自動(dòng)控制原理第五章

第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法5.1引言5.2頻率特性5.3典型環(huán)節(jié)和開環(huán)頻率特性曲線的繪制5.4頻率域穩(wěn)定判據(jù)5.5穩(wěn)定裕度5.6閉環(huán)系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)5.1引言時(shí)域法是分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的直接方法，它的主要優(yōu)點(diǎn)是：1）直觀、容易理解。借助于MATLAB仿真，可以直接得到系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)曲線，以及各種時(shí)域指標(biāo)。2）典型二階系統(tǒng)的參數(shù)與系統(tǒng)性能指標(biāo)的關(guān)系明確。當(dāng)系統(tǒng)的閉環(huán)零、極點(diǎn)滿足二階近似條件時(shí)，可用主導(dǎo)極點(diǎn)對應(yīng)的典型二階系統(tǒng)的指標(biāo)來近似估計(jì)高階系統(tǒng)的技術(shù)指標(biāo)。1.時(shí)域分析法的優(yōu)缺點(diǎn)

但是時(shí)域法存在著一些不足之處。

1）時(shí)域分析是在典型信號的激勵(lì)下進(jìn)行的，而實(shí)際信號不可能是理想的典型信號，往往包含著一些不希望的成分，比如高頻干擾信號。時(shí)域分析沒有描述系統(tǒng)對高頻干擾信號的抑制能力。

2）系統(tǒng)的時(shí)域設(shè)計(jì)是通過增加開環(huán)零、極點(diǎn)來重新配置系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，這對于串聯(lián)校正是方便的，但對于其他校正方法就不那么方便，比如反饋校正（第六章將會(huì)看到）。

3）時(shí)域分析和設(shè)計(jì)需要精確的根軌跡圖，在沒有MATLAB之前，精確的根軌跡繪制并不是一件容易的事，而概略圖只能用于定性分析，而不能用于定量分析。因此，精確根軌跡的繪制困難大大影響了系統(tǒng)的設(shè)計(jì)效率。4）時(shí)域法中穩(wěn)定裕量用距虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)離虛軸的距離來表示，這種表示只能說明穩(wěn)定性，不包含系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的任何信息。5）延遲系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)包含延遲環(huán)節(jié)，其閉環(huán)特征方程是超越方程，不能用勞斯判據(jù)判斷穩(wěn)定性，也不能用MATLAB繪制根軌跡，系統(tǒng)分析很困難。6）對于高階系統(tǒng)，如果不能用二階近似分析，則沒有任何參數(shù)可以反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，在這種情況下，設(shè)計(jì)高階系統(tǒng)沒有依據(jù)，只能反復(fù)試探、調(diào)整。

頻域法是一種工程上廣為采用的分析和綜合系統(tǒng)的間接方法。頻域分析法是一種圖解分析法。它依據(jù)系統(tǒng)的又一種數(shù)學(xué)模型——頻率特性，對系統(tǒng)的性能，如穩(wěn)定性、快速性和準(zhǔn)確性進(jìn)行分析。

頻域法很好地彌補(bǔ)了時(shí)域法的不足，并且因其使用方便、適用范圍廣且數(shù)學(xué)模型容易獲得而得到了廣泛的應(yīng)用。

頻域分析法是二十世紀(jì)三十年代發(fā)展起來的研究自動(dòng)控制系統(tǒng)的一種經(jīng)典工程實(shí)用方法。是一種利用頻率特性進(jìn)行控制系統(tǒng)分析的圖解方法，可方便地用于控制工程中的系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)。2.頻域分析法研究的意義

頻域性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)之間有著內(nèi)在的聯(lián)系，通過這種內(nèi)在聯(lián)系，可以由系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)求出時(shí)域性能指標(biāo)或反之。因此，頻域分析法與時(shí)域分析法和根軌跡法是統(tǒng)一的。頻域分析法的優(yōu)點(diǎn)(1)不必求解系統(tǒng)的特征根，采用較為簡單的圖解法就可研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于頻率響應(yīng)法主要通過開環(huán)頻率特性的圖形對系統(tǒng)進(jìn)行分析，因而形象直觀且計(jì)算量少。(2)系統(tǒng)的頻率特性可用實(shí)驗(yàn)方法測出。頻率特性有明確的物理意義，它可以用實(shí)驗(yàn)方法來測定，這對于難以列寫微分方程式的元件或系統(tǒng)來說，具有重要的實(shí)際意義。(3)頻域分析法不僅適用于線性定常系統(tǒng)的分析研究，還可以推廣應(yīng)用于某些非線性控制系統(tǒng)。(4)便于系統(tǒng)分析和校正。根據(jù)系統(tǒng)的頻率性能間接地揭示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性，可以簡單迅速地判斷某些環(huán)節(jié)或參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響，便于分析和校正。5.2頻率特性一、頻率特性的基本概念RCui(t)uo(t)+-+-i

