第4章 排列、組合與概率

第4章排列、組合與概率分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理排列組合4.1分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理

問題1某人從甲地到乙地，可以乘汽車、輪船或火車，一天中汽車有3班，輪船有2班，火車有1班．一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？實(shí)例考察

問題2某人從甲地出發(fā)，經(jīng)過乙地到達(dá)丙地．從甲地到乙地有A，B，C共3條路可走；從乙地到丙地有a，b共2條路可走．那么，從甲地經(jīng)過乙地到丙地共有多少種不同的走法？4.1分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理

分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）：如果完成一件事有n類辦法，在第1類辦法中有k1種不同的方法，在第2類辦法中有k2種不同的方法……在第n類辦法中有kn種不同的方法，那么，完成這件事共有

N＝k1＋k2＋…＋kn

種不同的方法．4.1分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理

分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）：4.1分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理如果一件事需要分成n個(gè)步驟完成，做第1步有k1種不同的方法，做第2步有k2種不同的方法……做第n步有kn種不同的方法，那么，完成這件事共有

N＝k1×k2×…×kn

種不同的方法．例題解析

例1書架上層放有5本不同的語文書，中層放有6本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有4本不同的外語書．求解下列問題：

（1）從中任取1本，有多少種不同的取法？

（2）從中任取語文、數(shù)學(xué)和外語書各1本，有多少種不同的取法？4.1分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理

解（1）從書架上任取1本書，有3類辦法：第1類辦法是從上層取語文書，可以從5本書中任取1本，有5種方法；第2類辦法是從中層取數(shù)學(xué)書，可以從6本書中任取1本，有6種方法；第3類辦法是從下層取外語書，可以從4本書中任取1本，有4種方法．根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，得到不同的取法的種數(shù)是

N＝5＋6＋4＝154.1分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理

（1）從中任取1本，有多少種不同的取法？解從書架上任取語文、數(shù)學(xué)和外語書各1本，可以分成3個(gè)步驟完成：第1步是從上層取1本語文書，有5種方法；第2步是從中層取1本數(shù)學(xué)書，有6種方法；第3步是從下層取1本外語書，有4種方法．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到不同的取法的種數(shù)是

N＝5×6×4＝120

4.1分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理（2）從中任取語文、數(shù)學(xué)和外語書各1本，有多少種不同的取法？例2甲、乙兩個(gè)同學(xué)做“石頭、剪刀、布”的游戲，出手一次，共有多少種不同的情況發(fā)生？如果三個(gè)人做此游戲，出手一次，又有多少種不同的情況發(fā)生？4.1分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理

分析雖然甲、乙兩個(gè)同學(xué)是同時(shí)出手，但不妨看作甲先出手、乙后出手，這是兩個(gè)接連進(jìn)行的過程．解甲出手有3種選擇，乙出手也有3種選擇，所以兩人做游戲出手一次，共有3×3＝9種不同的情況．類似地，如果甲、乙、丙三人做此游戲，出手一次，共有3×3×3＝27種不同的情況．

課堂練習(xí)1．在一次讀書活動(dòng)中，指定的書目包括：不同的文學(xué)書3本，歷史書5本，科技書7本，某同學(xué)任意選讀其中1本，共有多少種不同的選法？2．某班三好學(xué)生中男生有5人，女生有4人，從中任選1人去領(lǐng)獎(jiǎng)，共有多少種不同的選法？從中任選男女各1人去參加座談會(huì)，共有多少種不同的選法？4.1分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理3．某手機(jī)生產(chǎn)廠為某種機(jī)芯設(shè)計(jì)了3種不同的外形，每種外形又有5種不同色彩的外殼及6種不同的屏幕背景燈光，問這種手機(jī)共可設(shè)計(jì)多少種不同的款式？

