第10講協(xié)方差與相關系數(shù)

第10講協(xié)方差與相關系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣

我們在前一章研究過二維隨機變量各自的概率分布特性以及與整體概率分布特性之間的關系.我們知道聯(lián)合分布可以唯一確定邊緣分布，反之不成立。前兩講我們又介紹了隨機變量的數(shù)學期望與方差，它們分別反映了隨機變量取值的平均水平和隨機變量取值相對于均值的分散程度，但有時需要考慮隨機向量的數(shù)字特征與各自數(shù)字特征之間關系，為此我們引入?yún)f(xié)方差、相關系數(shù)、協(xié)方差與矩的概念。第10講協(xié)方差與相關系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣一、協(xié)方差

1.協(xié)方差定義

設(X,Y)為二維隨機變量，如果E{[XE(X)][YE(Y)]}存在.則稱此為隨機變量X與Y的協(xié)方差.記為Cov(X,Y).即Cov(X,Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}.

離散型

連續(xù)型

例1

在一盒中裝有大小相同的2只黑球，4只白球，現(xiàn)從盒中連續(xù)取球兩次，每次任取一只.設隨機變量討論隨機變量(X,Y)的協(xié)方差.解

（1）無放回的情況

YX01pi·01/154/151/314/152/52/3p·j1/32/3解

（1）無放回的情況

YX01pi·01/154/151/314/152/52/3p·j1/32/3

例2

設隨機變量(X,Y)在區(qū)域D={(x,y)∣x2+y2≤1}上服從均勻分布，求Cov(X,Y).

解由已知條件于是第10講協(xié)方差與相關系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣一、協(xié)方差

1.協(xié)方差定義2.協(xié)方差的計算公式

例1

在一盒中裝有大小相同的2只黑球，4只白球，現(xiàn)從盒中連續(xù)取球兩次，每次任取一只.設隨機變量討論隨機變量(X,Y)的協(xié)方差.解

（2）有放回的情況

YX01pi·01/92/91/312/94/92/3p·j1/32/3第10講協(xié)方差與相關系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣一、協(xié)方差

1.協(xié)方差定義

2.協(xié)方差的計算公式

3.協(xié)方差的性質(zhì)

(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,C)=0第10講協(xié)方差與相關系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣一、協(xié)方差

1.協(xié)方差定義

2.協(xié)方差的計算公式

3.協(xié)方差的性質(zhì)

(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,C)=0

(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b為常數(shù)；(4)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)；第10講協(xié)方差與相關系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣一、協(xié)方差

1.協(xié)方差定義

2.協(xié)方差的計算公式

3.協(xié)方差的性質(zhì)

(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,C)=0

(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b為常數(shù)；(5)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);(4)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y);第10講協(xié)方差與相關系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣一、協(xié)方差

1.協(xié)方差定義

2.協(xié)方差的計算公式

3.協(xié)方差的性質(zhì)

(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,C)=0

(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b為常數(shù)；(5)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);(4)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y);(6)

對任意的實數(shù)t，有又所以因此即特別

設(X,Y)為二維隨機變量，如果E{[XE(X)][YE(Y)]}存在，D(X)>0，D(Y)>0，則稱為X與Y的相關系數(shù).記作XY.二、相關系數(shù)第10講協(xié)方差與相關系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣

1.相關系數(shù)定義

2.相關系數(shù)性質(zhì)

可以證明上式表明：均方誤差是|XY|的嚴格單調(diào)遞減函數(shù)，即當|XY|較大時，e較小，說明X,Y線性聯(lián)系緊密，特別|XY|=1時，X,Y之間以概率1存在線性關系.從而XY表征了X,Y之間線性關系的緊密程度.當|XY|較大時,X,Y線性關系程度較好；當|XY|較小時，X,Y線性關系程度較差.

3.隨機變量的相關性

設隨機變量X和Y的相關系數(shù)XY的存在,如果XY=0，則稱X與Y不相關,否則,稱X與Y相關；如果XY>0，則稱X,Y正相關；如果XY

<0，則稱X,Y負相關.

例3

在一盒中裝有大小相同的2只黑球，4只白球，現(xiàn)從盒中連續(xù)取球兩次，每次任取一只.設隨機變量討論隨機變量X與Y的相關系數(shù).解

（1）無放回的情況

YX01pi·01/154/151/314/152/52/3p·j1/32/3解

（1）無放回的情況

YX01pi·01/154/151/314/152/52/3p·j1/32/3

例3

在一盒中裝有大小相同的2只黑球，4只白球，現(xiàn)從盒中連續(xù)取球兩次，每次任取一只.設隨機變量討論隨機變量X與Y的相關系數(shù).解

（2）有放回的情況

YX01pi·01/92/91/312/94/92/3p·j1/32/3

例4

設(X,Y)服從二維正態(tài)分布,試求X與Y的相關系數(shù)

解

由已知條件我們有，即E(X)=1，E(Y)=2.

解

由已知條件我們有，即E(X)=1，E(Y)=2.

例4

設(X,Y)服從二維正態(tài)分布,試求X與Y的相關系數(shù)密度函數(shù)數(shù)學期望

解

由已知條件我們有，即E(X)=1，E(Y)=2.

標準正態(tài)分布的密度函數(shù)標準正態(tài)分布的方差

例4

設(X,Y)服從二維正態(tài)分布,試求X與Y的相關系數(shù)

解

由已知條件我們有，即E(X)=1，E(Y)=2.

例4

設(X,Y)服從二維正態(tài)分布,試求X與Y的相關系數(shù)說明：如果(X,Y)服從二維正態(tài)分布,則X與Y獨立的充要條件是

第10講協(xié)方差與相關系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣三、矩與協(xié)方差矩陣

定義1設X和Y是隨機變量，若存在,則稱它為X的k階原點矩.簡稱k階矩；

若存在,則稱它為X的k階中心矩；

若

存在，則稱它為X和Y的k+l階混合原點矩；

若

存在，則稱它為X和Y的k+l階混合中心矩.

定義2設n維隨機變量的二階混合中心矩都存在,則矩陣為n維隨機變量的協(xié)方差矩陣.

例5

設(X1,X2)服從二維正態(tài)分布,試求X與Y的協(xié)方差矩陣.

解

由已知條件我們有，即

.

例5

設(X1,X2)服從二維正態(tài)分布,試求X與Y的協(xié)方差矩陣.

解

由已知條件我們有，即

.

自然將二維正態(tài)分布的定義推廣到n維正態(tài)隨機變量的情形.n維正態(tài)隨機變量定義為n維正態(tài)隨機變量的重要性質(zhì)(1)n維正態(tài)隨機變量的每一個分量Xi(i=1,2,,n)都是正態(tài)隨機變量;反之,若X1，X2，，Xn都是正態(tài)隨機變量,且相互獨立,則是n維正態(tài)隨機變量．(2)n隨機變量

服從n維正態(tài)分布的充要條件是

都任意線性組合服從一維正態(tài)分布(不全為零）.(3)若

服從n維正態(tài)分布,設是

線性函數(shù)，則也服從多維正態(tài)分布.n維正態(tài)隨機變量的重要性質(zhì)(4)若

服從n維正態(tài)分布,則“

相互獨立”與“

兩兩不相關”是等價的.

例4

設(X,Y)服從二維正態(tài)分布N(1,32;0,42;-0.5),其中Z=X/3+Y/2.1)求Z的概率密度.