第一章量子力學(xué)課件(11光電子)

第1章波函數(shù)與Schr?dinger方程2011級光電子技術(shù)科學(xué)§1.1波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋§1.2Schrodinger方程§1.3態(tài)疊加原理2011級光電子技術(shù)科學(xué)（一）實物粒子的波動性（二）波動－粒子二象性的分析（三）概率波，多粒子體系的波函數(shù)（四）動量分布概率（五）不確定度關(guān)系（六）力學(xué)量的平均值與算符的引進（七）統(tǒng)計詮釋對波函數(shù)提出的要求1.1波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋2011級光電子技術(shù)科學(xué)并稱之為物質(zhì)波.與動量為和能量為的粒子相應(yīng)的波的波長和頻率為1.1.1實物粒子的波動性在Planck-Einstein的光量子論（光具有波粒二象性）的啟發(fā)下，面對Bohr的原子的量子論取得的成功和碰到的困難，deBroglie(1923)提出了實物粒子（靜質(zhì)量的粒子，例如電子），也具有波粒二象性（wave-particleduality）的假設(shè).即為了更好地理解微觀粒子在雙縫干涉中呈現(xiàn)的量子特征，先對比一下用經(jīng)典粒子（例如子彈）與經(jīng)典波（例如聲波）來做類似的雙縫實驗的結(jié)果。粒子的雙縫干涉是最直觀地展現(xiàn)波粒二象性的實驗,也是量子力學(xué)中最難理解的現(xiàn)象.Wecannotexplainhowitworks;

Wewilljusttellyouhowitworks.經(jīng)典粒子（如子彈）子彈經(jīng)過縫的運動軌道,與縫存在與否，并無關(guān)系.結(jié)論只開縫1子彈密度分布只開縫2子彈密度分布雙縫齊開上圖給出聲波的雙縫干涉圖像.表示一個具有穩(wěn)定頻率的聲源,聲波經(jīng)過一個具有雙縫的隔音板,在它后面有一個“吸音板”,到達板上的聲波將被吸收,并把聲波強度分布表示出來.12經(jīng)典波（如聲波）當(dāng)只開縫時，顯示出聲波強度分布用描述.當(dāng)只開縫時,強度分布用描述.當(dāng)雙縫齊開時，強度分布用描述.當(dāng)只開一條縫時聲音很強的地方（例如點和點）,在雙縫齊開時,聲音可能變得很弱.實驗表明原因是由于出現(xiàn)了聲波的干涉現(xiàn)象.下面通過對其干涉項的研究,來具體找出經(jīng)典和量子的區(qū)別!由于干涉項的影響，經(jīng)典波的強度分布與經(jīng)典粒子的密度分布大不相同.設(shè)分別打開縫和縫時的聲波用和描述，雙縫齊開時的聲音則用描述，因此聲波強度分布為波的相干疊加性人們可以設(shè)想，如在圖所示實驗中，用分子束來代替聲波，則觀測到的雙縫干涉圖像應(yīng)該沒有什么差異.但此時波的強度是代表被測到的