4．由1，3，5，7這4個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個(gè)？4.1分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理4.2排列要從甲、乙、丙3名工人中選取2名，分別安排上日班和晚班，找出所有的選擇方法，將下表補(bǔ)充完整．實(shí)例考察4.2排列有分別編號(hào)的4個(gè)小球和3個(gè)盒子，要選取其中的3個(gè)小球分別放入盒子中，每個(gè)盒子只能放一個(gè)球，下表已給出兩種放置方法，請(qǐng)你補(bǔ)充列出其余所有方法．一、排列與排列數(shù)的概念4.2排列4.2排列從n個(gè)不同元素中取m個(gè)元素（n，m∈N，m≤n）的所有排列的個(gè)數(shù)，稱為從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)P

表示．mn4.2排列

一般地，從n個(gè)不同的元素中任取m個(gè)元素（n，m∈N

*，m≤n），按照一定的順序排成一列，稱為從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．課堂練習(xí)１1．判斷下列問題是不是求排列數(shù)的問題，如果是，請(qǐng)寫出相應(yīng)的排列數(shù)的符號(hào)：

（1）把5只蘋果平均分給5個(gè)同學(xué)，計(jì)算共有多少種分配方法．（2）從5只蘋果中取出2只給某位同學(xué)，計(jì)算共有多少種選擇方法．

（3）10個(gè)人互寫一封信，計(jì)算共寫多少封信．

（4）10個(gè)人互通一次電話，計(jì)算共通幾次電話．4.2排列

2．按要求寫出排列，并寫出相應(yīng)的排列數(shù)的符號(hào)：

（1）3個(gè)元素a，b，c全部取出的所有排列．

（2）從5個(gè)元素a，b，c，d，e中任取2個(gè)元素的所有排列．4.2排列

4.2排列

二、排列數(shù)公式4.2排列

求排列數(shù)P：假定有排好順序的m個(gè)空位，從n個(gè)不同的元素a1，a2

，a3

，…，an中任取m個(gè)去填空，一個(gè)空位填一個(gè)元素，每一種填法就對(duì)應(yīng)一個(gè)排列．因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)P.mnmn由此可得排列數(shù)公式：4.2排列排列數(shù)公式的特點(diǎn)是：等號(hào)右邊第1個(gè)因數(shù)是n，后面的每個(gè)因數(shù)都比它前面一個(gè)因數(shù)少1，最后一個(gè)因數(shù)為n－m＋1，共有m個(gè)因數(shù)相乘．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，全部填滿m個(gè)空位共有

n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）從n個(gè)不同元素中取出全部n個(gè)元素的一個(gè)排列稱為n個(gè)元素的一個(gè)全排列．這時(shí)排列數(shù)公式中m＝n，即有P＝n×（n－1）×（n－2）×…×3×2×1正整數(shù)1，2，3，…，n的連乘積稱為n的階乘，記作n！即nn4.2排列

例題解析例1計(jì)算下列各題：4.2排列解（2）本題也可以直接用計(jì)算器計(jì)算．計(jì)算的按鍵過程為：計(jì)算的按鍵過程為：4.2排列解由于即解得所以例2若，求4.2排列

例3有5本不同的書，發(fā)給3名同學(xué)，每人1本，共有多少種不同的分法？35解分書方法的種數(shù)就是從5本書中任取3本書的排列數(shù)，即P＝5×4×3＝60種例4某信號(hào)兵用紅、黃、藍(lán)3面旗掛在豎直的旗桿上表示信號(hào)，每次可以任掛1面、2面或3面，并且不同的懸掛順序表示不同的信號(hào)，一共可以表示多少種信號(hào)？4.2排列

（種）解用1面旗表示的信號(hào)有種，用2面旗表示的信號(hào)有種，用3面旗表示的信號(hào)有種.根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，所求信號(hào)種數(shù)是4.2排列

例5用0～9這10個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字

的三位數(shù)？解法1符合條件的三位數(shù)可以分為3類：第1類：每位數(shù)字都不是0的三位數(shù)，有個(gè).第2類：個(gè)位數(shù)字是0的三位數(shù)，有個(gè).第3類：十位數(shù)字是0的三位數(shù)，有個(gè).根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，符合條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是4.2排列

