第四章測量不確定度

1第四章測量不確定度本章內(nèi)容§4.1測量不確定度的基本概念

§4.2

標準不確定度的評定§4.3測量不確定度的合成§4.4測量不確定度應用實例2第四章測量不確定度§4.1測量不確定度的基本概念§4.1

測量不確定度的基本概念“不確定度”一詞起源于1927年德國物理學家海森堡在量于力學中提出的不確定度關系，又稱測不準關系。測量不確定度(uncertaintyofmeasurement)測量不確定度是指對測量結果變化的不肯定；是表征被測量的真值在某個量值范圍的估計；是測量結果含有的一個參數(shù)；測量不確定度用以表示被測量值的分散性。測量結果＝被測量的估計值＋不確定度3第四章測量不確定度§4.1測量不確定度的基本概念測量不確定度的評定方法A類評定：通過對一系列觀測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析來評定；B類評定：基于經(jīng)驗或其他信息所認定的概率分布來評定。4第四章測量不確定度§4.1測量不確定度的基本概念測量不確定度與誤差誤差與不確定度是誤差理論兩個重要概念。它們既有相同點也有區(qū)別。都是測量結果的精度評定參數(shù)；相同點不同點定義上誤差是以真值或約定真值為中心，表明測量結果偏離真值；而不確定度是以估計值為中心，表明測量結果的分散性。5第四章測量不確定度§4.1測量不確定度的基本概念數(shù)值上誤差可正、負，誤差=測量結果-真值；不確定度是恒為正，用標準差及其倍數(shù)(或是用說明了置信水平的區(qū)間的半寬)表示。分布規(guī)律性誤差的取值具有不確定性，并服從一定的分布；而不確定度對某一確定的測量方法來說具有確定的值。6第四章測量不確定度§4.1測量不確定度的基本概念關于修正系統(tǒng)誤差的估計值可以對測量結果進行修正，得到已修正結果，經(jīng)修正的結果誤差小；不確定度不可以對測量結果進行修正，經(jīng)修正的結果不確定度仍可能較大。從人類認識上誤差客觀存在，不以人的認識程度而改變；不確定度與人們對被測量、影響量及測量過程的認識有關。7第四章測量不確定度§4.1測量不確定度的基本概念關于合成誤差合成時需要區(qū)分誤差性質（系統(tǒng)誤差和隨機誤差）；測量不確定度合成時不需要區(qū)分誤差性質。評定、合成方法一樣。在重復性條件下，不同測量結果其不確定度相同，但誤差不同；對同一被測量不論其測量程序、條件如何，相同測量結果的誤差相同，但不確定度可能不同。8第四章測量不確定度§4.1測量不確定度的基本概念聯(lián)系誤差是不確定度的來源；不確定度反映了誤差對測量結果的影響程度。兩者都與測量結果有關，而且兩者是從不同角度反映了測量結果的質量指標。不確定度是對測量結果的不能肯定的程度；誤差是測量結果相對真值的差異大小。用測量不確定度代替誤差表示測量結果，易于理解、便于評定，具有合理性和實用性。誤差是不確定度的基礎。9第四章測量不確定度§4.1測量不確定度的基本概念不確定度是經(jīng)典誤差理論的補充，是現(xiàn)代誤差理論的內(nèi)容之一。但它還有待于進一步研究、完善與發(fā)展。10第四章測量不確定度§4.2標準不確定度的評定§4.2

標準不確定度的評定用標準差表征的不確定度，稱為標準不確定度，用u表示。測量不確定度所包含的若干個不確定度分量，均是標準不確定度分量，用ui表示。1、標準不確定度的A類評定單次測量值作為被測量的估計值：當用n次測量的平均值作為被測量的估計值：11第四章測量不確定度§4.2標準不確定度的評定2、標準不確定度的B類評定以以前的測量數(shù)據(jù)、經(jīng)驗和資料；由有關儀器和裝置的一般知識、制造說明書、手冊和檢定證書或其他報告所提供的數(shù)據(jù)；B類評定的依據(jù)常見情況的B類評定當估計值受多個獨立因素的影響，且影響大小相近時，可假設為正態(tài)分布,由所取置信概率P的分布區(qū)間半寬a與包含因子kp(正態(tài)分布積分表查出，即t)來估計標準不確定度，即12第四章測量不確定度§4.2標準不確定度的評定校準證書給出名義值10Ω的標準電阻器的電阻