(t)其中：T=RC設(shè)1.頻率特性的定義經(jīng)拉氏反變換，可得瞬態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)輸出：Uo--穩(wěn)態(tài)輸出幅值j--穩(wěn)態(tài)輸出相位正弦輸入與穩(wěn)態(tài)輸出之間：頻率相同；幅值不同；相位不同。---幅頻特性幅頻特性曲線幅頻特性：穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的振幅之比。1.00A(w)w線性系統(tǒng)G(s)輸出仍為正弦信號，頻率與輸入信號相同，幅值較輸入信號有一定衰減，相位存在一定延遲。---相頻特性相頻特性曲線相頻特性：穩(wěn)態(tài)輸出與輸入正弦信號的相位差。j(w)w系統(tǒng)傳函：頻率特性(幅相特性)：將G(jw)寫成復(fù)數(shù)形式：---實(shí)頻特性---虛頻特性幅頻特性、相頻特性和實(shí)頻特性、虛頻特性之間的關(guān)系：2.頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系一般線性定常系統(tǒng)：若：則：則：若系統(tǒng)穩(wěn)定，則極點(diǎn)都在s左半平面。當(dāng)t→∞，即穩(wěn)態(tài)時(shí)：其中kc、k-c分別為：頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系為：頻率特性的求取一般用這兩種方法1.已知系統(tǒng)的系統(tǒng)方程，輸入正弦函數(shù)求其穩(wěn)態(tài)解，取輸出穩(wěn)態(tài)分量和輸入正弦的復(fù)數(shù)比；2.根椐傳遞函數(shù)來求取；3.通過實(shí)驗(yàn)測得。頻率特性與其它數(shù)學(xué)模型的關(guān)系微分方程頻率特性傳遞函數(shù)脈沖函數(shù)頻率響應(yīng)法與時(shí)域法的不同點(diǎn)：1）輸入是正弦函數(shù)；2）只研究系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分量(而非過渡過程)中，幅值、相角隨

w變化的規(guī)律。例1:設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)函數(shù)為，若輸入信號為：，試求(1)穩(wěn)態(tài)輸出css(t)(2)穩(wěn)態(tài)誤差ess(t)?解:(1)穩(wěn)態(tài)輸出：(2)穩(wěn)態(tài)誤差：1.極坐標(biāo)圖當(dāng)w：0→∞時(shí)，向量G(jw)的幅值|G(jw)|和相角j(w)隨之作相應(yīng)的變化，其端點(diǎn)在復(fù)平面上移動(dòng)的軌跡稱為極坐標(biāo)圖或Nyqusit圖。

G(jw2

)G(jw1

)w0ReIm--幅相頻率特性曲線、Nyqusit曲線P(w)、A(w)是w的偶函數(shù)，Q(w)、j(w)是w的奇函數(shù)，因此，w：0→-∞時(shí)，G(-jw)與G(jw)關(guān)于實(shí)軸對稱。二、頻率特性的幾何表示法共軛對稱共軛對稱一般作圖方法(1)手工繪制取w=0和w=∞兩點(diǎn)，必要時(shí)還應(yīng)在0<w<∞之間選取一些特殊點(diǎn)，算出這些點(diǎn)處的幅值和相角，然后在幅相平面上作出這些點(diǎn)，并用光滑的曲線將它們連接起來。(2)用計(jì)算機(jī)繪制2.伯德圖--對數(shù)頻率特性曲線、Bode曲線

伯德圖由對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性兩條曲線組成，都以頻率為橫軸變量。(1)伯德圖的坐標(biāo)橫坐標(biāo)分度：橫坐標(biāo)采用不均勻的對數(shù)刻度縱坐標(biāo)采用線性刻度半對數(shù)坐標(biāo)

以頻率w的對數(shù)值lgw進(jìn)行線性分度，但為了便于觀察仍標(biāo)以w的值，因此對w而言是非線性刻度。Dec(十倍頻程)：w

每變化十倍，橫坐標(biāo)變化一個(gè)單位長度。lgw0132w１2345678910100lgw00.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.954121101000100w