解法2因?yàn)榘傥簧系臄?shù)字不能是0，所以可分兩個(gè)步驟來完成：第1步，先排百位上的數(shù)字，它只能從除0以外的1～9這9個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)，有P種選法．

第2步，再排十位和個(gè)位上的數(shù)字，它可以從余下的9個(gè)數(shù)字（包括0）中任選兩個(gè)，有P種選法．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是1929解法3從0～9這10個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為P，其中0排在百位上的排列數(shù)為P，因此所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是310294.2排列

4.2排列

例6以所有26個(gè)英文字符組成一個(gè)26位的密碼，規(guī)定在一個(gè)密碼中不出現(xiàn)相同的字符，那么可以組成多少種不同的密碼？以單臺(tái)計(jì)算機(jī)去解密，若計(jì)算機(jī)解密的速度是每秒鐘檢查107個(gè)不同的密碼，那么最多需要多少時(shí)間才能解密？（結(jié)果以年為單位，保留6位有效數(shù)字）解26個(gè)英文字符是26個(gè)不同的元素，一個(gè)密碼是26個(gè)元素的一個(gè)全排列，總計(jì)密碼數(shù)是26的全排列數(shù)．所以組成的密碼數(shù)是26?。?jì)算機(jī)解密耗時(shí)最長(zhǎng)的情況是直到最后一個(gè)才檢查到設(shè)置的密碼，此時(shí)耗時(shí)T為

所以，用題中所給計(jì)算機(jī)解密，最多需要時(shí)間約為

12788.3億年．

4.2排列

課堂練習(xí)2１．計(jì)算：2．若，求n。3．由0，1，2，3，5，7，9這7個(gè)數(shù)字能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？4．（1）7人排隊(duì)，甲必須站在正中間有多少種排法？（2）7人排隊(duì)，甲，乙必須站頭尾有多少種排法

4.2排列

4.3組合在一個(gè)4人（甲、乙、丙、丁）參加的小型工作會(huì)議上，任何一位與會(huì)者都要同其他與會(huì)者每人握手一次．下表已給出兩次握手的雙方名單，請(qǐng)補(bǔ)充列出其他各次握手的雙方名單．實(shí)例考察4.3組合列出各次握手的雙方名單就是要從4個(gè)人中選出兩人，且不計(jì)兩人間的順序，并將各種選法羅列出來．要從甲、乙、丙3名工人中選取2名，共同值晚班，有多少種選擇方法？請(qǐng)逐一列出．一般地，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素（n，m∈N*，m≤n），不考慮順序組成一組，稱為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，稱為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)C表示．mn4.3組合

一、組合與組合數(shù)的概念例題解析（1）在人數(shù)為60人的班級(jí)中，選出5人參加專業(yè)知識(shí)競(jìng)賽，有多少種選法？

（2）由20人組成的足球隊(duì)中，除守門員外，還需選10人作為首發(fā)陣容，可組成多少種不同的首發(fā)陣容？又要在50名拉拉隊(duì)員中挑選20人前往助陣，有多少種挑選方案？4.3組合

例把下列的問題歸結(jié)為組合問題，并寫出相應(yīng)的組合數(shù)的符號(hào)：4.3組合

（2）除去守門員，從19位球員中選10人出陣，因?yàn)?0人將分別擔(dān)當(dāng)右后衛(wèi)、左前鋒等不同職責(zé)，因此與順序有關(guān)，是排列問題，共有Ｐ種不同的首發(fā)陣容；選助陣?yán)?duì)員與順序無關(guān)，是組合問題，共有Ｃ種挑選方案．

10192050560解（1）一般來說，專業(yè)知識(shí)競(jìng)賽的選手之間無分工問題．所以選擇過程與順序無關(guān)，是組合問題，共有C種選法．課堂練習(xí)１1．把下列的問題歸結(jié)為組合問題，并寫出相應(yīng)的組合數(shù)的符號(hào)：