，測量結果服從正態(tài)分布，置信水平為99％。求其標準不確定度。例題4.1解根據(jù)題意，標準電阻在范圍內(nèi)的置信概率為99%。該標準電阻器的置信區(qū)間半寬度為查表得包含因子計算不確定度因為服從正態(tài)分布，根據(jù)P=0.99,Φ(t)=0.99/2,查正態(tài)分布積分表得t,t即為此處的包含因子k。13第四章測量不確定度§4.2標準不確定度的評定當估計值取自相關資料，所給出的測量不確定度為標準差的k倍時，標準不確定度某校準證書說明，標稱值1kg的標準砝碼的質量ms為1000.000325g，該值的測量不確定度按三倍標準差計算為240μg，求該砝碼質量的標準不確定度。例題4.2解：已知測量不確定度Ums=240μg，K=3，故標準不確定度為14第四章測量不確定度§4.2標準不確定度的評定若x服從均勻分布，即若在區(qū)間(x-a,x+a)內(nèi)的概率為1，且在各處出現(xiàn)的機會相等，則例題4.3由手冊查得純銅在溫度20OC時的線膨脹系數(shù)α為16.52×10-6/OC，并已知該系數(shù)α的誤差范圍為±0.4×10-6/OC，求線膨脹系數(shù)α的標準不確定度。解：根據(jù)手冊提供的信息，可以認為α的值以等概率位于區(qū)間(16.52-0.4)×10-6/OC至(16.52+0.4)×10-6/OC內(nèi)，不可能在區(qū)間之外，故α屬于均勻分布，區(qū)間半寬a=0.4×10-6/OC，所以純銅在20OC的線膨脹系數(shù)α的標準不確定度為15第四章測量不確定度§4.2標準不確定度的評定當x受到兩個獨立且皆滿足均勻分布的因素影響時，則x服從區(qū)間為(x-a,x+a)內(nèi)的三角分布當x服從區(qū)間(x-a,x+a)內(nèi)的反正弦分布時，則其標準不確定度為16第四章測量不確定度§4.2標準不確定度的評定3、自由度及其確定自由度的確定A類評定的自由度:Bessel公式：=n-1

其他公式：如自由度表所示。

自由度的概念自由度：將不確定度計算表達式中總和所包含的項數(shù)減去各項之間存在的約束條件數(shù)所得的差值。用ν表示。意義：反映不確定度評定的質量，自由度越大，標準差越可信賴，不確定度評定質量越好。17某激光管發(fā)出的激光波長，經(jīng)檢定為

，后來又用更精確的方法，測得該激光管的波長為，試估計原檢定波長的標準不確定度及其自由度。解：用了更精確的方法測量激光管的波長，故可認為約定真值為則原檢定波長的真誤差為例題4.4第四章測量不確定度§4.2標準不確定度的評定用最大誤差法進行Ａ類評定先用最大誤差法求標準差，因n=1，查表得系數(shù)(因為已知真值，故用1/kn)

-18查自由度表得最大誤差法的自由度第四章測量不確定度§4.2標準不確定度的評定所以測量標準差為A類評定：不確定度（單次測量）19第四章測量不確定度§4.2標準不確定度的評定B類評定的自由度:σu：評定u的標準差σu/u：評定u的相對標準差B類標準不確定度的自由度通常根據(jù)專業(yè)知識及實際經(jīng)驗進行估計。20第四章測量不確定度§4.2標準不確定度的評定例4.5用標準數(shù)字電壓表在標準條件下對直流電壓源10V點的輸出電壓進行重復測量10次，測得值如下已知標準電壓表的示值誤差按3倍標準差計算為±3.5×10-6×U0(U0為標準電壓表的讀數(shù)，相對標準差為25%)，24h的穩(wěn)定度不超過±15μV(按均勻分布，相對標準差為10%)。若用10次測量的平均值作為電壓測量估計值，試分析電壓測量的不確定度來源，并分別計算其標準不確定度和自由度。n12345678910νi/V10.00010710.00010310.00009710.00011110.00009110.00010810.00012110.00010110.00011010.000094解：根據(jù)題意，引起電壓測量不確定度的主要來源有：1.電壓測量的重復性、2.標準電壓表的示值誤差、3.示值穩(wěn)定性。其相應標準不確定度和自由度分別計算如下：21第四章測量不確定度§4.2標準不確定度的評定由10次測量數(shù)據(jù)計算的平均值用貝塞爾公式計算單次測量的標準差平均值的標準差電壓測量重復性引起的標準不確定度的計算屬A類評定，則其自由度為1.電壓測量的重復性引起的標準不確定度22第四章測量不確定度§4.2標準不確定度的評定2.標準電壓表示值誤差引起的標準不確定度標準電壓表的示值誤差按3倍標準差計算，不確定度的計算按B類評定，其中Ux=3.5×10-6×U0=3.5×10-6×10V,K=3,則標準不確定度為其相對標準差為25%，自由度為23第四章測量不確定度§4.2標準不確定度的評定3.標準電壓表的穩(wěn)定性引起的標準不確定度標準電壓表的穩(wěn)定度按均勻分布。其不確定度