縱坐標(biāo)分度：

對數(shù)幅頻特性曲線L(w)--對數(shù)幅值L(w)=20lgA(w)相頻特性曲線單位：分貝(dB)單位：度(o)或弧度(2)使用對數(shù)坐標(biāo)圖的優(yōu)點(diǎn)①由于橫坐標(biāo)采用對數(shù)刻度，展寬了低頻段，壓縮了高頻段（可以在較大的頻段范圍內(nèi)表示系統(tǒng)頻率特性）；②可以將乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算；③所有的典型環(huán)節(jié)的頻率特性都可以用分段直線(漸近線)近似表示；④對實(shí)驗(yàn)所得的頻率特性用對數(shù)坐標(biāo)表示，并用分段直線近似的方法，可以很容易的寫出它的頻率特性表達(dá)式。(3)關(guān)于Bode圖的幾點(diǎn)說明①由于橫坐標(biāo)采用w的對數(shù)刻度，所以w

=0不可能在橫坐標(biāo)上表示出來；②橫坐標(biāo)上表示的最低頻率由所感興趣的頻率范圍確定。3.對數(shù)幅相曲線--尼科爾斯圖、尼科爾斯曲線

以角頻率為參變量，橫坐標(biāo)是相位，單位采用角度；縱坐標(biāo)為幅值，單位采用分貝。5.3典型環(huán)節(jié)和開環(huán)頻率特性曲線的繪制一、典型環(huán)節(jié)的頻率特性1.比例環(huán)節(jié)ReImK極坐標(biāo)圖cleark=10;num=[k];den=[1];sys=tf(num,den)nyquist(sys)Matlab繪制Nyquist圖注意：是一個(gè)點(diǎn)，不是一條線L(w)=20lgK=常數(shù)伯德圖K不同時(shí)：幅頻曲線上下平移，相頻曲線不變。freq_k_bode.mcleark=10;num=[k];den=[1];sys=tf(num,den)bode(sys)gridMatlab繪制Bode圖2.慣性環(huán)節(jié)(1)極坐標(biāo)圖整理得：證明的幅相特性是半圓。(2)伯德圖①對數(shù)幅頻特性--轉(zhuǎn)折頻率(交接頻率)

②相頻特性wT0.010.020.050.10.20.30.50.71.0j(w)-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45wT2.03.04.05.07.0102050100j(w)-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.4高頻漸近線斜率為-20dB/Dec低頻漸近線為0dB的水平線伯德圖高頻漸近線斜率：幅頻特性漸近線誤差(3)一階微分①極坐標(biāo)圖ReIm1--轉(zhuǎn)折頻率②伯德圖高頻漸近線斜率為20dB/Dec對數(shù)幅頻特性：相頻特性：低頻漸近線為0dB的水平線伯德圖注意：一階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性是慣性環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性的負(fù)值，即一階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性分別與慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性及對數(shù)相頻特性對稱于橫軸。傳遞函數(shù)互為倒數(shù)的典型環(huán)節(jié)最小相位典型環(huán)節(jié)中，積分環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)和一階微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)互為倒數(shù)，即

設(shè)，則可知，傳遞函數(shù)互為倒數(shù)的典型環(huán)節(jié)，對數(shù)幅頻曲線關(guān)于0dB線對稱，對數(shù)相頻曲線關(guān)于線對稱。對于傳遞函數(shù)互為倒數(shù)非最小相位典型環(huán)節(jié)，其對數(shù)頻率特性曲線的對稱性同樣成立。3.積分環(huán)節(jié)(1)極坐標(biāo)圖ReIm(2)伯德圖一條斜率為-20dB/Dec的直線4.微分環(huán)節(jié)(1)純微分環(huán)節(jié)ReIm①極坐標(biāo)圖②伯德圖一條斜率為20dB/Dec的直線5.振蕩環(huán)節(jié)(0<z<1,wn>0)顯然，相頻特性曲線從單調(diào)至。當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，表明振蕩環(huán)節(jié)與虛軸的交點(diǎn)為。

取，得諧振頻率與諧振峰值

因?yàn)闀r(shí)，。不同阻尼比情況下，振蕩環(huán)節(jié)的幅相曲線和對數(shù)頻率特性曲線分別如圖所示，其中。

無論是欠阻尼還是過阻尼系統(tǒng)，其圖形的基本形狀是相同的，當(dāng)過阻尼時(shí)，阻尼系數(shù)越大其圖形越接近圓。(1)極坐標(biāo)圖(2)伯德圖w=1/T--轉(zhuǎn)折頻率低頻漸近線為0dB的水平線高頻漸近線斜率為-40dB/Dec對數(shù)幅頻特性：相頻特性：伯德圖漸近線誤差可見：在0.4<<0.7時(shí)，工程上可直接使用漸近對數(shù)幅頻特性；在此范圍之外，應(yīng)使用準(zhǔn)確的對數(shù)幅頻特性。(2)二階微分①極坐標(biāo)圖--轉(zhuǎn)折頻率②伯德圖高頻漸近線斜率為40dB/Dec對數(shù)幅頻特性：相頻特性：低頻漸近線為0dB的水平線伯德圖慣性環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)互為倒數(shù)的典型環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性曲線關(guān)于0dB線對稱；相頻特性曲線關(guān)于0o線對稱。純微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)二階微分6.非最小相位環(huán)節(jié)(1)比例環(huán)節(jié)：(2)慣性環(huán)節(jié)：(3)一階微分環(huán)節(jié)：(4)振蕩環(huán)節(jié)：(5)二階微分環(huán)節(jié)：