（1）6位朋友互相握手道別，共握手多少次？

（2）6道習(xí)題任意選做4道題，有多少種不同的選法？

（3）正16邊形有多少條對(duì)角線？4.3組合2．按要求寫出下列組合：

（1）從5個(gè)元素a，b，c，d，e中任取2個(gè)元素的所有組合．

（2）從4個(gè)元素a，b，c，d中任取3個(gè)元素的所有組合．4.3組合10.3組合

二、組合數(shù)公式34

第1步，從４個(gè)不同元素中取出３個(gè)元素作組合，共有Ｃ種。34從４個(gè)不同元素中?。硞€(gè)元素的排列數(shù)Ｐ：10.3組合

通常，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)P，可以按以下兩步求得：

第1步，先求出從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)C.mnmn33第2步，對(duì)每一個(gè)組合中的3個(gè)不同元素作全排列，各有P＝6種．

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得因此

由此得到組合數(shù)公式：4.3組合mn第2步，求每一個(gè)組合中m個(gè)元素的全排列數(shù)P.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得10.3組合

組合數(shù)C同樣也可以利用計(jì)算器直接計(jì)算，其按鍵順序是：mn

因?yàn)樗越M合數(shù)公式還可寫成根據(jù)組合數(shù)公式，當(dāng)m＝n時(shí)有例題解析4.3組合例1計(jì)算：解4.3組合解因?yàn)?2個(gè)點(diǎn)中任何3個(gè)點(diǎn)都不在同一直線上，所以任取3個(gè)點(diǎn)都可以畫出一個(gè)三角形．因此所求三角形的個(gè)數(shù)，就是從12個(gè)不同的元素中取出3個(gè)元素的組合數(shù)，即

所以一共可畫220個(gè)三角形．

例2平面內(nèi)有12個(gè)點(diǎn)，任何3個(gè)點(diǎn)不在同一直線上，以每3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)三角形，一共可畫多少個(gè)三角形？解設(shè)與會(huì)的人數(shù)為n．根據(jù)題意，互相握手的次數(shù)為C＝15，即

解得所以，共有6人參加這次集會(huì)．

2n4.3組合

例3一次小型聚會(huì)，每一個(gè)與會(huì)者都和其他與會(huì)者握一次手，共有15次握手，問有多少人參加這次聚會(huì)？例4100件商品中含有3件次品，其余都是正品，從中任取3件：（1）3件都是正品，有多少種不同的取法？

（2）3件中恰有1件次品，有多少種不同的取法？

（3）3件中最多有1件次品，有多少種不同的取法？

（4）3件中至少有1件次品，有多少種不同的取法？

解

（１）因?yàn)?件都是正品，所以應(yīng)從97件正品中取，

所有不同取法的種數(shù)是

4.3組合4.3組合解從97件正品中取2件，有C種取法；從3件次品中取1件，有C種取法．因此，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，任取的3件中恰有1件次品的不同取法的種數(shù)是

29713（2）3件中恰有1件次品，有多少種不同的取法？解３件中最多有１件次品的取法，包括只有１件是次品和沒有次品兩種，其中只有１件是次品的取法有CC種，沒有次品的取法有C種，因此，3件中最多有1件次品的取法的種數(shù)是132973974.3組合（3）3件中最多有1件次品，有多少種不同的取法？解3件中至少有1件次品的取法，包括1件是次品，2件是次品和3件是次品，因此3件中至少有1件次品的取法的種數(shù)是

4.3組合（4）3件中至少有1件次品，有多少種不同的取法？課堂練習(xí)24.3組合１．計(jì)算：2．平面內(nèi)有8個(gè)點(diǎn)，其中只有3個(gè)點(diǎn)在一條直線上，過每2個(gè)點(diǎn)作一條直線，一共可以作幾條直線？3．從2，3，5，7，11這5個(gè)數(shù)中任取2個(gè)相加，可以得到多少個(gè)不同的和？10.3組合

