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq\f（fx1＋Δx－fx1，Δx）為割線AB的斜率．x1,x2是定義域內(nèi)不同的兩點，因此Δx≠0,但Δx可正也可負(fù)；Δy＝f(x2)－f（x1）是相應(yīng)Δx＝x2－x1的改變量，Δy的值可正可負(fù)，也可為零．因此，平均變化率可正可負(fù)，也可為零．例1某嬰兒從出生到第12個月的體重變化如圖所示，試分別計算從出生到第3個月與第6個月到第12個月該嬰兒體重的平均變化率．解從出生到第3個月，嬰兒體重平均變化率為eq\f（6。5－3.5,3－0）＝1（千克/月)．從第6個月到第12個月，嬰兒體重平均變化率為eq\f（11－8.6，12－6）＝eq\f(2.4,6)＝0.4(千克/月)．反思與感悟求平均變化率的主要步驟：(1）先計算函數(shù)值的改變量Δy＝f(x2）－f（x1)．（2)再計算自變量的改變量Δx＝x2－x1.(3）得平均變化率eq\f（Δy，Δx)＝eq\f（fx2－fx1，x2－x1)。跟蹤訓(xùn)練1如圖是函數(shù)y＝f（x)的圖象，則：（1)函數(shù)f（x）在區(qū)間［－1,1］上的平均變化率為________;(2）函數(shù)f（x）在區(qū)間［0,2］上的平均變化率為________．答案(1）eq\f（1,2)（2）eq\f（3,4）解析（1）函數(shù)f（x）在區(qū)間［－1，1］上的平均變化率為eq\f（f1－f－1,1－－1)＝eq\f（2－1，2)＝eq\f(1，2)。（2）由函數(shù)f(x)的圖象知,f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(x＋3,2)，－1≤x≤1，x＋1，1〈x≤3))。所以函數(shù)f（x)在區(qū)間［0，2］上的平均變化率為eq\f（f2－f0,2－0)＝eq\f(3－\f(3,2)，2）＝eq\f(3，4）.探究點二求函數(shù)的平均變化率例2已知函數(shù)f（x）＝x2，分別計算f（x)在下列區(qū)間上的平均變化率：（1）［1，3]；（2）[1，2］；（3）[1，1.1];（4）[1，1。001］．解(1）函數(shù)f（x)在［1,3］上的平均變化率為eq\f（f3－f1，3－1）＝eq\f(32－12,2)＝4；(2)函數(shù)f（x)在[1,2］上的平均變化率為eq\f(f2－f1，2－1）＝eq\f(22－12，1)＝3；（3)函數(shù)f(x)在［1,1.1］上的平均變化率為eq\f(f1。1－f1，1。1－1）＝eq\f(1.12－12，0.1)＝2.1；（4)函數(shù)f（x)在[1，1.001］上的平均變化率為eq\f(f1。001－f1，1。001－1）＝eq\f（1.0012－12,0。001）＝2.001.反思與感悟函數(shù)的平均變化率可以表現(xiàn)出函數(shù)的變化趨勢,自變量的改變量Δx取值越小,越能準(zhǔn)確體現(xiàn)函數(shù)的變化情況．跟蹤訓(xùn)練2求函數(shù)y＝x2在x＝1，2,3附近的平均變化率，判斷哪一點附近平均變化率最大？解在x＝1附近的平均變化率為k1＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx）＝eq\f（1＋Δx2－1,Δx）＝2＋Δx；在x＝2附近的平均變化率為k2＝eq\f（f2＋Δx－f2，Δx)＝eq\f（2＋Δx2－22，Δx)＝4＋Δx；在x＝3附近的平均變化率為k3＝eq\f(f3＋Δx－f3,Δx)＝eq\f(3＋Δx2－32,Δx）＝6＋Δx;對任意Δx有，k1<k2〈k3，∴在x＝3附近的平均變化率最大．思考一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)在區(qū)間[m，n]上的平均變化率有什么特點？答根據(jù)函數(shù)平均變化率的幾何意義，一次函數(shù)圖象上任意兩點連線的斜率是定值k,即一次函數(shù)的平均變化率是定值．探究點三平均變化率的應(yīng)用例3甲、乙兩人走過的路程s1（t），s2（t)與時間t的關(guān)系如圖，試比較兩人的平均速度哪個大?解由圖象可知s1（t0)＝s2(t0),s1（0）>s2(0)，則eq\f(s1t0－s10,t0)<eq\f(s2t0－s20，t0）,所以在從0到t0這段時間內(nèi)乙的平均速度大．反思與感悟平均變化率的絕對值反映函數(shù)在給定區(qū)間上變化的快慢，平均變化率的絕對值越大,函數(shù)在區(qū)間上的變化越快;平均變化率的絕對值越小，函數(shù)在區(qū)間上的變化越慢．跟蹤訓(xùn)練3甲用5年時間掙到10萬元,乙用5個月時間掙到2萬元，如何比較和評價甲、乙兩人的經(jīng)營成果？解甲賺錢的平均速度為eq\f（10,5×12)＝eq\f（10，60）＝eq\f(1,6)（萬元/月)，乙賺錢的平均速度為eq\f(2，5)(萬元/月）．因為乙平均每月賺的錢數(shù)大于甲平均每月賺的錢數(shù),所以乙的經(jīng)營成果比甲的好．1．如果質(zhì)點M按規(guī)律s＝3＋t2運動，則在一小段時間[2，2.1］中相應(yīng)的平均速度是（）A．4B．4。1C．0。41D．3答案B解析eq\x\to（v)＝eq\f(3＋2。12－3＋22,0。1)＝4.1。2．一物體的運動方程是s＝3＋2t，則在［2,2.1］這段時間內(nèi)的平均速度為________．答案23．已知函數(shù)h（x)＝－4。9x2＋6.5x＋10。（1）計算從x＝1到x＝1＋Δx的平均變化率，其中Δx的值為①2；②1；③0。1；④0。01。（2）根據(jù)(1）中的計算,當(dāng)|Δx｜越來越小時，函數(shù)h（x）在區(qū)間［1,1＋Δx]上的平均變化率有怎樣的變化趨勢？解（1）∵Δy＝h(1＋Δx)－h(huán)(1）＝－4.9（Δx）2－3。3Δx,∴eq\f(Δy,Δx）＝－4.9Δx－3。3。①當(dāng)Δx＝2時，eq\f(Δy，Δx）＝－4。9Δx－3.3＝－13。1；②當(dāng)Δx＝1時，eq\f（Δy,Δx)＝－4.9Δx－3。3＝－8。2；③當(dāng)Δx＝0。1時，eq\f(Δy，Δx）＝－4.9Δx－3。3＝－3。79；④當(dāng)Δx＝0.01時,eq\f(Δy,Δx）＝－4.9Δx－3。3＝－3。349.（2）當(dāng)|Δx|越來越小時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，1＋Δx］上的平均變化率逐漸變大，并接近于－3。3。[呈重點、現(xiàn)規(guī)律］1．函數(shù)的平均變化率可以表示函數(shù)值在某個范圍內(nèi)變化的快慢;平均變化率的幾何意義是曲線割線的斜率,在實際問題中表示事物變化的快慢．2．求函數(shù)f（x)的平