人們應(yīng)如何理解在干涉實驗中分子所展現(xiàn)出的這種波粒二象性呢？人們對物質(zhì)粒子波動性的理解，曾經(jīng)經(jīng)歷過一場激烈的爭論，包括波動力學(xué)創(chuàng)始人Schr?dinger,deBroglie等在內(nèi)的一些人，對于物質(zhì)粒子波動性的見解，都曾經(jīng)深受經(jīng)典概念的影響，他們曾經(jīng)把電子波理解為電子的某種實際結(jié)構(gòu)，即看成三維空間中連續(xù)分布的某種物質(zhì)波包，因而呈現(xiàn)出干涉與衍射等現(xiàn)象，波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運動速度.1.1.2波粒二象性的分析稍加分析，這種看法就碰到了難以克服的困難。例如，在非相對論情況下，自由粒子能量利用deBroglie關(guān)系，可得所以波包的群速度（見附錄）為即經(jīng)典例子的速度.但由于依賴于自由粒子的物質(zhì)波包必然要擴散,即使原來的波包很窄,在經(jīng)歷一段時間后,也會擴散到很大的空間中去;或者形象地說,隨時間的推移,粒子將越來越“胖”.這與實驗是矛盾的.物質(zhì)波包的觀點顯然夸大了波動性一面,而實際上抹殺了粒子性的一面,是帶有片面性的。與物質(zhì)波相反的另一種看法是:波動性是由于大量電子分布于空間形成的疏密波.它類似于空氣振動出現(xiàn)的縱波,即由于分子密度疏密相間而形成的一種分布.這種看法也與實驗矛盾.實際上可以通過做這樣的電子衍射實驗,讓入射電子流極其微弱.電子幾乎一個一個地通過儀器.但只要時間足夠長，底片上仍將出現(xiàn)衍射花樣.這表明電子的波動性并不是很多電子在空間聚集在一起時才呈現(xiàn)的現(xiàn)象.單個電子就具有波動性.事實上,正是由于單個點在具有波動性,才能理解氫原子（只含一個電子?。┲须娮舆\動的穩(wěn)定性以及能量量子化這樣一些量子現(xiàn)象.因此,把波動性看成大量電子分布于空間所形成的疏密波的看法也是不正確的,它夸大了粒子性的一面,而實際上抹殺了粒子波動性一面,也帶有片面性.“電子既不是粒子,也不是波”.更確切地說,它既不是經(jīng)典例子,也不是經(jīng)典的波.我們也可以說,電子既是粒子,也是波,它是粒子性和波動性兩重性矛盾的統(tǒng)一.但這個波不再是經(jīng)典概念下的波,粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子.在經(jīng)典概念下,粒子與波的確是難以統(tǒng)一到同一客體上去然而究竟應(yīng)該怎樣理解波粒二象性呢？然而電子究竟是什么東西？是粒子？還是波？仔細分析一下實驗可以看出，電子所呈現(xiàn)的粒子性，只是經(jīng)典粒子概念中的“原子性”或“顆粒型”，即總是以具有一定質(zhì)量和電荷等屬性的客體出現(xiàn)在實驗中，但并不與“粒子有確切的軌道”的概念有必然的聯(lián)系.而電子呈現(xiàn)的波動性，也只不過是波動最本質(zhì)的東西——波的相干疊加性，但并不一定與某種實在的物理量在空間的波動聯(lián)系在一起.

把粒子性與波動性統(tǒng)一起來，更確切地說，把微觀粒子的“原子性”與波的“相干疊加性”統(tǒng)一起來的是M.Born(1926)提出的概率波.1.1.3概率波，多粒子體系的波函數(shù)電子雙縫干涉實驗：現(xiàn)在來分析電子的雙縫干涉實驗，設(shè)入射電子流很微弱，電子幾乎是一個一個地經(jīng)過雙縫，然后在感光底片上被記錄下來.起初，當(dāng)感光時間較短時，底片上出現(xiàn)一些點子，它們的分布看起來沒有什么規(guī)律.當(dāng)感光時間足夠長時，底片上感光點子愈來愈多，就會發(fā)現(xiàn)有些地方點子很密，有些地方幾乎沒與點子.最后，底片上的感光點子的密度分布將構(gòu)成一個有規(guī)律的花樣，與X光衍射中出現(xiàn)的花樣完全相似，就強度分布來講，與經(jīng)典波（例如聲波、壓強波）是相似的，而與機槍子彈上的密度分布完全不同.這種現(xiàn)象應(yīng)怎樣理解呢？原來，在底片點附近干涉花樣的強度在點附近感光點子的數(shù)目在點附近出現(xiàn)電子的數(shù)目設(shè)干涉波波幅用描述，與光學(xué)中相似，干涉花樣的強度在空間的分布則用來描述.但這里干涉強度的意義與經(jīng)典波根本不同，它是刻畫電子出現(xiàn)在附近的概率大小的一個量.電子出現(xiàn)在附近的概率更確切的說，表示在點處的體積元中找到粒子的概率.這就是Born提出的波函數(shù)的概率詮釋.這稱為波函數(shù)的歸一化條件.但應(yīng)該強調(diào)，對于概率分布來說，重要的是相對概率分布.根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋，很自然要求該粒子（不產(chǎn)生，不湮沒）在空間各點的概率之總和為，即要求波函數(shù)滿足下列條件.不難看出，與（為常數(shù)）所描述的相對概率分布是完全相同的。因此在空間任意兩點和處，描述的粒子相對概率為與描述的相對概率完全相同.換言之，與描述的是同一個概率波.所以，波函數(shù)有一個常數(shù)因子不定性.在這一點上，概率波與經(jīng)典波有本質(zhì)的差別.一個經(jīng)典波的波幅若增大一倍，則相應(yīng)的波動的能量將為原來的4倍，因而代表完全不同的波動狀態(tài).正因為如此，經(jīng)典波根本談不上“歸一化”，而概率波則可以進行歸一化.因為，假設(shè)則顯然有但與描述的同一個概率波.沒有歸一化，而是歸一化的.稱為歸一化因子.波函數(shù)歸一化與否，并不影響概率分布有何變化.還應(yīng)提到，即使加上歸一化條件，波函數(shù)仍然有一個模為1的相因子的不定性，或者說，相位不定性.因為，假設(shè)是歸一化的波函數(shù)，則（為常實數(shù)）也是歸一化的，而與描述的是同一概率波.以上討論的是單個粒子的波函數(shù).設(shè)一個體系包含兩個粒子，波函數(shù)用表示，其物理意義是注意表示測得粒子1