除了比例環(huán)節(jié)外，非最小相位環(huán)節(jié)和與之相對應(yīng)的最小相位環(huán)節(jié)的區(qū)別在于開環(huán)零極點(diǎn)的位置。非最小相位的慣性環(huán)節(jié)幅頻特性相同；相頻特性符號相反；

幅相頻率特性曲線關(guān)于實(shí)軸對稱。最小相位的慣性環(huán)節(jié)非最小相位的慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性曲線相同；相頻特性曲線關(guān)于0o線對稱。

1.開環(huán)系統(tǒng)極坐標(biāo)圖的繪制(繪制奈氏圖)手工畫法將開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性寫成A(w)ejj(w)或P(w)+jQ(w)的形式，根據(jù)不同的w算出A(w)、j(w)或P(w)、Q(w)，可在復(fù)平面上得到不同的點(diǎn)并連之，則可繪出系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性曲線。需注意一些特殊點(diǎn)，如起點(diǎn)、終點(diǎn)，與實(shí)、虛軸的交點(diǎn)等。使用MATLAB工具繪制二、開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的繪制開環(huán)幅相曲線的繪制方法開環(huán)幅相曲線可以通過取點(diǎn)、計(jì)算和作圖繪制系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線。這里著重介紹結(jié)合工程需要，繪制概略開環(huán)幅相曲線的方法。反映開環(huán)頻率特性的三個(gè)重要因素：（1）確定開環(huán)幅相曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)；（2）確定開環(huán)幅相曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)或?yàn)榇┰筋l率，開環(huán)幅相曲線曲線與實(shí)軸交點(diǎn)為

（3）開環(huán)幅相曲線的變化范圍（象限和單調(diào)性）。例5-1:設(shè)0型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：，試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性(奈氏圖)。解：用上述信息可以大致勾勒出奈氏圖：ReIm系統(tǒng)頻率特性數(shù)據(jù)0-5.77Q(w)0P(w)wj(w)10.0000。-56.3。0.200.40.343.85-4.14-85.2。0.8-0.79-1.72-114.6。-180。∞例5-1（176頁）某0型單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

試概略繪制系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線。解：由于慣性環(huán)節(jié)的角度變化為～-900，故該系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線中起點(diǎn)為：終點(diǎn)為：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性令，得，即系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線除在處外與實(shí)軸無交點(diǎn)。由于、可正可負(fù)，故系統(tǒng)幅相曲線在第Ⅳ和第Ⅲ象限內(nèi)變化，系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線如左圖所示。例5-2:設(shè)某Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)傳函為：(K,T1,T2>0)，試?yán)L制其開環(huán)極坐標(biāo)圖。解：分析：1.w=0時(shí)

當(dāng)w→0時(shí)，G(jw)漸近線是一條通過實(shí)軸-K(T1+T2)，且平行于虛軸的直線。2.當(dāng)w→∞時(shí)3.與實(shí)軸的交點(diǎn)令：Q(w)

=0解得：交點(diǎn)為：ImRe極坐標(biāo)圖：具有積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的頻率特性的特點(diǎn)頻率特性：式中：顯然，低頻段的幅值和相角均與系統(tǒng)型數(shù)有關(guān)。(Ⅰ型)(Ⅱ型)0型(n

=0)：Ⅰ型(n

=1)：Ⅱ型(n

=2)：n型(n

=4r+i)：(0型)低頻段頻率特性ImRe則k>0時(shí)為i×(-90°)的無窮遠(yuǎn)處，k<0時(shí)為i×(-90°)-180°

的無窮遠(yuǎn)處.高頻段的幅相特性曲線與n-m有關(guān)n-m=3n-m=1n-m=2高頻段頻率特性極坐標(biāo)特性曲線的終點(diǎn)都回到原點(diǎn)至于中頻段，可計(jì)算一些特殊點(diǎn)的來確定，如與坐標(biāo)的交點(diǎn)等。ReIm3）若開環(huán)系統(tǒng)存在等幅振蕩環(huán)節(jié)，重?cái)?shù)為正整數(shù)，即開環(huán)傳遞函具有下述形式不含的極點(diǎn)，則當(dāng)趨于時(shí)，趨于無窮，而即在附近，相角突變。例5-3（P178,例5-5）設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)開環(huán)概略幅相曲線。解:

