數(shù)值分析線性方程組迭代法

4.1Jacobi迭代法

4.2Gauss-Seidel迭代法

4.3SOR（逐次超松弛迭代法）

4.4迭代法的收斂性Ch4解線性方程組的迭代法

直接法得到的解是理論上準(zhǔn)確的，但是我們可以看得出，它們的計(jì)算量都是n3數(shù)量級(jí)，存儲(chǔ)量為n2量級(jí)，這在n比較小的時(shí)候還比較合適，但是對(duì)很多實(shí)際問題，往往要我們求解很大型的矩陣，而且這些矩陣含有大量的0元素。對(duì)于這類大型稀疏矩陣，在用直接法時(shí)就會(huì)耗費(fèi)大量的時(shí)間和存儲(chǔ)單元。因此，我們有必要引入一類新的方法：迭代法.

對(duì)方程組做等價(jià)變換如：令，則我們可以構(gòu)造序列若同時(shí)：所以，序列收斂與初值的選取無關(guān)定義（收斂矩陣）稱B為收斂矩陣.定理：即：矩陣B為收斂矩陣當(dāng)且僅當(dāng)B的譜半徑<1由知，若有某種范數(shù)則迭代收斂.4.1Jacobi迭代法格式很簡單：4.2Gauss－Seidel

迭代法在Jacobi迭代中，使用最新計(jì)算出的分量值,即

迭代矩陣記A=-L-UD易知，Jacobi迭代有

迭代矩陣JacobiiterationGauss-Seideliteration計(jì)算x(k+1)時(shí)需要x(k)的所有分量，因此需開兩組存儲(chǔ)單元分別存放x(k)和x(k+1)計(jì)算xi(k+1)時(shí)只需要x(k)的i+1~n個(gè)分量，因此x(k+1)的前i個(gè)分量可存貯在x(k)的前i個(gè)分量所占的存儲(chǔ)單元，無需開兩組存儲(chǔ)單元.迭代公式:例用Gauss-seidel迭代法解方程組Ax=b計(jì)算結(jié)果:4.3逐次超松弛迭代法(SOR)記則可以看作在前一步上加一個(gè)修正量。若在修正量前乘以一個(gè)因子，有對(duì)Gauss－Seidel迭代格式整理得引入松弛因子寫成分量形式，有迭代矩陣

SOR方法收斂的快慢與松弛因子的選擇有密切關(guān)系.但是如何選取最佳松弛因子,即選取=*,使(B)達(dá)到最小,是一個(gè)尚未很好解決的問題.實(shí)際上可采用試算的方法來確定較好的松弛因子.經(jīng)驗(yàn)上可取1.4<<1.6.4.4迭代法的收斂性定義

設(shè)有矩陣序列及，如果則稱收斂于，記為一些關(guān)于收斂的定義及定理定理定理設(shè)，則其中為的譜半徑。定理(迭代法基本定理）設(shè)有方程組對(duì)于任意初始向量及任意，解此方程組的迭代法收斂的充要條件是定義稱為迭代法的收斂速度.定理(迭代法收斂的充分條件)如果方程組的迭代公式為，且迭代矩陣的某一種范數(shù)，則

1）迭代法收斂，即對(duì)任取，有

2）

3）實(shí)際計(jì)算中,通常利用作為控制迭代的終止條件.不過要注意,當(dāng)時(shí),較大,盡管已非常小,但誤差向量的模可能很大,迭代法收斂將是緩慢的.特別的,Jacobi迭代法收斂G-S迭代法收斂SOR迭代法收斂

定理

若SOR方法收斂,則0<<2.

證設(shè)SOR方法收斂,則(B)<1,所以

|det(B)|=|12…n|<1而

det(B)=det[(D-L)-1((1-)D+U)]

=det[(E-D-1L)-1]det[(1-)E+D-1U)]

=(1-)n于是

|1-|<1,或0<<2

定理

設(shè)A是對(duì)稱正定矩陣,0<<2時(shí),則解方程組

Ax=b的SOR方法收斂.

注意的問題（2）Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收斂性沒有必然的聯(lián)系：即當(dāng)Gauss-Seidel法收斂時(shí)，Jacobi法可能不收斂；而Jacobi法收斂時(shí)，Gauss-Seidel法也可能不收斂。（1）Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的迭代矩陣不同：BJ=D-1(L+U),BG-S=(D-L)-1U用Jacobi迭代法求解不收斂，但用G-S法收斂。用Jacobi迭代法求解收斂，但用G-S法不收斂。BJ的特征值為0，0，0，而BG－S的特征值為

0，2，2系數(shù)矩陣A是正定矩陣，因此用Gauss-Seidel法收斂不是正定矩陣，因此用

Jacobi迭代法不收斂A是有正對(duì)角元的n階對(duì)稱矩陣本章小結(jié)1.掌握基本的迭代法:Jacobi