在空間體積元中、同時粒子

2

在空間體積元中的概率.描述的不是維空間中某種實在物理量的波動，而是維空間中的概率波.這個維空間只不過是標記一個具有個自由度的體系的坐標的抽象空間.

對于個粒子組成的體系，它的波函數(shù)表示為其中分別表示各粒子的空間坐標.此時表示粒子1出現(xiàn)在中，同時粒子2出現(xiàn)在中，同時粒子N出現(xiàn)在中，歸一化條件表示為以后，為了表述方便，引進符號其中代表對體系的全部坐標空間進行積分.所以描述的是抽象的維位形空間（configurationspace)中的概率波.這樣，歸一化條件就可以簡單表示為對于一維粒子對于三維粒子對于N維粒子組成的體系按照已為衍射實驗證實的deBroglie關(guān)系，若為一個平面單色波（波長，頻率），則相應(yīng)的粒子動量為，能量為.在一般情況下，是一個波包，有許多平面單色波疊加而成，即含有各種波長（頻率）的分波.因而相應(yīng)的粒子動量（能量）有一個分布，與測量的位置相似，也可以設(shè)計某種實驗裝置來測量粒子的動量，晶體衍射實驗就是其中的一種.不難想象，與表示粒子在坐標空間中的概率密度相似，表示粒子的動量分布的概率密度.1.1.4動量分布概率這里是按平面波展開（Fourier展開）的波幅，即其逆表示為注意代表中含有平面波的成分，所以粒子動量為的概率與成比例是自然的，即粒子動量在范圍中的概率為.不難證明因為利用公式及Fourier積分公式，可得下面來分析電子衍射實驗（圖）.設(shè)電子（動量為）沿垂直方向射到單晶表面，即入射波具有一定波長的平面波，則衍射波將沿一定的角度出射，由下式（Bragg公式）決定式給出了衍射角（特別是）與入射粒子動量的確定關(guān)系.如果入射波是一個波包，它的每一個Fourier分波（平面波）將各自按照一定的角分布出射.d沿角出射的波的幅度正比于入射波包中相應(yīng)的Fourier分波的幅度，因而沿方向的衍射波強度.在衍射過程中，波長未改變，即粒子動量的值未改變（雖然方向改變了）.所以，對于一個粒子，它在方向被測到的概率，即粒子動量為的概率