三、組合數(shù)的性質(zhì)在一般情況下：從n個(gè)元素中選出m個(gè)元素的組合數(shù)，與從n個(gè)元素中選出n－m個(gè)元素的組合數(shù)是相等的．

由此，得到組合數(shù)的一種重要性質(zhì)：例題解析4.3組合解例1計(jì)算例題解析4.3組合例2已知，求n．解為使，可令n=3n－2，即n=1又因?yàn)?，所以成立又因此也可?0－n=3n－2，即n=3因此，n=1或n=3課堂練習(xí)34.3組合1.計(jì)算：（1）（2）2.已知，求n.專題閱讀抽屜原理與電腦算命一:引子《晏子春秋》里有一個(gè)“二桃殺三士”的故事，大意是：齊景公養(yǎng)著三名勇士，他們名叫田開疆、公孫接和古冶子。這三名勇士都力大無比，武功超群，為齊景公立下過不少功勞。但他們也剛愎自用，目中無人，得罪了齊國(guó)的宰相晏嬰。晏子便勸齊景公殺掉他們，并獻(xiàn)上一計(jì)：以齊景公的名義賞賜三名勇士?jī)蓚€(gè)桃子，讓他們自己評(píng)功，按功勞的大小吃桃。三名勇士都認(rèn)為自己的功勞很大，應(yīng)該單獨(dú)吃一個(gè)桃子。于是公孫接講了自己的打虎功，拿了一只桃子；田開疆講了自己的殺敵功，拿起了另一桃。兩人正準(zhǔn)備要吃桃子，古冶子說出了自己更大的功勞。公孫接、田開疆都覺得自己的功勞確實(shí)不如古冶子大，感到羞愧難當(dāng)，趕忙讓出桃子。并且覺得自己功勞不如人家，卻搶著要吃桃子，實(shí)在丟人，是好漢就沒有臉再活下去，于是都拔劍自刎了。古冶子見了，后悔不迭。仰天長(zhǎng)嘆道：如果放棄桃子而隱瞞功勞，則有失勇士尊嚴(yán)；為了維護(hù)自己而羞辱同伴，又有損哥們義氣。如今兩個(gè)伙伴都為此而死了，我獨(dú)自活著，算什么勇士！說罷，也拔劍自殺了。晏子采用借“桃”殺人的辦法，不費(fèi)吹灰之力，便達(dá)到了他預(yù)定的目的，可說是善于運(yùn)用權(quán)謀。漢朝的一位無名氏在一首詩中曾不無諷刺的寫道：“……一朝被讒言，二桃殺三士。誰能為此謀，相國(guó)務(wù)晏子!”值得指出的是，在晏子的權(quán)謀之中，包含了一個(gè)重要的數(shù)學(xué)原理——抽屜原理。抽屜原理的一般含義為：“如果每個(gè)抽屜代表一個(gè)集合，每一個(gè)蘋果就可以代表一個(gè)元素，假如有n＋1或多于n＋1個(gè)元素放到n個(gè)集合中去，其中必定至少有一個(gè)集合里至少有兩個(gè)元素。”