屬B類評定，計算標準不確定度為其相對標準差為25%，自由度為標準電壓表的測量不確定度受多個不確定度分量的影響，因此存在不確定度合成的問題。24第四章測量不確定度§4.3測量不確定度的合成§4.3測量不確定度的合成§4.3.1合成標準不確定度確定合成標準不確定度uc的步驟第一步明確影響測量結果的多個不確定度分量；第二步確定各分量與測量結果的傳遞關系和它們之間的相關系數(shù)；第三步給出各分量標準不確定度；第四步按方和根法合成。25第四章測量不確定度§4.3測量不確定度的合成而測量結果y的標準不確定度uc可用下式表征：其中，任意兩個直接測量值xi，xj不確定度的相關系數(shù)。測量結果表示為若uc(標準不確定度)

的合成間接測量中，設各直接測得量xi的標準不確定度為uxi，它對被測量的傳遞系數(shù)為

估計值26第四章測量不確定度§4.3測量不確定度的合成測量環(huán)路正弦交變電位差幅值V，電流幅值I，各重復測量5次，得到如下表所示的數(shù)據(jù)，相關系數(shù)ρ=-0.36，試根據(jù)測量值，求阻抗R的最佳值及其合成標準不確定度。次數(shù)電位差幅值V電流幅值mA15.00719.66324.99419.63935.00519.64044.99019.68554.99919.675例題4.6解：根據(jù)算術平均值和標準差的計算公式得n=527第四章測量不確定度§4.3測量不確定度的合成電阻的最佳值為A類評定標準，多次測量(5次)合成標準不確定度ρ=-0.36n=528第四章測量不確定度§4.3測量不確定度的合成§4.3.2展伸不確定度展伸不確定度的提出展伸不確定度的評定合成標準不確定度可表示測量結果的不確定度，但它僅對應于標準差，由其所表示的測量結果y±uc含被測量Y的真值的概率僅為68%。合成標準不確定度的倍數(shù)（簡易法）：k=2或3當要求更高的真值的概率時需用展伸不確定度(也稱為擴展不確定度)表示測量結果。