Born對波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋，把波粒二象性統(tǒng)一到概率波的概念上.再次概念中，經(jīng)典波俄概念只是部分地（波的疊加性）被保留下來，而另一部分內(nèi)容則被摒棄.所以經(jīng)典粒子運動的圖像和概念對于微觀粒子不可能全盤適.Heisenberg的不確定關(guān)系（uncertaintyrelation）對此做了最集中和最形象的概括.不確定關(guān)系是Heisenberg于1927年根據(jù)逆向思維，并對一些理想實驗進行分析和利用De-Broglie關(guān)系而得出的.1.1.5不確定關(guān)系下面先分析幾個簡單的例子。例1設(shè)一維粒子具有確定的動量p0，即動量的不確定度△p＝0，相應(yīng)的波函數(shù)為平面波即粒子在空間各點的幾率都相同（不依賴于x）。換言之，粒子的位置是完全不確定的，即△x=∞。例2設(shè)一維粒子具有確切的位置x0，即位置的不確定為△x＝0。相應(yīng)的波函數(shù)為其Fourier展開為表明粒子動量取各種值的幾率都相同（不依賴于p），所以動量完全不確定，△p＝∞。例3考慮用Gauss波包描述的粒子，可以看出，粒子位置主要局限在的區(qū)域中，即的Fourier變換為可以看出，因此對于Gauss波包0x不確定度關(guān)系不確定關(guān)系表明，微觀粒子的位置（坐標）和動量不能同時具有完全確定的值，這是波粒二象性的反映，在物理上可以如下理解：按照deBroglie關(guān)系，由于波長是描述波在空間變化快慢的量，是與整個波動關(guān)系聯(lián)系的量，因此正如“在空間某一點的波長”的提法是沒有意義一樣，“微粒子在空間某一點的動量”的提法也同樣沒有意義.這樣，粒子運動軌道的概念就沒有意義.

與經(jīng)典不同！！粒子處于波函數(shù)所描述的狀態(tài)下，雖然不是所有力學(xué)量都具有確定的值，但它們都有確定的分布，因而有確定的平均值.例如位置的平均值為這里假定了波函數(shù)已歸一化.又例如勢能的平均值為1.1.6力學(xué)量的平均值與算符的引進前面已提到，由于波粒二象性，“粒子在空間某一點的動量”的提法是沒有意義的.因此不能像求勢能平均值那樣來求動量平均值，即我們必須換一種方法來處理這問題.按前面所述，給定波函數(shù)之后，測得粒子動量在中的概率為，其中注意因此可以借助來間接計算動量的平均值（利用式（13）和（14））這樣，我們就找到了用來直接計算動量平均值的公式，而不必借助于的Fourier變換來間接計算（見式，）.但只是就出現(xiàn)了一種新的數(shù)學(xué)工具——.算符令則式可表成稱為動量算符.上式表明，動量平均值與波函數(shù)的梯度密切相關(guān).這是可以理解的，因為按照deBroglie關(guān)系，動量與波長的倒數(shù)（波數(shù)）成比例，所以波函數(shù)的梯度愈大，即波長愈短（波數(shù)愈大），動量平均值也就愈大.（動能算符）動能和角動量的平均值也可類似求出（角動量算符）是一個矢量算符，它的三個分量可以表示為一般來說，粒子的力學(xué)量的平均值可如下求出:是力學(xué)量相應(yīng)的算符.如波函數(shù)未歸一化，則

統(tǒng)計詮釋賦予了波函數(shù)確切的物理含義.根據(jù)統(tǒng)計詮釋（a）根據(jù)統(tǒng)計詮釋，要求取有限值似乎是必要的，即要求取有限值，但應(yīng)注意，只是表示概率密度，而在物理上只要求空間任何有限體積中找到粒子的概率為有限值即可.因此，并不排除在空間某些孤立奇點處.例如，是的一個孤立奇點，是包圍點在內(nèi)的任何體積，則按統(tǒng)計詮釋只要1.1.7統(tǒng)計詮釋對波函數(shù)提出的要求就是物理上可以接受的.如?。ㄗ鴺嗽c），是半徑為的小球，顯然，當(dāng)時,式的積分值趨于，即要求.如時，，則要求（b）按照統(tǒng)計詮釋，一個真實的波函數(shù)需要滿足歸一化條件（平方可積）()230ry?rr但概率描述中實質(zhì)的問題是相對概率。因此，在量子力學(xué)中并不排除使用某些不能歸一化的理想的波函數(shù).例如平面波，波包.實際的波函數(shù)當(dāng)然不會是一個理想的平面波或波包，但如果粒子態(tài)可以用一個很大的波包來描述，波包的廣延比所處理的問題的特征長度大得多，而且在問題所涉及的空間區(qū)域中粒子的概率密度可視為常數(shù)，則不妨用平面波來近似代替，例如在散射理論中，入射粒子態(tài)常用平面波來描述.（c）按照統(tǒng)計詮釋，要求單值，是否由此可得出要求單值？否，在量子力學(xué)中還會有在空間不單值的波函數(shù)(例如計及自旋后的電子波函數(shù)，見第8章).（d）波函數(shù)及其各階微商的連續(xù)性.一般的要求及其微商連續(xù)是不正確的（例如，見2.2節(jié)，2.3節(jié)的分析）.在學(xué)習(xí)了表現(xiàn)理論（特別是離散表象）之后，就會對波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋和量子態(tài)有更深入的理解（見第7章）.