二、抽屜原理常識(shí)桌上有十個(gè)蘋果，要把這十個(gè)蘋果放到九個(gè)抽屜里，無論怎樣放，有的抽屜可以放一個(gè)，有的可以放兩個(gè)，有的可以放五個(gè)，但最終我們會(huì)發(fā)現(xiàn)至少我們可以找到一個(gè)抽屜里面至少放兩個(gè)蘋果。這一現(xiàn)象就是我們所說的抽屜原理。在“二桃殺三士”的故事中，把兩個(gè)桃子看作兩個(gè)抽屜，把三名勇士放進(jìn)去，至少有兩名勇士在同一個(gè)抽屜里，即有兩人必須合吃一個(gè)桃子。如果勇士們寧死也不肯忍受同吃一個(gè)桃子的羞恥，那么悲劇的結(jié)局就無法避免。三、抽屜原理應(yīng)用抽屜原理雖然簡(jiǎn)單，但在數(shù)學(xué)中卻有廣泛而深刻的運(yùn)用。例１：400人中至少有兩個(gè)人的生日相同.解：將一年中的366天視為366個(gè)抽屜，400個(gè)人看作400個(gè)物體，由抽屜原理可以得知：至少有兩人的生日相同.又如：我們從街上隨便找來13人，就可斷定他們中至少有兩個(gè)人屬相相同.“從任意5雙手套中任取6只，其中至少有2只恰為一雙手套?！笔攀兰o(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克雷（Dirichlet，1805—1859）首先利用抽屜原理來建立有理數(shù)的理論，以后逐漸地應(yīng)用到引數(shù)論、集合論、組合論等數(shù)學(xué)分支中，所以現(xiàn)在抽屜原理又稱為狄里克雷原理。1947年，匈牙利數(shù)學(xué)家把這一原理引進(jìn)到中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，當(dāng)年匈牙利全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽有一道這樣的試題：“證明：任何六個(gè)人中，一定可以找到三個(gè)互相認(rèn)識(shí)的人，或者三個(gè)互不認(rèn)識(shí)的人。”這個(gè)問題乍看起來，似乎令人匪夷所思。但如果你懂得抽屜原理，要證明這個(gè)問題是十分簡(jiǎn)單的：我們用A、B、C、D、E、F代表六個(gè)人，從中隨便找一個(gè)，例如A吧，把其余五個(gè)人放到“與A認(rèn)識(shí)”和“與A不認(rèn)識(shí)”兩個(gè)“抽屜”里去，根據(jù)抽屜原理，至少有一個(gè)抽屜里有三個(gè)人。不妨假定在“與A認(rèn)識(shí)”的抽屜里有三個(gè)人，他們是B、C、D。如果B、C、D三人互不認(rèn)識(shí)，那么我們就找到了三個(gè)互不認(rèn)識(shí)的人；如果B、C、D三人中有兩個(gè)互相認(rèn)識(shí)，例如B與C認(rèn)識(shí)，那么，A、B、C就是三個(gè)互相認(rèn)識(shí)的人。不管哪種情況，本題的結(jié)論都是成立的。四、抽屜原理與電腦算命

所謂“電腦算命”不過是把人為編好的算命語句象中藥柜那樣事先分別一一存放在各自的柜子里，誰要算命，即根據(jù)出生的年、月、日、性別的不同的組合按不同的編碼機(jī)械地到電腦的各個(gè)“柜子”里取出所謂命運(yùn)的句子。其實(shí)這充其量不過是一種電腦游戲而已。我們用數(shù)學(xué)上的抽屜原理很容易說明它的荒謬。如果以70年計(jì)算，按出生的年、月、日、性別的不同組合數(shù)應(yīng)為70×365×2＝51100，我們把它作為“抽屜”數(shù)。我國(guó)人口按11億計(jì)，我們把它作為“物體”數(shù)。由于1.1億=21526×51100+21400，根據(jù)原理，存在21526個(gè)以上的人，盡管他們的出身、經(jīng)歷、天資、機(jī)遇各不相同，但他們卻具有完全相同的“命”，這真是荒謬絕倫！

1.某班37名同學(xué)，至少有幾個(gè)同學(xué)在同一個(gè)月過生日？

4個(gè)2.42只鴿子飛進(jìn)5個(gè)籠子里，可以保證至少有一個(gè)籠子中可以有幾只鴿子？

9只3.口袋中有紅、黑、白、黃球各10個(gè)，它們的外型與重量都一樣，至少要摸出幾個(gè)球，才能保證有4個(gè)顏色相同的球？

13個(gè)4.飼養(yǎng)員給10只猴子分蘋果，其中至少要有一只猴子得到7個(gè)蘋果，飼養(yǎng)員至少要拿來多少個(gè)蘋果？

61個(gè)5.一個(gè)布袋中有40塊相同的木塊，其中編上號(hào)碼1，2，3，4的各有10塊。問：一次至少要取出多少木塊，才能保證其中至少有3塊號(hào)碼相同的木塊？9塊