開環(huán)幅相曲線的起點(diǎn)：終點(diǎn)：由開環(huán)頻率特性表達(dá)式知的虛部不為零，故與實(shí)軸無交點(diǎn)。注意到開環(huán)系統(tǒng)含有等幅振蕩環(huán)節(jié)，當(dāng)趨于時(shí)，趨于無窮大，而相頻特性取在的附近，相角突變，幅相曲線在處呈現(xiàn)不連續(xù)現(xiàn)象。作系統(tǒng)開環(huán)概略幅相曲線如圖所示。例5-4已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試概略繪制系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線。解系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為起點(diǎn)：終點(diǎn)：與實(shí)軸的交點(diǎn)：因?yàn)閺膯握{(diào)減至，故幅相曲線在第IV象限、第Ⅲ象限與第Ⅱ象限間變化。開環(huán)概略幅相曲線如圖所示。2.系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性的繪制(繪制伯德圖)將開環(huán)傳遞函數(shù)表示成若干典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式：結(jié)論：對數(shù)幅頻特性=組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性之代數(shù)和。相頻特性=組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的相頻特性之代數(shù)和。繪制開環(huán)系統(tǒng)Bode圖的步驟(1)將開環(huán)傳遞函數(shù)表示為典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)（把開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)寫成含有零、極點(diǎn)因子相乘積的形式）；(2)確定各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率并由小到大標(biāo)在對數(shù)頻率軸上；(3)計(jì)算20lgK，過點(diǎn)(1,20lgK)作斜率等于-20ndB/dec的直線，得到最低頻段的漸近線或其延長線(最低頻段的斜率由積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)決定)；重點(diǎn)補(bǔ)充：低頻段的漸近特性曲線（可由斜率和一點(diǎn)0決定）開環(huán)系統(tǒng)幅頻特性的斜率取決于K/（即斜率為-20dB/dec）低頻段漸近特性曲線上的某點(diǎn)0

，用如下三方法求取，a)

在<min

范圍內(nèi)任選一點(diǎn)0，c)

取L(0)為特殊值0，b)

取頻率為0=1，0>min，則(0,L(0))點(diǎn)在低頻漸近曲線的延長線上(4)從低頻漸近線開始，沿w增大的方向，每遇到一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率改變一次漸近線斜率，直到繪出轉(zhuǎn)折頻率最高的環(huán)節(jié)為止；慣性環(huán)節(jié)：-20dB/dec振蕩環(huán)節(jié)：-40dB/dec一階微分環(huán)節(jié)：+20dB/dec二階微分環(huán)節(jié)：+40dB/dec(5)若有必要，可對漸近線進(jìn)行修正以獲得準(zhǔn)確的幅頻特性；(6)相頻特性曲線由各環(huán)節(jié)的相頻特性相加獲得。注意：對數(shù)幅頻特性曲線上要標(biāo)明斜率！[例5]開環(huán)系統(tǒng)傳函為：，試畫出該系統(tǒng)的伯德圖。解：1.該系統(tǒng)是1型系統(tǒng)2.低頻漸近線過點(diǎn)(1,20lgK)斜率為：-20n=-20dB/dec3.伯德圖如下：L(w)w[例6]系統(tǒng)開環(huán)傳函為：，試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性。解：1.該系統(tǒng)是0型系統(tǒng)2.低頻漸近線過點(diǎn)(1,20)斜率為：-20n=0dB/dec3.開環(huán)對數(shù)幅頻特性如下：-40-60124100wL(w)20紅線為漸近線，蘭線為實(shí)際曲線。[例5-7]系統(tǒng)開環(huán)傳函為：，試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅率漸進(jìn)特性曲線。解：1.該系統(tǒng)是2型系統(tǒng)2.低頻漸近線過點(diǎn)(1,20)斜率為：-20n=-40dB/dec3.開環(huán)對數(shù)幅頻特性：w

110220100一階微分振蕩慣性轉(zhuǎn)折頻率環(huán)節(jié)三、傳遞函數(shù)的頻域?qū)嶒?yàn)確定1.頻率響應(yīng)實(shí)驗(yàn)信號源對象記錄儀

Asinwt2.傳遞函數(shù)確定(1)確定幅頻特性的漸近線；用斜率為20dB/dec整數(shù)倍的直線段來逼近實(shí)驗(yàn)曲線。(2)確定系統(tǒng)積分或微分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)；低頻段斜率為-20dB/dec，則系統(tǒng)開環(huán)傳遞有個(gè)積分環(huán)節(jié)，系統(tǒng)為型系統(tǒng)。(3)確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)表達(dá)式；當(dāng)某w處系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性漸近線的斜率發(fā)生變化時(shí)，此w即為某個(gè)環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。(4)根據(jù)低頻段漸近線或其延長線在w=1的分貝值，確定開環(huán)增益K。k為直線斜率(單位：dB/dec)L(w)(dB)w1w2wL(w1)0L(w2)kdB/decw