這個問題已經(jīng)由Schr?dinger方程圓滿解決。下面用一個簡單的方案來引進這個方程。先討論自由粒子：

量子力學(xué)中最核心的問題就是要解決波函數(shù)如何隨時間演化以及在各種具體情況下找出描述體系狀態(tài)的各種可能的波函數(shù)。1.2Schr?dinger方程1.2.1Schr?dinger方程的引進其能量與動量的關(guān)系是按照deBroglie關(guān)系即與具有一定能量和動量的粒子相聯(lián)系的是平面單色波由上式可以看出利用式（1），可以得出即

描述自由粒子的一般狀態(tài)的波函數(shù)，具有波包的形式，即為許多平面單色波的疊加由此，不難證明所以

可見如式（5）所示的波包仍滿足方程(4).所以方程(4)是自由粒子的波函數(shù)滿足的方程.即,在方程(1)中,令并作用于波函數(shù)上,就可得出方程(4).在此基礎(chǔ)上,我們進一步考慮在勢場中運動的粒子,可以得到上式就是單粒子的Schr?dinger波動方程.它揭示了微觀世界中物質(zhì)運動的基本規(guī)律.下面將圍繞它進行一系列的討論.1.定域的概率守恒

Schr?dinger方程是非相對論量子力學(xué)的基本方程.在非相對論(低能)情況下,實物粒子()沒有產(chǎn)生和湮沒現(xiàn)象,所以在隨時間演化的過程中,粒子數(shù)目保持不變.對于一個粒子來說,在全空間中找到它的概率之總和應(yīng)不隨時間變化,即1.2.2

Schr?dinger方程的討論以上結(jié)論可以從Schr?dinger方程加以論證:由,得對式(7)取復(fù)共軛,(注意),得將上式在空間區(qū)域中積分,由Gauss定理,可得令表示概率密度,表示概率流密度.因此,式(11)可化為所以具有概率流(粒子流)密度的意義,是一個矢量.

上式左邊代表在閉區(qū)域中找到粒子的總概率(或粒子數(shù))在單位時間內(nèi)的增量,而右邊(注意負號!)則應(yīng)表示單位時間內(nèi)通過的封閉表面而流入內(nèi)的概率(粒子數(shù)).

式(11)或(14)是概率(粒子數(shù))守恒的積分表達式,而式(10)可改寫為上式即為概率守恒的微分表達式.即:歸一化不隨時間而改變.在物理上這表示粒子既未產(chǎn)生也未湮沒.在式(11)中,讓(全空間),得上面提到的概率守恒具有定域的性質(zhì).2.初值問題,傳播子

由于Schr?dinger方程只含波函數(shù)對時間的一次微商,只要在初始時刻()體系的狀態(tài)給定,則以后任何時刻的狀態(tài)原則上就完全確定了.

在一般情況下,這個初值問題的求解是不容易的,往往要采用近似方法.但對于自由粒子,容易嚴格求解.滿足自由粒子的Schr?dinger方程的解具有如下的形式:式中.

的初態(tài)波函數(shù)為

正是的Fourier展開的波幅,它并不依賴于上式之逆變換即把式(18)代入式(5),得

這樣,體系的初始狀態(tài)完全決定了以后任何時刻的狀態(tài).