29第四章測量不確定度§4.3測量不確定度的合成用擴展不確定度表示測量結果為具有置信水平p的置信區(qū)間的半寬(自由度法)一般采用P為95%和99%,在多數(shù)情況下采用95%。當各不確定度分量相互獨立時，合成標準不確定度uc的自由度為：其中，ν是合成標準不確定度uc的自由度，根據(jù)給定的置信概率P與自由度ν查t分布表，得到tp(ν)的值。uc：合成標準不確定度；ui：分量標準不確定度；νi:不確定度分量的自由度;合成標準不確定度合成標準不確定度的自由度置信概率例題4.7求例4.5電壓測量的展伸不確定度，取置信概率P=95%。30第四章測量不確定度§4.3測量不確定度的合成解：例題4.5中已解出各個誤差源的標準不確定度如下1）電壓測量的重復性引起的標準不確定度其自由度為2）標準電壓表示值誤差引起的標準不確定度其自由度為3）標準電壓表的穩(wěn)定性引起的標準不確定度其自由度為考慮各個不確定度的傳遞系數(shù)為，各個不確定度分量相互獨立，即31第四章測量不確定度§4.3測量不確定度的合成電壓測量的合成標準不確定度為合成標準不確定度的自由度為根據(jù)置信概率P=95%和自由度20，查t分布表得到所以電壓測量的展伸不確定度為自由度為32第四章測量不確定度§4.3測量不確定度的合成對測量不確定度進行分析與評定后，應給出測量不確定度的最后報告。當測量不確定度用合成標準不確定度表示時，應給出①合成標準不確定度uc及其②自由度ν；當測量不確定度用展伸不確定度表示時，除給出①展伸不確定度U外，還應該說明它計算時所依據(jù)的②合成標準不確定度uc、③自由度ν、④置信概率P和⑤包含因子k?！?.3.2不確定度報告報告基本內(nèi)容33第四章測量不確定度§4.3測量不確定度的合成測量結果的表示當不確定度用合成標準不確定度uc表示時。若被測量Y是標稱值為100g的砝碼，其測量的估計值為y=100.02147g,對應的合成標準不確定度uc=0.35mg，可表示如下當不確定度用展伸不確定度U表示：與d的表示形式相同

，為避免混淆，應給出相應說明。uc的末位與被測量估計值末位對齊，單位相同估計值合成標準不確定度34第四章測量不確定度§4.3測量不確定度的合成不確定度數(shù)值的有效數(shù)字與修約不確定度有效數(shù)字一般不超過兩位；不確定度數(shù)值與被測量的估計值末位對齊；數(shù)字修約按照“三分之一準則”將多余的位數(shù)舍去。

修約時，先令測量估計值最末位的一個單位作為測量不確定度的基本單位，再將不確定度取至基本單位的整數(shù)位，其余位數(shù)按微小誤差取舍準則，小于基本單位的1/3則舍去，大于或等于1/3，舍去后將最末位整數(shù)位加1。35第四章測量不確定度§4.3測量不確定度的合成例題4.8已知被測量的估計值為20.0005mm，若有兩種情況：1.展伸不確定度U=0.00124mm2.展伸不確定度U=0.00123mm要求對U進行修約。解：根據(jù)測量的估計值20.0005mm，取其最末位0.0001作為U的基本單位。1.對于U=0.00124mm，其整數(shù)部分是12，小數(shù)部分是0.4，大于基本單位的1/3，故舍去后整數(shù)單位加1。修約后U=0.0013mm；2.對于U=0.00123mm，其整數(shù)部分是12，小數(shù)部分是0.3，小于基本單位的1/3，故舍去。修約后U=0.0012mm。36第四章測量不確定度§4.4測量不確定度應用實例§4.4

測量不確定度應用實例1、測量不確定度計算步驟1）列出主要分量；2）計算各分量的傳遞系數(shù)；3）評定標準不確定度分量ui，給出自由度νi；4）分析各誤差之間的相關系數(shù)ρij；5）求合成標準不確定度uc和自由度v，若有必要，給出展伸不確定度U；6）給出不確定度報告。37第四章測量不確定度§4.4測量不確定度應用實例測某一圓柱體的體積。由分度值為0.01mm的測微儀重復測量直徑D和高度h各6次，數(shù)據(jù)如下（6次測量）：Di/mm10.07510.08510.09510.06010.08510.080hi/mm10.10510.11510.11510.11010.11010.1152、實例分析例題4.9計算D、h的平均值，求V的估計值38第四章測量不確定度§4.4測量不確定度應用實例不確定度評定(1)D的測量重復性引起的標準不確定度分量六次測量D的標準差因，則標準不確定度評定不確定度分量由Bessel公式計算的標準差確定的標準不確定度的自由度為n-139第四章測量不確定度§4.4測量不確定度應用實例(2)h的測量重復性引起的標準不確定度分量則因六次測量h的標準差不確定度分量由Bessel公式計算的標準差確定的標準不確定度的自由度為n-140第四章測量不確定度§4.4測量不確定度應用實例（3）測微儀的示值誤差引起的標準不確定度分量（儀器說明書：測微儀的示值誤差范圍