0.1120例1.已知某最小相位系統(tǒng)由頻率響應(yīng)實(shí)驗(yàn)獲得的對數(shù)幅頻曲線如圖所示，試確定其傳遞函數(shù)。(1)確定系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)n=1解：(2)確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)低頻段的漸近線為-20dB/dec(0.1,20)和(1,20lgK)都位于-20dB/dec的直線上K=1w

0.1120(3)確定開環(huán)增益K例2[例5-7]已知某最小相位系統(tǒng)由頻率響應(yīng)實(shí)驗(yàn)獲得的對數(shù)幅頻曲線和對數(shù)幅頻漸進(jìn)特性曲線如圖所示，試確定其傳遞函數(shù)。(1)確定積分環(huán)節(jié)(或微分環(huán)節(jié))的個(gè)數(shù)n=-1解：(2)確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)低頻段的漸近線為+20dB/dec一個(gè)微分環(huán)節(jié)(1,0)和(w1,12)位于+20dB/dec的直線上w1

=3.98(w2,12)和(100,0)都位于-40dB/dec的直線上w2

=50.1求w1,w2

,

zK=1(3)確定開環(huán)增益K20lgK=0求w1,w2

,

z5.4頻率域穩(wěn)定判據(jù)

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是奈奎斯特于1932年提出的，是用開環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，它是頻率分析法的重要內(nèi)容。奈氏判據(jù)能夠：判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定(絕對穩(wěn)定性)；確定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度(相對穩(wěn)定性)；分析系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，指出改善系統(tǒng)性能的途徑。1.輔助方程開環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)傳遞函數(shù)：輔助方程：一、奈氏判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（輔助方程實(shí)際是特征方程）(1)F(s)的極點(diǎn)為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，F(xiàn)(s)的零點(diǎn)為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；(2)分子、分母的階次相等，零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)相同；(3)F(s)與GK(s)相差為1。F(s)=1+GK(s)的幾何意義：F(s)三個(gè)特點(diǎn)：F平面的坐標(biāo)原點(diǎn)為GH平面的(-1,j0)點(diǎn)。

F(s)是復(fù)變量s的單值有理函數(shù)?？梢宰C明：

①如果函數(shù)F(s)在s平面上指定的區(qū)域內(nèi)是解析的，則對于此區(qū)域內(nèi)的任何一點(diǎn)d都可以在F(s)平面上找到一個(gè)相應(yīng)的點(diǎn)d／，d／稱為d在F(s)平面上的映射。2.幅角定理(映射定理)(1)預(yù)備知識②對于s平面上任意給定的一條不通過F(s)任何奇異點(diǎn)（即F(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)）的連續(xù)封閉曲線G

，也可以在F(s)平面上找到一條與之對應(yīng)的封閉曲線G／。s平面與F平面的映射關(guān)系N<0G／順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，包圍原點(diǎn)；N>0G／逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，包圍原點(diǎn)；N=0G／逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，不包圍原點(diǎn)。(2)幅角定理s平面上不通過F(s)任何奇點(diǎn)的封閉曲線G，它包圍F(s)在s平面上的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)，當(dāng)s以順時(shí)針方向沿封閉曲線G移動(dòng)一周時(shí)，在F平面上相對應(yīng)于封閉曲線G／將以逆時(shí)針方向繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)N圈。N、Z、P的關(guān)系為：N=P-Z二、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)1.零型系統(tǒng)(不含s=0極點(diǎn))(1)奈奎斯特路徑ⅰ--正虛軸s=jw：ⅱ--半徑為無窮大的右半圓s=Rejq

：ⅲ--負(fù)虛軸s=jw：F(s)在虛軸上沒有極點(diǎn)，按順時(shí)針方向設(shè)計(jì)一條曲線G包圍整個(gè)s右半平面，這條封閉曲線稱為奈奎斯特路徑(奈氏路徑)。G(jw)特性曲線F平面上的封閉曲線G

在F平面上的映射G／ⅰ和正虛軸對應(yīng)的是輔助函數(shù)的頻率特性F(jw)，相當(dāng)于把G(jw)向右移1；ⅱ和半徑為無窮大的右半圓相對應(yīng)的輔助函數(shù)F(s)→1；ⅲ和負(fù)虛軸相對應(yīng)的是輔助函數(shù)頻率特性F(jw)對稱于實(shí)軸的鏡像。①F(jw)可由GK(jw)求得，而GK(jw)是開環(huán)頻率特性，對應(yīng)于映射曲線第i部分；