6.一個(gè)班有40名同學(xué)，現(xiàn)在有課外書125本。把這些書分給同學(xué)，是否有人會(huì)得到4件或4件以上的玩具？

是六年級(jí)有100名學(xué)生，他們都訂閱甲、乙、丙三種雜志中的一種、二種或三種。問：至少有多少名學(xué)生訂閱的雜志種類相同？分析與解：首先應(yīng)當(dāng)弄清訂閱雜志的種類共有多少種不同的情況。

訂一種雜志有：訂甲、訂乙、訂丙3種情況；

訂二種雜志有：訂甲乙、訂乙丙、訂丙甲3種情況；

訂三種雜志有：訂甲乙丙1種情況。

總共有3＋3＋1=7（種）訂閱方法。我們將這7種訂法看成是7個(gè)“抽屜”，把100名學(xué)生看作100件物品。因?yàn)?00＝14×7＋2。根據(jù)抽屜原理，至少有14＋1＝15（人）所訂閱的報(bào)刊種類是相同的。

例題1：一副撲克牌有黑桃、紅桃、梅花和方塊各13張，為保證至少有4張牌的花色相同，則至少應(yīng)當(dāng)抽出多少張牌？3×4＋1＝13張。

例題2：有紅、黃、藍(lán)、白珠子各10粒，裝在一個(gè)袋子里，為了保證摸出的珠子有兩顆顏色相同，應(yīng)至少摸出幾粒？例題3：從一副完整的撲克牌中，至少抽出（）張牌，才能保證至少6張牌的花色相同？5×4＋2＋1＝23張，

4.4隨機(jī)事件及其概率

必然現(xiàn)象——在一定條件下必然出現(xiàn)；

不可能現(xiàn)象——在一定條件下不可能出現(xiàn)；有的現(xiàn)象則既非必然出現(xiàn)，也非不可能．

確定性現(xiàn)象——不可能現(xiàn)象.第一種向上拋一顆石子，石子落回地面．

第二種沒有空氣和水，種子也能發(fā)芽．

第三種拋擲一枚硬幣落在桌面上，正面向上．實(shí)例考察

隨機(jī)現(xiàn)象——可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象．對(duì)于隨機(jī)現(xiàn)象必須注意一點(diǎn)：在相同條件下，試驗(yàn)的所有可能結(jié)果都應(yīng)該是可知的，我們只是不能預(yù)測(cè)某次試驗(yàn)的結(jié)果．4.4隨機(jī)事件及其概率

一、隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)事件

隨機(jī)現(xiàn)象4.4

隨機(jī)事件及其概率

隨機(jī)事件不可能事件——在一定條件下不可能發(fā)生的事件，用表示．事件——確定事件和隨機(jī)事件統(tǒng)稱為事件．

隨機(jī)事件——在相同條件下，隨機(jī)現(xiàn)象的每一種可能的結(jié)果．通常用大寫字母A，B，C，…表示．若A表示某隨機(jī)事件，常寫作A＝｛事件具體內(nèi)容｝，例如：隨機(jī)事件A＝｛某人射擊一次，中靶｝．必然事件——在一定條件下必然要發(fā)生的事件，用Ω表示．

確定事件——必然事件和不可能事件．例題解析解（2）是必然事件；（3）是不可能事件；（1）、（4）是隨機(jī)事件．

4.4隨機(jī)事件及其概率

例下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是隨機(jī)事件？

（1）明天下雨．

（2）在操場(chǎng)上扔出的籃球落下來．

（3）在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到60℃沸騰．

（4）在混有次品的一批產(chǎn)品中，若事先不知道哪些是次品，抽取一件進(jìn)行檢測(cè)，取到是次品．下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是隨機(jī)事件？