）衣題意取均勻分布，則h、D示值誤差的不確定度分量及其合成x服從均勻分布的B類評定標準不確定度計算公式41第四章測量不確定度§4.4測量不確定度應用實例設相對標準差，對應的自由度為不確定度合成因，則體積測量的合成標準不確定度其自由度為B類評定的自由度:結果估計V=806.8mm3，uc基本單位0.1，整數(shù)位：13，小數(shù)位：1，舍去42第四章測量不確定度§4.4測量不確定度應用實例展伸不確定度取置信概率P=0.95(α=1-p=0.05)，查t分布表得包含因子k于是，體積測量的展伸不確定度為43第四章測量不確定度§4.4測量不確定度應用實例不確定度報告1）用合成標準不確定度表示測量結果2）用展伸不確定度表示測量結果其中，符號后的數(shù)值表示展伸不確定度由合成標準不確定度

及包含因子確定。44例題4.10砝碼校準的不確定度計算。解：1、校準方法用質量比較儀，通過對標稱值相同的標準砝碼和被校準砝碼進行比較測量，得到兩砝碼的質量差，Δm=m-ms，則被校準砝碼的質量為：m=Δm+ms其中Δm是5次測量的平均值；影響砝碼校準的不確定度來源主要有（1）標準砝碼ms的示值誤差；（2）Δm的測量重復性誤差；（3）標準砝碼的質量自最近一次校準以來可能產(chǎn)生的漂移δs；（4）比較儀的偏心度和磁效應對測量的影響δa；（5）空氣浮力對測量的影響δb；第四章測量不確定度§4.4測量不確定度應用實例45第四章測量不確定度§4.4測量不確定度應用實例則砝碼校準的數(shù)學模型為m=ms+Δm+δs+δa+δb2、不確定度評定（1）標準砝碼ms的示值誤差引起的不確定度分量u1:由標準砝碼的核準證書可知，ms=15000.005g，其不確定度按2倍的標準差為30mg，相對標準差為25%。則（2）Δm的測量重復性誤差引起的不確定度分量u2:已知校準的單次測量的標準差為25mg，由20次重復測量樣本所得。本次測量由5次測量的平均值得到，則標注差是由20次測量得到的46第四章測量不確定度§4.4測量不確定度應用實例（3）標準砝碼的漂移引起的不確定度分量u3：參考前幾次標準法碼核準后的漂移情況，估計其漂移不超過±12mg，相對標準差為20%,按均勻分布，則（4）比較儀的偏心度和磁效應引起的不確定度分量u4：由比較儀的說明書給出，偏心度和磁效應對測量的影響不超過±10%，相對標準差為25%,按均勻分布，則47第四章測量不確定度§4.4測量不確定度應用實例（5）空氣浮力對測量的影響引起的不確定度分量u5：根據(jù)工作經(jīng)驗，估計空氣浮力的影響范圍為±1×10-6m(m被測量值)，

相對標準差為10%，按均勻分布，又m≈ms=15kg，則3、不確定度合成由m=ms+Δm+δs+δa+δb可知，各個分量的不確定度傳遞系數(shù)為1，且相互獨立，相關系數(shù)為0，則合成標準不確定度為自由度為48第四章測量不確定度§4.4測量不確定度應用實例取置信概率p=95%，查t分布表，得到包含因子k=tp(ν)=t0.95(33.75)=2.03展伸不確定度為U=Kuc=2.03×22.5mg=45.7mg≈46mg4、不確定度報告（若已知：Δm=0.020g）m=Δm+ms=0.020g+15000.005g=15000.025g=15.000025kg標準值為15kg的被校準砝碼的質量為15.000025kg±46mg5的單位為mg需要修約其展伸不確定度U=46mg，是由合成標準不確定度uc=22.5mg，及包含因子k=2.03確定的，對應置信概率P=95%，自由度ν=33.75。49本章結束50本章習題1、望遠鏡的放大率D=f1/f2，已測得物鏡主焦距f1±σ1=(19.80±0.10)cm，目鏡主焦距f2±σ2=(0.800±0.005)cm，求放大率測量中由f1、f2

引起的的不確定度分量和放大率D的標準不確定度。2、在光學計上用52.5mm的量塊組作為標準件測量圓柱體直徑，量塊組由三塊量塊研合而成，其尺寸分別是：1l=40mm，l2=10mm，l3=2.5mm，量塊按“級”使用，經(jīng)查手冊得其研合