②F(s)對原點(diǎn)的包圍，相當(dāng)于GK(s)對(-1,j0)的包圍；因此映射曲線F(s)對原點(diǎn)的包圍次數(shù)N與GK(s)對(-1,j0)點(diǎn)的包圍的次數(shù)一樣；③F(s)的極點(diǎn)就是GK(s)的極點(diǎn)，因此F(s)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)就是GK(s)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)。輔助方程與開環(huán)頻率特性的關(guān)系(2)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面上有P個(gè)極點(diǎn)，且開環(huán)頻率特性曲線對(-1,j0)點(diǎn)包圍的次數(shù)為N(N<0順時(shí)針，N>0逆時(shí)針)，則閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)為：Z=P-N

。若Z=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。Z:在右半平面的閉環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)；

P:在右半平面的開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)；

N:開環(huán)頻率特性曲線包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)。

開環(huán)幅相頻率特性圖在（-1，j0）點(diǎn)左側(cè)穿越負(fù)實(shí)軸的情況反映了它對（-1，j0）點(diǎn)的環(huán)繞情況。設(shè)開環(huán)幅相頻率特性圖由上而下穿越（-1，j0）點(diǎn)左側(cè)負(fù)實(shí)軸的次數(shù)為N+，稱為正穿越；由下而上穿越（-1，j0）點(diǎn)左側(cè)負(fù)實(shí)軸的次數(shù)為N-，稱為負(fù)穿越；則開環(huán)幅相頻率特性圖逆時(shí)針環(huán)繞（-1，j0）點(diǎn)的次數(shù)為：

[例1]開環(huán)傳遞函數(shù)為：(T1、T2、K>0)，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)P=0繞(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)N=0閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)

Z=P-N=0閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定[例2]設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。開環(huán)極點(diǎn)為-1，-1±j2P=0繞(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)N=-2閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定[例3]已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試用奈氏判據(jù)確定使該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。開環(huán)極點(diǎn)為1/TP=1若K>1

則繞(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)N=1Z=P-N=0表示閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定因此，系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)T>0且K>1。奈氏圖如下圖所示：2.Ⅰ型以上系統(tǒng)(含s=0極點(diǎn))s=0GK(s)→∞F(s)不解析重構(gòu)奈氏路徑：iiiiiiⅳs平面ⅰ--正虛軸s=jw：ⅱ--半徑為無窮大的右半圓s=Rejq

：ⅲ--負(fù)虛軸s=jw：ⅳ--半徑為無窮小的右半圓s=R／ejq／：無窮小的右半圓在GH平面上的鏡像Ⅰ型系統(tǒng):半徑：∞角度：Ⅱ型系統(tǒng):半徑：∞角度：[例4]設(shè)Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示。開環(huán)系統(tǒng)在s右半平面沒有極點(diǎn)，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：先根據(jù)奈氏路徑畫出完整的映射曲線(Ⅰ型系統(tǒng))映射曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)一圈，逆時(shí)針包圍(-1,j0)一圈，所以：N=1-1=0。P=0Z=P-N=0閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定[例5]某Ⅱ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示，且s右半平面無極點(diǎn)，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：先根據(jù)奈氏路徑畫出完整的映射曲線(Ⅱ型系統(tǒng))映射曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)兩圈，所以：N=-2。P=0Z=P-N=2閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定通常，只畫出w=0→+∞的開環(huán)奈氏圖，這時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面上的極點(diǎn)數(shù)為：Z=P-2N／。式中，N／為w=0→+∞變化時(shí)，開環(huán)奈氏圖逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)。不包圍(-1,j0)點(diǎn)，N／=00型系統(tǒng)包圍(-1,j0)點(diǎn)，N／=-1Ⅰ型系統(tǒng)和Ⅱ型系統(tǒng)三、對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)(-1,j0)點(diǎn)奈氏圖和伯德圖的對應(yīng)關(guān)系：(1)奈氏圖上單位圓對應(yīng)于對數(shù)坐標(biāo)圖上的零分貝線；(2)奈氏圖上的負(fù)實(shí)軸對應(yīng)于對數(shù)坐標(biāo)圖上的(2k+1)p相位線。正穿越負(fù)穿越GK(jw)對(-1,j0)點(diǎn)的包圍情況可用正、負(fù)穿越情況來表示。正穿越--逆時(shí)針包圍(-1,j0)負(fù)穿越--順時(shí)針包圍(-1,j0)正穿越負(fù)穿越正穿越負(fù)穿越伯德圖上的正、負(fù)穿越正穿越--在L(w)>0范圍內(nèi)從下向上穿越-180。線(相角增加)負(fù)穿越--在L(w)>0范圍內(nèi)從上向下穿越-180。線(相角減小)