（1）罰點(diǎn)球成功．

（2）自然界中，水從高處流到低處．

（3）投一枚骰子，出現(xiàn)5點(diǎn)．

（4）一個(gè)人同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)不同的地方．

（5）當(dāng)x是實(shí)數(shù)時(shí)，x2≥0．

課堂練習(xí)１4.4隨機(jī)事件及其概率

相同條件下做試驗(yàn)，重復(fù)n次，把隨機(jī)事件A出現(xiàn)的次數(shù)m稱為頻數(shù)，把比值

稱為頻率．4.4隨機(jī)事件及其概率

二、概率的概念

一次試驗(yàn)——對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的一次觀察．隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，具有偶然性．但是在大量重復(fù)試驗(yàn)的情況下，它的發(fā)生又呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性．4.4隨機(jī)事件及其概率

4.4隨機(jī)事件及其概率

對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，我們就把這個(gè)常數(shù)稱為事件A的概率，記作P（A）．

必然事件的概率等于1；不可能事件的概率P（）＝0；而對(duì)于一般的隨機(jī)事件A，則有

0≤P（Ａ）≤14.4隨機(jī)事件及其概率

也就是說，任何事件的概率是區(qū)間［0，1］內(nèi)的一個(gè)數(shù)，它度量該事件發(fā)生的可能性．在一次試驗(yàn)中，小概率（接近0）事件很少發(fā)生，而大概率（接近1）事件則經(jīng)常發(fā)生．課堂練習(xí)2

1．某醫(yī)院治愈癌癥的概率為10％，前9個(gè)病人都未能治愈，第10個(gè)病人一定能治好嗎？這是必然事件，不可能事件，還是隨機(jī)事件？

2．某地氣象局預(yù)報(bào)說，明天本地降水概率為70％．你認(rèn)為下面兩個(gè)解釋中哪個(gè)代表氣象局的觀點(diǎn)？

（1）明天本地有70％的區(qū)域下雨，30％的區(qū)域不下雨．

（2）明天本地下雨的機(jī)會(huì)是70％．4.4隨機(jī)事件及其概率

4.4隨機(jī)事件及其概率

實(shí)

踐

下面我們來做拋一枚硬幣的試驗(yàn)，觀察它落下后，哪一個(gè)面向上．

第一步：全班每個(gè)同學(xué)各取一枚相同的一元硬幣，做10次拋硬幣的試驗(yàn)，每人記錄下試驗(yàn)結(jié)果，填入下表4.4隨機(jī)事件及其概率

第三步：請(qǐng)數(shù)學(xué)課代表統(tǒng)計(jì)全班同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果，填入下表：第二步：請(qǐng)小組長(zhǎng)把本組同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)一下，填入下表：第四步：請(qǐng)同學(xué)們找出拋擲硬幣時(shí)，“正面向上”這個(gè)事件發(fā)生的規(guī)律，并討論：把1枚硬幣拋100次和把100枚硬幣各拋1次，結(jié)果是相同的嗎？4.4隨機(jī)事件及其概率

4.5等可能事件的概率

拋擲一個(gè)骰子，擲出的數(shù)可能是1，2，3，4，5，6中的一個(gè)，即可能出現(xiàn)的結(jié)果有6種．

現(xiàn)在進(jìn)一步問：事件A＝｛骰子擲出的數(shù)是偶數(shù)｝的概率是多少？實(shí)例考察4.5等可能事件的概率一次試驗(yàn)可能發(fā)生的每一個(gè)結(jié)果稱為一個(gè)基本事件．設(shè)一次試驗(yàn)中總共有n個(gè)基本事件，且每一個(gè)基本事件發(fā)生的可能性都相等（簡(jiǎn)稱等可能）．若試驗(yàn)中的某一事件A由m個(gè)（m≤n）基本事件組成，則事件A的概率

如果隨機(jī)試驗(yàn)具有下列兩個(gè)特點(diǎn)：

（1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；

（2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．

那么，我們把這一試驗(yàn)的概率模型稱為等可能概率模型．4.5等可能事件的概率例題解析

例1單選題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常用的題型，一般是從A，Ｂ，C，D四個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)正確答案．如果考生掌握了考查的內(nèi)