由初態(tài)完全確定.更一般講,取初始時刻為,則式中對于自由粒子,這個傳播子由式(21)明顯給出.可以證明的物理意義如下借助于傳播子,體系在時刻的狀態(tài)可由時刻的狀態(tài)給出.

稱為傳播子(propagator).設(shè)初始時刻粒子處于空間點,,按式(20)所以即時刻在點找到粒子的概率波幅.

因此,一般地說,如在時刻粒子位于點,則時刻在空間點找到由傳來的粒子概率波幅就是,即粒子從傳播到了.由式(20)可以看出

在時刻于空間點找到粒子的概率波幅是時刻粒子在空間中各點的概率波幅傳播到點后的相干疊加.

下面討論勢能不顯含時間,從初態(tài)去求解末態(tài)的情況.此時,Schr?dinger方程的特解表示為代入式(7),得1.2.3能量本征方程在上式中,是既不依賴于,也不依賴于的常數(shù).這樣所以因此,特解(23)可表示為其中,滿足下列方程論述:

從數(shù)學(xué)上講,對于任何E值,不含時Schr?dinger方程(28)都有解.但并非對于一切E值所得出的解都滿足物理上的要求.

這些要求中,有些是根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋而提出的,有的是根據(jù)具體物理情況而提出的.如束縛態(tài)邊條件,周期性邊條件,散射態(tài)邊條件等.

在束縛態(tài)邊條件下,只有某些離散的E值所對應(yīng)的解才是物理上可以接受的.所以得到能量本征方程(不含時Schr?dinger方程)

能量本征值(energyeigenvalue)

能量本征函數(shù)(energyeigenfunction)

Schr?dinger方程的更普遍的表示是此時,能量本征方程為

對于更復(fù)雜的體系的Schr?dinger方程的具體表達式,關(guān)鍵在于如何寫出其Hamilton量算符.

是體系的Hamilton算符.當(dāng)不顯含時,體系的能量是守恒量.

若在初始時刻()體系處于某一個能量本征態(tài),則處于定態(tài)下的粒子具有如下特征:形式如的波函數(shù)所描述的態(tài),稱為定態(tài)(stationarystate).1.2.4定態(tài)與非定態(tài)(b)

任何(不顯含的)力學(xué)量的平均值不隨時間改變.

若體系的初態(tài)不是能量本征態(tài),而是若干個能量本征態(tài)的疊加可以證明不同能量本征值相應(yīng)的本征態(tài)正交(a)粒子在空間的概率密度以及概率流密度顯然不隨時間改變.(c)任何(不顯含的)力學(xué)量的測值概率分布也不隨時間改變(以后證明).在式(32)中,由初態(tài)唯一確定不難證明滿足含時Schr?dinger方程在式(35)所示狀態(tài)下,粒子的能量平均值為這種由若干個能量不同的本征態(tài)的疊加所形成的態(tài),稱為非定態(tài)(nonstationarystate).

為在式(35)所示狀態(tài)下粒子能量取值的概率.

設(shè)體系由N個粒子組成,粒子質(zhì)量分別為.體系的波函數(shù)表示為.設(shè)第i個粒子受到的外勢場為,粒子之間相互作用為,則Schr?dinger方程表示為1.2.5多粒子體系的Schr?dinger方程在式(37)中而不含時Schr?dinger方程表示為E為多粒子體系的能量.由前面所學(xué)知識得到當(dāng)給定后,粒子所有力學(xué)量的測值分布概率就確定了.從這個意義上來講,完全描述了一個三維空間中粒子的量子態(tài).所以波函數(shù)也稱為態(tài)函數(shù).同理,也完全描述了粒子的量子態(tài).1.3.1量子態(tài)及其表象

它們彼此間有確定的變換關(guān)系,彼此完全等價.它們描述的都是同一個量子態(tài)

,只不過表象(representation)不同而已.

總之,量子態(tài)的描述方式與經(jīng)典粒子運動狀態(tài)的描述方式根本不同,這是由波粒二象性所決定的.

這猶如一個矢量可以采用不同的坐標系來表述一樣,我們稱是粒子態(tài)在坐標表象中的表示,而則是同一個狀態(tài)在動量表象中的表