對于復(fù)平面的負(fù)實(shí)軸和開環(huán)對數(shù)相頻特性，當(dāng)取頻率為穿越頻率wx

時(shí)設(shè)半對數(shù)坐標(biāo)下GGH的對數(shù)幅頻曲線和對數(shù)相頻曲線分別為GL和Gf，由于GL等于曲線G(w)，則GGH在A(w)>1

時(shí)，穿越負(fù)實(shí)軸的點(diǎn)等于GGH在半對數(shù)坐標(biāo)下，對數(shù)幅頻特性L(w)>0時(shí)對數(shù)相頻特性曲線Gf與，平行線的交點(diǎn)。（2）確定

1）開環(huán)系統(tǒng)無虛軸上極點(diǎn)時(shí)，等于曲線。

設(shè)w=wc

時(shí)稱wc為截止頻率。2）開環(huán)系統(tǒng)存在積分環(huán)節(jié)時(shí)，復(fù)數(shù)平面的曲線，需從的開環(huán)幅相曲線的對應(yīng)點(diǎn)起，逆時(shí)針補(bǔ)作半徑為無窮大的虛圓弧。對應(yīng)地，需從對數(shù)相頻特性曲線較小且的點(diǎn)處向上補(bǔ)作的虛直線，曲線和補(bǔ)作的虛直線構(gòu)成。3）開環(huán)系統(tǒng)存在等幅振蕩環(huán)節(jié)時(shí)，復(fù)數(shù)平面的曲線，需從的開環(huán)幅相曲線的對應(yīng)點(diǎn)起，逆時(shí)針補(bǔ)作半徑為無窮大的虛圓弧至的對應(yīng)點(diǎn)處。對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)：

設(shè)開環(huán)頻率特性GK(s)在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：w=0→+∞時(shí)，開環(huán)對數(shù)幅頻特性L(w)>0的所有頻段內(nèi)，相頻特性對(2k+1)p線的正負(fù)穿越次數(shù)差N／=N+-N-=P/2。閉環(huán)系統(tǒng)右半s極點(diǎn)數(shù)為：Z=-2N／+P

，式中N／為正負(fù)穿越次數(shù)差。若Z=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若Z>0，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。例5-11已知開環(huán)系統(tǒng)型次，開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線如圖所示，圖中時(shí)，，試確定閉環(huán)不穩(wěn)定極點(diǎn)的個(gè)數(shù)。解因?yàn)?，需在低頻處由曲線向上補(bǔ)作的虛直線于，如圖所示。知，按對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)故閉環(huán)不穩(wěn)定極點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3。例題：例利用對數(shù)頻率特性判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解：作出其開環(huán)對數(shù)頻率特性，如下一頁圖所示。由于開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，即P＝0，因而該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：在dB的頻域內(nèi)，相頻特性不穿越線，或正、負(fù)穿越數(shù)之差為零。由圖可見在的頻域內(nèi)總大于，故閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例利用對數(shù)頻率特性判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為解：作出其開環(huán)對數(shù)頻率特性，如下一頁圖所示。該系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)含有2個(gè)積分環(huán)節(jié),且時(shí),，用虛線繪出相頻特性的增補(bǔ)部分。由圖知dB的頻段上,＝0，＝1，

R＝－2，而P＝0，則Z＝2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)伯德圖

四、條件穩(wěn)定系統(tǒng)

若開環(huán)傳遞函數(shù)在開右半s平面的極點(diǎn)數(shù)P＝0，當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)的某些系數(shù)(如開環(huán)增益)改變時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性將發(fā)生變化。這種閉環(huán)穩(wěn)定有條件的系統(tǒng)，稱為條件穩(wěn)定系統(tǒng)。若無論開環(huán)傳遞函數(shù)的系數(shù)怎樣變化，系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的，這樣的系統(tǒng)稱為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。5.5穩(wěn)定裕度一、相角裕度(相角裕量)截止頻率(剪切頻率)c

：GK(j)與單位圓交點(diǎn)處的頻率。

A(c)=1相角裕度：A(c)=1時(shí)與負(fù)實(shí)軸的夾角。=180°+(c)-1ReImGH平面物理意義：若系統(tǒng)剪切頻率c處的相角再滯后，系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定。即：系統(tǒng)在相角方面的穩(wěn)定儲(chǔ)備量。二、幅值裕度-1ReImGH平面穿越頻率x

：

GK(j)與負(fù)實(shí)軸相交點(diǎn)的頻率。A(x)幅值裕度h

：(-1,j0)點(diǎn)幅值1與A(x)之